2022中考数学真题分类训练含答案

这是一份2022中考数学真题分类训练含答案，共326页。试卷主要包含了1×1012 B，根据阅读材料,解决问题等内容，欢迎下载使用。

分类训练1实数(含二次根式)
命题点1实数的分类及正负数的意义
1(2022安徽)下列为负数的是( )
A.|-2| B.3 C.0 D.-5
2(2022常德)在 3317,3,-38,π,2 022这五个数中无理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3(2022百色)负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中,负数与对应的正数“数量相等,意义相反”,如果向东走5米,记作+5米,那么向西走5米,可记作 米.
命题点2数轴、相反数、倒数、绝对值
4(2022宜昌)下列说法正确的个数是( )
①-2 022的相反数是2 022;②-2 022的绝对值是2 022;③12022的倒数是2 022.
A.3 B.2 C.1 D.0
5(2022临沂)如图,点A,B位于数轴上原点两侧,且OB=2OA.若点B表示的数是6,则点A表示的数是( )
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
6(2022内江)如图,数轴上的两点A,B对应的实数分别是a,b,则下列式子中成立的是( )
A.1-2a>1-2b B.-a<-b C.a+b<0 D.|a|-|b|>0
命题点3科学记数法
7(2022呼和浩特)据2022年5月27日央视新闻报道,今年我国农发行安排夏粮收购准备金1 100亿元.数据“1 100亿”用科学记数法表示为( )
A.1.1×1012 B.1.1×1011 C.11×1010 ×1012
8(2022成都)2022年5月17日,工业和信息化部负责人在“2022世界电信和信息社会日”大会上宣布,我国目前已建成5G基站近160万个,成为全球首个基于独立组网模式规模建设5G网络的国家.将数据160万用科学记数法表示为( )
A.1.6×102 B.1.6×105 C.1.6×106D.1.6×107
9(2022河北)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为( )
A.4×104 m2 B.16×104 m2 C.1.6×105 m2D.1.6×104 m2
10(2022哈尔滨)风能是一种清洁能源,我国风能储量很大,仅陆地上风能储量就有253 000兆瓦,用科学记数法表示为 兆瓦.
11(2022天门)科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000 000 103 米,该直径用科学记数法表示为 米.
命题点4平方根、算术平方根、立方根
12(2022宜宾)4的平方根是( )
A.2 B.-2 C.±2 D.16
13(2022恩施州)9的算术平方根是 .
14(2022常州)化简:38= .
命题点5二次根式及其运算
角度1二次根式的性质
15(2022武汉)计算(-2)2的结果是 .
16(2022云南)若x+1有意义,则实数x的取值范围为 .
17(2022贺州)若实数m,n满足|m-n-5|+2m+n-4=0,则3m+n= .
角度2二次根式的运算
18(2022天津)计算(19+1)(19-1)的结果等于 .
19(2022山西)计算:18×12的结果为 .
20(2022泰安)计算:8×6-343= .
21(2022荆州)若3-2的整数部分为a,小数部分为b,则代数式 (2+2a)·b的值是 .
角度3二次根式的估值
22(2022天津)估计29的值在( )
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间D.6和7之间
23(2022泸州)与2+15最接近的整数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
24(2022临沂)满足m>|10-1|的整数m的值可能是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
命题点6实数的大小比较
25(2022达州)下列四个数中,最小的数是( )
A.0 B.-2 C.1 D.2
26(2022南充)比较大小:2-2 30.(填“>”“=”或“<”)
27(2022临沂)比较大小:33 22(填“>”“<”或“=”).
命题点7实数的运算
28(2022泰安)计算(-6)×(-12)的结果是( )
A.-3 B.3 C.-12 D.12
29(2022吉林)要使算式(-1)□3的运算结果最大,则“□”内应填入的运算符号为( )
A.+ B.- C.× D.÷
30(2022河南)《孙子算经》中记载:“凡大数之法,万万曰亿,万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系:1亿=1万×1万,1兆=1万×1万×1亿.则1兆等于( )
A.108 B.1012 C.1016 D.1024
31(2022扬州)掌握地震知识,提升防震意识.根据里氏震级的定义,地震所释放出的能量E与震级n的关系为E=k×101.5n(其中k为大于0的常数),那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的 倍.
32(2022临沂)计算:-23÷49×(16-13).
33(2022达州)计算:(-1)2 022+|-2|-(12)0-2tan 45°.
34(2022常德)计算:30-(12)-2sin 30°+8cs 45°.
分类训练2整式
命题点1整式的运算
1(2022陕西)计算:2x·(-3x2y3)=( )
A.6x3y3B.-6x2y3 C.-6x3y3D.18x3y3
2(2022泸州)下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a6B.3a-2a=1 C.(-2a2)3=-8a6D.a6÷a2=a3
3(2022成都)下列计算正确的是( )
A.m+m=m2
B.2(m-n)=2m-n
C.(m+2n)2=m2+4n2
D.(m+3)(m-3)=m2-9
4(2022成都)计算:(-a3)2= .
5(2022包头)若一个多项式加上3xy+2y2-8,结果得2xy+3y2-5,则这个多项式为 .
6(2022无锡)计算:a(a+2)-(a+b)(a-b)-b(b-3).
7(2022广西北部湾经济区)先化简,再求值:(x+y)(x-y)+(xy2-2xy)÷x,其中x=1,y=12.
8(2022苏州)已知3x2-2x-3=0,求(x-1)2+x(x+23)的值.
9(2022南充)先化简,再求值:(x+2)(3x-2)-2x(x+2),其中x=3-1.
10(2022吉林)下面是一道例题及其解答过程的一部分,其中A是关于m的多项式.请写出多项式A,并将该例题的解答过程补充完整.
命题点2因式分解
11(2022济宁)下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2-x-1=x(x-1)-1
B.x2-1=(x-1)2
C.x2-x-6=(x-3)(x+2)
D.x(x-1)=x2-x
12(2022江西)因式分解:a2-3a= .
13(2022北京)分解因式:xy2-x= .
14(2022无锡)分解因式:2a2-4a+2= .
命题点3列代数式及代数式求值
15(2022长沙)为落实“双减”政策,某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读,其中甲种读本的价格为10元/本,乙种读本的价格为8元/本,设购买甲种读本x本,则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元B.10(100-x)元 C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
16(2022邵阳)已知x2-3x+1=0,则3x2-9x+5= .
17(2022滨州)若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为 .
18(2022广西北部湾经济区)阅读材料:整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2,求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解:6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料,解决问题:若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解,则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是 .
19(2022济宁)已知a=2+5,b=2-5,求代数式a2b+ab2的值.
命题点4规律探索题
20(2022云南)按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,…,第n个单项式是( )
A.(2n-1)xnB.(2n+1)xn C.(n-1)xnD.(n+1)xn
21(2021嘉兴)观察下列等式:1=12-02,3=22-12,5=32-22,…,按此规律,则第n个等式为2n-1= .
分类训练3分式
命题点1分式有意义的条件
1(2022黄冈)若分式2x-1有意义,则x的取值范围是 .
命题点2分式值为0的条件
2(2022广西北部湾经济区)当x= 时,分式2xx+2的值为零.
命题点3分式的化简
3(2022山西)化简1a-3-6a2-9的结果是( )
A.1a+3 B.a-3 C.a+3 D.1a-3
4(2022威海)试卷上一个正确的式子(1a+b+1a-b)÷★=2a+b被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )
A.aa-b B.a-ba C.aa+b D.4aa2-b2
5(2022苏州)化简x2x-2-2xx-2的结果是 .
6(2022自贡)化简:a-3a2+4a+4·a2-4a-3+2a+2= .
7(2022河南)化简:x2-1x÷(1-1x).
8(2022天门)化简:(m2-9m2-6m+9-3m-3)÷m2m-3.
9(2022泰安)化简:(a-2-4a-2)÷a-4a2-4.
命题点4分式的化简求值
角度1已知字母的值
10(2022株洲)先化简,再求值:(1+1x+1)·x+1x2+4x+4,其中x=4.
11(2022达州)化简求值:a-1a2-2a+1÷(a2+aa2-1+1a-1),其中a=3-1.
角度2结合实数的运算
12(2022滨州)先化简,再求值:(a+1-3a-1)÷a2+4a+4a-1,其中a=tan 45°+(12)-1-π0.
13(2022荆州)先化简,再求值:(aa2-b2-1a+b)÷ba2-2ab+b2,其中a=(13)-1,b=(-2 022)0.
角度3结合方程
14(2022南充)已知a>b>0,且a2+b2=3ab,则(1a+1b)2÷(1a2-1b2)的值是( )
A.5 B.-5 C.55 D.-55
15(2022宜昌)求代数式 3x+2yx2-y2+xy2-x2 的值,其中x=2+y.
角度4结合不等式组
16(2022广元)先化简,再求值:2x2+x÷(1-x-1x2-1),其中x是不等式组2(x-1)角度5自选值代入
17(2022邵阳)先化简,再从-1,0,1,3中选择一个合适的x值代入求值.
(1x+1+1x2-1)÷xx-1.
阶段测评一数与式
一、选择题(本题有8小题,每小题3分,共24分)
1(2022山西)-6的相反数是( )
A.6B.16C.-16D.-6
2(2022滨州)某市冬季中的一天,中午12时的气温是-3 ℃,经过6小时气温下降了7 ℃,那么当天18时的气温是 ( )
A.10 ℃ B.-10 ℃ C.4 ℃ D.-4 ℃
3(2022河南)下列运算正确的是( )
A.23-3=2 B.(a+1)2=a2+1 C.(a2)3=a5 D.2a2·a=2a3
4(2022北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( )
A.a<-2B.b<1 C.a>b D.-a>b
5(2022随州)2022年6月5日10时44分,神舟十四号载人飞船成功发射,将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位航天员送入了中国空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为7.7×103 m/s,则中国空间站绕地球运行2×102 s 走过的路程(m)用科学记数法可表示为( )
A.15.4×105 ×106 C.15.4×106 ×107
6(2021广东)已知9m=3,27n=4,则32m+3n=( )
A.1 B.6 C.7 D.12
7(2022重庆A卷)估计3×(23+5)的结果应在( )
A.10和11之间 B.9和10之间 C.8和9之间 D.7和8之间
8(2022河北)若x和y互为倒数,则(x+1y)(2y-1x)的值是( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题(本题有8小题,每小题3分,共24分)
9(2022宁波)请写出一个大于2的无理数: .
10(2022常德)要使代数式xx-4有意义,则x的取值范围为 .
11(2022常德)分解因式:x3-9xy2= .
12(2022哈尔滨)计算3+313的结果是 .
13(2022泸州)若(a-2)2+|b+3|=0,则ab= .
14(2022南充)若8−x为整数,x为正整数,则x的值是 .
15(2022温州)计算:x2+xyxy+xy-x2xy= .
16(2022成都)已知2a2-7=2a,则代数式(a-2a-1a)÷a-1a2的值为 .
三、解答题(本题有5小题,共35分)
17(6分)(2022广元)计算:2sin 60°-|3-2|+(π-10)0-12+(-12)-2.
18(6分)(2022北京)已知x2+2x-2=0,求代数式x(x+2)+(x+1)2的值.
19(7分)(2022江西)以下是某同学化简分式(x+1x2-4-1x+2)÷3x-2的部分运算过程:
解:原式=[x+1(x+2)(x-2)-1x+2]×x-23①
=[x+1(x+2)(x-2)-x-2(x+2)(x-2)]×x-23②
=x+1−x-2(x+2)(x-2)×x-23③
…
解:
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误;
(2)请你写出完整的解答过程.
20(7分)(2022张家界)先化简(1-1a-1)÷a-22+a-1a2-2a+1,再从1,2,3中选一个适当的数代入求值.
21(9分)(2022河北)发现 两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证 如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和;
探究 设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
分类训练4方程(组)及其应用
命题点1一次方程(组)的解法及解的应用
1(2022百色)方程3x=2x+7的解是( )
A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
2(2022株洲)对于二元一次方程组y=x-1,①x+2y=7,②将①式代入②式,消去y可以得到( )
A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7 C.x+x-1=7D.x+2x+2=7
3(2022随州)已知二元一次方程组x+2y=4,2x+y=5,则x-y的值为 .
4(2022呼和浩特)解方程组4x+y=5,x-12+y3=2.
5(2022荆州)已知方程组x+y=3,①x-y=1②的解满足2kx-3y<5,求k的取值范围.
命题点2解分式方程
6(2022北京)方程2x+5=1x的解为 .
7(2022成都)分式方程3−xx-4+14−x=1的解是 .
8(2022常德)方程 2x+1x(x-2)=52x的解为 .
9(2022苏州)解方程:xx+1+3x=1.
10(2022青海)解方程:xx-2-1=4x2-4x+4.
命题点3分式方程的解的应用
11(2022德阳)如果关于x的方程2x+mx-1=1的解是正数,那么m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m>-1且m≠0 C.m<-1 D.m<-1且m≠-2
12(2021达州)若分式方程2x-ax-1-4=-2x+ax+1的解为整数,则整数a= .
命题点4一元二次方程的解法及解的应用
13(2022天津)方程x2+4x+3=0的两个根为( )
A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3
14(2022临沂)方程x2-2x-24=0的根是( )
A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
15(2022宜宾)已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,则m2+mn+2m的值为( )
A.0 B.-10 C.3 D.10
16(2022广东)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,则a= .
17(2022黄冈)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个根是x1,x2,则x1·x2的值是 .
18(2022鄂州)若实数a,b分别满足a2-4a+3=0, b2-4b+3=0,且a≠b,则1a+1b的值为 .
19(2022无锡)解方程:x2-2x-5=0.
20(2022齐齐哈尔)解方程:(2x+3)2=(3x+2)2.
命题点5一元二次方程根的判别式
21(2022北京)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )
A.-4 B.-14 C.14 D.4
22(2022抚顺)下列一元二次方程无实数根的是( )
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
23(2022滨州)一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情况为( )
A.无实数根
B.有两个不等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.不能判定
24(2022随州)已知关于x的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1x2=5,求k的值.
25(2022南充)已知关于x的一元二次方程 x2+3x+k-2=0有实数根.
(1)求实数k的取值范围;
(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=-1,求k的值.
命题点6方程的实际应用
角度1变化率问题
26(2022重庆A卷)小区新增了一家快递店,第一天揽件200件,第三天揽件242件,设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.200(1+x)2=242B.200(1-x)2=242
C.200(1+2x)=242D.200(1-2x)=242
27(2022哈尔滨)某种商品原来每件售价为150元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为96元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是( )
A.150(1-x2)=96B.150(1-x)=96
C.150(1-x)2=96D.150(1-2x)=96
角度2购买、销售问题
28(2022牡丹江)某商品的进价为每件10元,若按标价打八折售出后,每件可获利2元,则该商品的标价为每件 元.
29(2022重庆A卷)为进一步改善生态环境,村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算,这三座山各需两种树木数量和之比为5∶6∶7,需香樟数量之比为4∶3∶9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3.在实际购买时,香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发现所花费用恰好与预算费用相等,则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 .
30(2022广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价分别是多少.
角度3分配问题
31(2021北京)某企业有A,B两条加工相同原材料的生产线.在一天内,A生产线共加工a吨原材料,加工时间为(4a+1)小时;在一天内,B生产线共加工b吨原材料,加工时间为(2b+3)小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到A,B两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为 .第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给A生产线分配了m吨原材料,给B生产线分配了n吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则mn的值为 .
角度4生产、工程问题
32(2022云南)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.400x-50=300xB.300x-50=400x
C.400x+50=300xD.300x+50=400x
33(2022宜昌)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量.
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元,5月份再生纸产量比上月增加m%,5月份每吨再生纸的利润比上月增加m2%,则5月份再生纸项目月利润达到66万元,求m的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
角度5行程问题
34(2022济宁)一辆汽车开往距出发地420 km的目的地,若这辆汽车比原计划每小时多行10 km,则提前1 h到达目的地.设这辆汽车原计划的速度是x km/h,根据题意所列方程是( )
A.420x=420x-10+1B.420x+1=420x+10
C.420x=420x+10+1D.420x+1=420x-10
35(2022重庆A卷)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2千米,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度;
(2)若乙先骑行20分钟,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
角度6几何问题
36(2022泰州)如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少?
角度7其他问题
37(2022宜昌)五一小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( )
A.30B.26C.24D.22
38(2022安徽)某地区2020年进出口总额为520亿元,2021年进出口总额比2020年有所增加,其中进口额增加了25%,出口额增加了30%.
注:进出口总额=进口额+出口额.
(1)设2020年进口额为x亿元,出口额为y亿元,请用含x,y的代数式填表:
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元,求2021年进口额和出口额分别是多少亿元.
分类训练5不等式(组)及其应用
命题点1不等式的性质
1(2022杭州)已知a,b,c,d是实数,若a>b,c=d,则( )
A.a+c>b+dB.a+b>c+d
C.a+c>b-dD.a+b>c-d
2(2022包头)若m>n,则下列不等式中正确的是( )
A.m-2-12n
C.n-m>0 D.1-2m<1-2n
命题点2解不等式(组)及其解集在数轴上的表示
3(2022株洲)不等式4x-1<0的解集是( )
A.x>4 B.x<4 C.x>14D.x<14
4(2022福建)不等式组x-1>0,x-3≤0的解集是( )
A.x>1 B.15(2022滨州)把不等式组x-3<2x,x+13≥x-12中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来,正确的为( )
6(2022连云港)解不等式2x-1>3x-12,并把它的解集在数轴上表示出来.
7(2022天津)解不等式组2x≥x-1,①x+1≤3.②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 .
(Ⅱ)解不等式②,得 .
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
命题点3不等式(组)的特殊解
角度1求特殊解
8(2022大庆)满足不等式组2x-5≤0,x-1>0的整数解是 .
9(2021张家界)不等式组x>2,2x+1≤7 的正整数解为 .
角度2根据解集的情况求字母的取值范围
10(2022邵阳)关于x的不等式组-13x>23-x,12x-1<12(a-2)有且只有三个整数解,则a的最大值是( )
A.3B.4C.5D.6
命题点4一次不等式的实际应用
11(2022山西)某品牌护眼灯的进价为240元,商店以320元的价格出售.“五一节”期间,商店为让利于顾客,计划以利润率不低于20%的价格降价出售,则该护眼灯最多可降价 元.
12(2021黄冈)2021年是中国共产党建党100周年,红旗中学以此为契机,组织本校师生参加红色研学实践活动,现租用甲、乙两种型号的大客车(每种型号至少一辆)送549名学生和11名教师参加此次实践活动,每辆客车上至少要有一名教师.
甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示:
(1)共需租 辆大客车.
(2)最多可以租用多少辆甲种型号大客车?
(3)有几种租车方案?哪种租车方案最节省钱?
命题点5不等式与方程结合的实际应用
13(2022黄冈)某班去革命老区研学旅行,研学基地有甲、乙两种快餐可供选择,买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元?
(2)已知该班共买55份甲、乙两种快餐,所花快餐费不超过1 280元,问至少买乙种快餐多少份.
14(2022达州)某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场,就用4 000元购进一批这种T恤衫,面市后果然供不应求.商场又用8 800元购进了第二批这种T恤衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但每件的进价贵了4元.
(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?
(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出,要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件T恤衫的标价至少是多少元?
阶段测评二方程与不等式
一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)
1(2022吉林)y与2的差不大于0,用不等式表示为( )

A.y-2>0B.y-2<0 C.y-2≥0D.y-2≤0
2(2022杭州)某体育比赛的门票分A票和B票两种,A票每张x元,B票每张y元.已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元,则( )
A.|10x19y|=320B.|10y19x|=320 C.|10x-19y|=320D.|19x-10y|=320
3(2022荆州)关于x的方程x2-3kx-2=0实数根的情况,下列判断正确的是( )
A.有两个相等实数根
B.有两个不相等实数根
C.没有实数根
D.有一个实数根
4(2022济宁)若关于x的不等式组x-a>0,7−2x>5仅有3个整数解,则a的取值范围是( )
A.-4≤a<-2 B.-35(2022恩施州)一艘轮船在静水中的速度为30 km/h,它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等,江水的流速为多少?设江水流速为v km/h,则符合题意的方程是( )
A.14430+v=9630−v B.14430−v=96v C.14430−v=9630+v D.144v=9630+v
6(2021龙东地区)为迎接2022年北京冬奥会,某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动,计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品(两种奖品都购买),奖励表现突出的学生,已知甲种奖品每件15元,乙种奖品每件10元,则购买方案有( )
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
7(2022泸州)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的值为( )
A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3
8(2022呼和浩特)已知x1,x2是方程x2-x-2 022=0的两个实数根,则代数式x13-2 022x1+x22的值是( )
A.4 045 B.4 044 C.2 022 D.1
9(2022重庆A卷)若关于x的一元一次不等式组x-1≥4x-13,5x-1A.-26 B.-24 C.-15 D.-13
10(2022河北)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是( )
A.依题意3×120=x-120
B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120
C.该象的重量是5 040斤
D.每块条形石的重量是260斤
二、填空题(本题有4小题,每小题3分,共12分)
11(2022泸州)若方程x-3x-2+1=32−x的解使关于x的不等式(2-a)x-3>0成立,则实数a的取值范围是 .
12(2022成都)若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根,则这个直角三角形斜边的长是 .
13(2022日照)关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1,x2,且x12+x22=316,则m= .
14(2022陕西)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为 米.
三、解答题(本题有7小题,共64分)
15(8分)(2022扬州)解不等式组x-2≤2x,x-1<1+2x3,并求出它的所有整数解的和.
16(8分)(2022十堰)已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为α,β,且α+2β=5,求m的值.
17(9分)(2022邵阳)2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行.某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个,“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11 400元,请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量;
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个,“冰墩墩”挂件售价定为60元/个,若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完,且至少盈利2 900元,求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个.
18(9分)(2022抚顺)麦收时节,为确保小麦颗粒归仓,某农场安排A,B两种型号的收割机进行小麦收割作业.已知一台A型收割机比一台B型收割机平均每天多收割2公顷小麦,一台A型收割机收割15公顷小麦所用时间与一台B型收割机收割9公顷小麦所用时间相同.
(1)一台A型收割机和一台B型收割机平均每天分别收割小麦多少公顷?
(2)该农场安排两种型号的收割机共12台同时进行小麦收割作业,为确保每天完成不少于50公顷的小麦收割任务,至少要安排多少台A型收割机?
19(10分)(2022哈尔滨)绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A,B两种型号的颜料,若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元;若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元.
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料分别多少元.
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒,总费用不超过3 920元,那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料?
20(10分)(2022长沙)电影《刘三姐》中,有这样一个场景,罗秀才摇头晃脑地吟唱道:“三百条狗交给你,一少三多四下分,不要双数要单数,看你怎样分得匀.”该歌词表达的是一道数学题.其大意是:把300条狗分成4群,每个群里,狗的数量都是奇数,其中一个群,狗的数量少,另外三个群,狗的数量多且数量相同.问:应该如何分?请你根据题意解答下列问题:
(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案:“九十九条打猎去,九十九条看羊来,九十九条守门口,剩下三条给财主.”请你根据以上信息,判断以下三种说法是否正确,在题后相应的括号内,正确的打“√”,错误的打“✕”.
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的,但不是唯一正确的答案.( )
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案.( )
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数种.( )
(2)若罗秀才再增加一个条件:“数量多且数量相同的三个群里,每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条.”求每个群里狗的数量.
21(10分)(2022呼和浩特)今年我市某公司分两次采购了一批土豆,第一次花费30万元,第二次花费50万元,已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元,第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元,第二次采购的数量是第一次采购的数量的2倍.
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元.
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉,因设备原因,两种产品不能同时加工.若单独加工成薯片,每天可加工5吨土豆,每吨土豆获利700元;若单独加工成淀粉,每天可加工8吨土豆,每吨土豆获利400元.由于出口需要,所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天,其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23,为获得最大利润,应将多少吨土豆加工成薯片?最大利润是多少?
分类训练6平面直角坐标系与函数
命题点1平面直角坐标系中点的坐标特征
1(2022长沙)在平面直角坐标系中,点(5,1)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(-5,1) B.(5,-1) C.(1,5) D.(-5,-1)
2(2022扬州)在平面直角坐标系中,点P(-3,a2+1)所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3(2022金华)如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是( )
A.超市 B.医院 C.体育场 D.学校
4(2022宜昌)如图是一个教室平面示意图,我们把小刚的座位“第1列第3排”记为(1,3).若小丽的座位为(3,2),以下四个座位中,与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是( )
A.(1,3) B.(3,4) C.(4,2) D.(2,4)
命题点2函数自变量的取值范围
5(2022无锡)函数y=4−x中自变量x的取值范围是( )
A.x>4B.x<4C.x≥4D.x≤4
6(2022哈尔滨)在函数y=x5x+3中,自变量x的取值范围是 .
7(2022娄底)函数y=1 x-1的自变量x的取值范围是 .
命题点3函数图象的分析
角度1实际问题
8(2022重庆A卷)如图,曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况,则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( )
A.5 mB.7 mC.10 mD.13 m
9(2022武汉)匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线).这个容器的形状可能是( )
10(2022宜昌)如图是小强散步过程中所走的路程s(单位:m)与步行时间t(单位:min)的函数图象.其中有一时间段小强是匀速步行的.则这一时间段小强的步行速度为( )
A.50 m/min B.40 m/min C.2007 m/min D.20 m/min
11(2022临沂)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,汽车离开A城的距离 y(单位:km)与时间x(单位:h)的对应关系如图所示.下列说法中不正确的是( )
A.甲车行驶到距A城240 km处,被乙车追上
B.A城与B城的距离是300 km
C.乙车的平均速度是80 km/h
D.甲车比乙车早到B城
12(2022随州)已知张强家、体育场、文具店在同一直线上.如图反映的过程是:张强从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔,然后散步走回家.图中x表示时间,y表示张强离家的距离.则下列结论不正确的是( )
A.张强从家到体育场用了15 min
B.体育场离文具店1.5 km
C.张强在文具店停留了20 min
D.张强从文具店回家用了35 min
13(2022苏州)一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3分钟时,再打开出水管排水,8分钟时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完.在整个过程中,容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示,则图中a的值为 .
14(2022天津)在“看图说故事”活动中,某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上,阅览室离学生公寓1.2 km,超市离学生公寓2 km.小琪从学生公寓出发,匀速步行了12 min到阅览室;在阅览室停留70 min后,匀速步行了10 min到超市;在超市停留20 min后,匀速骑行了8 min返回学生公寓.给出的图象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离y km与离开学生公寓的时间x min之间的对应关系.
请根据相关信息,解答下列问题:
(Ⅰ)填表:
(Ⅱ)填空:
①阅览室到超市的距离为 km.
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/min.
③当小琪离学生公寓的距离为1 km时,他离开学生公寓的时间为 .
(Ⅲ)当0≤x≤92时,请直接写出y关于x的函数解析式.
角度2几何图形中的动点问题
15(2022齐齐哈尔)如图(1)所示(图中各角均为直角),动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动,△AFP的面积y与点P运动的时间x(秒)之间的函数关系图象如图(2)所示,下列说法正确的是( )
图(1) 图(2)
A.AF=5 B.AB=4 C.DE=3 D.EF=8
16(2022黄冈)如图(1),在△ABC中,∠B=36°,动点P从点A出发,沿折线A→B→C匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为1 cm/s,设点P的运动时间为t(s),AP的长度为y(cm),y与t的函数图象如图(2)所示.当AP恰好平分∠BAC时t的值为 .
图(1) 图(2)
命题点4函数图象的判断
角度1实际问题
17(2022北京)下面的三个问题中都有两个变量:
①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;
②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;
③用长度一定的绳子围成一个矩形,矩形的面积y与一边长x.
其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )
A.①②B.①③ C.②③D.①②③
18(2022温州)小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示,他离家的路程为s米,所经过的时间为t分钟,下列选项中的图象,能近似刻画s与t之间关系的是( )
A B C D
角度2几何图形问题
19(2022天门)如图,边长分别为1和2的两个正方形,其中有一条边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形的面积为S1,小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2,若S=S1-S2,则S随t变化的函数图象大致为( )
20(2021通辽)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P,Q同时从点A出发,点P沿A→B→C的路径运动,点Q沿A→D→C的路径运动,点P,Q的运动速度相同,当点P到达点C时,点Q也随之停止运动,连接PQ.设点P的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A B
C D
21(2021黄冈)如图,AC为矩形ABCD的对角线,已知AD=3,CD=4.点P沿折线CAD以每秒1个单位长度的速度运动(运动到D点停止),过点P作PE⊥BC于点E,则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是( )
22(2021苏州)如图,线段AB=10,点C,D在AB上,AC=BD=1.已知点P从点C出发,以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动,到达点D后停止移动.在点P移动过程中作如下操作:先以点P为圆心,PA,PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形,再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面,设点P的移动时间为t(秒),两个圆锥的底面面积之和为S,则S关于t的函数图象大致是( )
分类训练7一次函数
命题点1一次函数的图象与性质
1(2022株洲)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为( )
A.(0,-1)B.(-15,0) C.(15,0)D.(0,1)
2(2022凉山州)一次函数y=3x+b(b≥0)的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3(2022广安)在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的解析式是( )
A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1
4(2022邵阳)在直角坐标系中,已知点A(32,m),点B( 72,n)是直线y=kx+b(k<0)上的两点,则m,n的大小关系是( )
A.mn C.m≥n D.m≤n
5(2022抚顺)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2,下列结论正确的是( )
A.k1·k2<0 B.k1+k2<0 C.b1-b2<0 D.b1·b2<0
6(2022河南)请写出一个y随x的增大而增大的一次函数的表达式: .
7(2022德阳)如图,已知点A(-2,3),B(2,1),直线y=kx+k经过点P(-1,0).试探究:直线与线段AB有交点时k的变化情况,猜想k的取值范围是 .
8(2022北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象过点(4,3),(-2,0),且与y轴交于点A.
(1)求该函数的解析式及点A的坐标;
(2)当x>0时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值,直接写出n的取值范围.
命题点2一次函数与方程、不等式结合
9(2022陕西)在同一平面直角坐标系中,直线y=-x+4与y=2x+m相交于点P(3,n),则关于x,y的方程组x+y-4=0,2x-y+m=0的解为( )
A.x=−1,y=5 B.x=1,y=3 C.x=3,y=1 D.x=9,y=−5
10(2022鄂州)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0)的图象与直线y=13x都经过点A(3,1),当kx+b<13x时,根据图象可知,x的取值范围是( )
A.x>3 B.x<3 C.x<1 D.x>1
11(2021嘉兴)已知点P(a,b)在直线y=-3x-4上,且2a-5b≤0,则下列不等式一定成立的是( )
A.ab≤52 B.ab≥52 C.ba≥25 D.ba≤25
命题点3一次函数的实际应用
角度1行程问题
12(2021陕西)在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中,“鼠”先从起点出发,1 min后,“猫”从同一起点出发去追“鼠”,抓住“鼠”并稍作停留后,“猫”抓着“鼠”沿原路返回.“鼠”“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示.
(1)在“猫”追“鼠”的过程中,“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 m/min;
(2)求AB的函数表达式;
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间.
13(2022湖州)某校组织学生从学校出发,乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后,学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时,轿车行驶的速度是60千米/时.
(1)轿车出发后多少小时追上大巴?此时,两车与学校相距多少千米?
(2)如图,图中OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的解析式.
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶,轿车行驶了1.5小时追上大巴,求a的值.
角度2方案选取问题
14(2021宁波)某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案,如下表:
A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系如图所示.
(1)请直接写出m,n的值.
(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1 024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式.
(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算?
角度3最值问题
15(2022云南)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元?
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液的数量的2倍,怎样购买,才能使总费用W最少?并求出最少费用.
16(2022福建)在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中,八年级(1)班负责校园某绿化角的设计、种植与养护.同学们约定每人养护一盆绿植,计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆,且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍.已知绿萝每盆9元,吊兰每盆6元.
(1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰, 问可购买绿萝和吊兰分别多少盆.
(2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案,请求出购买两种绿植总费用的最小值.
17(2022南充)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种商品,它们的进价和售价如下表.用15 000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价-进价)
(1)求真丝衬衣进价a的值.
(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?
(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?
角度4其他问题
18(2022哈尔滨)一辆汽车油箱中剩余的油量y(L)与已行驶的路程x(km)的对应关系如图所示,如果这辆汽车每千米的耗油量相同,当油箱中剩余的油量为35 L时,那么该汽车已行驶的路程为( )
A.150 kmB.165 km C.125 kmD.350 km
19(2022吉林)李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快,在一段时间内,水温y(℃)与加热时间x(s)之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如图所示.
(1)加热前水温是 ℃.
(2)求乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式.
(3)当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是 ℃.
20(2022绍兴)一个深为6米的水池积存着少量水,现在打开水阀进水,下表记录了2小时内5个时刻的水位高度,其中x表示进水用时(单位:时),y表示水位高度(单位:米).
为了描述水池水位高度与进水用时的关系,现有以下三种函数模型供选择:y=kx+b(k≠0),y=ax2+bx+c(a≠0),y=kx(k≠0).
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,再选出最符合实际的函数模型,求出相应的函数表达式,并画出这个函数的图象.
(2)当水位高度达到5米时,求进水用时x.
命题点4一次函数与几何知识的综合
21(2022泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的顶点B的坐标为(10,4),四边形ABEF是菱形,且tan∠ABE=43.若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分,则直线l的解析式为( )
A.y=3xB.y=-34x+152 C.y=-2x+11D.y=-2x+12
22(2021扬州)如图,一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B,把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C,则线段AC长为( )
A.6+2 B.32
C.2+3 D.3+2
23(2021成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=33x+233与☉O相交于A,B两点,且点A在x轴上,则弦AB的长为 .
分类训练8反比例函数
基础分类题目
命题点1反比例函数的图象与性质
1(2022云南)反比例函数y=6x的图象分别位于( )
A.第一、第三象限 B.第一、第四象限 C.第二、第三象限 D.第二、第四象限
2(2022海南)若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,-3),则它的图象也一定经过的点是( )
A.(-2,-3) B.(-3,-2) C.(1,-6) D.(6,1)
3(2022天津)若点A(x1,2),B(x2,-1),C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x1C.x14(2022武汉)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=6x的图象上,且x1<0A.y1+y2<0B.y1+y2>0
C.y1y2
5(2022温州)已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一支如图所示,它经过点(3,-2).
(1)求这个反比例函数的表达式,并补画该函数图象的另一支.
(2)求当y≤5,且y≠0时自变量x的取值范围.
命题点2反比例函数解析式中|k|的几何意义
6(2022邵阳)如图是反比例函数y=1x的图象,点A(x,y)是反比例函数图象上任意一点,过点A作AB⊥x轴于点B,连接OA,则△AOB的面积是 ( )
A.1B.12C.2D.32
7(2022株洲)如图所示,矩形ABCD的顶点A,D在y轴上,顶点C在第一象限,x轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6.若反比例函数y=kx的图象经过点C,则k的值为 .
8(2022济宁)如图,A是双曲线y=8x(x>0)上的一点,点C是OA的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,交双曲线于点B,则△ABD的面积是 .

