广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省汕尾市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共21页。

注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
2. 已知是三角形一内角，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 集合，，是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 设α是空间中一个平面，是三条不同的直线，则（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D 若，则
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 60D. 80
6. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ）
参考数据：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
7. 某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（ ）米．

A. B.
C. D.
8. 是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
10. ，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（ ）
A. 事件A与事件相互独立B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等比数列，若，则______．
13. 已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为______．
14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
16. 已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
19. 已知函数（为正实数）.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个不同的极值点.
（i）证明：；
（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
汕尾市2023—2024学年度第二学期高中二年级教学质量监测
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，即可得解.
【详解】根据题意，，
所以的虚部为0.
故选：D
2. 已知是三角形一内角，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意判断的范围，再利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】因为是三角形一内角，，
所以，
由，得，，
因为，所以，
解得或（舍去）.
故选：A
3. 集合，，是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据对数函数的性质化简集合，根据幂函数的性质化简集合，再判断两集合的关系，即可判断.
【详解】因为，
，
所以真包含于，所以是的充分不必要条件.
故选：A
4. 设α是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】选项A和D，通过举出例子判断正误；选项B，由线面垂直的判定定理得结果正确；选项C，利用线面垂直的性质，可得，从而判断出结果的正误.
【详解】对于选项A，如图1，当，满足时，与可以斜交，故选项A错误，
对于选项B，因为，所以，因为，则由线面垂直的判定定理得，故选项B正确，
对于选项C，因为，所以，因为，所以，故选项C错误，
对于选项D，若，则与可以相交、平行或异面，如图2，满足，而与异面，故选项D错误，
故选：B.
5. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 60D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式求解.
【详解】由，
令，解得，
所以，
故选：C
6. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ）
参考数据：，，．
A. 455B. 2718C. 6346D. 9545
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.
【详解】由题意可知，，
则数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故选：B
7. 某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退18米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为（ ）米．

