[数学][期末]广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试试卷(解析版)

这是一份[数学][期末]广东省肇庆市2023-2024学年高二下学期期末考试试卷(解析版)，共13页。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若函数（为自然对数的底数），则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】B
【解析】函数，求导得，所以.
故选：B
2. 已知某独立性检验中，由计算出，若将列联表中数据分别变成，计算出的，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以
故选：B
3. 求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，则500的正整数因数的个数为（ ）
A. 12B. 15C. 16D. 18
【答案】A
【解析】因为，
由题意可知：500的正整数因数只需分别从中各选一个元素相乘即可，
所以500的正整数因数的个数为.
故选：A.
4. 已知函数，若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
所以在上单调递减.
因为，
所以，所以，即.
故选：B.
5. 已知随机变量，若方差，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
解得或，
所以.故选：D
6. 直线与曲线相切于点，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
依题意，解得，
，解得，
所以.
故选：C
7. 若，则（ ）
A. 4048B. C. 1D.
【答案】D
【解析】的展开式的通项公式为，
结合，知均为负值，
，
令，得，
故，
故选：D.
8. 已知函数，且，为自然对数的底数恰有两个极值点，，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，因为函数恰有两个极值点、，
所以有两个变号零点，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则的图象与直线有两个不同的交点，
因为，设过原点的切线的切点为，
则切线方程为，
则，
所以，
即，
所以切线斜率，
当时，则，
解得；
当时，则，
解得
综上可得实数的取值范围是.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于一元线性回归的叙述正确的有（ ）
A. 若相关系数，则与的相关程度很强
B. 残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用模型比较合适
C. 决定系数越大，模型的拟合效果越差
D. 经验回归直线经过所有样本点
【答案】AB
【解析】对于A，越接近于1，相关性越强，A正确；
对于B，残差图中的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
拟合效果较好，选用模型比较合适，B正确；
对于C，决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，C错误；
对于D，样本点分布在经验回归直线附近，D错误.
故选：AB
10. 已知是互不相等的正数，随机变量的分布列如下表所示，
若既成等差数列也成等比数列，的期望和方差分别为和，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】因既成等差数列也成等比数列，则有，
将①代入②中，化简整理得，，则有，
回代入①，可得，由分布列可知，故得，.
依题意，，,
故，故A正确，B错误；
，
而
可得，，则得,故D正确，C错误.
故选：AD.
11. 微分方程（由导函数求原函数）是微积分的重要分支，例如根据导函数，逆用复合函数的求导法则得（为常数）．已知函数的导函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则（为常数）
C. 是函数的极值点
D. 函数在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，由，当时，，而，则，A正确；
对于B，，且（为常数），B正确；
对于CD，由选项B知，，又，则，
，求导得，当且仅当时取等号，
因此函数在上单调递减，无极值点，C错误，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设随机变量服从正态分布，且，则______．
【答案】
【解析】因为服从正态分布，且，
则，且，
所以.
故答案为：.
13. 用模型拟合一组数据，令，将模型转化为经验回归方程，则______．
【答案】
【解析】因为，两边取自然对数可得，
令，可得，又，
所以，，所以，
所以.
故答案为：
14. 抛掷一校质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别标有数字1，2，3，4），底面的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______.