(第8题) (第9题)
9(2022安徽)如图,▱OABC的顶点O是坐标原点,A在x轴的正半轴上,B,C在第一象限,反比例函数y=1x的图象经过点C,y=kx(k≠0)的图象经过点B.若OC=AC,则k= .
命题点3反比例函数的实际应用
10(2022扬州)某市举行中学生党史知识竞赛,如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是( )
甲B.乙C.丙D.丁
11(2022河北)某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需12天.若m个人共同完成需n天,选取6组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是( )
命题点4反比例函数与几何图形的综合题
12(2022绍兴)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,4),B(3,4),将△ABO向右平移到△CDE位置,A的对应点是C,O的对应点是E,函数y=kx(k≠0)的图象经过点C和DE的中点F,则k的值是 .
13(2022金华)如图,点A在第一象限内,AB⊥x轴于点B,反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象分别交AO,AB于点C,D.已知点C的坐标为(2,2),BD=1.
(1)求k的值及点D的坐标.
(2)已知点P在该反比例函数图象上,且在△ABO的内部(包括边界),直接写出点P的横坐标x的取值范围.
14(2022泰安)如图,点A在第一象限,AC⊥x轴,垂足为C,OA=25,tan A=12,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过OA的中点B,与AC交于点D.
(1)求k的值;
(2)求△OBD的面积.
命题点5反比例函数与一次函数的综合题
15(2022宁波)如图,正比例函数y=-23x的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象都经过点A(a,2).
(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式.
(2)若点P(m,n)在该反比例函数的图象上,且它到y轴的距离小于3,请根据图象直接写出n的取值范围.
16(2022泸州)如图,直线y=-32x+b与反比例函数y=12x的图象相交于点A,B,已知点A的纵坐标为6.
(1)求b的值;
(2)若点C是x轴上一点,且△ABC的面积为3,求点C的坐标.
17(2022呼和浩特)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于A,B两点,且点A的横坐标为1,过点B作BE∥x轴,过点A作AD⊥BE于点D,C(72,-12)是直线BE上一点,且AC=2CD.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象,请直接写出不等式kx+b-mx<0的解集.
综合提升题组

一、选择题(本题有3小题,每小题3分,共9分)
1(2022滨州)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+1与y=-kx(k为常数且k≠0)的图象大致是( )
2(2022无锡)一次函数y=mx+n的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A,B,其中点A,B的坐标为A(-1m,-2m),B(m,1),则△OAB的面积为( )
A.3 B.134C.72D.154
3(2022十堰)如图,正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x(k1>0)和y=k2x(k2>0)的图象上.若BD∥y轴,点D的横坐标为3,则k1+k2=( )
A.36B.18C.12D.9
二、填空题(本题有2小题,每小题3分,共6分)
4(2022随州)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=kx的图象在第一象限交于点C,若AB=BC,则k的值为 .
5(2022宜宾)如图,△OMN是边长为10的等边三角形,反比例函数y=kx(x>0)的图象与边MN,OM分别交于点A,B(点B不与点M重合).若AB⊥OM于点B,则k的值为 .
三、解答题(本题有4小题,共36分)
6(7分)(2022广州)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V (V为定值,单位:m3)的圆柱形天然气储存室,储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求储存室的容积V的值;
(2)受地形条件限制,储存室的深度d需要满足16≤d≤25,求储存室的底面积S的取值范围.
7(8分)(2022重庆A卷)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=4x的图象相交于点A(1,m),B(n,-2).
(1)求一次函数的表达式,并在图中画出这个一次函数的图象;
(2)根据函数图象,直接写出不等式kx+b>4x的解集;
(3)若点C是点B关于y轴的对称点,连接AC,BC,求△ABC的面积.
8(10分)(2022杭州)设函数y1=k1x,函数y2=k2x+b(k1,k2,b是常数,k1≠0,k2≠0).
(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(1,m),点B(3,1),
①求函数y1,y2的表达式;
②当2(2)若点C(2,n)在函数y1的图象上,点C先向下平移2个单位,再向左平移4个单位,得点D,点D恰好落在函数y1的图象上,求n的值.
9(11分)(2022达州)如图,一次函数y=x+1与反比例函数y=kx的图象相交于A(m,2),B两点,分别连接OA,OB.
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)求△AOB的面积.
(3)在平面内是否存在一点P,使以点O,B,A,P为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分类训练9二次函数的图象与性质
基础分类题组
命题点1二次函数的基本性质
1(2022哈尔滨)抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是( )
A.(9,-3)B.(-9,-3)
C.(9,3)D.(-9,3)
2(2022兰州)已知二次函数y=2x2-4x+5,当函数值y随x值的增大而增大时,x的取值范围是( )
A.x<1 B.x>1
C.x<2 D.x>2
3(2022温州)已知点A(a,2),B(b,2),C(c,7)都在抛物线y=(x-1)2-2上,点A在点B左侧,下列选项正确的是( )
A.若c<0,则aB.若c<0,则aC.若c>0,则aD.若c>0,则a4(2022陕西)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是( )
A.y1C.y35(2022泰安)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表:
下列结论不正确的是( )
A.抛物线的开口向下
B.抛物线的对称轴为直线x=12
C.抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0)
D.函数y=ax2+bx+c的最大值为254
6(2022绍兴)已知函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,-3),(-6,-3).
(1)求b,c的值.
(2)当-4≤x≤0时,求y的最大值.
(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.
命题点2二次函数图象的变换
7(2022湖州)把抛物线y=x2向上平移3个单位长度,所得抛物线的解析式是( )
A.y=x2+3B.y=x2-3
C.y=(x+3)2D.y=(x-3)2
8(2022泸州)抛物线y=-12x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是( )
A.y=-12x2+x
B.y=-12x2-4
C.y=-12x2+2 021x-2 022
D.y=-x2+x+1
9(2022无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: .
10(2022河北)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.
11(2022嘉兴)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
(1)求抛物线L1的函数表达式.
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值.
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3,若点B(1,y1),C(3,y2)在抛物线L3上,且y1>y2,求n的取值范围.
12(2022济宁)已知抛物线C1:y=-12(m2+1)x2-(m+1)x-1与x轴有公共点.
(1)当y随x的增大而增大时,求自变量x的取值范围.
(2)将抛物线C1先向上平移4个单位长度,再向右平移n个单位长度得到抛物线C2(如图所示),抛物线C2与x轴交于点A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C.当OC=OA时,求n的值.
(3)D为抛物线C2的顶点,过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线,垂足为G,交抛物线C2于点E,连接BE交l于点F.求证:四边形CDEF是正方形.
命题点3二次函数的图象与系数a,b,c的关系
13(2022株洲)已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
14(2022成都)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(-1,0),B两点,对称轴是直线x=1,下列说法正确的是( )
A.a>0
B.当x>-1时,y的值随x值的增大而增大
C.点B的坐标为(4,0)
D.4a+2b+c>0
15(2022滨州)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2,0),B(6,0),与y轴相交于点C,小红同学得出了以下结论:
①b2-4ac>0;
②4a+b=0;
③当y>0时,-2④a+b+c<0.
其中正确的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
16(2022鄂州)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象顶点为P(1, m),经过点A(2,1).有以下结论:①a<0;②abc>0;③4a+2b+c=1;④x>1时,y随x的增大而减小;⑤对于任意实数t,总有at2+bt≤a+b,其中正确的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
17(2022随州)如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0),对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )

①abc>0;②2a+b=0;③函数y=ax2+bx+c的最大值为-4a;④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,则-15A.1个B.2个C.3个D.4个
命题点4二次函数与方程、不等式结合
18(2022潍坊)抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,则c的值为( )
A.-14 B.14 C.-4 D.4
19(2022绍兴)已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是( )
A.0,4B.1,5
C.1,-5D.-1,5
20(2021贺州)如图,已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点,则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是( )
A.x≤-3或x≥1B.x≤-1或x≥3
C.-3≤x≤1D.-1≤x≤3
21(2022天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,0①2a+b<0;②当x>1时,y随x的增大而增大;③关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0有两个不相等的实数根.
其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1C.2D.3
22(2022内江)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(x1,0),(2,0),其中00;③2a-c>0;④不等式ax2+bx+c>-cx1x+c的解集为0A.4 B.3 C.2 D.1
综合提升题组
一、选择题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
1(2022宁波)点A(m-1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x-1)2+n的图象上.若y1A.m>2B.m>32
C.m<1D.322(2022杭州)已知二次函数y=x2+ax+b(a,b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1,0);命题②:该函数的图象经过点(3,0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x=1.如果这四个命题中只有一个命题是假命题,则这个假命题是( )
A.命题①B.命题②
C.命题③D.命题④
3(2022宜宾)已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点,则a的取值范围是( )
A.a≥13B.a>13
C.04(2022南充)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线y=mx2-2m2x+n(m≠0)上,当x1+x2>4且x1A.0C.m>2D.m<-2
5(2022嘉兴)已知点A(a,b),B(4,c)在直线y=kx+3(k为常数,k≠0)上,若ab的最大值为9,则c的值为( )
A.1B.32C.2D.52
6(2022达州)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,与y轴交于(0,-1),对称轴为直线x=1.以下结论:①abc>0;②a>13;③对于任意实数m,都有m(am+b)>a+b成立;④若(-2,y1),(12,y2),(2,y3)在该函数图象上,则y3A.2B.3C.4D.5
二、填空题(本题有2小题,每题3分,共6分)
7(2022呼和浩特)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),拋物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是 .
8(2022福建)已知抛物线y=x2+2x-n与x轴交于A,B两点,抛物线y=x2-2x-n与x轴交于C,D两点,其中n>0.若AD=2BC,则n的值为 .
三、解答题(本题有3小题,共30分)
9(9分)(2021河南)如图,抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.
(1)求m和b的值;
(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集;
(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
10(9分)(2022云南)已知抛物线y=-x2-3x+c经过点(0,2),且与x轴交于A,B两点.设k是抛物线y=-x2-3x+c与x轴交点的横坐标,M是抛物线y=-x2-3x+c上的点,常数m>0,S为△ABM的面积.已知使S=m成立的点M恰好有三个,设T为这三个点的纵坐标的和.
(1)求c的值;
(2)直接写出T的值;
(3)求k4k8+k6+2k4+4k2+16的值.
11(12分)(2022杭州)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.
(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴.
(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x-h)2-2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.
(3)设一次函数y2=x-m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x-m)(x-m-2)的形式,当函数y=y1-y2的图象经过点(x0,0)时,求x0-m的值.
分类训练10二次函数的实际应用
命题点1抛物线形问题
角度1抛物线形运动轨迹问题
1(2022河南)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7 m,水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高,最高点距地面3.2 m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.
(1)求抛物线的表达式.
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3 m.身高1.6 m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.
角度2抛物线形建筑物问题
2(2022陕西)现要修建一条隧道,其截面为抛物线形,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10 m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9 m.
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式.
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A,B处分别安装照明灯.已知点A,B到OE的距离均为6 m,求点A,B的坐标.
命题点2以几何图形为背景的问题
3(2022无锡)某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36 m2,求此时x的值.
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少?
4(2022扬州)如图是一块铁皮余料,将其放置在平面直角坐标系中,底部边缘AB在x轴上,且AB=8 dm,外轮廓线是抛物线的一部分,对称轴为y轴,高度OC=8 dm.现计划将此余料进行切割:
(1)若切割成正方形,要求一边在底部边缘AB上且面积最大,求此正方形的面积;
(2)若切割成矩形,要求一边在底部边缘AB上且周长最大,求此矩形的周长;
(3)若切割成圆,判断能否切得半径为3 dm的圆,请说明理由.
5(2021陕西)问题提出
(1)如图(1),在▱ABCD中,∠A=45°,AB=8,AD=6,E是AD的中点,点F在DC上,且DF=5.求四边形ABFE的面积.(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图(2)所示,现规划在河畔的一处滩地上建一个五边形河畔公园ABCDE.按设计要求,要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN,使点O,P,M,N分别在边BC,CD,AE,AB上,且满足BO=2AN=2CP,AM=OC.已知在五边形ABCDE中,∠A=∠B=∠C=90°,AB=800 m,BC=1 200 m,CD=600 m,AE=900 m.为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN?若存在,求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离;若不存在,请说明理由.
图(1) 图(2)
命题点3销售问题
6(2022广西北部湾经济区)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗.某特产公司近期销售一种盒装油茶,每盒的成本价为50元,经市场调研发现,该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当销售单价定为多少元时,该种油茶的月销售利润最大?求出最大利润.
7(2022荆州)某企业投入60万元(只计入第一年成本)生产某种产品,按网上订单生产并销售(生产量等于销售量).经测算,该产品网上每年的销售量y(万件)与售价x(元/件)之间满足函数关系式y=24-x,第一年除60万元外其他成本为8元/件.
(1)求该产品第一年的利润w(万元)与售价x之间的函数关系式.
(2)该产品第一年利润为4万元,第二年将它全部作为技改资金再次投入(只计入第二年成本)后,其他成本下降2元/件.
①求该产品第一年的售价;
②若第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,则第二年利润最少是多少万元?
命题点4其他问题
8(2022武汉)如图,在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动,黑球在A处开始减速,此时白球在黑球前面70 cm处.
小聪测量黑球减速后的运动速度v(单位:cm/s)、运动距离y(单位:cm)随运动时间t(单位:s)变化的数据,整理得下表.
小聪探究发现,黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系,运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系.
(1)直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)当黑球减速后运动距离为64 cm时,求它此时的运动速度;
(3)若白球一直以2 cm/s的速度匀速运动,问黑球在运动过程中会不会碰到白球,请说明理由.
阶段测评三函数
一、选择题(本题有5小题,每小题3分,共15分)
1(2022广东)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位后,得到的点的坐标是( )

A.(3,1)B.(-1,1)
C.(1,3)D.(1,-1)
2(2021连云港)关于某个函数表达式,甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征.
甲:函数图象经过点(-1,1);
乙:函数图象经过第四象限;
丙:当x>0时,y随x的增大而增大.
则这个函数表达式可能是( )
A.y=-xB.y=1x
C.y=x2D.y=-1x
3(2022广西北部湾经济区)已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示,则一次函数y=cx-a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )


A B C D
4(2022绍兴)已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=-2x+3上的三个点,且x1A.若x1x2>0,则y1y3>0
B.若x1x3<0,则y1y2>0
C.若x2x3>0,则y1y3>0
D.若x2x3<0,则y1y2>0
5(2022抚顺)抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,对称轴为直线x=1,直线y=kx+c与抛物线都经过点(-3,0).下列说法:①ab>0;②4a+c>0;③若(-2,y1)与(12,y2)是抛物线上的两个点,则y1A.2B.3C.4D.5
二、填空题(本题有3小题,每小题3分,共9分)
6(2022陕西)已知点A(-2,m)在一个反比例函数的图象上,点A'与点A关于y轴对称.若点A'在正比例函数y=12x的图象上,则这个反比例函数的表达式为 .
7(2022南充)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距O点2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时,水柱落点距O点4 m.
8(2022烟台)如图(1),△ABC中,∠ABC=60°,D是BC边上的一个动点(不与点B,C重合),DE∥AB,交AC于点E,EF∥BC,交AB于点F.设BD的长为x,四边形BDEF的面积为y,y与x的函数图象是如图(2)所示的一段抛物线,其顶点P的坐标为(2,3),则AB的长为 .
图(1) 图(2)
三、解答题(本题有5小题,共48分)
9(7分)(2022宁波)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y(千克)与每平方米种植的株数x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系,每平方米种植2株时,平均单株产量为4千克;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5千克.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量?最大产量为多少千克?
10(8分)(2022黄冈)如图,已知一次函数y1=kx+b的图象与函数y2=mx(x>0)的图象交于A(6,-12),B(12,n)两点,与y轴交于点C,将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE,DE与y轴交于点F.
(1)求y1与y2的解析式;
(2)观察图象,直接写出y1(3)连接AD,CD,若△ACD的面积为6,则t的值为 .
11(10分)(2022河北)如图,平面直角坐标系中,线段AB的端点为A(-8,19),B(6,5).
(1)求AB所在直线的解析式.
(2)某同学设计了一个动画:
在函数y=mx+n(m≠0,y≥0)中,分别输入m和n的值,便得到射线CD,其中C(c,0).当c=2时,会从C处弹出一个光点P,并沿CD飞行;当c≠2时,只发出射线而无光点弹出.
①若有光点P弹出,试推算m,n应满足的数量关系;
②当有光点P弹出,并击中线段AB上的整点(横、纵坐标都是整数)时,线段AB就会发光,求此时整数m的个数.
12(11分)(2022广州)已知直线l:y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6).
(1)求直线l的解析式.
(2)若点P(m,n)在直线l上,以P为顶点的抛物线G过点(0,-3),且开口向下.
①求m的取值范围;
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q,若点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q'也在G上,求当4m5≤x≤4m5+1时抛物线G的最高点的坐标.
13(12分)(2022金华)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如下信息.
①统计售价与需求量的数据,通过描点(图(1)),发现该蔬菜需求量y需求(t)关于售价x(元/kg)的函数图象可以看成抛物线的一部分,其表达式为y需求=ax2+c,部分对应值如下表:
②该蔬菜供给量y供给(t)关于售价x(元/kg)的函数表达式为y供给=x-1,函数图象如图(1).
③1~7月份该蔬菜售价x售价(元/kg)、成本x成本(元/kg)关于月份t的函数表达式分别为x售价=12t+2,x成本=14t2-32t+3,函数图象如图(2).
图(1)
图(2)
请解答下列问题.
(1)求a,c的值.
(2)根据图(2),哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?并说明理由.
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
分类训练11图形的初步认识
命题点1直线、线段和角
1(2022北京)如图,利用工具测量角,则∠1的大小为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
2(2022柳州)如图,从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线,其中最短的路线是( )
A.① B.② C.③ D.④
3(2022常州)如图,斑马线的作用是引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是( )
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
4(2022连云港)已知∠A的补角是60°,则∠A= °.
5(2022湘潭)如图,一束光沿CD方向,先后经过平面镜OB,OA反射后,沿EF方向射出,已知∠AOB=120°,∠CDB=20°,则∠AEF= .
命题点2相交线与角平分线
6(2022苏州)如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOC=75°,∠1=25°,则∠2的度数是( )
A.25°B.30°C.40°D.50°

(第6题) (第7题)
7(2022河南)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若∠1=54°,则∠2的度数为( )
A.26°B.36°C.44°D.54°
8(2022株洲)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 度.
命题点3平行线的判定与性质
9(2022滨州)如图,在弯形管道ABCD中,若AB∥CD,拐角∠ABC=122°,则∠BCD的大小为( )
A.58°B.68°C.78°D.122°
10(2022泸州)如图,直线a∥b,直线c分别交a,b于点A,C,点B在直线b上,AB⊥AC,若∠1=130°,则∠2的度数是( )
A.30°B.40°C.50°D.70°

(第10题) (第11题)
11(2022鄂州)如图,直线l1∥l2,点C,A分别在l1,l2上,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交l1于点B,连接AB.若∠BCA=150°,则∠1的度数为( )
A.10°B.15°C.20°D.30°
12(2022山西)如图,Rt△ABC是一块直角三角板,其中∠C=90°,∠BAC=30°. 直尺的一边DE经过顶点A,若DE∥CB,则∠DAB的度数为( )
A.100°B.120°C.135°D.150°

(第12题) (第13题)
13(2022海南)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是( )
A.80°B.100°C.120°D.140°
14(2022济宁)如图,直线l1,l2,l3被直线l4所截,若l1∥l2,l2∥l3,∠1=126°32',则∠2的度数是 .
15(2022宜昌)如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,C岛在B岛的北偏西35°方向,则∠ACB的大小是 .
16(2022扬州)将一副直角三角板如图放置,已知∠E=60°,∠C=45°,EF∥BC,则∠BND= °.
命题点4命题
17(2022达州)下列命题是真命题的是( )
A.相等的两个角是对顶角
B.相等的圆周角所对的弧相等
C.若aD.在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是13
18(2022台州)如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连接PB,PC.下列命题中,假命题是( )
A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PC
B.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=AC
C.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PC
D.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC
19(2022无锡)请写出命题“如果a>b,那么b-a<0”的逆命题: .
分类训练12三角形
基础分类题组
命题点1三角形的三边关系
1(2022金华)已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是( )
A.2 cmB.3 cm
C.6 cmD.13 cm
2(2022邵阳)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cmB.3 cm,4 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cmD.6 cm,9 cm,2 cm
3(2022河北)
平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,顺次首尾相接组成凸五边形(如图),则d可能是( )
A.1B.2C.7D.8
命题点2三角形的内角和定理及其推论
4(2022安徽)两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2=( )
A.α-90°B.α-45° C.180°-αD.270°-α
5(2022绍兴)如图,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=80°,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交射线BA于点D,连接CD,则∠BCD的度数是 .
6(2022北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.
命题点3三角形中的重要线段
7(2022杭州)如图,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则( )
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线

(第7题) (第8题)
8(2022河北)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的( )
A.中线B.中位线 C.高线D.角平分线
9(2022宁波)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE的中点.若 AE=AD,DF=2,则BD的长为( )
A.22 B.3 C.23 D.4

(第9题) (第10题)
10(2022陕西)如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为( )
A.32B.35C.37D.62
11(2022滨州)正方形ABCD的对角线相交于点O,如图(1),将∠BOC绕点O按顺时针方向旋转,其两边分别与边AB,BC相交于点E,F,如图(2),连接EF,那么在点E由点B到点A的过程中,线段EF的中点G经过的路线是( )
图(1) 图(2)
A.线段B.圆弧
C.折线D.波浪线
12(2022南充)数学实践活动中,为了测量校园内被花坛隔开的A,B两点之间的距离,同学们在AB外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离DE为10 m(如图),则A,B两点之间的距离是 m.
13(2022北京)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .
14(2022哈尔滨)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC是 度.
15(2022杭州)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.
(1)求证:CE=CM.
(2)若AB=4,求线段FC的长.
命题点4与特殊三角形有关的证明与计算
16(2022天津)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是( )
A.(5,4) B.(3,4)
C.(5,3) D.(4,3)

(第16题) (第17题)
17(2022湖州)如图,已知在锐角三角形ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是( )
A.12B.9C.6D.32
18(2022南充)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是( )
A.BF=1B.DC=3
C.AE=5D.AC=9
19(2022鄂州)如图,在边长为6的等边三角形ABC中,D,E分别为边BC,AC上的点,AD与BE相交于点P,若BD=CE=2,则△ABP的周长为 .
20(2022云南)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角的度数是 .
21(2022吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-2, 0),点B在y轴正半轴上,以点B为圆心,BA长为半径作弧,交x轴正半轴于点C,则点C的坐标为 .
22(2022扬州)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sin A 的值为 .
23(2022达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,分别以点A,B为圆心,大于12AB的长为半径作弧,两弧分别相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为 .
综合提升题组
一、选择题(本题有2小题,每小题3分,共6分)
1(2022河北)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”
对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=2,则正确的是( )
A.只有甲答的对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整

(第1题) (第2题)
2(2022舟山)如图,在Rt△ABC和Rt△BDE中,∠ABC=∠BDE=90°,A是边DE的中点,若AB=BC,DB=DE=2,连接CE,则CE的长为( )
A.14B.15C.4D.17
二、填空题(本题有1小题,共3分)
3(2022连云港)如图,在6×6的正方形网格中,△ABC的顶点A,B,C都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则sin∠CAB= .
三、解答题(本题有1小题,共6分)
4(6分)(2022青岛) 【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.
例如:如图(1),在△ABC和△A'B'C'中,AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线,且AD=A'D',则△ABC和△A'B'C'是等高三角形.
【性质探究】
如图(1),用S△ABC,S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积,
则S△ABC=12BC·AD,S△A'B'C'=12B'C'·A'D'.
∵AD=A'D',
∴S△ABC∶S△A'B'C'=BC∶B'C'.
【性质应用】
(1)如图(2),D是△ABC的边BC上的一点,若BD=3,DC=4,则S△ABD∶S△ADC= ;
(2)如图(3),在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上的点,若BE∶AB=1∶2,CD∶BC=1∶3,S△ABC=1,则S△BEC= ,S△CDE= ;
(3)如图(3),在△ABC中,D,E分别是BC和AB边上的点,若BE∶AB=1∶m,CD∶BC=1∶n,S△ABC=a,则S△CDE= .
图(1)
图(2) 图(3)
分类训练13全等三角形的判定与性质
命题点1平移型
1(2022宜宾)已知:如图,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE ,∠B=∠E,BC=EF.
求证:AD=CF.
命题点2轴对称型
2(2022金华)如图,AC与BD相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加辅助线,判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A.SSSB.SAS
C.AASD.HL
3(2022长沙)如图,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
命题点3旋转型
4(2022成都)如图,在△ABC和△DEF中,点A,E,B,D在同一直线上,AC∥DF,AC=DF,只添加一个条件,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.BC=DEB.AE=DB
C.∠A=∠DEFD.∠ABC=∠D
5(2022青岛)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,∠BAF=∠DCE=90°.
(1)求证:△ABF≌△CDE.
(2)连接AE,CF,已知 (从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形AECF的形状,并证明你的结论.
条件①:∠ABD=30°.
条件②:AB=BC.
命题点4“一线三直角”型
6(2022铜仁)如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
命题点5其他类型
7(2022扬州)如图,小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了,需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据,为了方便表述,将该三角形记为△ABC,提供下列各组元素的数据,配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A.AB,BC,CA B.AB,BC,∠B
C.AB,AC,∠B D.∠A,∠B,BC
8(2022陕西)如图,在△ABC中,点D在边BC上,CD=AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.
求证:DE=BC.
9(2022怀化)如图,在等边三角形ABC中,点M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
分类训练14图形的相似
基础分类题组
命题点1平行线分线段成比例
1(2022丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是( )
A.23B.1C.32D.2

(第1题) (第2题)
2(2022哈尔滨)如图,AB∥CD,AC,BD相交于点E,AE=1,EC=2,DE=3,则BD的长为( )
A.32B.4C.92D.6
3(2022临沂)如图,在△ABC中,DE∥BC,ADDB=23,若AC=6,则EC=( )
A.65B.125C.185D.245

(第3题) (第4题)
4(2022荆州)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A.33B.22C.13D.3
命题点2相似三角形的判定与性质
角度1“A”字型
5(2022云南)如图,在△ABC中,D,E分别为线段BC,BA的中点,设△ABC的面积为S1,△EBD的面积为S2,则S2S1=( )
A.12B.14C.34D.78

(第5题) (第6题)
6(2022宜宾)如图,△ABC中,点E,F分别在边AB,AC上,∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF= .
7(2022杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,DEBC=14.
(1)若AB=8,求线段AD的长.
(2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
角度2“8”字型
8(2022十堰)如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.若OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3 cm,则零件的厚度x为( )
A.0.3 cmB.0.5 cmC.0.7 cmD.1 cm
角度3母子型
9(2022江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB;
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
命题点3相似三角形的实际应用
10(2021河北)图(1)是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图(2)所示,此时液面AB=( )
图(1) 图(2)
A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm
11(2022陕西)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
综合提升题组
一、选择题(本题有2小题,每小题3分,共6分)
1(2022扬州)如图,在△ABC中,ABA.①②B.②③
C.①③D.①②③

(第1题) (第2题)
2(2022绍兴)将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
A.252B.454C.10D.354
二、填空题(本题有3小题,每小题3分,共9分)
3(2022山西)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上的一点,点F在边CD的延长线上,且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN的长为 .
4(2022武汉)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF.过点C作AB的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形AJKL的面积是 .

