北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

这是一份北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了07等内容，欢迎下载使用。

2024.07
第一部分（选择题 共40分）
一．选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．设复数，则
（A）1 （B） （C）2 （D）4
2．已知点，，，若，则m的值为
（A）-1 （B） （C）1 （D）3
3．已知复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4．一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是
（A） （B） （C） （D）
5．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，的平均数为，方差为，则下列结论中正确的是
（A），（B），
（C），（D），
6. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与直线B1C所成角的大小为
（A）30° （B）45° （C）60° （D）120°
7. 在△中，点是边的中点．记，，则
（A）（B）（C）（D）
8. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为5”，事件B=“点数之积为6”，事件C=“至少有一个点数为3”，事件D=“点数都不为3”，则
（A）为不可能事件（B）与相互独立
（C）B与D互斥（D）C与D互为对立
9. 已知直线a，b与平面，，，下列说法正确的是
（A）若a∥，a，则 （B）若a∥，a∥，则∥
（C）若，，则∥ （D）若 =a，ba，b，则
10．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象. 八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点O为该正八边形的中心，设，点P是正八边形边上任一点，下列结论中正确的个数是

图1 图2
= 1 \* GB3 ① 与的夹角为；
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
= 4 \* GB3 ④的取值范围是．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第二部分（非选择题 共110分）
二．填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 设A，B是一个随机试验中的两个互斥事件，，，则 .
12.已知复数和都是纯虚数，则 ．
13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知,那么=________，若，，则______.
14. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）．已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为2cm，则该圆柱的体积为_______，该陀螺的表面积为______.
15. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，给出下列四个结论：
①直线FG与平面ACD1相交；
②直线B1D平面EFG；
③若AB=1，则点D到平面ACD1的距离为；
④该正方体的棱所在直线与平面EFG所成的角都相等.
其中所有正确结论的序号是____________．
三．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16.（本小题13分）
设平面向量，，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断与是否平行，并说明理由；
（Ⅲ）若，求实数的值.
17.（本小题14分）
某校为普及航天知识，在高一年级开展了航天知识竞赛. 将成绩（单位：分）分成6组，绘制成频率分布直方图，如图所示：
（Ⅰ）估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的第80百分位数；
（Ⅱ）为了进一步了解学生对航天知识的掌握情况，在成绩位于和的两组中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取5名学生.
（ = 1 \* rman i）求这5名学生中位于内的人数；
（ = 2 \* rman ii）若从这5名学生中随机抽取2名学生进行访谈，求这2名学生中至少有1人成绩在内的概率.
18. （本小题13分）
如图，在三棱锥P-ABC中，E，F分别是线段AB，BC的中点.
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）过直线EF作平面，若平面与直线PC交于点G，直线PB∥平面.
求证：G是线段PC的中点.
19. （本小题15分）
在中，三个内角的对边分别为．已知.
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）将射线AB绕点A旋转交线段BC于点E，已知.
（ = 1 \* rman i）若，求c；
（ = 2 \* rman ii）求面积的最小值.
20. （本小题15分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC=90º，AA1=AB=1，平面ABB1A1平面ABC.
（Ⅰ）求证：AB1A1C；
（Ⅱ）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
当直线A1C与平面ABC所成角为30º时，
（ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ACC1A1；
（ⅱ）求二面角B-A1C-A的正弦值.
条件①：AC1=A1C；
条件②：A1B=.
注：如果选择条件 = 1 \* GB3 ①和条件 = 2 \* GB3 ②分别解答，按第一个解答计分.
21.（本小题共15分）
设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记．
（Ⅰ）当时，若，，求和的值；
（Ⅱ）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于的，从集合中任取个两两互不相同的元素.
证明：存在，使得．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11．0.5 12． 13．；3
14．； 15． = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③ = 4 \* GB3 ④
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16.（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，所以,
因为，，所以,
所以，所以,
所以，所以. …………………………4分
（Ⅱ）平行，理由如下：
解法1：设与的夹角为，，
因为，所以，与平行. …………………………9分
解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立，
又因为， ，所以与共线，即与平行.
（Ⅲ）由（Ⅱ）及已知条件得：，
因为=12，
所以，
所以.
解法2：因为=12，
所以，
因为，，，
所以，所以. …………………………13分
17.（本小题14分）
解：（Ⅰ）由，
可得.
由频率分布直方图可知，110分以下的所占比例为，
因此，80%分位数一定位于内.
由，
估计该校高一年级航天知识竞赛成绩的80%分位数约为115分. ………………5分
（Ⅱ）（ = 1 \* rman i）由题意与的频率之比为2:3，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取3人. …………………………8分
（ = 2 \* rman ii）在分数段内抽取2人，分别记为，，
在分数段内抽取3人，分别记为，，.
从这5名学生中任取2人的样本空间，
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在内”为事件，
而事件包含7个可能结果，即，
所以，
故抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.……………14分
18.（本小题13分）
证明：（Ⅰ）因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
因为EF平面PAC，AC平面PAC，
所以EF∥平面PAC. …………………………6分
（Ⅱ）依题意知，平面∩平面PBC=FG,
因为直线PB∥平面，PB⊂平面PBC，
所以PB∥FG，因为F是线段BC中点，所以G是线段PC中点. …………13分
19.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，
由余弦定理得：，
因为A为三角形内角，所以. …………………………5分
（Ⅱ）（ = 1 \* rman i）由和，可知，
因为，在中，由余弦定理得：