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】依题意，，，，
所以，所以，
则，
所以，即石像的高度为米.
故选：A
8. 是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，结合切线长定理列出四边形面积的函数关系，再借助几何意义求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
所以四边形面积的最小值为.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分；共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】求函数的导数，令导数等于4解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标.
【详解】依题意，令，解得
，
故点的坐标为和，
故选：AC
10. ，若在上的投影向量为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由投影向量的定义计算可判断A，根据共线向量的线性表示判断B，根据垂直的坐标表示判断C，根据向量模的坐标表示判断D.
【详解】因为在上的投影向量为，
所以，解得，故A正确；
由，可知，故B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，故D正确.
故选：AD
11. 端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经桥、桥、桥、桥及桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一桥、桥及桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在桥服务点”，事件为“乙和丙分到一起”，则（ ）
A. 事件A与事件相互独立B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】B选项，分和两种情况，求出5名志愿者参加其中三座桥的情况数，再得到甲在桥服务点的情况数，得到概率；C选项，求出乙和丙分到一起的情况数，得到概率；A选项，求出事件包含的情况数，得到，根据得到A正确；D选项，根据求出条件概率.
【详解】B选项，5名志愿者参加其中三座桥，桥、桥及桥的服务，
要求这三个服务点都有人参加，可以分为和，
其中分为时，共有种情况，
其中分为时，共有种情况，
故共有种，
其中甲独自在桥服务点，此时剩余4名志愿者可以分为和，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当剩余4名志愿者分为时，有种情况，
当甲和另外一个人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选1人，剩余3人，分为两组，故有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，从剩余4名志愿者先选2人，剩余2人，分为两组，故有种情况，
故，
所以，B正确；
C选项，乙和丙分到一起，当5名志愿者分为时，有种情况，
当5名志愿者分为时，先从剩余3名志愿者选择1人和乙，丙一起，再将剩余2人进行全排列，有种情况，
故，C错误；
A选项，表示甲在桥服务点，乙和丙分到一起，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，则有种情况，
若甲单独在桥服务点，乙和丙分到一起，且5名志愿者分为，从剩余2人中选择1人和乙，丙一起，有种情况，
若甲和另外一个人在桥服务点，先从除了乙，丙外的剩余2名志愿者选1人，再进行排列，则有种情况，
当甲和另外2人在桥服务点，则一定是和乙，丙一起，剩余2人进行全排列，共有种情况，
综上，，，
因为，故事件A与事件相互独立，A正确；
D选项，，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等比数列，若，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】由等比数列的通项公式可知，，即，
所以，
故答案为：2
13. 已知双曲线的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若轴上一点到双曲线的渐近线距离为，则的离心率为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别表示出渐近线，利用点到直线的距离得到、的关系，即可求出离心率.
【详解】①若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
所以，所以，则，所以离心率；
②若焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，
即，则点到双曲线的渐近线距离，
所以，所以离心率；
综上可得双曲线的离心率为或.
故答案为：或
14. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将函数零点转化为的交点问题.
【详解】由函数有两个零点，
即方程有两个解，即有两个解，
令，函数为过点的直线，
若，则直线与曲线只有一个交点，不符合题意，
所以，先求过点曲线的切线，设切点为，
由，则，切线方程为，
将点代入方程，，得，
因为，而在上单调递增，
在上单调递减，所以方程只有一解，为，
故过点曲线的切线斜率为，
若直线与曲线有两个交点，则，
此时函数有两个零点
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
【答案】（1）；
（2）11.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出数列的首项即可求出通项.
（2）求出数列的前项和，再列式解不等式即得.
【小问1详解】
等差数列的公差为2，由，，成等比数列，得，解得，
所以数列的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，
即，而，解得，又，所以.
16. 已知动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，设动点P的轨迹为E．
（1）求E的方程；
（2）已知过点的直线l交E于A，B两点，且（O为坐标原点）的面积为32，求l的方程．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程消去x，然后利用韦达定理结合面积即可求解.
【小问1详解】
因为动点P到直线的距离比到点距离多2个单位长度，
所以动点P到直线的距离和到点距离相等，
故曲线E是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线E的方程为．
【小问2详解】
设，
易知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为，
联立，消去x得，，
所以，
，
解得，
所以直线l方程为或．
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若平面与平面的夹角为，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理得证；
（2）由PA，AD，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角即可得解.
【小问1详解】
连接BD交AC于点O，连接OE，如图，
因为O为BD的中点，E为PD的中点，
所以．
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC．
【小问2详解】
因为平面ABCD，AD，平面ABCD，
所以，．
又，所以PA，AD，AB两两互相垂直，
故以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系如图所示，
设，则，，，，,
所以，．
显然为平面DAE的一个法向量．
设平面ACE的一个法向量为，
则即
令，得，
因为平面DAE与平面AEC的夹角为，
所以，
解得或（舍去），即·
18. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）结合频率分布直方图求解(1)；
（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；
（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．
【详解】（1）质量超过505克产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列为
19. 已知函数（为正实数）.
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若有两个不同的极值点.
（i）证明：；
（ii）设恰有三个不同的零点.若，且，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后利用导数等于零再结合二次函数的性质判断极值点情况即可；
（2）（i）由（1）和对数的运算性质得到，可证明；（ii）由（1）和（i）可得，问题转化为即证，再对已知等式变形为，问题进一步转化为即证，然后构造函数求导，再对导数的分子构造函数求导分析单调性即可证明.
【小问1详解】
，
设，
因为开口向下，，
所以当时，恒成立，即，
所以在上单调递减，无极值点；
当时，令，解得，且，
所以在上单调递增；在和上单调递减；此时有两个极值点，
综上，当时，无极值点；
当时，有两个极值点.
小问2详解】
（i）证明：由题意及（1）可知，且，
又因为，
所以.
（ii）证明：由（1）知，，，
由及（i）知，
所以.
若证，即证，
不妨设，则，
由得，
要证，只需证，
再两边去对数得，
即，
即证，
令，则，
再令，则，
所以在内单调递减，
又，则在单调递减，
由得，且，
所以，即，
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问关键在于利用前两问的结论得到，再利用对数的运算把问题转化为即证，然后构造函数求导分析单调性即可.
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P