(第4题) (第5题)
5(2022安徽)如图,四边形ABCD是正方形,点E在边AD上,△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形,EF,BF分别交CD于点M,N,过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF,请完成下列问题:
(1)∠FDG= °;
(2)若DE=1,DF=22,则MN= .
三、解答题(本题有3小题,共28分)
6(8分)(2022丽水)如图,在6×6的方格纸中,点A,B,C均在格点上,试按要求画出相应格点图形.
(1)如图(1),作一条线段,使它是AB向右平移一格后的图形;
(2)如图(2),作一个轴对称图形,使AB和AC是它的两条边;
(3)如图(3),作一个与△ABC相似的三角形,相似比不等于1.

图(1) 图(2)
图(3)
7(10分)(2022泰安)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F.
(1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC;
(2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由;
(3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.
8(10分)(2022苏州)(1)如图(1),在△ABC中,∠ACB=2∠B,CD平分∠ACB,交AB于点D,DE∥AC,交BC于点E.
①若DE=1,BD=32,求BC的长;
②试探究ABAD-BEDE是否为定值.如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(2)如图(2),∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角,∠BCF=2∠CBG,CD平分∠BCF,交AB的延长线于点D,DE∥AC,交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1,△CDE的面积为S2,△BDE的面积为S3,若S1·S3=916S22,求cs∠CBD的值.
图(1) 图(2)
分类训练15锐角三角函数
命题点1直角三角形的边角关系及简单应用
1(2022广西北部湾经济区)如图,某博物馆大厅电梯的截面图中,AB的长为12米,AB与AC的夹角为α,则高BC是( )
A.12sin α米B.12cs α米
C.12sinα 米D.12csα 米
(第1题) (第2题)
2(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=27°,BC=44 cm,则高AD约为(参考数据:sin 27°≈0.45,cs 27°≈0.89,tan 27°≈0.51)( )
cm cm
cmD. 22.44 cm
3(2022随州)如图,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β,若CD=a,则建筑物AB的高度为( )
A.atanα-tanβB.atanβ-tanα
C.atanαtanβtanα-tanβD.atanαtanβtanβ-tanα

(第3题) (第4题)
4(2022乐山)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= 5,点D是AC上一点,连接BD.若tan A=12,tan∠ABD=13,则CD的长为( )
A.25 B.3 C. 5 D.2
5(2022益阳)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sin A=45,则cs B= .

(第5题) (第6题)
6(2022常州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD= .
7(2022广州)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,且AC=8,BC=6.
(1)尺规作图:过点O作AC的垂线,交AC于点D,连接CD(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图形中,求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
命题点2解直角三角形的实际应用
角度1背靠背型
8(2022安徽)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C,测得A,B均在C的北偏东37°方向上,沿正东方向行走90米至观测点D,测得A在D的正北方向上,B在D的北偏西53°方向上.求A,B两点间的距离.
参考数据:sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
9(2022抚顺)如图,B港口在A港口的南偏西25°方向上,距离A港口100海里处.一艘货轮航行到C处,发现A港口在货轮的北偏西25°方向,B港口在货轮的北偏西70°方向.求此时货轮与A港口的距离(结果取整数.参考数据:sin 50°≈0.766,cs 50°≈0.643,tan 50°≈1.192,2≈1.414)
角度2母子型
10(2022天津)如图,某座山AB的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从地面P处测得塔顶C的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m,求这座山AB的高度(结果取整数).
(参考数据:tan 35°≈0.70,tan 42°≈0.90)
11(2022连云港)我市的花果山景区大圣湖畔屹立着一座古塔——阿育王塔,是苏北地区现存最高和最古老的宝塔.小明与小亮要测量阿育王塔的高度,如图所示,小明在点A处测得阿育王塔最高点C的仰角∠CAE=45°,再沿正对阿育王塔方向前进至B处测得最高点C的仰角∠CBE=53°,AB=10 m;小亮在点G处竖立标杆FG,小亮所在位置点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上,FG=1.5 m,GD=2 m.
(1)求阿育王塔的高度CE;
(2)求小亮与阿育王塔之间的距离ED.
(注:结果精确到0.01 m.参考数据:sin 53°≈0.799,cs 53°≈0.602,tan 53°≈1.327)
角度3拥抱型
12(2021自贡)如图,在一次数学课外实践活动中,小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°,从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°,综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:tan 37°≈0.75,tan 53°≈1.33,3≈1.73)
角度4实物型
13(2022吉林)动感单车是一种新型的运动器械.图(1)是一辆动感单车的实物图,图(2)是其侧面示意图.△BCD为主车架,AB为调节管,点A,B,C在同一直线上.已知BC长为70 cm,∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34 cm时,求点A到CD的距离AE的长度(结果精确到1 cm).(参考数据:sin 58°≈0.85,cs 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)

图(1) 图(2)
14(2022成都)2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”,某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动.
如图,当张角∠AOB=150°时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角∠A'OB=108°时(点A'是点A的对应点),用眼舒适度较为理想,求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 72°≈0.95,cs 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
角度5其他类型
15(2022山西)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:如图,无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60 m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24 m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1 m.参考数据:sin 70°≈0.94,cs 70°≈0.34,tan 70°≈2.75,3≈1.73).
分类训练16平行四边形与多边形
命题点1多边形及其性质
1(2022河北)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是( )
A.α-β=0°
B.α-β<0°
C.α-β>0°
D.无法比较α与β的大小
2(2022怀化)一个多边形的内角和为900°,则这个多边形是( )

A.七边形B.八边形
C.九边形D.十边形
3(2022烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1,则这个正多边形是( )
A.正方形B.正六边形
C.正八边形D.正十边形
4(2022丽水)三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是(-3,3),则A点的坐标是 .

(第4题) (第5题)
5(2022株洲)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= 度.
6(2022遂宁)如图,正六边形ABCDEF的顶点A,F分别在正方形BMGH的边BH,GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为 .

(第6题) (第7题)
7(2021上海)如图,六个含30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为 .
命题点2平行四边形的判定
8(2022河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( )
9(2022临沂)如图,在正六边形ABCDEF中,M,N是对角线BE上的两点,添加下列条件中的一个:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四边形AMDN是平行四边形的是 (填上所有符合要求的条件的序号).
10(2022株洲)如图所示,点E在四边形ABCD的边AD上,连接CE,并延长CE交BA的延长线于点F,已知AE=DE,FE=CE.
(1)求证:△AEF≌△DEC.
(2)若AD∥BC,求证:四边形ABCD为平行四边形.
11(2021连云港)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:四边形ACED是平行四边形;
(2)如果AB=AE,求证:四边形ACED是矩形.
命题点3与平行四边形有关的证明与计算
12(2021南充)如图,点O是▱ABCD对角线的交点,EF过点O分别交AD,BC于点E,F,下列结论成立的是( )
A.OE=OFB.AE=BF
C.∠DOC=∠OCDD.∠CFE=∠DEF

(第12题) (第13题)
13(2022内江)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为( )
A.2B.4C.6D.8
14(2022泰安)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB.下列结论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S△BOE=14S△ABC.其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1

(第14题) (第15题)
15(2022无锡) 如图,在▱ABCD中,AD=BD,∠ADC=105°,点E在AD上,∠EBA=60°,则EDCD的值是( )
A.23B.12C.32D.22
16(2022邵阳)如图,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2= .

(第16题) (第17题)
17(2022泰安)如图,四边形ABCD为平行四边形,则点B的坐标为 .
18(2021广东)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=12,sin A=45.过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CE,则sin∠BCE= .
19(2022连云港)如图,在▱ABCD中,∠ABC=150°.利用尺规在BC,BA上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,大于12EF的长为半径作弧,两弧在∠CBA内交于点G;作射线BG交DC于点H.若AD=3+1,则BH的长为 .
20(2022广西北部湾经济区)如图,在▱ABCD中,BD是它的一条对角线.
(1)求证:△ABD≌△CDB;
(2)尺规作图:作BD的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F(不写作法,保留作图痕迹);
(3)连接BE,若∠DBE=25°,求∠AEB的度数.
21(2022无锡)如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,EF过点O且分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.
求证:(1)△DOF≌△BOE;
(2)DE=BF.
22(2022温州) 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E,F分别是AC,AB的中点,O是DF的中点,EO的延长线交线段BD于点G,连接DE,EF,FG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.
(2)当AD=5,tan∠EDC=52时,求FG的长.
23(2022扬州)如图,在▱ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE∥DG,BE=DG.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.若▱ABCD的周长为56,EF=6,求△ABC的面积.
24(2021绍兴)问题:如图,在▱ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:
(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长;
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求ADAB的值.
分类训练17特殊平行四边形
基础分类题组
命题点1与矩形有关的证明与计算
1(2022陕西)在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是( )
A.AB=ACB.AC⊥BD
C.AB=ADD.AC=BD
2(2022邵阳)已知矩形的一边长为6 cm,一条对角线的长为10 cm,则矩形的面积为 cm2.
3(2022北京) 如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC=14,则AE的长为 .

(第3题) (第4题)
4(2022吉林)如图,在矩形ABCD中,对角线AC, BD相交于点O,点E是边AD的中点,点F在对角线AC上,且AF=14AC,连接EF.若AC=10,则EF= .
5(2022宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为 .
6(2022苏州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF;
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
7(2021贵阳)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
8(2022云南)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,点E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.
(1)求证:四边形ABDF是矩形;
(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.
命题点2与菱形有关的证明与计算
9(2022株洲)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是( )
A.OB=12CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=12AE
D.BE=CE
10(2022天门)由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan∠ABC=( )
A.13B.12C.33D.32

(第10题) (第11题)
11(2022海南)如图,菱形ABCD中,点E是边CD的中点,EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF∶CE=1∶2,EF=7,则菱形ABCD的边长是( )
A.3B.4C.5D.45 7
12(2022营口)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是 .(写出一个即可)

(第12题) (第13题)
13(2022达州)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长是 .
14(2022哈尔滨)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为 .

(第14题) (第15题)
15(2022陕西)如图,在菱形ABCD中,AB=4,BD=7.若M,N分别是边AD,BC上的动点,且AM=BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E,F,则ME+NF的值为 .
16(2022温州)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF,使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,N在对角线AC上.若AE=3BE,则MN的长为 .
17(2022嘉兴)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD,求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.
18(2022北京)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O.点E,F在AC上,AE=CF.
(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;
(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.
19(2022滨州)如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.
(1)求菱形ABCD的面积;
(2)求证:AE=EF.
20(2022长沙)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.
(1)求证: AC⊥BD;
(2)若点E,F分别为AD, AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.
21(2022凉山州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADBF是菱形.
(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长.
命题点3与正方形有关的证明与计算
22(2021玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别相等
b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等
d.一个角是直角
顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.
则正确的是( )
A.仅①B.仅③C.①②D.②③

(第22题) (第23题)
23(2022重庆A卷)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45°B.60°
C.67.5°D.77.5°
24(2022黔东南州)如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为( )
A.23+2B.5-33
C.3-3 D.3+1

(第24题) (第25题)
25(2022广州)如图,正方形ABCD的面积为3,点E在边CD上,且CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M,N 分别是BE,BF的中点,则 MN的长为( )
A.62B.32
C.2-3D.6-22
26(2021天津)如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为 .
27(2022邵阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.
求证:四边形AECF是正方形.
28(2022恩施州)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.
综合提升题组
一、选择题(本题有7小题,每小题3分,共21分)
1(2022海南)如图,点A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是( )
A.(7,2)B.(7,5)
C.(5,6)D.(6,5)

(第1题) (第2题)
2(2022绍兴)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.下列四种说法:
①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
3(2022宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出( )
A.正方形纸片的面积
B.四边形EFGH的面积
C.△BEF的面积
D.△AEH的面积
4(2022呼和浩特)如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,点E是DA的中点,F是对角线AC上一点,且∠DEF=45°,则AF∶FC的值是( )
A.3B.5+1
C.22+1D.2+3

(第4题) (第5题)
5(2022丽水)如图,已知菱形ABCD的边长为4,E是BC的中点,AF平分∠EAD交CD于点F,FG∥AD交AE于点G,若cs B=14,则FG的长是( )
A.3B.83C.2153D.52
6(2022泸州)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是边AB上的点,且BE=2AE,过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F,交边BC于点M,连接DF交边BC于点N,则MN的长为( )
A.23B.56C.67D.1

(第6题) (第7题)
7(2022连云港)如图,将矩形ABCD沿着GE,EC,GF翻折,使得点A,B,D恰好都落在点O处,且点G,O,C在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=435AD;③GE=6DF;④OC=22OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
A.①②③B.①③④
C.①④⑤D.②③④
二、填空题(本题有3小题,每小题3分,共9分)
8(2022西宁)矩形ABCD中,AB=8,AD=7,点E在AB边上,AE=5.若点P是矩形ABCD边上一点,且与点A,E构成以AE为腰的等腰三角形,则等腰三角形AEP的底边长是 .
9(2022天津)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为CE的中点,AF与DE相交于点G,则GF的长等于 .

(第9题) (第10题)
10(2022广西北部湾经济区)如图,在正方形ABCD中,AB=42,对角线AC,BD相交于点O.点E是对角线AC上一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,分别交CD,BD于点F,G,连接BF,交AC于点H,将△EFH沿EF翻折,点H的对应点H'恰好落在BD上,得到△EFH'.若点F为CD的中点,则△EGH'的周长是 .
三、解答题(本题有2小题,共22分)
11(10分)(2021泰安)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.
(1)若AC=EC,如图(1),求证:四边形BECD为平行四边形;
(2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图(2),求证:△DGF是等腰直角三角形.
图(1) 图(2)
12(12分)(2022临沂)如图,已知△ABC是等边三角形,点B,D关于直线AC对称,连接AD,CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)在线段AC上任取一点Р(端点除外),连接PD.将线段PD绕点Р逆时针旋转,使点D落在BA延长线上的点Q处.请探究:当点Р在线段AC上的位置发生变化时,∠DPQ的大小是否发生变化?说明理由.
(3)在满足(2)的条件下,探究线段AQ与CP之间的数量关系,并加以证明.
分类训练18圆
基础分类题型
命题点1与圆周角定理及其推论有关的计算

1(2022嘉兴)如图,在☉O中,∠BOC=130°,点A在BAC上,则∠BAC的度数为( )
A.55°B.65°C.75°D.130°
(第1题) (第2题)
2(2022滨州)如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为( )
A.32°B.42°C.52°D.62°
3(2022山西)如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是( )
A.60°B.65°C.70°D.75°

(第3题) (第4题)
4(2022温州)如图,AB,AC是☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接OB,OC.若∠DOE=130°,则∠BOC的度数为( )
A.95°B.100°C.105°D.130°
5(2022营口)如图,点A,B,C,D在☉O上,AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°,则BC的长为( )
A.43B.8C.42D.4
6(2022广东)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB=2,AD=1,求CD的长度.
命题点2与垂径定理及其推论有关的计算
7(2022南充)如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,∠BOF=65°,则∠AOD为( )
A.70°B.65°C.50°D.45°

(第7题) (第8题)
8(2022邵阳)如图,☉O是等边三角形ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A.32B. 32C. 3D.52
9(2022云南)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为点E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为 ( )
A.713B.1213C.712D.1312

(第9题) (第10题)
10(2022长沙)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为点D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
命题点3圆内接四边形的性质
11(2022株洲)如图所示,等边三角形ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F是DE上一点,且与点D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为( )
A.115°B.118°C.120°D.125°

(第11题) (第12题)
12(2022宜昌)如图,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,BD,若∠C=110°,则∠OBD=( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
13(2022自贡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,∠ABD=20°,则∠BCD的度数是( )
A.90°B.100°C.110°D.120°
命题点4切线的判定
14(2022北京)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠A.
(2)连接DB.过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F.若F为AC的中点,求证:直线CE为☉O的切线.
15(2022广西北部湾经济区)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为E,延长BA交☉O于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若AEDE=23,AF=10,求☉O的半径.
16(2022扬州)如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin A=55,OA=8,求CB的长.
17(2022南充)如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E.
(1)求证:CD是☉O的切线.
(2)若CE=OA,sin∠BAC=45,求tan∠CEO的值.
命题点5与切线的性质有关的证明与计算
18(2022长沙)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为( )
A.32°B.52°C.64°D.72°
(第18题) (第19题)
19(2022哈尔滨)如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD.若∠P=40°,则∠ADB的度数为( )
A.65°B.60°C.50°D.25°
20(2022重庆A卷)如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3B.4C.33D.42

(第20题) (第21题)
21(2022连云港)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,连接BC,与☉O交于点D,连接OD.若∠AOD=82°,则∠C= °.
22(2022泰安)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO= .

(第22题) (第23题)
23(2022金华)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O于点A,长边与☉O相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O的半径为 cm.
24(2022绍兴)如图,半径为6的☉O与Rt△ABC的边AB相切于点A,交边BC于点C,D,∠B=90°,连接OD,AD.
(1)若∠ACB=20°,求AD的长(结果保留π).
(2)求证:AD平分∠BDO.
25(2022黄冈)如图,☉O是△ABC的外接圆,AD是☉O的直径,BC与过点A的切线EF平行,BC,AD相交于点G.
(1)求证:AB=AC;
(2)若DG=BC=16,求AB的长.
命题点6弧长、扇形面积的计算
角度1弧长的计算
26(2022黄冈)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,以点C为圆心,CA的长为半径画弧,交AB于点D,则AD的长为( )
A.π B.43π C.53π D.2π

(第26题) (第27题)
27(2022成都)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的周长等于6π,则正六边形的边长为( )
A.3B.6C.3D.23
28(2022河北)某款“不倒翁”(图(1))的主视图是图(2),PA,PB分别与AMB所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则AMB的长是( )
图(1) 图(2)
A.11π cmB.112π cm
C.7π cmD.72π cm
29(2022广西北部湾经济区)如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,BB'的长是( )
A.233πB.433π
C.839πD.1039π

(第29题) (第30题)
30(2022吉林)如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若∠BAE=65°,∠COD=70°,则BC与DE的长度之和为 (结果保留π).
31(2022邵阳)如图,已知DC是☉O的直径,点B为CD延长线上一点,AB是☉O的切线,点A为切点,且AB=AC.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若☉O的半径为3,求AC的长.
角度2扇形面积的计算
32(2022潜江)一个扇形的弧长是10π cm,其圆心角是150°,此扇形的面积为( )
A.30π cm2B.60π cm2
C.120π cm2D.180π cm2
33(2022广东)扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积为 (结果保留π).
34(2022呼和浩特)
如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为 (用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为 .
角度3与圆有关的阴影部分面积的计算
35(2022连云港)如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,连接9点和11点的位置,则钟面中阴影部分的面积为( )
A.23π-32B.23π-3
C.43π-23D.43π-3

(第35题) (第36题)
36(2022荆州)如图,以边长为2的等边三角形ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧,恰好与BC边相切,分别交AB,AC于D,E,则图中阴影部分的面积是( )
A.3-π4B.23-π
C.(6-π)33D.3-π2
37(2022泰安)如图,四边形ABCD中,∠A=60°,AB∥CD,DE⊥AD交AB于点E,DE=6,以点E为圆心,DE为半径的圆交CD于点F,则阴影部分的面积为( )
A.6π-93B.12π-93
C.6π-932D.12π-932

(第37题) (第38题)
38(2022山西)如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,图中阴影部分的面积为( )
A.3π-33B.3π-932
C.2π-33D.6π-932
39(2022遵义)如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为( )
A.π8-18B.π8-14
C. π2-18D.π2-14

(第39题) (第40题)
40(2022十堰)如图,扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,点C为OB上一点,将扇形AOB沿AC折叠,使点B的对应点B'落在射线AO上,则图中阴影部分的面积为 .
41(2022宿迁)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC交于点D.
(1)判断直线AC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=4,求图中阴影部分的面积.
命题点7与圆锥有关的计算
42(2022宁波)已知圆锥的底面半径为4 cm,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积为( )
A.36π cm2B.24π cm2
C.16π cm2D.12π cm2
43(2022无锡)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴,把△ABC旋转1周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为( )
A.12π B.15π C.20π D.24π
44(2022云南)某中学开展劳动实习,学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 .
综合提升题组
一、选择题(本题有4小题,每小题3分,共12分)
1(2022泰安)如图,AB是☉O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则☉O的半径为( )
A.23B.32C.25D.5

(第1题) (第2题)
2(2022无锡)如图,AB是圆O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,则下列结论错误的是( )
A.AE⊥DEB.AE∥OD
C.DE=ODD.∠BOD=50°
3(2022泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=42,DE=4,则BC的长是( )
A.1B.2C.2D.4

(第3题) (第4题)
4(2022达州)如图所示的曲边三角形可按下述方法作出:作等边△ABC,分别以点A,B,C为圆心,以AB长为半径作BC,AC,AB,三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个曲边三角形的周长为2π,则此曲边三角形的面积为( )
A.2π-23B.2π-3
C.2πD.π-3
二、填空题(本题有4小题,每小题3分,共12分)
5(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,若∠DCE=72°,则∠BOD的度数为 .

(第5题) (第6题)
6(2022湖州)如图,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是AD所对的圆周角,则∠APD的度数是 .
7(2022荆州)如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).

(第7题) (第8题)
8(2022宁波)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,点O在BC上,以OB为半径的圆与AC相切于点A.D是BC边上的动点,当△ACD为直角三角形时,AD的长为 .
三、解答题(本题有2小题,共18分)
9(8分)(2022江西)课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是AB所对的圆心角,∠C是AB所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图(1)是其中一种情况,请你在图(2)和图(3)中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=12∠AOB;

图(1) 图(2)

图(3) 图(4)
知识应用
(2)如图(4),若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长.
10(10分)(2022临沂)如图,AB是☉O的切线,B为切点,直线AO交☉O于C,D两点,连接BC,BD,过圆心O作BC的平行线,分别交AB的延长线、☉O及BD于点E,F,G.
(1)求证:∠D=∠E;
(2)若F是OE的中点,☉O的半径为3,求阴影部分的面积.
阶段测评四三角形、四边形和圆
一、选择题(本题有9小题,每小题3分,共27分)
1(2022无锡)下列命题中,是真命题的是( )
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的四边形是正方形
④四边相等的四边形是菱形

A.①② B.①④ C.②③ D.③④
2(2022荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是( )
A.60°B.70°C.80°D.90°
3(2022河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为( )
A.6B.12C.24D.48

(第3题) (第4题)
4(2022宜宾)如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AEDF的周长是( )
A.5B.10C.15D.20
5(2022包头)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为( )
A.1∶4 B.4∶1
C.1∶2D.2∶1

(第5题) (第6题)
6(2022丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为23 m,则改建后门洞的圆弧长是( )
A.5π3 mB.8π3 m
C.10π3 mD.(5π3+2)m
7(2022宜宾)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则cs∠ADF的值为( )
A.817B.715C.1517D.815

(第7题) (第8题)
8(2022泰州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为( )
A.2B.2C.22D.4
9(2022恩施州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10 cm,BC=8 cm,点P从点D出发,以1 cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是 ( )
A.当t=4 s时,四边形ABMP为矩形
B.当t=5 s时,四边形CDPM为平行四边形
C.当CD=PM时,t=4 s
D.当CD=PM时,t=4 s或6 s
二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
10(2022苏州)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D= °.

(第10题) (第11题)
11(2022常德)如图,已知F是△ABC内的一点,FD∥BC,FE∥AB,若▱BDFE的面积为2,BD=13BA,BE=14BC,则△ABC的面积是 .
12(2022成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为 .
13(2022泰安)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2 m,窗台的高度CF=1 m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8 m,则CP的长度为 m(结果精确到0.1 m).
14(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .

(第14题) (第15题)
15(2022绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连接AC,作CD⊥AC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan∠QBE=3,连接CE,DE,当CE=DE,CE⊥DE时,BE的长是 .
三、解答题(本题有9小题,共86分)
16(8分)(2022福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC, AB=DE,∠B=∠E.
求证:∠A=∠D.
17(8分)(2022鄂州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.
(1)求证:DF=CF;
(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.
18(8分)(2022十堰)如图,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
(1)求证:BE=DF;
(2)设ACBD=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由.
19(8分)(2022达州)某老年活动中心欲在一房前3 m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC,使正午时刻房前能有2 m宽的阴影处(AD)以供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为63.4°,遮阳篷BC与水平面的夹角为10°,如图为侧面示意图,请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1 m).(参考数据:sin 10°≈0.17,cs 10°≈0.98,tan 10°≈0.18;sin 63.4°≈0.89,cs 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00)
20(8分)(2022陕西)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P.
(1)求证:∠CAB=∠APB;
(2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.
21(10分)(2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).
(1)填空:∠APD= 度,∠ADC= 度;
(2)求楼CD的高度(结果保留根号);
(3)求此时无人机距离地面BC的高度.
22(12分)(2022安徽)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.
(1)如图(1),若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形.
(2)如图(2),连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.
(i)求∠CED的大小;
(ii)若AF=AE,求证:BE=CF.
图(1) 图(2)
23(12分)(2022荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.
(1)求证:DE是半圆O的切线;
(2)当点E落在BD上时,求x的值;
(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;
(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.
24(12分)(2022陕西)问题提出
(1)如图(1),AD是等边三角形ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为 .
问题探究
(2)如图(2),在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线 l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积.
问题解决
(3)如图(3),现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:
①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;
②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;
③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP,BP,得△ABP.
请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.
图(1) 图(2) 图(3)
分类训练19尺规作图及用无刻度的直尺作图
命题点1五种基本作图
角度1直接作图
1(2022山西)如图,在矩形ABCD中,AC是对角线.
(1)实践与操作:利用尺规作线段AC的垂直平分线,垂足为点O,交边AD于点E,交边BC于点F(要求:尺规作图并保留作图痕迹,不写作法,标明字母);
(2)猜想与证明:试猜想线段AE与CF的数量关系,并加以证明.
2(2022贵港)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法):
如图,已知线段m,n.
求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,BC=n.
3(2022绥化)已知:△ABC,如图.
(1)尺规作图:用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.(只保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)如果△ABC的周长为14 cm,内切圆的半径为1.3 cm,求△ABC的面积.
角度2根据作图痕迹进行判断或计算

4(2022海南)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC 的内部相交于点P,画射线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是( )
A.36°B.54°C.72°D.108°
5(2022威海)过直线l外一点P作直线l的垂线PQ.下列尺规作图错误的是( )
A B C D
6(2022荆州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MN分别交AB,AC于D,E,连接CD.若CE=13AE=1,则CD= .
命题点2转化类尺规作图
7(2022陕西)如图,已知△ABC,CA=CB,∠ACD是△ABC的一个外角.
请用尺规作图法,求作射线CP,使CP∥AB.(保留作图痕迹,不写作法)
8(2022青岛)已知:Rt△ABC,∠B=90°,如图.
求作:点P,使点P在△ABC内部,且PB=PC,∠PBC=45°.

9(2022福建)如图,BD是矩形ABCD的对角线.
(1)求作☉A,使得☉A与BD相切(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,设BD与☉A相切于点E,CF⊥BD,垂足为F.若直线CF与☉A相切于点G,求tan∠ADB的值.
10(2022无锡)如图,△ABC为锐角三角形.
(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:在AC右上方确定点D,使∠DAC=∠ACB,且CD⊥AD;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠B=60°,AB=2,BC=3,则四边形ABCD的面积为 .(如需画草图,请使用图(2))
图(1) 图(2)
11(2022扬州)【问题提出】 如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积?
【初步尝试】
如图(1),已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线,使扇形的面积被这条直线平分;
【问题联想】
如图(2),已知线段MN,请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP;
【问题再解】
如图(3),已知扇形OAB,请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧,使扇形的面积被这条圆弧平分.
(友情提醒:以上作图均不写作法,但需保留作图痕迹)
图(1) 图(2)
图(3)
命题点3用无刻度的直尺作图
12(2022宁波)图(1),图(2)都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,分别按要求画出图形.
(1)在图(1)中画出等腰三角形ABC,且点C在格点上.(画出一个即可)
(2)在图(2)中画出以AB为边的菱形ABDE,且点D,E均在格点上.

图(1) 图(2)
13(2022江西)如图是4×4的正方形网格,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)在图(1)中作∠ABC的平分线;
(2)在图(2)中过点C作一条直线l,使点A, B到直线l的距离相等.