，
所以，所以，
因为， 所以， 所以. …………………10分
（ = 2 \* rman ii）解法1：由和，可知，
因为，
所以，
又因为，所以，即，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以，
所以的面积的最小值为. …………………………15分
解法2：由和，可知，
因为,，所以
因为，所以,
在中，由正弦定理得：,
所以,
在中，,
所以

因为，所以,
所以当时，的面积的最小值为.
20.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为ABC=90º，所以，
因为平面ABB1A1平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，
所以BC平面ABB1A1，
因为AB1⊂平面ABB1A1，
所以BCAB1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以四边形ABB1A1是平行四边形，
因为AA1=AB，所以ABB1A1是菱形，
所以AB1A1B，
因为A1B∩BC=B，A1B，BC⊂平面A1BC，
所以AB1平面A1BC，
因为A1C⊂平面A1BC所以AB1A1C. …………………………6分
（Ⅱ）选条件①：
（ⅰ）因为AC1=A1C，所以平行四边形ACC1A1为矩形，所以AA1AC，
由（Ⅰ）知，AA1BC，
因为AC∩BC=C，BC，AC⊂平面ABC，
所以AA1平面ABC，
因为AA1⊂平面ACC1A1，所以平面ACC1A1平面ABC. ………………………11分
（ⅱ）因为AA1平面ABC， A1C∩平面ABC=C，
所以直线A1C与平面ABC所成的角为A1CA，所以A1CA=30º，
因为AA1=AB=1，所以A1C=2，AC=，BC=，A1B=
作BDAC于D，
因为平面ACC1A1平面ABC，
平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，
所以BD平面ACC1A1，所以BDA1C.
作DEA1C于E，连接BE，
因为BD∩DE=D，BD，DE⊂平面BDE，
所以A1C平面BDE，
因为BE⊂平面BDE，所以A1CBE，
所以是二面角B-A1C-A的平面角.
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以二面角B-A1C-A的正弦值为. …………………………15分
条件②：A1B=，因为AA1=AB，所以AA12+AB2=A1B2，所以AA1AB，
由（Ⅰ）知，AA1BC，
因为AB∩BC=B，BC，AB⊂平面ABC，
所以AA1平面ABC，
以下同条件①.
21.（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，
. …………………………4分
（Ⅱ）设，
令其中()
则，，
，则，
当，且()时，
由题意知，是奇数，(不同)是偶数，等价于是奇数，(不同)是偶数.
若是奇数时，则中等于1的个数为1或3，
所以,
且.
将上述集合中的元素分成如下四组：

经检验，每组中两个元素，均有，
所以每组中两个元素不可能同时是集合中的元素.
所以集合中元素的个数不超过4个.
当且时，或，所以
又集合满足条件.
所以集合中元素个数最大值为4个. …………………………10分
（Ⅲ）设，
，
，
则 且，
从集合中任取个两两互不相同的元素，
若存在两个不同元素同时属于一个，则，
记，
所以，存在，使得 ；
若任意两个不同元素都不同时属于一个，
则至多取个两两互不相同的元素，与已知取个两两互不相同的元素矛盾.
综上，存在，使得． …………………………15分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
D
C
C
B
D
A
C