广东省清远市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省清远市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共22页。

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 以下求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据:若，则
A. 134B. 120C. 116D. 110
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表:
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（ ）
A. B. C. D.
6. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A 1.5B. 7.5C. 20.5D. 37.5
7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A. 264种B. 216种C. 192种D. 144种
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示:
则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为2
C. 在上是增函数
D. 若方程有2个不同的根，则
11. 现有数字下列说法正确的是（ ）
A. 可以组成个没有重复数字的六位数B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成个六位数D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________.
13. 在的展开式中，含项的系数为____________.
14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.
15. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式:，其中.
16. 如图，在正四棱锥中.
（1）求证:;
（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.
17. 在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.
（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望;
（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18 设函数.
（1）当时，求在上最大值;
（2）讨论的单调性;
（3）若，证明只有一个零点.
19. 若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列.
（1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你结论，若不是，说明理由;
（2）若，证明指形数列也是凹形数列;
（3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.
父亲身高
166
169
170
172
173
儿子身高
168
170
171
175
176
0
1
2
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
0.15
0.10
0.05
0.005
0001
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828
广东省清远市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
注意事项:
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，及为正相关进行分析判断.
【详解】因为相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，且为正相关，
所以时，线性相关程度最强，且为正相关，
故选：A
2. 以下求导计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则代入计算，即可得到结果.
【详解】，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C
3. 某市高二数学统考，满分为150分.假设学生考试成绩，如果从高到低按照的比例将考试成绩分为四个等级，则等级分数线大概为（ ）（参考数据:若，则
A. 134B. 120C. 116D. 110
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性计算得解.
【详解】依题意，，
显然，
所以等级分数线大概为分.
故选：D
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即可.
【详解】函数，求导得，则，
所以所求切线方程为，即.
故选：B
5. 生活经验告诉我们，儿子身高与父亲身高是线性相关的.有人调查了5位学生的身高和其父亲的身高，得到的数据如表:
并利用相关知识得到儿子身高关于父亲身高的经验回归方程为.根据该经验回归方程，已知某父亲身高为，预测其儿子身高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图表，先求出，进而得到，即可求出结果.
【详解】因为，，
所以，解得，所以，当时，，
故选：C.
6. 在数学试卷的单项选择题中，共有8道题，每道题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，如果从四个选项中随机选一个，选对的概率是0.25.某同学8道单选题都不会做，只能在每道单选题的选项中随机选择一个作为答案，设他的总得分为，则的方差（ ）
A 1.5B. 7.5C. 20.5D. 37.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目可知，服从二项分布，从而得到方差公式计算即可.
【详解】根据题目可知，服从二项分布，从而得到方差公式.
故选：A
7. 甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用独立事件概率乘积公式结合比赛的规则求解即可
【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有种情况，
所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是
故选：B
8. 现要对三棱柱的6个顶点进行涂色，有4种颜色可供选择，要求同一条棱的两个顶点颜色不一样，则不同的涂色方案有（ ）
A. 264种B. 216种C. 192种D. 144种
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得.
【详解】依题意，求不同涂色方案问题，有用4种颜色和用3种颜色两类办法，
用4种颜色，先涂点有种方法，再在中选一点涂第4色，另两点有3种涂色方法，
因此不同涂色方法数为；
用3种颜色，先涂点有种方法，再涂有2种方法，
因此不同涂色方法数为，
所以不同的涂色方案有（种）.
故选：A
【点睛】思路点睛：涂色问题，可以按用色多少分类，再在每类中探求同色方案列式求解.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示:
则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误.
【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确，
对于选项C，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以选项D正确，
故选：BCD.
10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 在处取得极小值为2
C. 在上是增函数
D. 若方程有2个不同的根，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据题意，求导可得，即可得到函数的单调性以及值域，即可判断ABC，再结合函数图像即可判断D
【详解】因为函数，则，
令，即，解得或（舍），
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，故C错误；
则时，函数有极小值即最小值，即，故B正确；
且，，则函数值域为，故A正确；
由函数的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程有2个不同的根，则，故D错误；
故选：AB
11. 现有数字下列说法正确的是（ ）
A. 可以组成个没有重复数字的六位数B. 可以组成个没有重复数字的六位偶数
C. 可以组成个六位数D. 可以组成个相邻两个数字不相同的八位数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据分步乘法计数原理即可求解；对于B，根据分类加法计数原理即可求解；对于C，分析出六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况，再根据分类加法计数原理即可求解；对于D，利用插空法和分步乘法计数原理，并减去0在首位的情况即可求解.
【详解】对于A，由题意，可选取的数字为：0，1，2，3，4，5， 且首位不能为0，
第一步，先排首位有种不同排法，
第二步，再排其他5位数，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，
可以组成个没有重复数字的六位数，故A正确；
对于B，由题意，末位只能为：0，2，4，
当末位为0时，有种排法；
当末位为2时，有种排法；
当末位为4时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成312个没有重复数字的六位偶数，故B错误；
对于C，由题意，六位数中可能有1个1，2个1，3个1三种情况.