图(1) 图(2)
14(2021仙桃)已知△ABC和△CDE都为正三角形,点B,C,D在同一直线上,请仅用无刻度的直尺完成下列作图,不写作法,保留作图痕迹.
(1)如图(1),当BC=CD时,作△ABC的中线BF;
(2)如图(2),当BC≠CD时,作△ABC的中线BG.
图(1) 图(2)
15(2022天门)已知四边形ABCD为矩形,点E是边AD的中点,请仅用无刻度的直尺完成下列作图,不写作法,保留作图痕迹,
(1)在图(1)中作出矩形ABCD的对称轴m,使m∥AB;
(2)在图(2)中作出矩形ABCD的对称轴n,使n∥AD.
图(1) 图(2)
16(2021武汉)如图是由小正方形组成的7×5网格,每个小正方形的顶点叫做格点.矩形ABCD的四个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
图(1) 图(2)
(1)在图(1)中,先在边AB上画点E,使AE=2BE,再过点E画直线EF,使EF平分矩形ABCD的面积;
(2)在图(2)中,先画△BCD的高CG,再在边AB上画点H,使BH=DH.
17(2022武汉)如图是由小正方形组成的9×6网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)在图(1)中,D,E分别是边AB,AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180°得到点F,画出点F,再在AC上画点G,使DG∥BC.
(2)在图(2)中,P是边AB上一点,∠BAC=α.先将AB绕点A逆时针旋转2α,得到线段AH,画出线段AH,再画点Q,使P,Q两点关于直线AC对称.
图(1) 图(2)
分类训练20视图与投影
命题点1三视图的判断
角度1常见几何体的三视图
1(2022十堰)下列几何体中,主视图与俯视图的形状不一样的几何体是( )
角度2简单组合体、不规则几何体的三视图
2(2022海南)如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体,则这个几何体的主视图是( )
3(2022安徽)一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置,其俯视图是( )
4(2022江西)如图是由四个完全相同的小正方体搭成的几何体,它的俯视图为( )
5(2021本溪)如图,该几何体的左视图是( )
6(2022呼和浩特)图中几何体的三视图是( )
角度3实物的三视图
7(2022丽水)如图是运动会领奖台,它的主视图是( )
A.B.
C.D.
8(2022吉林)吉林松花石有“石中之宝”的美誉,用它制作的砚台叫松花砚,能与中国四大名砚媲美.如图是一款松花砚的示意图,其俯视图为( )
AB
CD
9(2022随州)如图是一个放在水平桌面上的半球体,该几何体的三视图中完全相同的是( )
A.主视图和左视图B.主视图和俯视图
C.左视图和俯视图D.三个视图均相同
命题点2根据三视图还原几何体
10(2022黄冈)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥
C.三棱柱 D.四棱柱

(第10题) (第11题)
11(2022扬州)如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图,该几何体是( )
A.四棱柱B.四棱锥
C.三棱柱D.三棱锥
12(2021广西北部湾经济区)如图是一个几何体的主视图,则该几何体是( )
13(2022包头)几个大小相同,且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示,图中小正方形中的数字表示在该位置上小正方体的个数,则这个几何体的左视图的面积为( )
A.3B.4C.6D.9

(第13题) (第14题)
14.(2022龙东地区)如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的左视图和俯视图,则所需的小正方体的个数最多是( )
A.7B.8C.9D.10
命题点3立体图形的展开与折叠
15(2022临沂)如图所示的三棱柱的展开图不可能是( )
16
(2022绥化)图中正方体的展开图不可能是( )
A B
C D
17(2022金华)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处,沿圆柱的侧面爬到B处,现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线,正确的是( )
A B
C D
18(2022常德)如图是一个正方体的展开图,将它拼成正方体后,“神”字对面的字是 .
分类训练21图形的对称、平移、旋转与位似
命题点1轴对称图形与中心对称图形的识别
1(2022宜昌)将四个数字看作一个图形,则下列四个图形中,是中心对称图形的是( )
6666 9999 6669 6699
A B C D
2(2022泰安)下列图形:
其中轴对称图形的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
3(2022抚顺)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4(2022无锡)雪花、风车……展示着中心对称的美,利用中心对称,可以探索并证明图形的性质.请思考在下列图形中,是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为( )
A.扇形 B.平行四边形
C.等边三角形 D.矩形
5(2021江西)如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形(忽略拼接线),小亮改变①的位置,将①分别摆放在图中左、下、右的位置(摆放时无缝隙不重叠),则还能拼接成不同的轴对称图形的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
命题点2与图形的折叠有关的计算
6(2022济宁)如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3.沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合,若折痕与AC的交点为E,则AE的长是( )
A.136B.56C.76D.65
7(2022达州)如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为( )
A.9B.12C.15D.18
8(2022扬州)“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图,已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处,折痕AD交BC于点D;第2次折叠使点A落在点D处,折痕MN交AB'于点P.若BC=12,则MP+MN= .
9(2021无锡)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=22,AC=6,点E在线段AC上,且AE=1,D是线段BC上的一点,连接DE,将四边形ABDE沿直线DE翻折,得到四边形FGDE.连接AF,当点G恰好落在线段AC上时,AF= .
(第9题) (第10题)
10(2022泰安)如图,四边形ABCD为正方形,点E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为 .
11(2022台州)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=6.折叠该菱形,使点A落在边BC上的点M处,折痕分别与边AB,AD交于点E,F.当点M与点B重合时,EF的长为 ;当点M的位置变化时,DF长的最大值为 .
(第11题) (第12题)
12(2022苏州)如图,在矩形ABCD中,ABBC=23.动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运动,连接MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v113(2022丽水)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF.
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
14(2022无锡)如图,已知四边形ABCD为矩形,AB=22,BC=4,点E在BC上,CE=AE,将△ABC沿AC翻折到△AFC,连接EF.
(1)求EF的长;
(2)求sin∠CEF的值.
15(2022绍兴)在△ABC中,∠ABC=40°,∠ACB=90°,AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与B,C重合),连接AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连接DC,记∠BCD=α.
(1)如图,当P与E重合时,求α的度数.
(2)当P与E不重合时,记∠BAD=β,探究α与β的数量关系.

备用图
命题点3与图形的平移有关的计算
16(2022福建)如图,现有一把直尺和一块三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得△ABC移动到△A'B'C',点A'对应直尺的刻度为0,则四边形ACC'A'的面积是( )
A.96B.963
C.192D.1603
17(2022鄂州)如图,定直线MN∥PQ,点B,C分别为MN,PQ上的动点,且BC=12,BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点A是MN上方一定点,点D是PQ下方一定点,AE∥BC∥DF,AE=4,DF=8,AD=243,当线段BC在平移过程中,AB+CD的最小值为( )
A.2413B.2415
C.1213D.1215
18(2022台州)如图,△ABC的边BC长为4 cm.将△ABC平移2 cm得到△A'B'C',连接BB',CC',BB'⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2.

(第18题) (第19题)
19(2022临沂)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B的坐标分别是A(0,2),B(2,-1).平移△ABC得到△A'B'C',若点A的对应点A'的坐标为(-1,0),则点B的对应点B'的坐标是 .
20(2022金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm,得到△A'B'C',连接CC',则四边形AB'C'C的周长为 cm.
命题点4与图形的旋转有关的计算
21(2022呼和浩特)如图,△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,使点B的对应点D恰好落在AB边上,AC,ED交于点F,若∠BCD=α,则∠EFC的度数是(用含α的代数式表示)( )
A.90°+12αB.90°-12α
C.180°-32αD.32α
22(2022聊城)如图,在直角坐标系中,线段A1B1是将△ABC绕着点P(3,2)逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分,则点C的对应点C1的坐标是( )
A.(-2,3)B.(-3,2)
C.(-2,4)D.(-3,3)
23(2021广州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则sin∠BB'C'的值为( )
A.35B.45C.55D.255
(第23题) (第24题)
24(2022苏州)如图,点A的坐标为(0,2),点B是x轴正半轴上的一点,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为(m,3),则m的值为( )
A.433B.2213
C.533D.4213
25(2022常德)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E,点F是边AC的中点,连接BF,BE,FD.则下列结论错误的是( )
A.BE=BCB.BF∥DE,BF=DE
C.∠DFC=90°D.DG=3GF
(第25题) (第26题)
26(2022吉林)第二十四届北京冬奥会入场仪式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图,这个图案绕着它的中心旋转α(0°<α<360°)后能够与它本身重合,则α可以为 度.(写出一个即可)
27(2022丽水)一副三角板按图(1)所示放置,O是边BC(DF)的中点,BC=12 cm.如图(2),将△ABC绕点O顺时针旋转60°,AC与EF相交于点G,则FG的长是 cm.
命题点5图形的位似
28(2022重庆A卷)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2∶3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是( )
A.4B.6C.9D.16
(第28题) (第29题)
29(2022梧州)如图,以点O为位似中心,作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知OAOA'=13,若四边形ABCD的面积是2,则四边形A'B'C'D'的面积是( )
A.4B.6C.16D.18
30(2022威海)由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形,∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°.若S△AOB=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为( )
A.(43)3B.(43)7
C.(43)6D.(34)6
31(2021嘉兴)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们的位似中心的坐标是 .
命题点6网格作图及相关计算
32(2022张家界)如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中,△AOB的顶点坐标分别为A(3,0),O(0,0),B(3,4).
(1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位长度,画出平移后的△A1O1B1(不写作法,但要标出顶点字母);
(2)将△AOB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2OB2(不写作法,但要标出顶点字母);
(3)在(2)的条件下,求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π).
33(2022吉林)图(1),图(2)均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.其中点A,B,C均在格点上.请在给定的网格中按要求画四边形.
(1)在图(1)中,找一格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形.
(2)在图(2)中,找一格点E,使以点A,B,C,E为顶点的四边形是中心对称图形.
图(1) 图(2)
34(2022安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将△ABC向上平移6个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别为点A1,B1,C1);
(2)以边AC的中点O为旋转中心,将△ABC按逆时针方向旋转180°,得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2(点A,B,C的对应点分别为点A2,B2,C2).
35(2022河池)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(4,1),B(2,3),C(1,2).
(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1(点A1,B1,C1分别与点A,B,C对应);
(2)以原点O为位似中心,在第三象限内画一个△A2B2C2(点A2,B2,C2分别与点A,B,C对应),使它与△ABC的相似比为2∶1,并写出点B2的坐标.
阶段测评五图形的变换
一、选择题(本题有11小题,每小题3分,共33分)

1(2022常德)国际数学家大会每四年举行一届,下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是( )

A B C D
2(2022黄冈)下列图形中,对称轴条数最多的是( )
A.等边三角形B.矩形
C.正方形 D.圆
3(2022哈尔滨)六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示,其左视图是( )
4(2022恩施州)如图是一个正方体纸盒的展开图,将其折叠成一个正方体后,有“振”字一面的相对面上的字是( )
A.“恩”B.“乡”
C.“村”D.“兴”
5(2022舟山)用尺规作一个角的平分线,下列作法错误的是( )
A.B.
C.D.
6(2022内江)如图,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是( )
A.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移1个单位
B.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移1个单位
C.△ABC绕点C逆时针旋转90°,再向下平移3个单位
D.△ABC绕点C顺时针旋转90°,再向下平移3个单位
(第6题) (第7题)
7(2022嘉兴)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰,其图案由两个全等正方形相叠组成,寓意是同心吉祥.如图,将边长为2 cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1 cm得到正方形A'B'C'D',形成一个“方胜”图案,则点D,B'之间的距离为( )
A.1 cmB.2 cm
C.(2-1)cmD.(22-1)cm
8(2022天津)如图,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AN B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACND.MN⊥AC
(第8题) (第9题)
9(2021东营)如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的横坐标是a,则点B的对应点B'的横坐标是( )
A.-2a+3B.-2a+1
C.-2a+2D.-2a-2
10(2022恩施州)如图,在矩形ABCD中,连接BD,分别以B,D为圆心,大于12BD的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点,作直线PQ,分别与AD,BC交于点M,N,连接BM,DN.若AD=4,AB=2.则四边形MBND的周长为( )
A.52B.5C.10D.20
(第10题) (第11题)
11(2022金华)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD的中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A',B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线过点C.若BFGC=23,则ADAB的值为( )
A.22B.4105C.207D.83
二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)
12(2022成都)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶AD=2∶3,则△ABC与△DEF的周长比是 .
13(2022抚顺)在平面直角坐标系中,线段AB的端点A(3,2),B(5,2),将线段AB平移得到线段CD,点A的对应点C的坐标是(-1,2),则点B的对应点D的坐标是 .
14(2021怀化)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-2,1),B(-1,4),C(-1,1),将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1(点A,B,C的对应点分别是A1,B1,C1),再绕点C1沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1(点A1,B1的对应点分别是A2,B2),则点A2的坐标是 .
(第14题) (第15题)
15(2022抚顺)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=54°,以点C为圆心,CA长为半径作弧交AB 于点D,分别以点A和点D为圆心,大于12AD长为半径作弧,两弧相交于点E,作直线CE,交AB于点F,则∠ACF的度数是 .
16(2021江西)如图,将▱ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则▱ABCD的周长为 .
(第16题) (第17题)
17(2022柳州)如图,在正方形ABCD中,AB=4,G是BC的中点,点E是正方形ABCD内一个动点,且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,则线段CF长的最小值为 .
三、解答题(本题有8小题,共71分)
18(5分)(2022陕西)如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-3,0),C(-1,-1).将△ABC平移后得到△A'B'C',且点A的对应点是A'(2,3),点B,C的对应点分别是B',C'.
(1)点A,A'之间的距离是 ;
(2)请在图中画出△A'B'C'.
19(8分)(2022温州)如图,在2×6的方格纸中,已知格点P,请按要求画格点图形(顶点均在格点上).
(1)在图(1)中画一个锐角三角形,使点P为其中一边的中点,再画出该三角形向右平移2个单位后的图形.
(2)在图(2)中画一个以点P为一个顶点的钝角三角形,使三边长都不相等,再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形.
图(1) 图(2)
20(8分)(2021无锡)如图,已知锐角三角形ABC中,AC=BC.
(1)请在图(1)中用无刻度的直尺和圆规作图:作∠ACB的平分线CD;作△ABC的外接圆☉O.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若 AB=485,☉O的半径为5,则sin B= .(如需画草图,请使用图(2))
图(1)
图(2)
21(8分)(2022荆州)如图,在10×10的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中△ABC为格点三角形.请按要求作图,不需证明.
(1)在图(1)中,作出与△ABC全等的所有格点三角形,要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边,且不与△ABC重叠;
(2)在图(2)中,作出以BC为对角线的所有格点菱形.
图(1) 图(2)
22(8分)(2021绥化)如图所示,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,把小正方形的顶点叫做格点,O为平面直角坐标系的原点,矩形OABC的4个顶点均在格点上,连接对角线OB.
(1)在平面直角坐标系内,以原点O为位似中心,把△OAB缩小,作出它的位似图形,并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12;
(2)将△OAB以O为旋转中心,逆时针旋转90°,得到△OA1B1,作出△OA1B1,并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长.
23(10分)(2022山西)综合与实践
问题情境:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°,将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处,并将三角板绕点D旋转,三角板的两边DE,DF分别与边AB,AC交于点M,N.
猜想证明:
(1)如图(1),在三角板旋转过程中,当点M为边AB的中点时,试判断四边形AMDN的形状,并说明理由;
问题解决:
(2)如图(2),在三角板旋转过程中,当∠B=∠MDB时,求线段CN的长;
(3)如图(3),在三角板旋转过程中,当AM=AN时,直接写出线段AN的长.
图(1) 图(2)
图(3)
24(12分)(2022天津)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(3,0),点C(0,6),点P在边OC上(点P不与点O,C重合),折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且∠OPQ=30°,点O的对应点O'落在第一象限.设OQ=t.
(Ⅰ)如图(1),当t=1时,求∠O'QA的大小和点O'的坐标;
(Ⅱ)如图(2),若折叠后重合部分为四边形,O'Q,O'P分别与边AB相交于点E,F,试用含有t的式子表示O'E的长,并直接写出t的取值范围;
(Ⅲ)若折叠后重合部分的面积为33,则t的值可以是 (直接写出两个不同的值即可).
图(1) 图(2)
25(12分)(2022十堰)已知∠ABN=90°,在∠ABN内部作等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=α(0°<α≤90°).点D为射线BN上任意一点(与点B不重合),连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE,连接EC并延长交射线BN于点F.
(1)如图(1),当α=90°时,线段BF与CF的数量关系是 .
(2)如图(2),当0°<α<90°时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(3)若α=60°,AB=43,BD=m,过点E作EP⊥BN,垂足为 P,请直接写出PD的长(用含有m的式子表示).
图(1) 图(2)
备用图
分类训练22统计
命题点1调查方式
1(2022黄冈)下列调查中,适宜采用全面调查方式的是( )
A.检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
B.检测一批LED灯的使用寿命
C.检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量
D.检测一批家用汽车的抗撞击能力
2(2022柳州)以下调查中,最适合采用抽样调查的是( )
A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B.了解全班50名同学每天体育锻炼的时间
C.学校招聘教师,对应聘人员进行面试
D.为保证神舟十四号载人飞船成功发射,对其零部件进行检查
命题点2平均数、中位数、众数、方差
3(2022泸州)菲尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项,每四年评选一次,主要授予年轻的数学家.下面数据是部分获奖者获奖时的年龄(单位:岁):29,32,33,35,35,40,则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.35,35B.34,33
C.34,35D.35,34
4(2022荆州) 从班上13名排球队员中,挑选7名个头高的参加校排球比赛.若这13名队员的身高各不相同,其中队员小明想知道自己能否入选,只需知道这13名队员身高数据的( )
A.平均数B.中位数C.最大值D.方差
5(2022嘉兴)A,B两名射击运动员进行了相同次数的射击,下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中,能说明A成绩较好且更稳定的是( )
A.xA>xB且sA2>sB2B.xAsB2
C.xA>xB且sA2 6(2022恩施州)为了解某小区居民的用水情况,随机抽查了若干户家庭的某月用水量,统计结果如下表所示:
关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析,下列说法正确的是( )
A.众数是5B.平均数是7
C.中位数是5D.方差是1
7(2022河北)五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10(单位:元),捐10元的同学后来又追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比,集中趋势相同的是( )
A.只有平均数B.只有中位数
C.只有众数D.中位数和众数
8(2022抚顺)甲、乙两人在相同的条件下各射击10次,将每次命中的环数绘制成如图所示统计图.根据统计图得出的结论正确的是( )
A.甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定
B.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
C.甲射击成绩的平均数大于乙射击成绩的平均数
D.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
9(2022常德)2022年4月23日是第27个世界读书日,某校举行了演讲大赛,演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算,小芳这四项的得分依次为85,88,92,90,则她的最后得分是 分.
10(2022北京)某商场准备进400双滑冰鞋,了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号,数据如下:
根据以上数据,估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双.
11(2022北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛,十位评委对每位同学的演唱进行现场打分.对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息.
a.甲、乙两位同学得分的折线图:
b.丙同学得分:10,10,10,9,9,8,3,9,8,10.
c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:
根据以上信息,回答下列问题.
(1)求表中m的值.
(2)在参加比赛的同学中,如果某同学得分的10个数据的方差越小,则认为评委对该同学演唱的评价越一致.据此推断:在甲、乙两位同学中,评委对 的评价更一致(填“甲”或“乙”).
(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分,最后得分越高,则认为该同学表现越优秀,据此推断:在甲、乙、丙三位同学中,表现最优秀的是 (填“甲”“乙”或“丙”).

12(2022重庆A卷)公司生产A,B两种型号的扫地机器人,为了解它们的扫地质量,工作人员从某月生产的A,B型扫地机器人中各随机抽取10台,在完全相同的条件下试验,记录下它们的除尘量的数据(单位:g),并进行整理、描述和分析(除尘量用x表示,共分为三个等级:合格80≤x<85,良好85≤x<95,优秀x≥95),下面给出了部分信息:
10台A型扫地机器人的除尘量:83,84,84,88,89,89,95,95,95,98.
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据:85,90,90,90,94.
抽取的A,B型扫地机器人除尘量统计表
抽取的B型扫地机器人除尘量扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题.
(1)填空:a= ,b= ,m= .
(2)这个月公司生产B型扫地机器人共3 000台,估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数.
(3)根据以上数据,你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好?请说明理由(写出一条理由即可).

命题点3分析统计图(表)
13(2022济宁)某班级开展“共建书香校园”读书活动,统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数,并绘制出如图所示的折线统计图.则下列说法正确的是( )
A.从2月到6月,阅读课外书的本数逐月下降
B.从1月到7月,每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
C.每月阅读课外书本数的众数是45
D.每月阅读课外书本数的中位数是58
14(2021黄冈)高尔基说:“书,是人类进步的阶梯.”阅读可以丰富知识,拓展视野,充实生活,给我们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角,为合理搭配各类书籍,学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题,对全校学生进行抽样调查,收集整理喜爱的书籍类型(A.科普,B.文学,C.体育,D.其他)数据后,绘制出如下两幅不完整的统计图,则下列说法错误的是( )
A.样本容量为400
B.类型D所对应的扇形的圆心角为36°
C.类型C所占百分比为30%
D.类型B的人数为120人
15(2022苏州)某校九年级640名学生在“信息素养提升”培训前、后各参加了一次水平相同的测试,并以同一标准折算成“6分”“7分”“8分”“9分”“10分”5个成绩.为了解培训效果,用抽样调查的方式从中抽取了32名学生的2次测试成绩,并用划记法制成了如下表格:
(1)这32名学生2次测试成绩中,培训前测试成绩的中位数是m,培训后测试成绩的中位数是n,则m n.(填“>”“<”或“=”)
(2)这32名学生经过培训,测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了多少?
(3)估计该校九年级640名学生经过培训,测试成绩为“10分”的学生增加了多少人?

16(2022无锡)育人中学初二年级共有200名学生,2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练,开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试,两次测试数据如下:
育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的
频数分布表
育人中学初二学生30秒跳绳最
终测试成绩的扇形统计图
(1)表格中a= ;
(2)请把扇形统计图补充完整;(只需标注相应的数据)
(3)请问经过一个学期的训练,该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少.
17(2022吉林)为了解全国常住人口城镇化率的情况,张明查阅相关资料,整理数据并绘制统计图如下:
(以上数据来源于《中华人民共和国2021年
国民经济和社会发展统计公报》)
注:城镇化率=城镇常住人口总人口×100%.例如,城镇常住人口60.12万人,总人口100万人,则城镇化率为60.12%.
回答下列问题:
(1)2017—2021年年末,全国常住人口城镇化率的中位数是 %.
(2)2021年年末全国人口141 260万人,2021年年末全国城镇常住人口为 万人.(只填算式,不计算结果)
(3)下列推断较为合理的是 (填序号) .
①2017—2021年年末,全国常住人口城镇化率逐年上升,估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%.
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021 年年末比2020年年末增加0.83%,全国常住人口城镇化率增加幅度减小,估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%.

18(2022黄冈) 为落实“双减”政策,优化作业管理,某中学从全体学生中随机抽取部分学生,调查他们每天完成书面作业的时间t(单位:分钟).按照完成时间分成五组:A组“t≤45”,B组“4590”.将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图.
每天完成书面作业 每天完成书面作业
时间条形统计图 时间扇形统计图
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次调查的样本容量是 ,请补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,B组的圆心角是 度,本次调查数据的中位数落在 组内;
(3)若该校有1 800名学生,请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数.
命题点4数据的整理与分析
19(2022达州)“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一.某校为确保学生安全,开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理和分析(成绩得分用x表示,共分成四组:A.80≤x<85,B.85≤x<90,C.90≤x<95,D.95≤x≤100),下面给出了部分信息:
七年级10名学生的竞赛成绩是:96,84,97,85,96,96,96,84,90,96.
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:92,92,94,94.
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图

根据以上信息,解答下列问题:
(1)上述图表中a= ,b= ,m= .
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好?请说明理由(一条理由即可).
(3)该校七、八年级共1 200人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是多少?
20(2022呼和浩特)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励.为了确定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组,并整理和分析如下:
频数分布表
数据分析表
请根据以上信息解答下列问题.
(1)上表中a= ,b= ,c= ,d= .
(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标,你认为月销售额定为多少合适?说明理由.
(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言,请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率.

分类训练23概率
命题点1事件的分类
1(2022武汉)彩民李大叔购买1张彩票,中奖.这个事件是( )
A.必然事件B.确定性事件
C.不可能事件D.随机事件
2(2022扬州)下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A.水落石出B.水涨船高
C.水滴石穿D.水中捞月
3(2022广西北部湾经济区)下列事件是必然事件的是( )
A.三角形内角和是180°
B.端午节赛龙舟,红队获得冠军
C.掷一枚均匀骰子,点数是6的一面朝上
D.打开电视,正在播放神舟十四号载人飞船发射实况
4(2021贵阳)“一个不透明的袋中装有三个球,球上分别标有1,2,x这三个号码,这些球除号码外都相同,搅匀后任意摸出一个球,摸出球上的号码小于5”是必然事件,则x的值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
命题点2一步概率的计算(含几何概型)
5(2022绍兴)在一个不透明的袋子里,装有3个红球、1个白球,它们除颜色外都相同,从袋中任意摸出一个球为红球的概率是( )
A.34B.12C.13D.14
6(2022温州)9张背面相同的卡片,正面分别写有不同的从1到9的一个自然数.现将卡片背面朝上,从中任意抽出一张,正面的数是偶数的概率为( )
A.19B.29C.49D.59
7(2022烟台)如图所示的电路,同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是( )
A.13 B.23 C.12 D.1
8(2022苏州)如图,在5×6的长方形网格飞镖游戏板中,每块小正方形除颜色外都相同,小正方形的顶点称为格点,扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的(击中扇形的边界或没有击中游戏板,则重投1次),任意投掷飞镖1次,飞镖击中扇形OAB(阴影部分)的概率是( )
A.π12B.π24C.10π60D.5π60
9(2022株洲)某产品生产企业开展有奖促销活动,将每6件产品装成一箱,且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品,则能中奖的概率是 .(用最简分数表示)
10(2022牡丹江)在九张质地都相同的卡片上分别写有数字-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,从中任意抽取一张卡片,则所抽卡片上数字的绝对值不大于2的概率是 .
11(2022成都)如图,已知☉O是小正方形的外接圆,是大正方形的内切圆.现假设可以随意在图中取点,则这个点取在阴影部分的概率是 .
命题点3频率与概率
12(2022牡丹江)王老师对本班40名学生的血型进行统计,列出如下的统计表,则本班A型血的人数是( )
A.16人B.14人 C.4人D.6人
13(2022抚顺)质检部门对某批产品的质量进行随机抽检,结果如下表所示:
在这批产品中任取一件,恰好是合格产品的概率约是(结果保留一位小数) .
命题点4两步概率的计算
14(2022邵阳)假定按同一种方式掷两枚均匀硬币,如果第一枚出现正面朝上,第二枚出现反面朝上,就记为(正,反),如此类推,出现(正,正)的概率是( )
A.1B.34C.12D.14
15(2022北京)不透明的袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是( )
A.14B.13C.12D.34
16(2022常德)从1,2,3,4,5这五个数中任选两个数,其和为偶数的概率为( )
A.15B.25C.35D.45
17(2022武汉)班长邀请A,B,C,D四位同学参加圆桌会议.如图,班长坐在⑤号座位,四位同学随机坐在①②③④四个座位,则A,B两位同学座位相邻的概率是( )
14B.13C.12D.23
18(2022河南)为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动,某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲,则恰好选中甲和丙的概率为 .
19(2021荆州)有两把不同的锁和四把钥匙,其中两把钥匙分别能打开这两把锁,另外两把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的概率是 .
20(2022聊城)如图,两个相同的可以自由转动的转盘A和B,转盘A被三等分,分别标有数字2,0,-1;转盘B被四等分,分别标有数字3,2,-2,-3.如果同时转动转盘A,B,转盘停止时,两个指针指向转盘A,B上的对应数字分别为x,y(当指针指向两个扇形的交线时,需重新转动转盘),那么点(x,y)落在直角坐标系第二象限的概率是 .
21(2022吉林)长白山国家级自然保护区、松花湖风景名胜区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区.甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区.他们准备了3张不透明的卡片,正面分别写上长白山、松花湖、净月潭.卡片除正面景区名称不同外其余均相同,将3张卡片正面向下洗匀,甲先从中随机抽取一张卡片,记下景区名称后正面向下放回,洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法,求两人都决定去长白山的概率.

22(2022江西)某医院计划选派护士支援某地的防疫工作,甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加,其中甲是共青团员,其余3人均是共产党员.医院决定用随机抽取的方式确定人选.
(1)“随机抽取1人,甲恰好被抽中”是 事件;
A.不可能 B.必然 C.随机
(2)若需从这4名护士中随机抽取2人,请用画树状图法或列表法求出被抽到的2名护士都是共产党员的概率.
23(2022扬州)某超市为回馈广大消费者,在开业周年之际举行摸球抽奖活动.摸球规则如下:在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的2个球中任意摸出1个球.
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果.
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次,一等奖的获奖率低于二等奖.现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次,请写出它们分别对应的奖次,并说明理由.

24(2022陕西)有5个封装后外观完全相同的纸箱,且每个纸箱内各装有一个西瓜,其中,所装西瓜的质量分别为6 kg,6 kg,7 kg,7 kg,8 kg.现将这5个纸箱随机摆放.
(1)若从这5个纸箱中随机选1个,则所选纸箱里西瓜的质量为6 kg的概率是 ;
(2)若从这5个纸箱中随机选2个,请利用列表或画树状图的方法,求所选2个纸箱里西瓜的质量之和为15 kg的概率.

25(2022连云港)“石头、剪子、布”是一个广为流传的游戏,规则是:甲、乙两人都做出“石头”“剪子”“布”3种手势中的1种,其中“石头”赢“剪子”,“剪子”赢“布”,“布”赢“石头”,手势相同不分输赢.假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种.
(1)甲每次做出“石头”手势的概率为 ;
(2)用画树状图或列表的方法,求乙不输的概率.

26(2022青岛) 2022年3月23日下午,“天宫课堂”第二课开讲,航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课,激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时,均获得了一等奖,学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享,于是两人决定一起做游戏,谁获胜谁分享.游戏规则如下:甲口袋装有编号为1,2的两个球,乙口袋装有编号为1,2,3,4,5的五个球,两口袋中的球除编号外都相同,小冰先从甲口袋中随机摸出一个球,小雪再从乙口袋中随机摸出一个球,若两球编号之和为奇数,则小冰获胜,若两球编号之和为偶数,则小雪获胜.
请用列表或画树状图的方法,说明这个游戏对双方是否公平.