【答案】① ②
【解析】抛掷1次后事件A发生奇数次，只能是发生1次，；
抛掷n次后事件A发生，
抛掷n次后事件A发生奇数次的概率记为
当为偶数时，，
当为奇数时，，
构造二项式
，
令，
，
令，
，
两式做差得，
可得，
因为，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，则，
可知的定义域为，且，
令，解得；
令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）由题意可知：的定义域为，
且，
若，则，可知在内单调递减；
若，令，解得；
令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在内单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
16. 小华同学设置手机密码的六位数字时，准备将的前6位数字（1，1，3，4，5，9）按照一定的顺序进行设置．
（1）记事件：相同的数字相邻，求事件发生的概率；
（2）记事件：相同的数字不相邻，求事件发生的概率；
（3）记事件：相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，求在事件发生的条件下，事件发生的概率．
解：（1）依题意，在事件中，要求两个1需相邻，故只需要将其看成一个元素与另外四个数字全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：
（2）在事件中，要求两个1不能相邻，故只需先将这两个1对另外4个数字产生5个空中进行插空，
再对这四个数字进行全排即可，有种方法，由古典概型概率公式可得：；
（3）在事件中，要求相同数字不相邻，且相同数字之间只有一个数字，
故只需先在3，4，5，9中选出1个数字放在两个1之间，再看成1个元素，与另外3个元素共4个元素全排即可，
有种方法，由古典概型概率公式可得：,
由条件概率公式可得，.
17. 如图，在正方体的顶点处各挂一盏灯笼，每秒有且只有一个顶点处的灯笼被点亮，下一秒被点亮的灯笼必须与上一个顶点相邻（在同一条棱上），且每个相邻顶点的灯笼被点亮的概率相同，下一盏灯笼被点亮上一盏自动熄灭．若初始亮灯点位于点处，第秒亮灯点在底面上的概率为．
（1）求和的值；
（2）推测与的关系，并求出的表达式．
解：（1）依题意第一秒灯点等可能的在顶点、、处，其中在底面上的顶点为、，所以，
第一秒灯点在顶点为、处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
第一秒灯点在顶点为处（概率为），第二秒灯点在底面上的概率为；
所以第二秒灯点在底面上的概率；
（2）第秒亮灯点在底面上的概率为，
在底面上的概率为，
所以，
所以，所以是以，公比为的等比数列，
所以，则.
18. 已知函数（是自然对数的底数）．
（1）设直线为曲线的切线，记直线的斜率的最大值为，求的最大值；
（2）已知,设求证：．
解：（1）由题意可知：的定义域为，且，
令，则的定义域为，且，
因为，令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则的最大值为，
可知，且在内单调递减，
所以的最大值为.
（2）由已知，则，
由（1）可知：在内单调递增，
且，
可知；
又因为在内单调递减，且，
可知；
且，
令，则，
可知在内单调递减，则，
即，
所以.
19. 某省高考自2024年起数学考试多选题（题号9~11）的计分标准是：每道题满分6分，全部选对得6分，部分选对得部分分（若某道题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某道题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分），错选或不选得0分．每道多选题共4个选项，正确答案是选两项或选三项．统计规律显示：多选题正确答案是“选两项”的概率是，没有同学选四项．甲、乙两个同学参加了考前模拟测试，已知两同学第9题选的全对，第10~11题还不确定对错．
（1）假设甲同学第10题随机选了两个选项，第11题随机选了一个选项，求甲同学这三道多选题（满分18分）所有可能总得分的中位数；
（2）假设第10题正确答案是“选两项”，若乙同学不知道是“选两项”，随机选该题的选项（既没空选也没选四项，所有选法等可能），求乙第10题得0分的概率；
（3）第11题甲同学采用“随机猜一个选项”的答题策略，乙同学采用“随机猜两个选项”的答题策略，记甲同学该题的得分为X，乙同学该题的得分为Y，试比较两同学得分的平均值的大小．
解：（1）因为第9题得6分，第10题得分可能是0，4，6分，第11题得分可能是0，2，3分，因此总得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，
6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，
故总得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8个得分，
所以总得分的中位数是;
（2）因为乙同学既没空选也没选四项，则选一项且不得分有种选法，
选两项且不得分有种选法，选三项且不得分有种选法，
这道题的总选法有：种，
所以；
（3）若第11题正确答案是“选两项”，则的取值为0，3，的取值为0，6，
且，，，；
若第11题正确答案是“选三项”，则的取值为0，2，的取值为0，4，
且，，，；
记“选两项”和“选三项”时，与的平均值分别为和，
则
因为第11题正确答案是“选两项”的概率是，所以正确答案是“选三项”的概率也是，
所以，
故.