当六位数中有1个1时，由A选项知有600种排法；
当六位数中有2个1时，分为有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法；
当六位数中有3个1时，分有0与无0两种情况，
有0时，有种排法，
无0时，有种排法，
所以由分类加法计数原理可知，
可以组成个六位数，故C错误；
对于D，因为相邻两个数字不相同，即3个1不能相邻，故用插空法：
第一步，先排，除1外的5个数字，有，每种排法留出6个空位，
第二步，再将3个1插入6个空位，有种排法，
所以由分步乘法计数原理可知，共有2400种排法，
又因为0不能在首位，而0在首位时，有种排法，
所以可以组成个相邻两个数字不相同的八位数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查有限制条件的排列、组合和不相邻问题，解题关键是遵循特殊位置优先排、不相邻问题插空排.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，再解不等式得解.
【详解】函数的定义域为R，求导得，
由，得，解得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
13. 在的展开式中，含项的系数为____________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据条件，得到展开式的通项公式，即可求出结果.
【详解】因为展开式的通项公式为，
令，得到，所以含项的系数为，
故答案为：.
14. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将导数方程参变分离，转化为与由两个交点的问题，利用导数讨论的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.
【详解】的定义域为，
，
令，得.
令，则
令，则，即，即.
当时，单调递增；当时，单调递减.
，
又当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0，
作出的草图如图，
由图可知，当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚.
15. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名.
（1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人）
并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好;
（2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式:，其中.
【答案】（1）答案见解析；乙种疗法的效果比甲种疗法好
（2）答案见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可完善列联表，再由的计算公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望.
【小问1详解】
假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，
根据列联表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好.
【小问2详解】
由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者，
其中抽取到未治愈的人数为人，
抽取到治愈的人数为人，
且抽取到未治愈患者人数为，则，
则，，，
则分布列为
则期望.
16. 如图，在正四棱锥中.
（1）求证:;
（2）若，求平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，连接，利用线面垂直的性质、判定推理即得.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面CPD与平面PBD的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在正四棱锥中，连接，连接，
则平面，而平面，则，
由正方形，得，又平面，
因此平面，而平面，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，
则，，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的法向量，设平面CPD与平面PBD的夹角为，
则，
所以平面CPD与平面PBD的夹角的余弦值为.
17. 在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”.
（1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望;
（2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
【答案】（1）分布列见解析，期望为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出取出1个“粽子”是绿豆馅的概率，再求出的可能值，利用二项分布概率求出分布列及期望.
（2）根据给定条件，利用全概率公式计算得解.
【小问1详解】
依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率，
的可能取值是，，
，，
，，
所以的分布列为：
数学期望.
【小问2详解】
记甲同学取出的 “粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”、 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个，
2个绿豆馅的“粽子”的事件分别为，乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为，
，
，
因此，
所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率.
18. 设函数.
（1）当时，求在上的最大值;
（2）讨论的单调性;
（3）若，证明只有一个零点.
【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先代入a的值，再求导函数得出单调性求出最大值；
（2）先求导函数，再根据判别式分类讨论得出单调性即可；
（3）先判断函数值正负，再应用零点存在定理判断零点个数.
【小问1详解】
当时， ,
当所以在上单调递增 ,
当所以在上单调递减 ,
所以在上的最大值为.
【小问2详解】
，定义域为,
当时，所以 在上单调递增 .
时，时，有,
所以 在上单调递减,在上单调递增 ;
当时,在上单调递增 ,在上单调递减;
当时，在上单调递减,在上单调递增 .
【小问3详解】
当时,
当 时， ,
所以 有且仅有一个零点;
时， 单调递增,,所以 有且仅有一个零点;
时，,
所以有且仅有一个零点;
综上，时只有一个零点.
【点睛】方法点睛：利用导数判断函数的单调性，进而求解函数在某个区间上的最值，以及分类讨论利用函数的单调性求函数值，进而判断函数零点存在情况 .
19. 若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列.
（1）若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由;
（2）若，证明指形数列也是凹形数列;
（3）若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.
【答案】（1）是，证明见解析
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数运算得，即证明其为指形数列；
（2）根据指形数列概念求得，再计算，结合基本不等式即可证明其为凹形数列；
（3）根据指形数列的定义得，再利用其为递减数列得，从而求得，再利用等比数列求和公式得，最后引入高斯函数，分类讨论即可.
【小问1详解】
数列是指形数列.
当时，，
，
即数列是指形数列.
【小问2详解】
若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当，且时，
等号不成立，，即若，
则指形数列也是凹形数列.
【小问3详解】
若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用等差数列性质和对数运算得，再结合等比数列求和得，最后分类讨论即可.
父亲身高
166
169
170
172
173
儿子身高
168
170
171
175
176
0
1
2
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计
0.15
0.10
0.05
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
7.879
10.828
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
35
65
100
乙
15
85
100
合计
50
150
200
0
1
2
0
1
2
3