阶段测评六统计与概率
一、选择题(本题有8小题,每小题3分,共24分)
1(2022铁岭)下列事件中,是必然事件的是( )
A.射击运动员射击一次,命中靶心
B.掷一次骰子,向上一面的点数是6
C.任意买一张电影票,座位号是2的倍数
D.从一个只装有红球的盒子里摸出一个球是红球
2(2022常德)下列说法正确的是( )
A.为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用扇形统计图最合适
B.“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C.一组数据的中位数可能有两个
D.为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式
3(2022宁波) 开学前,根据学校防疫要求,小宁同学连续14天进行了体温测量,结果统计如下表:
这14天中,小宁体温的众数和中位数分别为( )

A.36.5 ℃,36.4 ℃B.36.5 ℃,36.5 ℃
C.36.8 ℃,36.4 ℃D.36.8 ℃,36.5 ℃
4(2022滨州)今年我国小麦大丰收,农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦,测得其麦穗长(单位:cm)分别为8,8,6,7,9,9,7,8,10,8,那么这一组数据的方差为( )
A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2
5(2022十堰)甲、乙两人在相同的条件下,各射击10次,经计算:甲射击成绩的平均数是8环,方差是1.1;乙射击成绩的平均数是8环,方差是1.5.下列说法中不一定正确的是( )
A.甲、乙的总环数相同
B.甲的成绩比乙的成绩稳定
C.乙的成绩比甲的成绩波动大
D.甲、乙成绩的众数相同
6(2022南充) 为了解“睡眠管理”落实情况,某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间(时间均保留整数),将样本数据绘制成统计图(如图),其中有两个数据被遮盖.关于睡眠时间的统计量中,与被遮盖的数据无关的是( )
A.平均数B.中位数C.众数D.方差
7(2022赤峰)某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查,要求每人只能选择其中的一项.根据得到的数据,绘制的不完整统计图如下,则下列说法中不正确的是( )
A.这次调查的样本容量是200
B.全校1 600名学生中,估计最喜欢体育课外活动的有500人
C.扇形统计图中,科技部分所对应的圆心角是36°
D.被调查的学生中,最喜欢艺术课外活动的有50人
8(2022安徽)随着信息化的发展,二维码已经走进我们的日常生活,其图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A.13B.38C.12D.23
二、填空题(本题有4小题,每小题3分,共12分)
9(2022湖州)一个不透明的箱子里放着分别标有数字1,2,3,4,5,6的六个球,它们除了数字外其余都相同.从这个箱子里随机摸出一个球,摸出的球上所标数字大于4的概率是 .
10(2022长沙)为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况,从该校全体1 000名学生中,随机抽取了100 名学生进行调查.结果显示有95名学生知晓.由此,估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有 名.
11(2022青岛)小明参加“建团百年,我为团旗添光彩”主题演讲比赛,其演讲形象、内容、效果三项分别是9分,8分,8分.若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为 分.
12(2021贵阳)贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中,要求学生两人一组合作进行,并随机抽签决定分组.有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试,则甲、乙两位同学分到同一组的概率是 .
三、解答题(本题有8小题,共71分)
13(6分)(2022苏州)一只不透明的袋子中装有1个白球,3个红球,这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球,这个球是白球的概率为 ;
(2)搅匀后从中任意摸出1个球,记录颜色后放回,搅匀,再从中任意摸出1个球,求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)
14 (6分)(2022无锡)建国中学有7位学生的生日是10月1日,其中男生分别记为A1,A2,A3,A4,女生分别记为B1,B2,B3.学校准备召开国庆联欢会,计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动.
(1)若任意抽取1位学生,则抽取的学生为女生的概率是 ;
(2)若先从男生中任意抽取1位,再从女生中任意抽取1位,求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率.(请用“画树状图”或“列表”的方法写出分析过程)

15 (8分)(2022广东)为振兴乡村经济,在农产品网络销售中实行目标管理,根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励,某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
10 4 7 5 4 10 5 4 4 18 8
3 5 10 8
(1)补全如下月销售额数据的条形统计图.
(2)月销售额在哪个值的人数最多(众数)?中间的月销售额(中位数)是多少?平均月销售额(平均数)是多少?
(3)根据(2)中的结果,确定一个较高的销售目标给予奖励,你认为月销售额定为多少合适?
16(10分)(2021河北)某博物馆展厅的俯视示意图如图(1)所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同.
(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率;
(2)补全图(2)的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.
图(1)
图(2)
17(10分)(2022南充)为传播数学文化,激发学生学习兴趣,学校开展数学学科月活动,七年级开展了四个项目:A.阅读数学名著;B.讲述数学故事;C.制作数学模型;D.挑战数学游戏.要求七年级学生每人只能参加一项.为了解学生参加各项目情况,随机调查了部分学生,将调查结果制作成统计表和扇形统计图(如图).
请根据图表信息解答下列问题:
(1)a= ,b= .
(2)扇形统计图中“B”项目所对应的扇形圆心角为 度.
(3)在月末的展示活动中,“C”项目中七(1)班有3人获得一等奖,七(2)班有2人获得一等奖,现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛,请用列表法或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率.

18(10分)(2022安徽)第24届冬奥会于2022年2月20日在北京胜利闭幕.某校七、八年级各有500名学生,为了解这两个年级学生对本次冬奥会的关注程度,现从这两个年级各随机抽取n名学生进行冬奥会知识测试,将测试成绩按以下六组进行整理(得分用x表示):
A:70≤x<75;B:75≤x<80;C:80≤x<85;D:85≤x<90;E:90≤x<95;F:95≤x≤100.
并绘制七年级测试成绩频数直方图和八年级测试成绩扇形统计图,部分信息如下:
已知八年级测试成绩D组的全部数据如下:
86,85,87,86,85,89,88.
请根据以上信息,完成下列问题.
(1)n= ,a= .
(2)八年级测试成绩的中位数是 .
(3)若测试成绩不低于90分,则认定该学生对冬奥会关注程度高.请估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有多少人,并说明理由.

19(10分)(2022广西北部湾经济区) 综合与实践
【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动.
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,整理数据如下:
【实践探究】分析数据如下:
【问题解决】
(1)上述表格中:m= ,n= .
(2)①A同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为芒果树叶的形状差别大.”
②B同学说:“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍.”
上面两位同学的说法中,合理的是 (填序号).
(3)现有一片长11 cm,宽5.6 cm的树叶,请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树,并给出你的理由.

20(11分)(2022江西)在“双减”政策实施两个月后,某市“双减办”面向本市城区学生,就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查(以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”),根据问卷提交时间的不同,把收集到的数据分两组进行整理,分别得到统计表和统计图(1):
整理描述
“双减”前后报班情况统计表(第一组)
“双减”前后报班情况统计图(第二组)
图(1)
“双减”前后报班情况统计图
图(2)
(1)m的值为 ,nm的值为 ;
分析处理
(2)请你汇总统计表和图(1)中的数据,求出“双减”后报班个数为3的学生人数所占的百分比.
(3)“双减办”汇总数据后,制作了“双减”前后报班情况的折线统计图,如图(2).请依据以上图表中的信息回答以下问题:
①本次调查中,“双减”前学生报班个数的中位数为 ,“双减”后学生报班个数的众数为 .
②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析(用一句话来概括).

中考考点集训
分类训练1 实数(含二次根式)
1.D 2.A 3.-5 4.A
5.B 【解析】 ∵点B表示的数为6,∴OB=6.又OB=2OA,∴OA=3.又∵点A位于原点左侧,∴点A表示的数为-3.
6.A 【解析】 由题意得a-b,-2a>-2b,∴1-2a>1-2b.故A中的式子成立,B中的式子不成立.∵点A在原点左侧,点B在原点右侧,且点B离原点较远,∴|a|<|b|,a+b>0,∴|a|-|b|<0.故C,D中的式子均不成立.故选A.
7.B 8.C
9.C 【解析】 (4×102)2=42×(102)2=16×104=1.6×105(m2).
×105 ×10-7 12.C 13.3 14.2 15.2 16.x≥-1
17.7 【解析】 由题意可知m-n-5=0,2m+n-4=0,∴m=3,n=-2,∴3m+n=9-2=7.
18.18 19.3
20.23 【解析】 原式=48-9×43=43-23=23.
21.2 【解析】 ∵1<2<2,∴-2<-2<-1,∴1<3-2<2,∴a=1,b=3-2-1=2-2,∴(2+2a)·b=(2+2)(2-2)=2.
22.C
23.C 【解析】 ∵12.25<15<16,∴3.5<15<4,∴5.5<2+15<6,∴与2+15最接近的整数是6,故选C.
24.A 【解析】 ∵9<10<16,∴3<10<4,∴3-1<10-1<4-1,即2<10-1<3.又∵m>|10-1|,且m为整数,∴m≥3,且m为整数.故选A.
25.B
26.< 【解析】 ∵2-2=14,30=1,14<1,∴2-2<30.
27.< 【解析】 ∵(33)2=13,(22)2=12,13<12,∴33<22.
28.B 29.A
30.C 【解析】 ∵1亿=108,1万=104,∴1兆=1万×1万×1亿=104×104×108=1016,故选C.
31.1 000 【解析】 k×101.5×8k×101.5×6=1012109=1 000.
32.【参考答案】 原式=-8×94×(16-26)
=-8×94×(-16)
=3.
33.【参考答案】 原式=1+2-1-2×1
=1+2-1-2
=0.
34.【参考答案】 原式=1-4×12+22×22
=1-2+2
=1.
分类训练2 整式
1.C
2.C 【解析】 a2·a3=a5,3a-2a=a,(-2a2)3=-8a6,a6÷a2=a4.故选C.
3.D 【解析】 逐项分析如下,故选D.
4.a6 【解析】 原式=(-1)2·a3×2=a6.
5.y2-xy+3 【解析】 (2xy+3y2-5)-(3xy+2y2-8)=2xy+3y2-5-3xy-2y2+8=y2-xy+3.
6.【参考答案】 原式=a2+2a-a2+b2-b2+3b
=2a+3b.
7.【参考答案】
原式=x2-y2+y2-2y
=x2-2y.
当x=1,y=12时,原式=12-2×12=0.
8.【参考答案】 原式=x2-2x+1+x2+23x
=2x2-43x+1.
∵3x2-2x-3=0,
∴x2-23x=1,
∴原式=2(x2-23x)+1
=2×1+1
=3.
9.【参考答案】
原式=3x2-2x+6x-4-(2x2+4x)
=3x2+4x-4-2x2-4x
=x2-4.
当x=3-1时,原式=(3-1)2-4=-23.
10.【参考答案】 A=m+6.
完整解答过程如下:
m(m+6)-6(m+1)
=m2+6m-6m-6
=m2-6.
11.C
12.a(a-3)
13.x(y+1)(y-1) 【解析】 原式=x(y2-1)=x(y+1)(y-1).
14.2(a-1)2 【解析】 原式=2(a2-2a+1)=2(a-1)2.
15.C
16.2 【解析】 ∵x2-3x+1=0,∴x2-3x=-1,∴3x2-9x+5=3(x2-3x)+5=3×(-1)+5=2.
17.90 【解析】 ∵m+n=10,mn=5,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=102-2×5=100-10=90.
18.14 【解析】 把x=2代入方程ax+b=3中,得2a+b=3,故原式=(2a+b)2+2(2a+b)-1=32+2×3-1=14.
19.【参考答案】 ∵a+b=(2+5)+(2-5)=4,ab=(2+5)(2-5)=-1,
∴原式=ab(a+b)=-1×4=-4.
20.A 21.n2-(n-1)2
分类训练3 分式
1.x≠1 2.0
3.A 【解析】 原式=a+3(a-3)(a+3)-6(a-3)(a+3)=a-3(a-3)(a+3)=1a+3.
4.A 【解析】 2a+b≠0,(1a+b+1a-b)÷2a+b=a-b+a+b(a+b)(a-b)·a+b2=aa-b.故选A.
5.x 【解析】 原式=x2-2xx-2=x(x-2)x-2=x.
6.aa+2 【解析】 原式=a-3(a+2)2·(a+2)(a-2)a-3+2a+2=a-2a+2+2a+2=aa+2.
7.【参考答案】
原式=(x+1)(x-1)x·xx-1
=x+1.
8.【参考答案】
原式=[(m+3)(m-3)(m-3)2-3m-3]·m-3m2
=(m+3m-3-3m-3)·m-3m2
=mm-3·m-3m2
=1m.
9.【参考答案】 原式=(a-2)2-4a-2×a2-4a-4
=a2-4aa-2×a2-4a-4
=a(a-4)a-2×(a+2)(a-2)a-4
=a(a+2)
=a2+2a.
10.【参考答案】
原式=(x+1x+1+1x+1)·x+1(x+2)2
=x+2x+1·x+1(x+2)2
=1x+2.
∵x=4,∴原式=14+2=16.
11.【参考答案】 原式=a-1(a-1)2÷a2+a+a+1(a+1)(a-1)
=a-1(a-1)2·(a+1)(a-1)(a+1)2
=1a+1.
当a=3-1时,原式=13-1+1=33.
12.【参考答案】 原式=(a2-1a-1-3a-1)÷(a+2)2a-1
=a2-4a-1÷(a+2)2a-1
=(a+2)(a-2)a-1·a-1(a+2)2
=a-2a+2.
∵a=tan 45°+(12)-1-π0=1+2-1=2,
∴原式=2−22+2=0.
13.【参考答案】
原式=[a(a+b)(a-b)-1a+b]·(a-b)2b
=a(a+b)(a-b)·(a-b)2b-1a+b·(a-b)2b
=a2-abb(a+b)-(a-b)2b(a+b)
=b(a-b)b(a+b)
=a-ba+b.
∵a=(13)-1=3,b=(-2 022)0=1,
∴原式=3−13+1=12.
14.B 【解析】 原式=(a+b)2a2b2÷(-a2-b2a2b2)=-(a+b)2a2b2·a2b2(a+b)(a-b)=-a+ba-b.∵a2+b2=3ab,∴a2+b2+2ab=3ab+2ab,a2+b2-2ab=3ab-2ab,∴(a+b)2=5ab,(a-b)2=ab.∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,∴a+b=5ab,a-b=ab,∴原式=-5abab=-5.故选B.
15.【参考答案】
原式=3x+2yx2-y2-xx2-y2=2x+2yx2-y2=2(x+y)(x+y)(x-y)
=2x-y.
当x=2+y时,原式=22=1.
16.【参考答案】 原式=2x(x+1)÷x2-1-x+1x2-1
=2x(x+1)·(x+1)(x-1)x(x-1)
=2x2.
解2(x-1)解5x+3≥2x,得x≥-1,
故不等式组的解集为-1≤x<3,
其整数解为-1,0,1,2.
∵当x=-1,0或1时,原式无意义,
∴x=2.
当x=2时,原式=222=12.
17.【参考答案】
原式=x-1+1(x+1)(x-1)·x-1x
=1x+1.
易知x≠-1,0,1,∴x= 3,
∴原式=1 3+1= 3-12.
阶段测评一 数与式
1.A 2.B
3.D 【解析】 逐项分析如下:
4.D 【解析】 由实数a,b在数轴上的对应点的位置,可知-2b.
5.B 【解析】 7.7×103×2×102=7.7×2×103×102=15.4×105=1.54×106(m).
6.D 【解析】 由9m=3,得32m=3;由27n=4,得33n=4.故32m+3n=32m×33n=3×4=12.
7.B 【解析】 3×(23+5)=6+15,∵9<15<16,∴3<15<4,∴9<6+15<10,故选B.
8.B 【解析】 ∵x和y互为倒数,∴xy=1,∴(x+1y)(2y-1x)=2xy-1+2-1xy=2×1-1+2-1=2.
9.π(答案不唯一)
10.x>4
11.x(x+3y)(x-3y) 【解析】 x3-9xy2=x(x2-9y2)=x(x+3y)(x-3y).
12.23 13.-6
14.4,7或8 【解析】 由二次根式的定义,得8-x≥0,解得x≤8.∵x是正整数,∴x可取1,2,3,4,5,6,7,8.又∵8−x是整数,∴x可取4,7或8.
15.2 【解析】 原式=x2+xy+xy-x2xy=2xyxy=2.
16.72 【解析】 由2a2-7=2a,得2a2-2a=7,∴a2-a=72.原式=a2-2a+1a×a2a-1=(a-1)2a×a2a-1 =a(a-1)=a2-a=72.
17.【参考答案】 原式=3-2+3+1-23+4 (4分)
=3. (6分)
18.【参考答案】 ∵x2+2x-2=0,
∴x2+2x=2,(1分)
∴原式=x2+2x+x2+2x+1(3分)
=2+2+1
=5.(6分)
19.【参考答案】 (1)③(2分)
(2)原式=[x+1(x+2)(x-2)-1x+2]×x-23
=[x+1(x+2)(x-2)-x-2(x+2)(x-2)]×x-23
=x+1−x+2(x+2)(x-2)×x-23
=3(x+2)(x-2)×x-23
=1x+2.(7分)
归纳总结
分式混合运算应注意的七点
1.注意分式混合运算的顺序.
2.进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.
3.除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.
4.分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.
5.进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.
6.化简结果要最简.
7.代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.
20.【参考答案】 原式=a-2a-1·2a-2+a-1(a-1)2
=2a-1+1a-1
=3a-1.(5分)
∵当a=1或2时,原式无意义,
∴a=3.
当a=3时,原式=32.(7分)
21.【参考答案】 验证 12×10=5=22+12.(3分)
探究 (m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2).
∵m,n为正整数,∴m2+n2是正整数,
∴(m+n)2+(m-n)2一定是偶数,
∴该偶数的一半为12[(m+n)2+(m-n)2]=m2+n2.(9分)
分类训练4 方程(组)及其应用
1.C
2.B 【解析】 将①代入②,得x+2(x-1)=7,去括号,得x+2x-2=7.
3.1 【解析】 x+2y=4,①2x+y=5,②②-①,得x-y=5-4=1.
4.【参考答案】 4x+y=5, ①x-12+y3=2,②
由②,得3x+2y=15,③
①×2-③,得5x=-5,
解得x=-1.
把x=-1代入①,得y=9,
故方程组的解为x=−1,y=9.
5.【参考答案】 ①+②,得2x=4,∴x=2.
①-②,得2y=2,∴y=1.
将x=2,y=1代入2kx-3y<5,得4k-3<5,
解得k<2.
6.x=5 【解析】 方程两边同时乘x(x+5),得2x=x+5,解得x=5.检验:当x=5时,x(x+5)≠0.故x=5是原分式方程的解.
7.x=3 【解析】 去分母,得3-x-1=x-4,移项、合并同类项,得-2x=-6,系数化为1,得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.
8.x=4 【解析】 方程两边同乘2x(x-2),得2×2(x-2)+2=5(x-2),解得x=4.检验:当x=4时,2x(x-2)=16≠0,∴x=4是原方程的解.
9.【参考答案】 方程两边同乘以x(x+1),得x2+3(x+1)=x(x+1).
解方程,得x=-32.
经检验,x=-32是原方程的解.
10.【参考答案】 xx-2-1=4(x-2)2,
x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
故x=4是原方程的解.
11.D 【解析】 方程两边同时乘(x-1),得2x+m=x-1,解得x=-1-m.∵方程的解是正数,∴x>0,且x≠1,∴-1-m>0,且-1-m≠1,∴m<-1且m≠-2.
12.±1 【解析】 2x-ax-1-4=-2x+ax+1可变形为2x-2+2-ax-1-4=-2x-2+2+ax+1,即2+2−ax-1-4=-2+2+ax+1,∴2−ax-1=2+ax+1,∴(2-a)(x+1)=(2+a)(x-1),∴x=2a.又∵x为整数,且x≠±1,∴整数a=±1.
13.D 【解析】 方法一:∵x2+4x+3=0,∴x2+4x=-3,∴x2+4x+4=-3+4,∴(x+2)2=1,∴x+2=±1,∴x1=-1,x2=-3.方法二:x2+4x+3=0可化为(x+1)(x+3)=0,∴x1=-1,x2=-3.
14.B 【解析】 移项,得x2-2x=24,配方,得x2-2x+1=25,即(x-1)2=25,∴x-1=±5,∴x1=6,x2=-4.
15.A 【解析】 ∵m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根,∴m2+2m-5=0,mn=-5,∴m2+2m=5,∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0.故选A.
16.1 【解析】 将x=1代入x2-2x+a=0,得1-2+a=0,∴a=1.
17.3 【解析】 ∵x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,∴x1·x2=ca=31=3.
18.43 【解析】 由题意得a,b是方程x2-4x+3=0的两个不相等的实数根,∴a+b=4,ab=3,∴1a+1b=a+bab=43.
19.【参考答案】 移项,得x2-2x=5,
配方,得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2=6,
开方,得x-1=±6,
解得x1=1+6,x2=1-6.
20.【参考答案】 等号两边同时开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x=1或x=-1.
21.C 【解析】 由题意可知Δ=1-4m=0,解得m=14.
22.C 【解析】 逐项分析如下:
23.A 【解析】 ∵Δ=(-5)2-4×2×6=25-48=-23<0,∴一元二次方程2x2-5x+6=0无实数根.
24.【参考答案】 (1)依题意可得Δ=(2k+1)2-4(k2+1)>0,
化简,得4k-3>0,
解得k>34.
(2)依题意得x1x2=k2+1=5,
解得k1=2,k2=-2.
由(1)知k>34,故k=2.
25.【参考答案】 (1)∵一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根,∴Δ≥0,
即32-4(k-2)=-4k+17≥0,
解得k≤174.
(2)∵方程的两个实数根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-3,x1x2=k-2.
∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,
∴k-2-3+1=-1,解得k=3.
26.A 【解析】 根据题意,得第二天揽件200(1+x)件,第三天揽件200(1+x)(1+x)=200(1+x)2(件),故200(1+x)2=242,故选A.
27.C 【解析】 第一次降价后,该种商品每件售价为150(1-x)元,第二次降价后,该种商品每件售价为150(1-x)2元,故150(1-x)2=96.
28.15 【解析】 设该商品的标价为每件x元,由题意得80%x-10=2,解得x=15.
29.3∶5 【解析】 根据题意设未知数,列表如表(1)所示.由“甲、乙两山需红枫数量之比为2∶3”,可列方程5a-4b6a-3b=23,∴a=2b,可得表(2).设香樟原价为每棵m元,红枫原价为每棵n元,则16b(1-6.25%)·m(1-20%)+20b·n(1+25%)=16bm+20bn,∴12bm+25bn=16bm+20bn,∴m=54n,∴12bm25bn=12×54n25n=15n25n=35.
表(1)
表(2)
30.【参考答案】 设学生人数为x,
根据题意,得8x-3=7x+4,
解得x=7,
∴7x+4=53.
答:学生人数为7,该书单价为53元.
31.2∶3 12 【解析】 设第一天分配到A,B两条生产线的原材料分别为x吨、y吨,根据题意,得x+y=5,4x+1=2y+3, 解得x=2,y=3,故分配到A生产线的原材料的质量与分配到B生产线的原材料的质量的比为2∶3.由题意得4(2+m)+1=2(3+n)+3,整理,得2m=n,故mn=12.
32.B 【解析】 由实际每天植树x棵,可知原计划每天植树(x-50)棵,根据“实际植树400棵所需的时间与原计划植树300棵所需的时间相同”,可列方程为400x=300x-50.
33.【参考答案】 (1)设3月份再生纸产量为x吨,则4月份再生纸产量为(2x-100)吨.
由题意,得x+(2x-100)=800,
解得x=300,
∴2x-100=500.
答:4月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意,得500(1+m%)·1 000(1+m2%)=660 000,
解得m1=20,m2=-320(不合题意,舍去),
∴m=20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为a吨,根据题意,
得1 200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1 200(1+y)·a,
∴1 200(1+y)2=1 500.
答:6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
34.C 【解析】 这辆汽车原计划的速度是 x km/h,则实际的速度是(x+10)km/h,原计划用时420x h,实际用时420x+10 h.由实际比原计划提前1 h到达目的地,可列方程为420x=420x+10+1.
35.【参考答案】 (1)设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千米/时,
由题意,得12×1.2x=12x+2,
解得x=20,
则1.2x=24.
答:甲骑行的速度是24千米/时.
(2)设乙骑行的速度是y千米/时,则甲骑行的速度是1.2y千米/时.
由题意,得301.2y+2060=30y,
解得y=15.
经检验,y=15是原方程的解,且符合题意.
则1.2y=18.
答:甲骑行的速度为18千米/时.
名师点拨
由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤:(1)弄清题意;(2)找准题中的等量关系;(3)设未知数;(4)根据找到的等量关系列出方程(组).
36.【参考答案】 设道路的宽应为x米,
由题意,得(50-2x)(38-2x)=1 260,
解得x1=4,x2=40(舍去).
答:道路的宽应为4米.
37.B 【解析】 设1艘大船可满载x人,1艘小船可满载y人,根据题意,得x+2y=32①,2x+y=46②,由①+②,得3x+3y=78,∴x+y=26,即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26.
38.【参考答案】 (1)1.25x+1.3y
(2)由题意得x+y=520,1.25x+1.3y=520+140,
解得x=320,y=200,
∴1.25x=400,1.3y=260.
答:2021年进口额为400亿元,出口额为260亿元.
分类训练5 不等式(组)及其应用
1.A 2.D
3.D 【解析】 移项,得4x<1,系数化为1,得x<14.
4.C
5.C 【解析】 解不等式x-3<2x,得x>-3,解不等式x+13≥x-12,得x≤5,故选C.
6.【参考答案】 去分母,得2(2x-1)>3x-1,
去括号,得4x-2>3x-1,
移项,得4x-3x>-1+2,解得x>1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下:
7.【参考答案】 (Ⅰ)x≥-1
(Ⅱ)x≤2
(Ⅲ)
(Ⅳ)-1≤x≤2
归纳总结
解一元一次不等式组时,可先分别求出各不等式的解集,再根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集.在数轴上表示解集时,需注意“≥”和“≤”要用实心圆点表示,“<”和“>”要用空心圆圈表示.
8.2 【解析】 解不等式2x-5≤0,得x≤2.5,解不等式x-1>0,得x>1,∴原不等式组的解集为19.3 【解析】 解不等式2x+1≤7,得x≤3,所以原不等式组的解集为210.C 【解析】 解不等式-13x>23-x,得x>1;解不等式12x-1<12(a-2),得x11.32 【解析】 设降价x元,根据题意,得320−x-240240×100%≥20%,解得x≤32,故该护眼灯最多可降价32元.
12.【参考答案】 (1)11
解法提示:∵549+11=560,560÷55=10……10,
∴最少需租11辆车.
又∵每辆客车上至少要有一名教师,
∴共需租11辆大客车.
(2)设租用x辆甲种型号大客车,则租用(11-x)辆乙种型号大客车,
依题意,得40x+55(11-x)≥560,解得x≤3.
答:最多可以租用3辆甲种型号大客车.
(3)∵x≤3,且x为正整数,∴x=1,2或3.
故有3种租车方案:
方案1:租用1辆甲种型号大客车,10辆乙种型号大客车;
方案2:租用2辆甲种型号大客车,9辆乙种型号大客车;
方案3:租用3辆甲种型号大客车,8辆乙种型号大客车.
方案1所需租车费用为500×1+600×10=6 500(元);
方案2所需租车费用为500×2+600×9=6 400(元);
方案3所需租车费用为500×3+600×8=6 300(元).
故租车方案3最节省钱.
13.【参考答案】 (1)设买一份甲种快餐需x元,一份乙种快餐需y元,
依题意,得x+2y=70,2x+3y=120,
解得x=30,y=20.
答:买一份甲种快餐需30元,一份乙种快餐需20元.
(2)设买乙种快餐m份,
依题意,得30×(55-m)+20m≤1 280,
解得m≥37.
答:至少买乙种快餐37份.
14.【参考答案】 设该商场购进第一批T恤衫每件的进价为x元,则第二批T恤衫每件的进价为(x+4)元.
根据题意,得2×4000x=8800x+4,
解得x=40,
经检验,x=40是原方程的解,
∴x+4=40+4=44.
答:该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元.
(2)400040+880044=300(件),
设每件T恤衫的标价是y元,根据题意可得(300-40)y+40×0.7y≥(4 000+8 800)×(1+80%),
解得y≥80.
答:每件T恤衫的标价至少是80元.
阶段测评二 方程与不等式
1.D 2.C
3.B 【解析】 对于方程x2-3kx-2=0,Δ=(-3k)2-4×1×(-2)=9k2+8>0,故该一元二次方程有两个不相等的实数根.
4.D 【解析】 解不等式x-a>0,得x>a,解不等式7-2x>5,得x<1,∴该不等式组的解集为a5.A 【解析】 由题意得,轮船顺流航行的速度为(30+v)km/h,逆流航行的速度为(30-v)km/h,根据“顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等”,可列方程为14430+v=9630−v.
6.A 【解析】 设购买x件甲种奖品,y件乙种奖品,根据题意,得15x+10y=180,∴x=12-23y.又∵x,y均为正整数,∴x=10,y=3或x=8,y=6或x=6,y=9或x=4,y=12或x=2,y=15,∴共有5种购买方案.故选A.
7.A 【解析】 ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,∴x1+x2=2m-1,x1x2=m2.∵(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=3,∴m2+2m-1+1=3,解得m1=1,m2=-3.∵方程有两实数根,∴Δ=(2m-1)2-4m2≥0,解得m≤14,∴m=-3.故选A.
8.A 【解析】 由题意得x12-2 022=x1,x1+x2=1,x1x2=-2 022,故x13-2 022x1+x22=x1(x12-2 022)+x22=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1-2×(-2 022)=4 045.
9.D 【解析】 解不等式组x-1≥4x-13,5x-1-2,∴a>-11.解分式方程y-1y+1=ay+1-2,得y=a-13.由题意可知a-13<0,y+1≠0,∴a<1,a-13+1≠0,∴a的取值范围为-1110.B 【解析】 根据题意,得20x+3×120=(20+1)x+120,故选项B正确,选项A错误;解上述方程,得x=240,即每块条形石的重量是240斤,∴大象的重量为20×240+360=5 160(斤),故选项C,D错误.
11.a<-1 【解析】 解方程x-3x-2+1=32−x,得x=1.将x=1代入不等式(2-a)x-3>0,得2-a-3>0,解得a<-1.
12.27 【解析】 设这个直角三角形两条直角边的长分别为a,b,斜边长为c,根据一元二次方程的根与系数的关系,得a+b=6,ab=4,∴c= a2+b2= (a+b)2-2ab= 62-2×4=27.
13.-18 【解析】 由一元二次方程的根的判别式,得Δ=16m2-4×2m>0,整理,得m(2m-1)>0,解得m<0或m>12.由一元二次方程的根与系数的关系,得x1+x2=-2m,x1x2=m2,∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4m2-m=316,整理,得64m2-16m-3=0,解得m1=-18,m2=38(舍去),故m的值为-18.
14.(5-1) 【解析】 设BE=x米,则AE=(2-x)米,由BE2=AE·AB,可得x2=2(2-x),解得x=5-1(负值不合题意,已舍去).
15.【参考答案】 解不等式x-2≤2x,得x≥-2,
解不等式x-1<1+2x3,得x<4,
∴原不等式组的解集是-2≤x<4, (4分)
∴该不等式组的整数解是-2,-1,0,1,2,3.
∵-2+(-1)+0+1+2+3=3,
∴该不等式组所有整数解的和是3. (8分)
16.【参考答案】 (1)证明:∵a=1,b=-2,c=-3m2,
∴Δ=(-2)2-4×1×(-3m2)=4+12m2>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.(3分)
(2)由题意,得α+β=−ba=2,α+2β=5,
解得α=−1,β=3,(6分)
∴αβ=ca=-3m2=-3,
解得m=±1,
∴m的值为1或-1.(8分)
17.【参考答案】 (1)设购进“冰墩墩”摆件x个,“冰墩墩”挂件y个,
依题意得x+y=180,80x+50y=11400,
解得x=80,y=100.
答:购进“冰墩墩”摆件80个,“冰墩墩”挂件100个.(4分)
(2)设购进“冰墩墩”挂件m个,则购进“冰墩墩”摆件(180-m)个,
依题意得(60-50)m+(100-80)(180-m)≥2 900,
解得m≤70.
答:购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个.(9分)
18.【参考答案】 (1)设一台A型收割机平均每天收割小麦x公顷,则一台B型收割机平均每天收割小麦(x-2)公顷.
根据题意,得15x=9x-2,
解得x=5,
经检验,x=5是所列分式方程的根,且符合题意,
∴x-2=5-2=3(公顷).
答:一台A型收割机平均每天收割小麦5公顷,一台B型收割机平均每天收割小麦3公顷.(5分)
(2)设每天要安排y台A型收割机,
根据题意,得5y+3(12-y)≥50,
解得y≥7.
答:至少要安排7台A型收割机.(9分)
19.【参考答案】 (1)设每盒A种型号的颜料x元,每盒B种型号的颜料y元.
根据题意,得x+2y=56,2x+y=64,解得x=24,y=16.
答:每盒A种型号的颜料24元,每盒B种型号的颜料16元.(5分)
(2)设该中学可以购买a盒A种型号的颜料,
根据题意,得24a+16(200-a)≤3 920,
解得a≤90,
故该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料.(10分)
20.【参考答案】 (1)①√ ②✕ ③✕(3分)
解法提示:该问题的答案不唯一,例如“97,97,97,9”“95,95,95,15”等,但答案有限,不是无限的.
(2)设数量较少的狗群里有x条狗,则数量较多的狗群里每个群有(x+40)条狗.
根据题意,得x+3(x+40)=300,(7分)
解得x=45,则x+40=85.
答:数量较少的狗群里有45条狗,数量较多的狗群里每个群有85条狗.(10分)
21.【参考答案】 (1)设去年每吨土豆的平均价格是x元,则今年第一次采购时每吨土豆的价格为(x+200)元,第二次采购时每吨土豆的价格为(x-200)元.
根据题意,得2×30×104x+200=50×104x-200,
解得x=2 200,
经检验,x=2 200为原分式方程的解.
答:去年每吨土豆的平均价格是2 200元.(4分)
(2)由(1)可得第一次采购土豆3000002200+200=125(吨),第二次采购土豆250吨,则两次共采购土豆375吨.
设将m吨土豆加工成薯片,则将(375-m)吨土豆加工成淀粉.
根据题意,得m5+375−m8≤60,m≥23(375-m),
解得150≤m≤175.(7分)
设获得的利润为y元,
则y=700m+400(375-m)=300m+150 000,
可知y随m的增大而增大,
故当m=175时,y的值最大,最大值为202 500.
答:为获得最大利润,应将175吨土豆加工成薯片,最大利润是202 500元.(10分)
分类训练6 平面直角坐标系与函数
1.D 【解析】 点(a,b)关于原点对称的点的坐标为(-a,-b),则(5,1)关于原点对称的点的坐标为(-5,-1).
2.B 【解析】 ∵a2≥0,∴a2+1≥1,∴点P(-3,a2+1)在第二象限.
3.A 4.C 5.D 6.x≠-35 7.x>1 8.D
9.A 【解析】 从题图可以看出,OA段上升最慢,AB段上升较快,BC段上升最快,结合水面高度上升的快慢跟容器的粗细有关,越粗的容器水面高度上升越慢,由此可知这个容器的形状应是下面最粗,上面最细.故选A.
10.D 【解析】 由函数图象知,30~70 min小强匀速步行,步行速度为2000−120070−30=20(m/min).
11.D 【解析】 甲车的速度为300÷5=60(km/h),甲车行驶4 h时被乙车赶上,此时距A城60×4=240(km),故选项A中说法正确;由题图可知A城与B城的距离是300 km,故选项B中说法正确;乙车的平均速度为240÷(4-1)=80(km/h),故选项C中说法正确;由题图可知乙车比甲车早到B城,故选项D中说法不正确.
12.B 【解析】 由图象可知,张强从家到体育场用了15 min,体育场与文具店之间的距离为2.5-1.5=1(km),张强在文具店停留的时间为65-45=20(min),张强从文具店回家所用时间为100-65=35(min).故选B.
13.293 【解析】 观察题图可知,3分钟时,注水30升,故每分钟注水10升,8分钟时,水量为20升,减少10升,故每分钟水减少10÷(8-3)=2(升),故每分钟排水12升,排完20升水所需时间为2012=53(分),故a=8+53=293.
14.【参考答案】 (Ⅰ)0.8 1.2 2
(Ⅱ)①0.8
②0.25
解法提示:2÷(120-112)=0.25(km/min).
③10 min或116 min
解法提示:当0≤x≤12时,设y关于x的解析式为y=kx,由(12,1.2)可知y=0.1x.当y=1时,x=10.当112(Ⅲ)当0≤x≤12时,y=0.1x;
当12当8215.B
16.25+2 【解析】 由题图(2)可得AB=BC=4 cm.∵∠B=36°,AB=BC,∴∠BAC=∠C=72°.当AP平分∠BAC时,∠BAP=∠PAC=36°=∠B,∴AP=BP,∠APC=72°=∠C,∴AP=AC=BP.∵∠PAC=∠B,∠C=∠C,∴△APC∽△BAC,∴APAB=PCAC,即BPAB=PCBP,∴BP2=AB·PC=4(4-BP),∴BP=(25-2)cm,∴t=4+25-21=(25+2)(s).
17.A 【解析】 ①②中,y与x之间是一次函数关系,当x=0时,y>0,且y随x的增大而减小,故①②中y与x的函数关系可以用题图所示的图象表示;③中,设绳子的长度为a,则y=x·a-2x2=-x2+a2x,故y与x之间的函数关系图象是抛物线的一部分.故选A.
18.A
19.A 【解析】 初始时,S1=4,S2=0,S=S1-S2=4,随着时间t的增加,S由大变小,直至大正方形覆盖住小正方形时,S2=1,S=S1-S2=3,保持不变;当小正方形逐渐露出大正方形时,S由小变大,直到大正方形和小正方形无重复的部分,此时S2=0,S=S1-S2=4,由四个选项中的函数图象分析可知选项A符合题意.
20.C 【解析】 当021.D 【解析】 在矩形ABCD中,∵∠B=90°,AB=CD=4,BC=AD=3,∴AC=AB2+BC2=5,∴sin∠ACB=45,cs∠ACB=35.当0归纳总结
根据几何动点判断函数图象时,一般有两种方法,一种是根据函数图象的走势和变化快慢判断图象,必要时可将特殊点的坐标代入求值;还有一种是直接求函数的解析式,根据函数的解析式进行判断.
22.D 【解析】 由题意可知CP=t,则PD=8-t,左边弧长为60180π(t+1)=13π(t+1),右边弧长为60180π(8-t+1)=13π(9-t).设左边扇形围成的圆锥的底面半径为r,则2πr=13π(t+1),则r=16(t+1),该圆锥的底面面积为:S1=136π(t+1)2;设右边扇形围成的圆锥的底面半径为R,则2πR=13π(9-t),则R=16(9-t),该圆锥的底面面积为:S2=136π(9-t)2.综上所述,S=S1+S2=136π(t+1)2+136π(9-t)2=136π(t2+2t+1+81-18t+t2)=136π(2t2-16t+82)=118π(t2-8t+41)=118π(t-4)2+2518π(0≤t≤8),该抛物线开口向上,顶点横坐标为4,故选D.
分类训练7 一次函数
1.D 【解析】 当x=0时,y=5x+1=1,故该一次函数图象与y轴的交点坐标为(0,1).
2.D 3.D
4.A 【解析】 对于一次函数y=kx+b,∵k<0,∴y随x的增大而减小.又∵32> 72,∴m5.D 【解析】 由题图可得k1>k2>0,b1>0>b2,∴k1·k2>0,k1+k2>0,b1-b2>0,b1·b2<0,故选D.
6.y=2x+3(答案不唯一)
7.k≤-3或k≥13 【解析】 当直线y=kx+k经过点A(-2,3)时,-2k+k=3,解得k=-3;当直线y=kx+k经过点B(2,1)时,2k+k=1,解得k=13.分析可知,当直线与线段AB有交点时,k≤-3或k≥13.
8.【参考答案】 (1)把(4,3),(-2,0)分别代入y=kx+b,
得4k+b=3,-2k+b=0,解得k=12,b=1,
∴该函数的解析式为y=12x+1.
对于y=12x+1,当x=0时,y=1,
∴A(0,1).
(2)n≥1.
解法提示:函数y=12x+1的图象如图所示,易知当直线y=x+n与y轴的交点与点A重合或在点A上方时符合题意,故n≥1.
9.C 【解析】 把(3,n)代入y=-x+4,可知n=1,故关于x,y的方程组x+y-4=0,2x-y+m=0的解为x=3,y=1.故选C.
10.A
11.D 【解析】 ∵点P(a,b)在直线y=-3x-4上,∴-3a-4=b.又∵2a-5b≤0,∴2a-5(-3a-4)≤0,解得a≤-2017.易得a=b+4-3,∴b≥-817.易知当b=0时,ab无意义,故A,B错误.∵2a-5b≤0,∴2a-5ba≥0,即2-5·ba≥0,∴ba≤25.故选D.
12.【参考答案】 (1)1
解法提示:由题图可知,“鼠”的平均速度为30÷6=5(m/min),
“猫”的平均速度为30÷(6-1)=6(m/min),
故“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1(m/min).
(2)设AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),则30=7k+b,18=10k+b,
解得k=−4,b=58,
∴y=-4x+58.
(3)令y=0,则-4x+58=0,∴x=14.5.
14.5-1=13.5(min),
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5 min.
13.【参考答案】 (1)设轿车行驶的时间为x小时,则大巴行驶的时间为(x+1)小时.
根据题意,得60x=40(x+1),
解得x=2,
则60x=60×2=120.
答:轿车出发2小时后追上大巴,此时两车与学校相距120千米.
(2)∵轿车追上大巴时,大巴行驶了3小时,
∴点B的坐标是(3,120).
由题意,得点A的坐标为(1,0).
设AB所在直线的解析式为s=kt+b,
则3k+b=120,k+b=0,解得k=60,b=−60,
∴AB所在直线的解析式为s=60t-60.
(3)由题意,得40(a+1.5)=60×1.5,
解得a=34,
∴a的值为34.
14.【参考答案】 (1)m=3 072,n=0.3.
(2)设函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把(1 024,20),(1 144,56)代入y=kx+b,
得20=1024k+b,56=1144k+b,解得k=0.3,b=−287.2,
∴y关于x的函数表达式为y=0.3x-287.2(x≥1 024).
(注:x的取值范围对考生不作要求)
(3)3 072+(266-56)÷0.3=3 772(兆).
由题中图象得,当每月使用的流量超过3 772兆时,选择C方案最划算.
15.【参考答案】 (1)设每桶甲消毒液的价格为x元,每桶乙消毒液的价格为y元,
根据题意,得9x+6y=615,8x+12y=780,
解得x=45,y=35.
答:每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是45元、35元.
(2)由题意,得W=45a+35(30-a)=10a+1 050.
根据题意,得a≥30−a+5,a≤2(30−a),解得17.5≤a≤20,
∴a的取值范围是17.5≤a≤20,且a是正整数.
∵10>0,∴W随a的增大而增大,
∴当a=18时,W的值最小,最小值为1 230,
此时30-a=12.
答:当购买甲消毒液18桶、乙消毒液12桶时,总费用最少,最少费用是1 230元.
16.【参考答案】 (1)设购买绿萝x盆,吊兰y盆.
根据题意,得x+y=46,9x+6y=390,
解得x=38,y=8.
因为38>2×8,所以答案符合题意.
答:可购买绿萝38盆,吊兰8盆.
(2)设购买绿萝m盆,吊兰(46-m)盆,购买两种绿植的总费用为W元,
则W=9m+6(46-m)=3m+276.
根据题意,得m≥2(46-m),解得m≥923.
因为3>0,所以W随m的增大而增大.
又m为整数,所以m取最小值31时,W的值最小.
当m=31时,W=3×31+276=369.
答:购买两种绿植总费用的最小值为369元.
17.【参考答案】 (1)根据题意,得50a+25×80=15 000.
解得a=260.
(2)设购进真丝衬衣x件,销售利润为y元,则购进真丝围巾(300-x)件.
根据题意得y=(300-260)x+(100-80)(300-x),
化简得y=20x+6 000.
∵300-x≥2x,x≥0,∴0≤x≤100.
∵20>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x=100时,y有最大值,为20×100+6 000=8 000.
故购进真丝衬衣100件,真丝围巾200件时,获得的利润最大,最大利润为8 000元.
(3)设余下围巾每件降价m元,根据题意得
100×40+100×20+100×(20-m)≥8 000×90%,
解得m≤8,
故余下围巾每件最多降价8元.
18.A 【解析】 设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(0,50),(500,0)分别代入,得b=50,500k+b=0,解得b=50,k=−110,故y=-110x+50.当y=35时,-110x+50=35,解得x=150.故选A.
一题多解
500÷50=10(km/L),故该汽车每行驶10 km耗油1 L.由题可知汽车已耗油50-35=15(L),故该汽车已行驶的路程为15×10=150(km).
19.【参考答案】 (1)20
(2)由甲壶比乙壶加热速度快,可知乙壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(160,80).
设乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=kx+b,
将(0,20),(160,80)分别代入,
得b=20,160k+b=80,解得k=38,b=20,
故乙壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=38x+20.
(3)65
解法提示:由甲壶中水温y关于加热时间x的函数图象经过点(0,20),(80,60),
易求得甲壶中水温y关于加热时间x的函数解析式为y=12x+20.
令12x+20=80,解得x=120,
将x=120代入y=38x+20中,得y=38×120+20=65.
故当甲壶中水温刚达到80 ℃时,乙壶中水温是65 ℃.
20. 【参考答案】 (1)画图略.
选择y=kx+b,将(0,1),(1,2)代入,
得b=1,k+b=2,解得k=1,b=1,
∴y=x+1(0≤x≤5).
(2)当y=5时,x+1=5,
∴x=4.
答:当水位高度达到5米时,进水用时x为4小时.
21.D 【解析】 连接OB,AC交于点M,连接AE,BF交于点N,则直线MN为符合条件的直线l,如图.∵四边形OABC是矩形,∴OM=BM.∵点B的坐标为(10,4),∴M(5,2),AB=10,BC=4.∵四边形ABEF为菱形,∴BE=AB=10.过点E作EG⊥AB于点G.在Rt△BEG中,∵tan∠ABE=43,∴EGBG=43.设EG=4k,则BG=3k,∴BE=EG2+BG2=5k,∴5k=10,∴k=2,∴EG=8,BG=6,∴AG=4,∴E(4,12).又∵A(0,4),点N为AE的中点,∴N(2,8).设直线l的解析式为y=ax+b,则5a+b=2,2a+b=8,解得a=−2,b=12,∴直线l的解析式为y=-2x+12.
22.A 【解析】 当x=0时,y=2;当y=0时,x=-2.∴A(-2,0),B(0,2),∴OA=OB,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°,AB=(2)2+(2)2=2.如图(1),过点C作CD⊥AB,垂足为点D,∵∠CAD=∠OAB=45°,∴△ACD为等腰直角三角形.设CD=AD=m,∴AC=AD2+CD2=2m.由旋转可知∠ABC=30°,∴BC=2CD=2m.在Rt△BCO中,BC2=OC2+OB2,即(2m)2=(2+2m)2+(2)2,解得m=1+3(负值不合题意,已舍去),∴AC=2m=2(3+1)=6+2.故选A.
图(1)
一题多解
当x=0时,y=2.当y=0时,x=-2.∴A(-2,0),B(0,2),∴OA=OB,∴△OAB为等腰直角三角形,∴∠ABO=∠BAO=45°.由旋转可知,∠ABC=30°,∴∠BCO=15°.如图(2),作线段BC的垂直平分线,交OC于点E,连接BE,则BE =CE,∴∠EBC=∠ECB=15°,∴∠BEO=30°,∴BE=2BO=22,OE=3OB=6,∴AC=CE+OE-OA=22+6-2=6+2.
图(2)
23.23 【解析】 如图,设☉O与x轴的另一个交点为点C,AB交y轴于点D,连接BC.对于y=33x+233,当x=0时,y=233,当y=0时,x=-2,∴A(-2,0),D (0,233),∴AC=4,tan∠OAD=ODOA=2332=33,∴∠OAD=30°.∵AC为☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴AB=ACcs 30°=4×32=23.
分类训练8 反比例函数
基础分类题组
1.A 2.C
3.B 【解析】 方法一:反比例函数y=8x的图象在第一、三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小,故x2<04.C 【解析】 由题意可知x1=6y1,x2=6y2.∵x1<00,∴y15.【参考答案】 (1)把(3,-2)代入y=kx,
得-2=k3,∴k=-6,
∴反比例函数的表达式是y=-6x.
补画反比例函数图象的另一支如图所示.
(2)当y=5时,5=-6x,解得x=-65.
由图象可知,当y≤5,且y≠0时,
自变量x的取值范围是x≤-65或x>0.
6.B 【解析】 根据反比例函数中|k|的几何意义可知,S△AOB=|k|2=12.
7.3 【解析】 设BC与x轴交于点E.∵x轴是矩形ABCD的对称轴,∴S矩形CDOE=12S矩形ABCD=12×6=3.由反比例函数中|k|的几何意义,得|k|=3.∵反比例函数图象经过第一、三象限,∴k>0,∴k=3.
8.4 【解析】 ∵点C是OA的中点,∴AC=OC,∴S△ACD=S△COD,S△ABC=S△BOC,∴S△ABD=S△BOD.由反比例函数中|k|的几何意义,得S△BOD=12×8=4,故△ABD的面积为4.
9.3 【解析】 分别过点C,B作x轴的垂线,垂足分别为D,E.∵OC=AC,∴OD=AD.由反比例函数中|k|的几何意义可知S△COD=12.∵四边形OABC是平行四边形,∴OC∥AB,BC∥OA,OC=AB,∴∠COD=∠BAE.又∠CDO=∠BEA=90°,∴△COD≌△BAE,∴AE=OD=AD.方法一:连接OB,如图,则S△BOE=3S△BAE=3S△COD=32,∴k=2×32=3.方法二:设C(a,1a),则B(3a,1a),∴k=3a·1a=3.
10.C 【解析】 根据题意可知,xy的值即为优秀人数.∵描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,∴乙、丁两所学校的优秀人数相同.∵描述丙学校情况的点在反比例函数图象的上方,∴丙校的xy的值最大,即优秀人数最多.故选C.
11.C 【解析】 设总工作量为1.∵一个人完成需12天,∴一人一天的工作量为112.∵m个人共同完成需n天,∴mn12=1,∴n=12m,故选项C符合题意.
12.6 【解析】 设△ABO的平移距离为a,则C(a,4),E(a,0),D(3+a,4).又点F是DE的中点,∴F(a+32,2).∵点C,F均在反比例函数y=kx的图象上,∴4a=2(a+32),∴2a=3,∴a=32,∴k=4a=6.
13.【参考答案】 (1)把C(2,2)代入y=kx,得2=k2,
∴k=4.
把y=1代入y=4x,得x=4,
∴点D的坐标为(4,1).
(2)x的取值范围是2≤x≤4.
14.【参考答案】 (1)∵∠ACO=90°,tan A=12,
∴AC=2OC,
∴OC2+(2OC)2=(25)2,
∴OC=2(负值已舍去),∴AC=4,
∴A(2,4),∴B(1,2),
∴k=2.
(2)当x=2时,y=1,∴D(2,1),
∴AD=4-1=3.
∴S△OBD=S△OAD-S△BAD=12×3×2-12×3×(2-1)=32.
15.【参考答案】 (1)把A(a,2)代入y=-23x,得2=-23a,
解得a=-3,
∴A(-3,2).
把A(-3,2)代入y=kx,得2=k-3,
解得k=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-6x.
(2)n>2或n<-2.
16.【参考答案】 (1)∵点A在反比例函数 y=12x的图象上,且点A的纵坐标为6,
∴点A的坐标为(2,6).
∵直线y=-32x+b经过点A,
∴6=-32×2+b,
∴b=9.
(2)设直线AB与x轴的交点为点D.
令-32x+9=0,则x=6,∴D(6,0).
联立y=−32x+9,y=12x,解得x1=2,y1=6,x2=4,y2=3,
∴B(4,3).
∵S△ABC=S△ACD-S△BCD,
∴3=12CD×6-12CD×3,
∴CD=2,
∴点C的坐标为(4,0)或(8,0).
17.【参考答案】 (1)设BE与y轴交于点F.
∵BE∥x轴,AD⊥BE,
∴AD⊥x轴.
∵点A的横坐标为1,∴FD=1.
∵C(72,-12),∴FC=72,OF=12,
∴CD=FC-FD=52,点B的纵坐标为-12,
∴AC=2CD=522,
∴AD=52,∴点A的纵坐标为52-12=2,
∴A(1,2).
将(1,2)代入y2=mx,得m=2,
故反比例函数的解析式为y2=2x.
把y=-12代入y2=2x,得x=-4,
∴B(-4,-12).
把A(1,2),B(-4,-12)代入y1=kx+b,
得k+b=2,-4k+b=−12,解得k=12,b=32,
故一次函数的解析式为y1=12x+32.
(2)x<-4或0综合提升题组
1.A 【解析】 易知函数y=kx+1的图象经过点(0,1),故排除选项B,D.当函数y=kx+1的图象经过第一、二、三象限时,k>0,∴-k<0,∴此时反比例函数y=-kx的图象位于第二、四象限,故A选项中的图象正确.
2.D 【解析】 ∵点A(-1m,-2m)在反比例函数y=mx的图象上,∴-1m×(-2m)=m,∴m=2,∴A(-12,-4),B(2,1).把(2,1)代入y=2x+n中,得n=-3,∴一次函数的表达式为y=2x-3.画出草图如图所示,设一次函数的图象与y轴交于点C,则C(0,-3),∴OC=3,∴S△AOB=S△BOC+S△AOC=12×3×2+12×3×12=154.
3.B 【解析】 如图,连接AC交BD于点E.∵四边形ABCD是正方形,∴AE=BE=CE=DE.设AE=BE=CE=DE=m,D(3,a),则B(3,a+2m),A(3+m,a+m),k2=3a.又点A,B都在反比例函数y=k1x(k1>0)的图象上,∴3(a+2m)=(3+m)(a+m),整理得m2+(a-3)m=0,∴m=3-a,∴B(3,6-a),∴k1=3(6-a)=18-3a,∴k1+k2=18-3a+3a=18.
4.2 【解析】 ∵直线y=x+1与x轴,y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,1),∴OA=OB=1.过点C作CH⊥x轴于点H,则OB∥CH,∴AOOH=ABCB=1,∴OH=OA=1,∴CH=2OB=2,∴C(1,2).又∵点C在y=kx的图象上,∴k=2.
5.93 【解析】 如图,过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.∵△OMN是边长为10的等边三角形,∴OM=ON=MN=10,∠MON=∠M=∠MNO=60°.设OC=b(00)的图象上,∴k=(15-2b)·(23b-53)=b·3b,解得b1=3,b2=5(不合题意,舍去),∴b=3,∴k=b·3b=93.
6.【参考答案】 (1)由题意知V=Sd且d=20时,S=500,
∴V=500×20=10 000,
∴储存室的容积V为10 000 m3. (3分)
(2)由(1)可得S=Vd=10000d.(4分)
当d=16时,S=1000016=625;(5分)
当d=25时,S=1000025=400.(6分)
∵S随d的增大而减小,
∴当16≤d≤25时,400≤S≤625.(7分)
7.【参考答案】 (1)将点A(1,m),B(n,-2)分别代入y=4x中,
得m=41,-2=4n,
解得m=4,n=-2,
∴点A(1,4),B(-2,-2).
将A(1,4),B(-2,-2)分别代入y=kx+b,
得k+b=4,-2k+b=−2,解得k=2,b=2,
∴一次函数的表达式为y=2x+2.(2分)
一次函数y=2x+2的图象如图所示.(4分)
(2)-21.(5分)
(3)∵点C是点B(-2,-2)关于y轴的对称点,
∴点C(2,-2),
∴BC=2-(-2)=4.
过点A作AH⊥BC于点H,如图.
∵A(1,4),
∴AH=4-(-2)=6,
∴S△ABC=12BC·AH=12×4×6=12.(8分)
8.【参考答案】 (1)①由题意,得k1=3×1=3,
所以y1=3x.(2分)
因为函数y1的图象过点A(1,m),
所以m=3.
由题意,得3=k2+b,1=3k2+b,
解得k2=−1,b=4,
所以y2=-x+4.(5分)
②y1(2)由题意,得点D的坐标为(-2,n-2),
所以-2(n-2)=2n,
解得n=1.(10分)
9.【参考答案】 (1)把A(m,2)代入一次函数y=x+1,得2=m+1,
解得m=1,
∴A(1,2),
把A(1,2)代入反比例函数y=kx,得2=k1,
∴k=2,
∴反比例函数的表达式为y=2x.(3分)
(2)令2x=x+1,解得x=1或x=-2.
当x=-2时,y=x+1=-1,即B(-2,-1).
当x=0时,y=x+1=1,
∴OC=1,
∴S△AOB=S△OCA+S△OCB=12OC·|xB|+12OC·xA=12OC·(|xB|+xA)=12×1×(2+1)=32.(8分)
(3)存在,点P的坐标为(-1,1),(-3,-3)或(3,3).(11分)
解法提示:当OA与OB为邻边时,点O(0,0)先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度到点B(-2,-1),则点A(1,2)也先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度到点P,即P(-1,1);
当AB与AO为邻边时,点A(1,2)先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度到点B(-2,-1),则点O(0,0)也先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度到点P,即P(-3,-3);
当BA与BO为邻边时,点B(-2,-1)先向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度到点A(1,2),则点O(0,0)也先向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度到点P,即P(3,3).
综上,P点坐标为(-1,1),(-3,-3)或(3,3).
分类训练9 二次函数的图象与性质
基础分类题组
1.B
2.B 【解析】 ∵y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,∴当x>1时,y随x的增大而增大.故选B.
3.D 【解析】 当y=2时,(x-1)2-2=2,解得x1=-1,x2=3,故a=-1,b=3.当y=7时,(x-1)2-2=7,解得x1=-2,x2=4.当c=-2时,则c4.B 【解析】 抛物线y=x2-2x-3的开口向上,对称轴为直线x=1,则抛物线上的点到直线x=1的距离越大,其纵坐标越大.已知-13,则|x2-1|<|x1-1|<|x3-1|,故y2方法点拨
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
1.代入比较法:若已知二次函数的表达式,可将各点的横坐标代入表达式,求出各点的纵坐标,继而比较大小.
2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.
3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下,对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0):
①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1);
②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2).
图(1) 图(2)
5.C 【解析】 ∵抛物线过点(0,6),∴c=6.把(-2,0),(-1,4)分别代入y=ax2+bx+6,得4a-2b+6=0,a-b+6=4,解得a=−1,b=1,∴y=-x2+x+6=-(x-12)2+254,∴该抛物线的开口向下,对称轴是直线x=12,该函数的最大值为254.由题可知,抛物线与x轴的一个交点坐标是(-2,0),根据抛物线的对称性可知,与x轴的另一个交点坐标为(3,0).
6.【参考答案】 (1)把(0,-3),(-6,-3)分别代入y=-x2+bx+c,
可得b=-6,c=-3.
(2)由(1)知y=-x2-6x-3=-(x+3)2+6,
∵-4≤x≤0,
∴当x=-3时,y取得最大值,最大值为6.
(3)①当-3当x=0时,y取得最小值-3,
当x=m时,y取得最大值-m2-6m-3,
∴-m2-6m-3+(-3)=2,
∴m=-2或m=-4(舍去).
②当m≤-3时,
当x=-3时,y取得最大值6,
∵y的最大值与最小值之和为2,
∴y的最小值为-4,即-m2-6m-3=-4,
∴m=-3-10或m=-3+10(舍去).
综上所述,m的值为-2或-3-10.
7.A
8.D 【解析】 平移不改变抛物线的开口大小和开口方向,即平移不改变a值.故选D.
9.m>3 【解析】 y=x2+4x+m=(x+2)2-4+m,则平移后的抛物线的函数表达式为y=(x+2-3)2-4+m+1=(x-1)2+m-3.∵平移后的抛物线与坐标轴只有一个公共点,∴平移后的抛物线与x轴无交点,∴m-3>0,∴m>3.
10.【参考答案】 (1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,
∴C的对称轴为直线x=6, y的最大值是4.
把x=a,y=3代入y=4-(6-x)2,
得3=4-(6-a)2,
解得a1=5,a2=7.
又∵a>6,∴a=7.
(2)y=-x2+6x-9=-(x-3)2,
∴抛物线y=-x2+6x-9的顶点为N(3,0).
如图,过C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A.
连接MN,PP'.由平移可知,PP'=MN,
∴点P'移动的最短路程是PP'=32+42=5.
11.【参考答案】 (1)将A(1,0)代入y=a(x+1)2-4,得0=4a-4,
解得a=1,
∴抛物线L1的函数表达式为y=(x+1)2-4.
(2)∵将抛物线L1向上平移m个单位长度得到抛物线L2,
∴抛物线L2的函数表达式为y=(x+1)2-4+m,
∴抛物线L2的顶点坐标为(-1,-4+m),
∴它关于原点O的对称点的坐标为(1,4-m).
将(1,4-m)代入y=(x+1)2-4,得4-m=0,
∴m=4.
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3:y=(x-n+1)2-4,
∵点B(1,y1),C(3,y2)都在抛物线L3上,
∴y1=(1-n+1)2-4=(2-n)2-4,y2=(3-n+1)2-4=(4-n)2-4.
∵y1>y2,
∴(2-n)2-4>(4-n)2-4,
整理,得(2-n)2-(4-n)2>0,
∴(2-n+4-n)(2-n-4+n)>0,即-2(6-2n)>0,
∴6-2n<0,
解得n>3,
∴n的取值范围是n>3.
12.【参考答案】 (1)∵抛物线C1与x轴有公共点,
∴(m+1)2-4×[-12(m2+1)]×(-1)=-(m-1)2≥0,
∴m=1,
∴抛物线C1的解析式为y=-x2-2x-1=-(x+1)2.
∵抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1,
∴当y随x的增大而增大时,x≤-1.
(2)由题可知,抛物线C2的解析式为y=-(x+1-n)2+4,
当x=0时,y=-(n-1)2+4,则OC=-(n-1)2+4.
当y=0时,-(x+1-n)2+4=0,解得x1=1+n,x2=n-3.
∵点A位于点B右侧,∴OA=1+n.
∵OA=OC,∴1+n=-(n-1)2+4,解得n1=2,n2=-1(舍去).
∴n的值为2.
(3)证明:由(2)可知抛物线C2的解析式为y=-(x-1)2+4,
∴C(0,3),D(1,4),抛物线C2的对称轴为直线x=1.
∴G(1,3),E(2,3).
设直线BE的解析式为y=kx+b,
将B(-1,0),E(2,3)分别代入,
得-k+b=0,2k+b=3,解得k=1,b=1,
∴直线BE的解析式为y=x+1.
对于y=x+1,当x=1时,y=2,∴F(1,2),
∴GC=GE=GD=GF=1,
∴四边形CDEF是平行四边形.
又∵CE=DF=2,CE⊥DF,
∴四边形CDEF是正方形.
13.C 【解析】 该二次函数图象的对称轴为直线x=-b2a.∵b>0,c>0,∴当a>0时,抛物线开口向上,-b2a<0,-c<0,∴对称轴位于y轴的左侧,抛物线与y轴的交点位于原点下方;当a<0时,抛物线开口向下,-b2a>0,对称轴位于y轴的右侧,-c<0,抛物线与y轴的交点位于原点下方,故选项C符合.
14.D 【解析】 ∵抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,∴a<0,当x<1时,y随x的增大而增大,故选项A,B中的说法错误.由抛物线的对称性可知,点A和点B到直线x=1的距离相等,∴1-(-1)=xB-1,∴xB=3,∴点B的坐标为(3,0),故选项C中的说法错误.当x=2时,y>0,则4a+2b+c>0,故选项D中的说法正确.故选D.
15.B 【解析】 由该抛物线与x轴有两个交点,可知b2-4ac>0,故结论①正确.∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-2,0),B(6,0),∴该抛物线的对称轴是直线x=-2+62=2,∴-b2a=2,∴4a+b=0,故结论②正确.由题图可得,当y>0时,x<-2或x>6,故结论③错误.当x=1时,y=a+b+c<0,故结论④正确.综上所述,共有3个结论正确.
16.C 【解析】 由题及题图可知,抛物线的开口向下,抛物线与y轴的交点在正半轴,顶点为P(1,m),则a<0,c>0,-b2a=1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故①中的结论正确,②中的结论错误.∵抛物线经过点A(2,1),∴4a+2b+c=1,故③中的结论正确.由题图可得当x>1时,y随x的增大而减小,故④中的结论正确.由题图可知,当x=1时,y取得最大值,∴at2+bt+c≤a+b+c,∴at2+bt≤a+b,故⑤中的结论正确.
17.C 【解析】 ∵抛物线开口向下,交y轴于正半轴,∴a<0,c>0.∵对称轴为直线x=-b2a=1,∴b=-2a>0,∴abc<0,故结论①错误.∵b=-2a,∴2a+b=0,故结论②正确.∵抛物线交x轴于点(-1,0),∴a-b+c=0,∴a+2a+c=0,∴c=-3a,∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3a,当x=1时,y的值最大,最大值为-4a,故结论③正确.关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根,即抛物线与直线y=a+1无交点,∴a+1>-4a,解得a>-15,∴-15归纳总结
解有关抛物线与系数a,b,c之间关系的题的一般方法:
1.根据抛物线开口方向判断a的符号:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0.
2.由a和对称轴的位置判断b的符号.
3.由抛物线与y轴的交点判断c的符号:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0.
4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc的符号.
5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac 与0的关系.
6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标;看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标.
7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即-b2a>1或-b2a<1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置关系,即-b2a>-1或-b2a<-1,判断2a-b的符号.
18.B 【解析】 ∵抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点,∴方程x2+x+c=0有两个相等的实数根,∴Δ=12-4×c=0,∴c=14.故选B.
19.D 【解析】 ∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,∴-m2=2,解得m=-4,∴x2+mx=x2-4x.当x2-4x=5时,x2-4x-5=0,解得x1=5,x2=-1.故选D.
20.D 【解析】 易知直线y=kx+m与直线y=-kx+m关于y轴对称.画出直线y=-kx+m如图所示,易知直线y=-kx+m与抛物线y=ax2+c的交点A',B'分别与点A,B关于y轴对称.∵A(-3,y1),B(1,y2),∴A'(3,y1),B'(-1,y2),∴不等式ax2+c≥-kx+m的解集是-1≤x≤3.
21.C 【解析】 抛物线经过点(1,0),∴a+b+c=0,∴b=-a-c.∵00,故抛物线开口向上,由①可知,-b2a>1,∴当10,2a+b<0,∴b<0.对于关于x的方程ax2+bx+(b+c)=0,Δ=b2-4a(b+c)=(a+c)2-4a(b+c)=(a-c)2-4ab>0,故该方程有两个不相等的实数根,即结论③正确.故选C.
22.C 【解析】 ∵抛物线开口向上,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴右侧,∴a>0,c>0,-b2a>0,∴b<0,∴abc<0,∴①正确.∵当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∴②错误.∵抛物线过点(2,0),∴4a+2b+c=0,∴b=-2a-c2.∵a+b+c<0,∴a-2a-c2+c<0,∴2a-c>0,∴③正确.易知直线y=-cx1x+c经过点(x1,0),(0,c),且y随x的增大而减小,∴当ax2+bx+c>-cx1x+c时,x<0或x>x1,∴④错误.故选C.
综合提升题组
1.B 【解析】 易知抛物线的对称轴为直线x=1,点B在直线x=1的右侧,画出抛物线的示意图如图所示,设点B关于直线x=1的对称点为B',则点B'的坐标为(2-m,y2).∵y132.
2.A 【解析】 若命题①②是真命题,则命题③④是假命题,故命题①②中有一个是假命题,命题③④是真命题.假设命题①是真命题,则抛物线与x轴只有一个交点,为(1,0),则命题②③都是假命题,矛盾,故假设不成立,故命题①是假命题.
3.A 【解析】 把A(-2,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx+c,得4a-2b+c=0,16a+4b+c=0,解得b=−2a,c=−8a,∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-8a=a(x-1)2-9a,∴抛物线的顶点坐标为(1,-9a),对称轴为直线x=1.若要满足以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点,则a>0,且-9a≤-3,∴a≥13.
4.A 【解析】 ∵y12m2.当m>0时,则x1+x2>2m,又x1+x2>4,∴2m≤4,解得m≤2,故此时m的取值范围为 04矛盾,故此种情况不存在.
5.C 【解析】 将A(a,b)代入y=kx+3,得b=ka+3,∴ab=a(ka+3)=ka2+3a=k(a+32k)2-94k.∵ab的最大值为9,∴k<0,且当a=-32k时,ab有最大值,为-94k,∴-94k=9,解得k=-14,∴直线的解析式为y=-14x+3.将B(4,c)代入y=-14x+3,得c=-14×4+3=2.故选C.
6.A 【解析】 ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于(0,-1),对称轴为直线x=1,开口向上,∴c=-1,-b2a=1,a>0,∴b=-2a<0,∴abc>0,y=ax2-2ax-1,故①正确;当x=-1时,y>0,∴a+2a-1>0,∴a>13,故②正确;当m=1时,m(am+b)=a+b,故③错误;(2,y3)关于对称轴x=1的对称点为(0,y3),∵当x<1时,y随x的增大而减小,-2<0<12,∴y27.-10,观察图象可知若抛物线与线段CD只有一个公共点,则该公共点为抛物线的顶点,即(1,-1),此时-1=m-2m+2,得m=3.若m<0,当抛物线过点C(-1,-1)时,m+2m+2=-1,则m=-1;当抛物线过点D(4,-1)时,16m-8m+2=-1,则m=-38.故当m<0,且抛物线与线段CD只有一个交点时,-18.8 【解析】 如图所示,设点A,B,C,D的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,则抛物线y=x2+2x-n和y=x2-2x-n的对称轴分别为直线x=12(x1+x2)=-1,x=12(x3+x4)=1,∴x1+x2=-2①,x3+x4=2②.由题意可知,AD=2BC,且AD=x4-x1,BC=x2-x3,则x4-x1=2(x2-x3),整理,得x4+2x3-(x1+2x2)=0,即(x3+x4)+x3-[(x1+x2)+x2]=0,将①②代入,得x2-x3=4,即BC=4.易知抛物线y=x2+2x-n与抛物线y=x2-2x-n关于y轴对称,则点B和点C关于y轴对称,∴点B(2,0).把(2,0)代入y=x2+2x-n,得0=4+4-n,解得n=8.
9.【参考答案】 (1)抛物线y=x2+mx经过点A(2,0),
∴4+2m=0,∴m=-2.(2分)
∵直线y=-x+b经过点A(2,0),
∴-2+b=0,∴b=2.(4分)
(2)当x2-2x=-x+2时,x1=-1,x2=2,
∴点B的坐标为(-1,3).(6分)
结合图象可知,不等式x2+mx>-x+b的解集为x<-1或x>2.(7分)
(3)-1≤xM<2或xM=3.(9分)
解法提示:将直线AB向左平移3个单位长度得到直线l,易知直线l的解析式为y=-x-1.
令-x-1=x2-2x,整理,得x2-x+1=0,易知该方程没有实数根,
故直线l与抛物线没有公共点,如图.
易知抛物线的顶点坐标为(1,-1),过点(1,-1)作x轴的平行线,交直线AB于点C.
当点M在线段AB上(不与点A重合)时,线段MN与抛物线只有一个公共点,此时-1≤xM<2.
当点M在线段AC上(不与点C重合)时,线段MN与抛物线有两个公共点.
当点M与点C重合时,线段MN与抛物线只有一个公共点,此时yM=-1,代入yM=-xM+2,得xM=3.
综上可知,点M的横坐标xM的取值范围为-1≤xM<2或xM=3.
10.【参考答案】 (1)将(0,2)代入y=-x2-3x+c,
得c=2.(2分)
(2)T的值为-114.(5分)
解法提示:由(1)知抛物线的解析式为y=-x2-3x+2.
∵使S=m成立的点M恰好有三个,
∴其中一点为抛物线的顶点,另外两点的纵坐标相等,且是抛物线顶点的纵坐标的相反数.
∵y=-x2-3x+2=-(x+32)2+114,
∴抛物线的顶点坐标为(-32,114),
∴T=114-114-114=-114.
(3)由题意知,-k2-3k+2=0,则k-2k=-3,
∴k2+4k2=(k-2k)2+4=7,
∴k4+16k4=(k2+4k2)2-8=41,
∴k4k8+k6+2k4+4k2+16=1k4+k2+2+4k2+16k4=141+2+7=150.(9分)
11.【参考答案】 (1)由题意,得y1=2(x-1)(x-2).(2分)
图象的对称轴是直线x=32.(4分)
(2)由题意,得y1=2x2-4hx+2h2-2,
所以b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4,
所以当h=1时,b+c的最小值是-4.(8分)
(3)由题意,得y=y1-y2=2(x-m)(x-m-2)-(x-m)=(x-m)[2(x-m)-5].
因为函数y的图象经过点(x0,0),
所以(x0-m)[2(x0-m)-5]=0,
所以x0-m=0或x0-m=52.(12分)
分类训练10 二次函数的实际应用
1.【参考答案】 (1)由题意知,点(5,3.2)是抛物线y=a(x-h)2+k的顶点,
∴y=a(x-5)2+3.2.
又∵抛物线经过点(0,0.7),∴0.7=a(0-5)2+3.2,
解得a=-0.1,
∴抛物线的表达式为y=-0.1(x-5)2+3.2(或y=-0.1x2+x+0.7).
(2)当y=1.6时,1.6=-0.1(x-5)2+3.2,
解得x1=1,x2=9,
∴3-1=2,9-3=6.
答:小红与爸爸的水平距离为2 m或6 m.
2.【参考答案】 (1)依题意可知,顶点P(5,9),
设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+9,
将(0,0)代入,得0=a(0-5)2+9,
解得a=-925,
∴抛物线的函数表达式为y=-925(x-5)2+9.
(2)令y=6,得-925(x-5)2+9=6,
解得x1=533+5,x2=-533+5,
∴A(5-533,6),B(5+533,6).
3.【参考答案】 (1)如图,∵BC=x,矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍,
∴CD=2x,∴BD=3x,
∴AB=CF=DE=13(24-BD)=8-x.
依题意,得3x(8-x)=36,
解得x1=2,x2=6(不合题意,舍去),
答:此时x的值为2.
(2)∵0设矩形养殖场的总面积为S m2,
由(1)得S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,
∵-3<0,0∴当x=103时,S最大,最大值为1403.
答:当x为103时,矩形养殖场的总面积最大,最大值为1403 m2.
4.【参考答案】 (1)由题意,得A(-4,0),B(4,0),C(0,8).
可设抛物线的解析式为y=ax2+8,
把B(4,0)代入,得0=16a+8,∴a=-12,
∴抛物线的解析式为y=-12x2+8.
易知当正方形的面积最大时,它有两个顶点在抛物线上,设此正方形为正方形EFGH,如图(1),则GH=FG=2OG.
图(1)
设H(t,-12t2+8)(t>0),
∴-12t2+8=2t,
解得t1=-2+25,t2=-2-25(舍去),
∴正方形EFGH的面积=FG2=(2t)2=4t2=4(-2+25)2=(96-325)(dm2).
(2)易知当矩形的周长最大时,它有两个顶点在抛物线上.
如图(2),设矩形EFGH的顶点H(k,-12k2+8)(k>0),
图(2)
则矩形EFGH的周长=2FG+2HG=4k+2×(-12k2+8)=-k2+4k+16=-(k-2)2+20,
∴当k=2时,矩形EFGH的周长最大,最大值是20 dm.
(3)能切得半径为3 dm的圆.
理由:设抛物线上一点M的坐标为(m,-12m2+8),N(0,3),
则MN2=(m-0)2+(-12m2+8-3)2=14m4-4m2+25.
记n=m2,则MN2=14n2-4n+25=14(n-8)2+9,
∴当n=8,即m=±22时,MN的值最小,最小值为3,
∴抛物线上任意一点到点N的距离都大于等于3,
故能切得半径为3 dm的圆.
5.【参考答案】 (1)在▱ABCD中,设AB边上的高为h.
∵AD=6,∠A=45°,
∴h=ADsin 45°=32.
∵E是AD的中点,
∴点E到DC的距离为ℎ2.
∵DC=AB=8,DF=5,∴FC=3.
∴S四边形ABFE=S▱ABCD-(S△DEF+S△BCF)=AB·h-(12·DF·ℎ2+12·FC·h)=242-(1524+922)=6324.
(2)存在.如图,分别延长AE与CD,交于点F,则四边形ABCF是矩形,
∴AF=BC,AB=FC.
∵AM=OC,AN=CP,
∴MF=BO,BN=FP.
设AN=x m,则PC=x,MF=BO=2x,BN=FP=800-x,AM=OC=1 200-2x,
∴S四边形OPMN=S矩形ABCF-S△ANM-S△BON-S△CPO-S△FMP=800×1 200-12×x(1 200-2x)-12×2x(800-x)-12×x(1 200-2x)-12×2x(800-x)=4x2-2 800x+960 000=4(x-350)2+470 000.
∴当x=350时,S四边形OPMN取最小值,为470 000.
当x=350时,AM=1 200-2x=500<900,CP=350<600,
∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470 000 m2,
这时点N到点A的距离为350 m.
6.【参考答案】 (1)设y关于x的解析式为y=kx+b,把(60,200),(80,100)分别代入,得60k+b=200,80k+b=100,解得k=−5,b=500,
∴y=-5x+500.
当y=0时,-5x+500=0,解得x=100,
结合题图,可知自变量x的取值范围是50(2)设月销售利润为w元,
根据题意,得w=(x-50)(-5x+500)=-5(x-75)2+3 125.
∵-5<0,
∴当x=75时,w取最大值,为3 125.
答:当销售单价定为75元时,该种油茶的月销售利润最大,最大利润是3 125元.
7.【参考答案】 (1)根据题意,得w=(x-8)(24-x)-60=-x2+32x-252.
(2)①令-x2+32x-252=4,
解得x1=x2=16.
答:该产品第一年的售价是16元/件.
②∵第二年售价不高于第一年,销售量不超过13万件,
∴x≤16,24−x≤13,
解得11≤x≤16.
第二年除4万元外其他成本下降2元/件,为6元/件,
设第二年的利润是w'万元,
则w'=(x-6)(24-x)-4=-x2+30x-148=-(x-15)2+77,
∵-1<0,对称轴为直线x=15,且11≤x≤16,
∴当x=11时,w'取最小值,最小值为-(11-15)2+77=61(万元).
答:第二年的利润最少为61万元.
8.【参考答案】 (1)v=-12t+10,y=-14t2+10t.
(2)依题意,得-14t2+10t=64,
∴t2-40t+256=0,
解得t1=8,t2=32.
当t1=8时,v=6;当t2=32时,v=-6(舍去).
答:黑球减速后运动距离为64 cm时的速度为6 cm/s.
(3)不会.
理由:设黑、白两球的距离为w cm.
依题意,得w=70+2t-y=14t2-8t+70=14(t-16)2+6.
∵14>0,∴当t=16时,w的值最小,为6,
∴黑、白两球的最小距离为6 cm,
故黑球在运动过程中不会碰到白球.
另解1:当w=0时,14t2-8t+70=0,判定方程无解.
另解2:当黑球的速度减小到2 cm/s时,如果黑球没有碰到白球,此后,速度低于白球速度,就不会碰到白球.先确定黑球速度为2 cm/s时,其运动时间为16 s,再判断黑、白两球的运动距离之差小于70 cm.
阶段测评三 函数
1.A
2.D 【解析】 根据甲同学的说法,可排除选项B;根据乙同学的说法,可排除选项C;根据丙同学的说法,可排除选项A.故选D.
3.D 【解析】 ∵反比例函数的图象位于第一、三象限,∴b>0.当a<0时,抛物线的开口向下,-b2a>0,∴抛物线的对称轴位于y轴的右侧,故选项A,B中的图象错误.当a>0时,抛物线的开口向上,-b2a<0,∴抛物线的对称轴位于y轴的左侧.对于选项C,D,由抛物线均交y轴于负半轴,得c<0.当c<0,a>0时,一次函数y=cx-a的图象经过第二、三、四象限,故选项D中的图象正确.故选D.
4.D 【解析】 直线y=-2x+3如图所示.当x1x2>0时,则x1,x2同号,但y1,y3的正负均无法确定.当x1x3<0时,则x1<0,x3>0,无法确定x2的位置,故y1>0,但y2的正负无法确定,故y1y2的正负无法确定.当x2x3>0时,则x2,x3同号,但不能确定y1,y3的正负.当x2x3<0时,可知x10,由图象易知y1>0,y2>0,故y1y2>0,故选项D中的判断正确.故选D.
5.A 【解析】 由题图得抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,∴a<0,-b2a=-1,∴b=2a<0,∴ab>0,y=ax2+2ax+c,故①中的说法正确;∵抛物线过点(-3,0),∴抛物线与x轴另一个交点坐标为(1,0),∴a+b+c=0,∴3a+c=0,∴4a+c<0,故②中的说法错误;∵抛物线开口向下,|-1-(-2)|<|12-(-1)|,∴y1>y2,故③中的说法错误;由抛物线与x轴的交点为(-3,0)和(1,0),得方程ax2+bx+c=0的两个根为x1=-3,x2=1,故④中的说法正确;抛物线y=ax2+(b-k)x的对称轴为直线x=-b-k2a=-b2a+k2a=-1+k2a.又k≠0,故-b-k2a≠-1,故⑤中的说法错误.故选A.
6.y=-2x 【解析】 易知点A(-2,m)关于y轴对称的点A'的坐标为(2,m).又点A'在正比例函数y=12x的图象上,故m=1.∵点A(-2,1)在一个反比例函数的图象上,∴该反比例函数的表达式为y=-2x.
7.8 【解析】 以点O为原点,落点所在水平线为x轴建立平面直角坐标系,设抛物线形水柱的解析式为y=ax2+bx+c,由题意知当c=2.5时,抛物线过点(2.5,0),当c=4时,抛物线过点(3,0),∴6.25a+2.5b+2.5=0,9a+3b+4=0,解得a=−23,b=23.将(4,0)代入y=-23x2+23x+c,得-23×16+23×4+c=0,解得c=8,故当喷头高8 m时,水柱落点距 O点4 m.
8.23 【解析】 易得四边形BDEF是平行四边形.∵抛物线的顶点坐标为(2,3),且过点(0,0),∴当x=4时,y=0,∴BC=4.当BD=2时,过点F作FH⊥BC于点H,则3=2FH,∴FH=32.∵∠ABC=60°,∴BF=FHsin60°=3,∴DE=3.∵DE∥AB,BD=CD=2,∴AB=2DE=23.
9.【参考答案】 (1)由题意,得y=4-0.5(x-2),
∴y=-0.5x+5(2≤x≤8,且x为整数).(3分)
(2)设每平方米种植的小番茄的产量为w千克,
由题意,得w=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5.
∵-0.5<0,
∴当x=5时,w取最大值,最大值为12.5.
答:每平方米种植5株时,能获得最大的产量,最大产量为12.5千克.(7分)
10.【参考答案】 (1)把A(6,-12)代入y2=mx,得-12=m6,
∴m=-3,
∴y2=-3x.(2分)
把B(12,n)代入y2=-3x,得12n=-3,
∴n=-6,
∴B(12,-6).
把A(6,-12),B(12,-6)分别代入y1=kx+b,
得6k+b=−12,12k+b=−6,解得k=1,b=−132,
∴y1=x-132.(4分)
(2)12(3)2(8分)
解法提示:设直线y1交x轴于点G.
易得OC=OG=132,∴∠OCG=45°.
过点F作直线y1的垂线,垂足为H,则FH=22FC.
由点A(6,-12),C(0,-132),得AC=62+(−12+132)2=62.
∵△ACD的面积为6,
∴12×22FC·AC=12×22FC×62=6,
∴FC=2,
故t的值为2.
11.【参考答案】 (1)设AB所在直线的解析式为y=kx+b,把(-8,19),(6,5)分别代入,
得19=−8k+b,5=6k+b,解得k=−1,b=11,
∴AB所在直线的解析式为y=-x+11.(4分)
(2)①把x=2,y=0代入y=mx+n,
得0=2m+n,即n=-2m,
∴m,n应满足的数量关系是n=-2m.(6分)
②设光点P击中线段AB上的点为(a,d),则d=-a+11,
∴a=11-d(5≤d≤19),当d是整数时,a也是整数.
∵点P在射线CD上,
∴由①得d=ma-2m,
∴m=da-2=d9−d=99−d-1,
只有d=6,8,10,12,18时,m为整数,且其个数是5.(10分)
一题多解
(2)②易知直线CD的解析式为y=mx-2m.
线段AB上的整点有15个,分别为(-8,19),(-7,18),(-6,17),(-5,16),(-4,15),(-3,14),(-2,13),(-1,12),(0,11),(1,10),(2,9),(3,8),(4,7),(5,6),(6,5).
将上述各点的坐标分别代入y=mx-2m,求得相应的m,即可得到整数m的个数.
拓展延伸
已知直线y=kx+b(k≠0)上两点的坐标求k值,方法如下:
12.【参考答案】 (1)将(0,7)和(1,6)分别代入y=kx+b,
得b=7,k+b=6, 解得k=−1,b=7,
∴直线l的解析式为y=-x+7.(2分)
(2)①∵点P(m,n)在直线l上,
∴n=-m+7,即P(m,-m+7),
∴可设抛物线G的解析式为y=a(x-m)2-m+7.
将(0,-3)代入,得am2-m+7=-3.
若m=0,则7=-3,不成立,
∴m≠0,∴a=m-10m2.
又抛物线的开口向下,∴a<0,
∴m-10m2<0,
∴m<10且m≠0. (6分)
②由题意及抛物线的对称性知点Q的横坐标为m+12.(7分)
∵点Q是抛物线G与直线l的一个交点,
∴a(m+12-m)2-m+7=-(m+12)+7,
解得a=-2,
∴m-10m2=-2,
解得m1=-52,m2=2,
经检验,m1=-52,m2=2都是方程的根.(9分)
由题可知抛物线G开口向下.
当m=-52时,抛物线G的解析式为y=-2(x+52)2+192,4m5=-2,4m5+1=-1,-2>-52,
∴当-2≤x≤-1时,抛物线G的最高点的坐标为(-2,9).
当m=2时,抛物线G的解析式为y=-2(x-2)2+5,4m5=85,4m5+1=135,85<2<135,
∴当85≤x≤135时,抛物线G的最高点的坐标为(2,5).(11分)
13.【参考答案】 (1)把x=3,y=7.2,x=4,y=5.8分别代入y需求=ax2+c,可得
9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②
②-①,得7a=-1.4,解得a=-15,
把a=-15代入①,得c=9,
∴a=-15,c=9.(3分)
(2)4月份.
理由:设这种蔬菜的利润为w元/kg,根据题意,
有w=x售价-x成本=12t+2-(14t2-32t+3),
化简,得w=-14t2+2t-1=-14(t-4)2+3,
∵-14<0,t=4在1≤t≤7的范围内,
∴当t=4时,w有最大值.
答:在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大.(7分)
(3)由y供给=y需求,得x-1=-15x2+9,
化简,得x2+5x-50=0,
解得x1=5,x2=-10(舍去),
∴售价为5元/kg.(9分)
此时,y供给=y需求=x-1=4,
4 t=4 000 kg.
把x=5代入x售价=12t+2,得t=6,
把t=6代入w=-14t2+2t-1,得w=-14×36+2×6-1=2,
∴总利润=2×4 000=8 000(元).
答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/kg,按此价格出售获得的总利润为8 000元.(12分)
分类训练11 图形的初步认识
1.A 2.B 3.A
4.120 【解析】 ∠A=180°-60°=120°.
5.40° 【解析】 由题易知∠EDO=∠CDB=20°,∠AEF=∠OED.在△ODE中,∠OED=180°-∠EOD-∠EDO=180°-120°-20°=40°,∴∠AEF=∠OED=40°.
6.D 7.B
8.15 【解析】 ∵OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON,∴BO平分∠ABC,则∠ABO=12∠ABC=12×30°=15°.
9.A 【解析】 ∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵∠ABC=122°,∴∠BCD=180°-122°=58°.
10.B 【解析】 因为a∥b,所以∠BAC+∠2=∠1=130°.因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°,所以∠2=130°-∠BAC=130°-90°=40°.
11.B 【解析】 由尺规作图可知AC=BC,∴∠CAB=∠CBA.∵∠BCA=150°,∴∠CAB=∠CBA=15°.∵l1∥l2,∴∠1=∠CBA=15°.
12.B 【解析】 ∵DE∥CB,∠C=90°,∴∠DAC=∠C=90°.又∠BAC=30°,∴∠DAB=90°+30°=120°.
13.B 【解析】 如图,∵∠1=140°,∴∠4=180°-140°=40°.∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵m∥n,∴∠2=∠3=40°+60°=100°.
14.53°28' 【解析】 由平行线的性质,可得∠2=180°-∠1=180°-126°32'=53°28'.
15.85° 【解析】 由题意可知,∠DAC=50°,∠EBC=35°.如图,过点C作CF∥AD,则CF∥BE,∴∠ACF=∠DAC=50°,∠BCF=∠EBC=35°,∴∠ACB=50°+35°=85°.
16.105 【解析】 ∵∠BAC=90°,∠EDF=90°,∠E=60°,∠C=45°,∴∠F=30°,∠B=45°.∵EF∥BC,∴∠NDB=∠F=30°,∴∠BND=180°-∠B-∠NDB=180°-45°-30°=105°.
一题多解
如图,∵EF∥BC,∠E=60°,∴∠GDC=∠E=60°,∴∠AGD=60°+45°=105°,∴∠AND=180°-105°=75°,∴∠BND=180°-75°=105°.
17.D
18.D 【解析】 ∵AB=AC,且AD⊥BC,∴AP垂直平分线段BC,∴PB=PC,故A中命题是真命题.∵PB=PC,且AD⊥BC,∴AP垂直平分线段BC,∴AB=AC,故B中命题是真命题.∵AB=AC,且∠1=∠2,∴AD⊥BC,BD=CD,∴AP垂直平分线段BC,∴PB=PC,故C中命题是真命题.已知PB=PC,∠1=∠2,不能证明△APB≌△APC,∴AB和AC不一定相等,故D中命题是假命题.故选D.
19.如果b-a<0,那么a>b
分类训练12 三角形
基础分类题组
1.C 【解析】 设第三边长为x cm.∵三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,∴8-52.B
3.C 【解析】 由两点之间线段最短,得1+d+1+1>5且1+5+1+1>d,解得24.C 【解析】 如图,∵∠1=90°+∠3,∠3=90°-∠2,∴∠1=90°+90°-∠2,∴∠2=180°-∠1=180°-α.
5.10°或100° 【解析】 分2种情况讨论.①当点D在线段AB上时,如图(1).∵∠A=80°,AC=AD,∴∠ADC=12×(180°-80°)=50°,∴∠BCD=∠ADC-∠B=50°-40°=10°.②当点D在线段BA的延长线上时,如图(2).∵∠BAC=80°,∠B=40°,AC=AD,∴∠ACB=180°-80°-40°=60°,∠ACD=12∠BAC=40°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=100°.综上所述,∠BCD的度数是10°或100°.
图(1) 图(2)
6.【参考答案】 选择方法一.
∵DE∥BC,
∴∠DAB=∠B,∠CAE=∠C,
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB+∠CAE=180°.
选择方法二.
∵CD∥AB,
∴∠ACD=∠A,∠B+∠BCD=180°,
∴∠A+∠B+∠ACB=∠ACD+∠B+∠ACB=∠B+∠BCD=180°.
7.B
8.D 【解析】 如图,由题意可知∠1=∠2,∴折痕l是△BAC的角平分线.
9.D 【解析】 ∵点D,F分别为AC,CE的中点,∴DF是△AEC的中位线,∴AE=2DF=4,∴AD=AE=4.在Rt△ABC中,点D为斜边AC的中点,∴BD=AD=4.
10.D 【解析】 ∵BD=2CD=6,∴CD=3.∵tan C=2,∴AD=6.在Rt△ABD中,AD=6,BD=6,由勾股定理可知AB=62.
11.A 【解析】 方法一:如图(1),连接BG,OG.在Rt△EBF中,BG是斜边EF上的中线,则BG=12EF.同理OG=12EF,∴BG=OG,∴点G在线段OB的垂直平分线上,∴点G的运动轨迹是线段.方法二:建立如图(2)所示的平面直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,∵四边形ABCD是正方形,∴∠OAE=∠OBF=45°,OA=OB.∵∠AOB=∠EOF=90°,∴∠AOE=∠BOF,∴△AOE≌△BOF,∴AE=BF.设AE=BF=a,则F(a,0),E(0,1-a).∵EG=FG,∴G(12a,12-12a),∴点G在直线y=-x+12上,∴点G的运动轨迹是线段.
图(1) 图(2)
12.20
13.1 【解析】 如图,过点D作DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DF=DE=1,∴S△ACD=12AC·DF=12×2×1=1.
14.40或80 【解析】 当∠ACB是钝角,即点D在线段BC的延长线上时,如图(1),则∠BAC=90°-30°-20°=40°;当∠ACB是锐角,即点D在线段BC上时,如图(2),则∠BAC=90°-30°+20°=80°.
图(1) 图(2)
15.【参考答案】 (1)证明:因为∠ACB=90°,点M为AB的中点,
所以MA=MC,
所以∠MCA=∠A=50°,
所以∠CMA=180°-∠A-∠MCA=80°.
因为∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°,
所以∠CME=∠CEM,
所以CE=CM.
(2)由题意,得CE=CM=12AB=2.
又因为EF⊥AC,
所以FC=CE·cs 30°=3.
16.D 【解析】 设AB交x轴于点C,∵OA=OB,AB⊥x轴,∴CA=CB=12AB=3,∴OC=OA2-AC2=4,∴A(4,3).
17.B 【解析】 ∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,BD=DC=12BC=3.∵∠EBC=45°,∴∠BED=45°,∴ED=BD=3,∴S△EBC=12×3×6=9.故选B.
18.A 【解析】 ∵AD平分∠BAC,DF⊥AB,DC⊥AC,∴DC=DF=3,∠DAF=∠DAE.在Rt△DCE中,由勾股定理,得CE=DE2-CD2=52-32=4.∵DE∥AB,∴∠ADE=∠DAF=∠DAE,∴AE=DE=5,∴AC=AE+CE=5+4=9.∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B,∴tan∠CDE=tan B,∴CECD=DFBF,即43=3BF,∴BF=94.
19.42+1877 【解析】 如图,过点A作AF⊥BC于点F,则AF=ABsin 60°=33,BF=12BC=3,∴DF=BF-BD=1,∴AD=AF2+DF2=27.易证△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,BE=AD=27,∴∠BPD=∠ABP+∠BAD=∠ABP+∠CBE=∠ABD=60°=∠C.又∠PBD=∠CBE,∴△PBD∽△CBE,∴BPBC=BDBE=PDEC,即BP6=227=PD2,∴BP=677,PD=277,∴AP=AD-PD=1277,∴△ABP的周长为AB+AP+BP=42+1877.
20.40°或100° 【解析】 分两种情况讨论.①当∠A是顶角时,△ABC的顶角的度数是40°;②当∠A是底角时,△ABC的顶角的度数是180°-40°×2=100°.
21.(2,0) 【解析】 ∵A(-2,0),∴OA=2.连接BC,由作图可知BC=AB.又OB⊥AC,∴OC=OA=2,∴C(2,0).
22.5-12 【解析】 在△ABC中,∠C=90°,∴c2=a2+b2.又∵b2=ac,∴c2=a2+ac,等式两边同时除以ac,得ca=ac+1,令ac=x,则1x=x+1,∴x2+x-1=0,∴x1=5-12,x2=-5-12(舍去),∴sin A=ac=5-12.
23.50° 【解析】 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,∴∠CAB=70°,由作图可知MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠DAB=∠B=20°,∴∠CAD=70°-20°=50°.
综合提升题组
1.B 【解析】 由题意知,当CA⊥BA或CA≥BC时,能作出唯一一个△ABC.当CA⊥BA时,AC=BC·sin B=2×22=2,即此时d=2;当CA≥BC时,d≥2.综上所述,当d=2或d≥2时能作出唯一一个△ABC.故选B.
2.D 【解析】 在Rt△BDE中,∠BDE=90°,DB=DE=2,∴BE=BD2+DE2=22,∠BED=45°.∵A是边DE的中点,∴AD=AE=1,∴AB=AD2+BD2=5,∴BC=AB=5.如图,过点E作EF⊥CB,交CB的延长线于点F,过点A作AG⊥BE于点G.易得△AEG是等腰直角三角形,∴EG=AG=22AE=22,∴BG=322.∵∠ABC=∠F=90°,∴EF∥AB,∴∠BEF=∠ABG.又∠F=∠AGB,∴△BEF∽△ABG,∴BEAB=BFAG=EFBG,即225=BF22=EF322,∴BF=255,EF=655,∴CF=755,∴CE=EF2+CF2=17.故选D.
3.45 【解析】 如图,过点C作CE⊥AB于点E,则CE=4,AE=3,∴AC=AE2+CE2=5,∴sin∠CAB=CEAC=45.
4.【参考答案】 (1)3∶4(2分)
(2)12 16(4分)
(3)amn(6分)
分类训练13 全等三角形的判定与性质
1.【参考答案】 证明:∵AB∥DE,
∴∠A=∠EDF,
在△ABC与△DEF中,
∠A=∠EDF,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,
∴AD=CF.
2.B 【解析】 在△ABO和△DCO中,AO=OD,∠AOB=∠DOC,OB=OC,∴△ABO≌△DCO(SAS).故选B.
3.【参考答案】 (1)证明:∵AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠BAC=∠DAC,∠B=∠D=90°.
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
(2)∵△ABC≌△ADC,
∴BC=CD=3,S△ABC=S△ADC,
∴S四边形ABCD=2S△ABC=2×12×AB×BC=4×3=12.
4.B
5.【参考答案】 (1)证明:∵BE=FD,
∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE.
∵AB∥CD,
∴∠ABF=∠CDE,
又∵∠BAF=∠DCE=90°,BF=DE,
∴△ABF≌△CDE.
(2)选择条件①, 四边形AECF是菱形.
证明:由(1)得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠BAF=90°,BE=EF,
∴AE=12BF.
∵∠BAF=90°,∠ABD=30°,
∴AF=12BF,
∴AE=AF,
∴平行四边形AECF是菱形.
选择条件②,四边形AECF是菱形.
证明:如图,连接AC交BD于点O,
由(1)得△ABF≌△CDE,
∴AF=CE,∠AFB=∠CED,
∴AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∴AO=CO.
又∵AB=BC,
∴BO⊥AC,即EF⊥AC,
∴平行四边形AECF是菱形.
6.【参考答案】 证明:由题意知∠B=∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,∠ACB+∠DCE=90°,
∴∠BAC=∠DCE.
又AB=CD,∠B=∠D=90°,
∴△ABC≌△CDE.
7.C
8.【参考答案】 证明:∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B.
又∵CD=AB,∠DCE=∠A,
∴△CDE≌△ABC,
∴DE=BC.
9.【参考答案】 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°.
如图,过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,
则∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N,
∴△AMQ是等边三角形,
∴AM=QM,
又∵AM=CN,
∴QM=CN.
在△QMP和△CNP中,
∠QPM=∠CPN,∠QMP=∠N,QM=CN,
∴△QMP≌△CNP,
∴MP=NP.
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,
∴AH=HQ.
由(1)知△QMP≌△CNP,
∴QP=CP,
∴PH=HQ+QP=12AQ+12QC=12AC=12AB=a2.
分类训练14 图形的相似
基础分类题组
1.C
2.C 【解析】 ∵AB∥CD,∴AECE=BEDE,即12=BE3,∴BE=32,∴BD=32+3=92.
3.C 【解析】 ∵DE∥BC,∴AEEC=ADBD=23,∴ECAC=35,∴EC=35AC=35×6=185.
4.C 【解析】 如图,过点P作PQ⊥x轴于点Q,则PQ=OQ=1.∵OP∥AB,∴CPAC=OCBC=12.∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ,∴OQOA=CPAC=12,∴AO=2,∴tan∠OAP=PQAQ=12+1=13.
5.B
6.85 【解析】 ∵∠1=∠2,∠A=∠A,∴△AEF∽△ABC,∴EFBC=AFAC.∵BC=4,AF=2,CF=3,∴EF4=22+3,∴EF=85.
7.【参考答案】 (1)由题意,得DE∥BC,
所以△ADE∽△ABC,
所以ADAB=DEBC=14.
因为AB=8,
所以AD=2.
(2)设△ABC的面积为S,△ADE的面积为S1,△CEF的面积为S2.
因为ADAB=14,
所以S1S=(ADAB)2=116.
因为S1=1,
所以S=16.
因为CECA=34,
所以同理可得S2=9,
所以平行四边形BFED的面积=S-S1-S2=6.
8.B 【解析】 ∵OA∶OC=OB∶OD=3,∠COD=∠AOB,∴△COD∽△AOB,∴AB∶CD=3,即AB=3CD=9 cm,∴零件的厚度x=(10-9)÷2=0.5(cm).
9.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形,AC为对角线,
∴∠ACB=∠ACD.
∵∠ACD=∠ABE,∴∠ACB=∠ABE.
又∠BAC=∠EAB,∴△ABC∽△AEB.
(2)∵△ABC∽△AEB,∴ABAE=ACAB.
∵AB=6,AC=4,∴6AE=46,
∴AE=9.
10.C 【解析】 根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可知6AB=15−711−7,即6AB=84,∴AB=3 cm.
11.【参考答案】 ∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF.
又∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG,
∴AOEF=ODFG,∴AO=EF·ODFG=1.8×202.4=15.
同理,△BOC∽△AOD,
∴BOAO=OCOD,∴BO=AO·OCOD=15×1620=12,
∴AB=OA-OB=3(米),
∴旗杆的高AB为3米.
综合提升题组
1.D 【解析】 由旋转的性质知,∠E=∠C.又∵∠AFE=∠DFC,∴△AFE∽△DFC,故①中结论正确.由旋转的性质知,∠B=∠ADE,AB=AD,∴∠B=∠ADB,∴∠ADE=∠ADB,∴DA平分∠BDE,故②中结论正确.由旋转的性质知,∠BAD=∠FAE.∵△AFE∽△DFC,∴∠FAE=∠CDF,∴∠BAD=∠CDF,故③中结论正确.
2.A 【解析】 补全矩形纸片如图(1)、图(2)所示.在图(1)中,易证△DFE∽△ECB,则DFEC=EFBC=DEEB.设DF=x,EC=y,则xy=97=6+y2+x,由此可得7x=9y,9(2+x)=7(6+y),解得x=274,y=214,∴DE=6+y=454,EB=2+x=354,故选项B,D不符合题意.在图(2)中,易证△DCF∽△FEB,则CDEF=CFEB=FDBF.设CF=m,FD=n,则69=mn+2=nm+7,由此可得9m=6(n+2),6(m+7)=9n,解得m=8,n=10,∴FD=10,BF=15,故选项C不符合题意.故选A.
图(1) 图(2)
3.434 【解析】 设正方形的边长为x.易证△ADN∽△FCE,∴ADFC=DNCE,即x5+x=x-8x-5,∴x=20,∴DN=20-8=12,∴AN=AD2+DN2=434.
一题多解
如图,过点D作DH∥FE,交BC于点H,则GD=EH.易证△ADN≌△DCH,∴DN=CH.又CD=CB,∴BH=CN=8,∴GD=EH=BH-BE=3.设CH=DN=x.由AD∥CB,得△FGD∽△FEC,∴GDEC=FDFC,即33+x=55+8+x,∴x=12,∴AD=20,∴AN=AD2+DN2=434.
4.80 【解析】 如图,过点D作DM⊥CI,交CI的延长线于点M,过点F作FN⊥CI于点N.易证△ACJ≌△CDM,△BCJ≌△CFN,∴AJ=CM,DM=CJ=4,BJ=CN,NF=CJ=4,∴DM=NF.又∠DMI=∠FNI,∠DIM=∠FIN,∴△DMI≌△FNI,∴DI=FI,MI=NI.又∵∠DCF=90°,∴DI=FI=CI=5.在Rt△DMI中,由勾股定理得MI=DI2-DM2=52-42=3,∴NI=MI=3,∴AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-NI=5-3=2,∴AB=AJ+BJ=8+2=10.易知四边形ABHL为正方形,∴AL=AB=10.易知四边形AJKL为矩形,∴S四边形AJKL=AL·AJ=10×8=80.
“一线三直角”模型
1.一般结论(如图):
(1)当AB=AC时,△ACD≌△BAE;
(2)当AB≠AC时,△ACD∽△BAE.
2.“一线三直角”模型的应用:
(1)图形中已经存在“一线三直角”,直接应用此模型解题;
(2)图形中存在“一线两直角”,补上“一直角”构造此模型;
(3)图形中只有顶点在某条直线上的一个直角,补上“两直角”构造此模型;
(4)图形中只有一个直角,过该直角的顶点补上“一线”,再补上“两直角”,构造此模型;
(5)对于平面直角坐标系,可以借助x轴或y轴(也可以借助平行于x轴或y轴的直线)构造“一线三直角”模型.
5.(1)45 (2)2615 【解析】 (1)由∠A=∠BEF=∠G=90°,BE=EF,易证△ABE≌△GEF,∴EG=AB=AD,GF=AE,∴DG=AE=GF,∴△DFG是等腰直角三角形,∴∠FDG=45°.(2)由(1)可知△DFG是等腰直角三角形.又DF=22,∴DG=GF=2,∴CD=BC=AB=EG=ED+DG=1+2=3.如图,分别延长GF,BC,两线交于点H,则CD∥GH,GH=CD=3,CH=DG=2,∴△EDM∽△EGF,△BNC∽△BFH,∴MDGF=EDEG,NCFH=BCBH,即MD2=13,NC3−2=33+2,∴MD=23,NC=35,∴MN=CD-MD-NC=3-23-35=2615.
6.【参考答案】 (1)如图(1),线段EF即为所求.(2分)
图(1)
(2)如图(2),四边形ABDC即为所求.(答案不唯一,正确即可)(5分)
图(2)
(3)如图(3),△DEF即为所求.(答案不唯一,正确即可)(8分)
图(3)
7.【参考答案】 (1)证明:如图.∵四边形ABCD为矩形,
∴∠2=∠3=∠4.
∵DE=BE,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3.
∵BE平分∠DBC,
∴∠1=∠6,
∴∠3=∠6. (3分)
又∵∠3与∠5互余,
∴∠6与∠5互余,
∴BF⊥AC. (4分)
(2)△ECF,△BAF与△OBF相似.(5分)
理由:如图,∵∠1=∠2,∠2=∠4,
∴∠1=∠4.
又∵∠OFB=∠BFO,
∴△OBF∽△BAF. (6分)
∵∠1=∠3,∠OFB=∠EFC,
∴△OBF∽△ECF.(7分)
(3)∵△OBF∽△ECF,
∴EFOF=CFBF,即23=CFBF,
∴3CF=2BF,
∴3OA=2BF+9.①(8分)
∵△OBF∽△BAF,
∴OFBF=BFAF,
∴BF2=OF·AF,
即BF2=3(OA+3).②(9分)
由①②,得BF=1±19(负值舍去),
∴DE=BE=2+1+19=3+19.(10分)
8.【参考答案】 (1)①∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB=12∠ACB.
∵∠ACB=2∠B,
∴∠ACD=∠DCB=∠B,
∴CD=BD=32.
∵DE∥AC,
∴∠ACD=∠EDC,
∴∠EDC=∠DCB=∠B,
∴CE=DE=1.
∵∠DCE=∠BCD,∠CDE=∠B,
∴△CED∽△CDB,
∴CECD=CDCB,
∴BC=94.(3分)
②是.(4分)
∵DE∥AC,
∴ABAD=BCCE.
由①得CE=DE,
∴ABAD=BCDE,
∴ABAD-BEDE=BCDE-BEDE=CEDE=1,
∴ABAD-BEDE是定值,定值为1.(6分)
(2)∵DE∥AC,
∴△ABC∽△DBE,
∴S1S2=ACDE=BCBE.
∵S3S2=BECE,
∴S1·S3S22=BCCE.
又∵S1·S3=916S22,
∴BCCE=916.
设BC=9x,则CE=16x.
∵CD平分∠BCF,
∴∠ECD=∠FCD=12∠BCF.
∵∠BCF=2∠CBG,
∴∠ECD=∠FCD=∠CBD,
∴BD=CD.
∵DE∥AC,
∴∠EDC=∠FCD,
∴∠EDC=∠CBD=∠ECD,
∴CE=DE.
∵∠DCB=∠ECD,
∴△CDB∽△CED,
∴CDCE=CBCD,
∴CD2=CB·CE=144x2,
∴CD=12x.
如图,过点D作DH⊥BC于点H.
∵BD=CD=12x,
∴BH=12BC=92x,
∴cs∠CBD=BHBD=92x12x=38.(10分)
分类训练15 锐角三角函数
1.A
2.B 【解析】 ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=12BC=22 cm.在Rt△ABD中,tan∠ABD=ADBD,∴AD=BD·tan∠ABD=22×tan 27°≈22×0.51=11.22(cm).
3.D 【解析】 设AB=x.在Rt△ABD中,tan β=ABBD=xBD,∴BD=xtanβ,∴BC=CD+BD=a+xtanβ.在Rt△ABC中,tan α=ABBC=xa+xtanβ,∴x=atanαtanβtanβ-tanα.
4.C 【解析】 如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵tan A=DEAE=12,tan∠ABD=DEBE=13,∴AE=2DE,BE=3DE,∴2DE+3DE=5DE=AB.在Rt△ABC中,tan A=12,BC=5,∴BCAC=5AC=12,∴AC=25,∴AB=AC2+BC2=5,∴DE=1,∴AE=2,∴AD=AE2+DE2=22+12=5,∴CD=AC-AD=5,故选C.
5.45
6.66 【解析】 如图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,则四边形ABED是矩形,∴BE=AD=1,DE=AB,∠ADB=∠CBD.∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD=3,∴CE=BC-BE=3-1=2,∴DE=CD2-CE2=32-22=5,∴BD=DE2+BE2=(5)2+12=6,∴sin∠ABD=ADBD=16=66.
7.【参考答案】 (1)作图如图所示.
(2)设(1)中AC的垂线交AC于点F,则OF⊥AC,
∴AF=CF=12AC=4.
又点O是AB的中点,
∴OF是△ABC的中位线,
∴OF=12BC=3,即点O到AC的距离为3.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB=AC2+BC2=82+62=10,
∴OD=5,
∴DF=OD-OF=5-3=2,
∴在Rt△CDF中,CD=DF2+CF2=22+42=25,
∴sin∠ACD=DFCD=225=55.
8.【参考答案】 如图,由题意知,∠ECA=37°,CD=90,∠ADC=90°,∠ADB=53°,AD∥EC,
∴∠BCD=53°,∠BDC=∠ADC-∠ADB=37°,∠A=37°,
∴∠BCD+∠BDC=90°,
∴∠CBD=90°,即AC⊥BD.
在Rt△CBD中,BD=CDcs∠BDC=90cs 37°≈90×0.80=72.
在Rt△ABD中,AB=BDtanA=72tan37°≈720.75=96.
答:A,B两点间的距离为96 m.
9.【参考答案】 如图,过点B作BH⊥AC于点H,根据题意,得∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°-25°=45°.
在Rt△ABH中,AB=100,∠BAH=50°,sin∠BAH=BHAB,cs∠BAH=AHAB,
∴BH=AB·sin∠BAC≈100×0.766=76.6,AH=AB·cs∠BAC≈100×0.643=64.3.
在Rt△BHC中,∠BCH=45°,
∴CH=BH=76.6,
∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141.
答:货轮距离A港口约141海里.
10.【参考答案】 根据题意,得BC=32,∠APC=42°,∠APB=35°.
在Rt△PAC中,tan∠APC=ACPA,
∴PA=ACtan∠APC.
在Rt△PAB中,tan∠APB=ABPA,
∴PA=ABtan∠APB.
∵AC=AB+BC,
∴AB+BCtan∠APC=ABtan∠APB,
∴AB=BC·tan∠APBtan∠APC-tan∠APB=32×tan35°tan42°−tan35°≈32×−0.70=112(m).
答:这座山AB的高度约为112 m.
11.【参考答案】 (1)在Rt△CAE中,∵∠CAE=45°,
∴CE=AE.
∵AB=10,
∴BE=AE-10=CE-10.
在Rt△CEB中,由tan 53°=CEBE=CECE-10,
得tan 53°(CE-10)=CE,∴CE≈40.58.
答:阿育王塔的高度约为40.58 m.
(2)由题意知Rt△FGD∽Rt△CED,
∴FGCE=GDED,即,∴ED≈54.11.
答:小亮与阿育王塔之间的距离约为54.11 m.
归纳总结
解直角三角形实际应用的一般步骤
①审题:根据题意画出图形,建立数学模型.
②构造直角三角形:将已知条件转化到示意图中,把实际问题转化为解直角三角形问题.
③列关系式:选择合适的边角关系式,使运算简便、准确.
④检验:得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义,同时还要注意结果有无对精确度的要求.
12.【参考答案】 在Rt△BAD中,tan∠BDA=ABAD,∠BDA=53°,
∴AD=ABtan53°≈18.05(米).
在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD,∠CAD=30°,
∴CD=AD·tan∠CAD=33AD≈10.4(米).
故办公楼的高度约为10.4米.
13.【参考答案】 在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠C=58°,AC=AB+BC=34+70=104,
∴AE=ACsin C=104×sin 58°≈104×0.85≈88.
答:点A到CD的距离AE的长度约为88 cm.
14.【参考答案】 在Rt△ACO中,∠AOC=180°-∠AOB=30°,AC=10 cm,
∴OA=2AC=20 cm.
在Rt△A'DO中,∠A'OD=180°-∠A'OB=72°,OA'=OA=20 cm,
∴A'D=A'Osin∠A'OD≈20×0.95=19(cm).
答:顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长约为19 cm.
15.【参考答案】 分别延长AB,CD与直线OF交于点G,点H,如图,
则∠AGO=∠EHO=90°.
又∵∠GAC=90°,∴四边形ACHG是矩形,
∴GH=AC.
由题意,得AG=60,OF=24,∠AOG=70°,∠EOF=30°,∠EFH=60°.
在Rt△AGO中,∠AGO=90°,tan∠AOG=AGOG,
∴OG=AGtan∠AOG=60tan70°≈602.75≈21.8.
∵∠EFH是△EOF的外角,
∴∠FEO=∠EFH-∠EOF=60°-30°=30°,
∴∠EOF=∠FEO,∴EF=OF=24.
在Rt△EHF中,∠EHF=90°,cs∠EFH=FHEF,
∴FH=EF·cs∠EFH=24×cs 60°=12,
∴AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12≈58(m).
答:楼AB与CD之间的距离AC的长约为58 m.
分类训练16 平行四边形与多边形
1.A 【解析】 ∵任意多边形的外角和为360°,∴α=β=360°,∴α-β=0.
2.A 【解析】 设该多边形的边数为n,由题意得(n-2)×180°=900°,解得n=7.
3.C 【解析】 ∵该正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1,∴设这个多边形的每个外角是x°,则每个内角是3x°.根据题意得x+3x=180,解得x=45,故该正多边形的边数为360°÷45°=8.
4.(3,-3) 【解析】 如图,连接AO,BO,易得OB=OA,∠BOA=30°+120°+30°=180°,∴A,B关于点O对称,∴A(3,-3).
5.48 【解析】 ∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=108°,∴∠OAE=180°-108°=72°.在△AOE中,∠AEO=180°-∠MON-∠OAE=180°-60°-72°=48°.
6.4 【解析】 ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠HAF=60°.又∵∠AHF=90°,∴∠AFH=30°,∴AF=2AH.设AB=AF=x,则AH=6-x,∴x=2(6-x),解得x=4,∴AB=4,即正六边形的边长为4.
7.332 【解析】 如图,连接BD,DF,BF,过点A作AG⊥BF于点G.易知△ABF≌△CDB≌△EFD,AB=AF=1,∠BAF=120°,△BDF是等边三角形,∴∠ABF=∠AFB=30°,BG=GF,∴AG=12,BG=GF=32,∴BF=3,∴S△ABF=12×3×12=34,S△BDF=34×(3)2=334,∴S正六边形ABCDEF=3S△ABF+S△BDF=334+334=332.
8.D 【解析】 逐项分析如下.故选D.
9.①②④ 【解析】 ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=DE,∠ABM=∠DEN=60°.若添加BM=EN,则BN=EM,∴△ABN≌△DEM,∴AN=DM,∠ANB=∠DME,∴AN∥DM,∴四边形AMDN是平行四边形.若添加∠FAN=∠CDM,则∠BAN=∠EDM,∴△ABN≌△DEM.同上可证四边形AMDN是平行四边形.若添加AM=DN,无法证明四边形AMDN是平行四边形.若添加∠AMB=∠DNE,则∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN.∵AB=DE,∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM≌△DEN,∴AM=DN,∴四边形AMDN是平行四边形.
10.【参考答案】 证明:(1)在△AEF和△DEC中,
AE=DE,∠AEF=∠DEC,FE=CE,
∴△AEF≌△DEC(SAS).
(2)∵△AEF≌△DEC,
∴∠AFE=∠DCE,
∴AF∥CD,即AB∥CD.
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形.
11.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,且AD=BC.
∵点C是BE的中点,∴BC=CE,∴AD=CE,
又∵AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.
∵AB=AE,∴DC=AE.
又∵四边形ACED是平行四边形,
∴四边形ACED是矩形.
12.A 【解析】 在▱ABCD中,AD∥BC.∵点O是AC,BD的交点,∴OA=OC,∴OE=OF.易得△OAE≌△OCF,∴AE=CF,点F不一定为BC的中点,∴AE=BF不一定成立.∵AD∥BC,∴∠CFE+∠DEF=180°.因∠CFE不一定为直角,故∠CFE=∠DEF不一定成立.显然,∠DOC=∠OCD不一定成立.故选A.
13.B 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=12,BC=AD=8,AB∥CD,∴∠ABM=∠CMB.又∵BM是∠ABC的平分线,∴∠CBM=∠ABM=∠CMB,∴MC=BC=8,∴DM=CD-MC=12-8=4.
14.A 【解析】 ∵点E为BC的中点,∴BC=2BE=2CE.又∵BC=2AB,∴AB=BE.又∵∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=∠BEA=60°,AE=BE=EC,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,即AB⊥AC,故结论①正确.在平行四边形ABCD中,AD=BC=2AB,AO=CO,BE=EC,∴OE是△ABC的中位线,∴AB=2OE,∴AD=4OE,故结论②正确.∵AD∥BC,AO=OC,∴OF=OE,∴四边形AECF是平行四边形,又AE=EC,∴平行四边形AECF是菱形,故结论③正确.∵OA=OC,BE=EC,∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC,故结论④正确.综上所述,正确的结论有4个.
15.D 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB,CD∥AB,∴∠A=180°-∠ADC=75°.又∵∠ABE=60°,∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°.如图,过点B作BF⊥AD于点F,则BF=FE.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=75°,∴∠ADB=30°.设BF=EF=x,则BD=2x,DF=3x,∴DE=DF-EF=(3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-3)x.由勾股定理,得AB2=AF2+BF2=(2-3)2x2+x2=(8-43)x2,∴DE2AB2=(3-1)2x2(8-43)x2=12,∴DEAB=22.又∵AB=CD,∴DECD=22.故选D.
16.110° 【解析】 在等腰三角形ABC中,∠A=120°,∴∠ABC=30°.又∵∠1=40°,∴∠ABE=70°.∵四边形ODEF是平行四边形,∴OF∥DE,∴∠2=180°-∠ABE=180°-70°=110°.
17.(-2,-1) 【解析】 易知点C(2,-1)向左平移4个单位长度与点B重合,∴B(-2,-1).
18.91050 【解析】 在Rt△ADE中,DE=ADsin A=5×45=4,∴AE=AD2-DE2=3,∴BE=12-3=9.在Rt△DCE中,CE=CD2+DE2=410.设点B到CE的距离为h,则S△BCE=12×h×CE=12×BE×DE,∴h=BE×DECE=9×4410=91010,则sin∠BCE=ℎBC=9 10105=91050.
19.2 【解析】 如图,过点H作HM⊥BC于点M.由题意可知,BH平分∠ABC,∴∠ABH=∠CBH.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=3+1,AB∥CD,∴∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=30°,∴∠CBH=∠CHB,∴CH=BC=3+1,∴HM=12CH=3+12,CM=32CH=3+32,∴BM=BC-CM=3+1-3+32=3-12,∴BH=HM2+BM2=2.
20.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC.
又∵BD=BD,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
(2)如图所示.
(3)∵EF垂直平分BD,
∴BE=DE,∴∠BDE=∠DBE=25°,
∴∠AEB=∠BDE+∠DBE=50°.
21.【参考答案】 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,O是BD的中点,
∴AB∥DC,OB=OD,
∴∠OBE=∠ODF.
在△DOF和△BOE中,
∠ODF=∠OBE,OD=OB,∠DOF=∠BOE,
∴△DOF≌△BOE.
(2)∵△DOF≌△BOE,
∴FO=EO.
又∵OB=OD,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴DE=BF.
22.【参考答案】 (1)证明:∵E,F分别是AC,AB的中点,
∴EF∥BC,
∴∠FEO=∠DGO,∠EFO=∠GDO.
∵O是DF的中点,
∴FO=DO,
∴△EFO≌△GDO(AAS),
∴EF=GD,
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵AD⊥BC,E是AC的中点,
∴DE=12AC=EC,
∴∠EDC=∠C,
∴tan C=tan∠EDC=52,
∴ADDC=52.
∵AD=5,∴CD=2,
∴AC=52+22=29,
∴DE=12AC=292.
由平行四边形的性质可得FG=DE=292.
23.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∠ABC=∠ADC,
∴∠DAC=∠BCA.
又∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ADG=∠CBE.
在△ADG和△CBE中,
∠DAG=∠BCE,AD=BC,∠ADG=∠CBE,
∴△ADG≌△CBE,
∴BE=DG,∠AGD=∠CEB.
∵∠DGE=180°-∠AGD,∠BEG=180°-∠CEB,
∴∠DGE=∠BEG,∴BE∥DG.
(2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,
又∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,
∴EH=EF=6.
∵▱ABCD的周长为56,
∴AB+BC=28,
∴S△ABC=12AB·EF+12BC·EH=12EF(AB+BC)=12×6×28=84.
24.【参考答案】 (1)①如图(1).
∵四边形ABCD是平行四边形,
图(1)
∴AB∥CD,BC=AD=5,
∴∠DEA=∠EAB.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠EAB,
∴∠DAE=∠DEA,
∴DE=AD=5.
同理可得CF=BC=5.
∵点E与点F重合,
∴AB=CD=10.
②如图(2),由①可知CF=BC=5.
图(2)
∵点E与点C重合,
∴EF=CF=5.
(2)分3种情况讨论.
①当DE=EF=CF时,如图(3).
图(3)
∵AD=DE,AB=DC,
∴ADAB=DECD=13.
②当DF=EF=CE时,如图(4).
图(4)
∵AD=DE,
∴ADAB=DECD=23.
③当DF=CD=CE时,如图(5).
图(5)
∵AD=DE,
∴ADAB=DECD=2.
综上可知,ADAB的值是13,23或2.
分类训练17 特殊平行四边形
基础分类题组
1.D
2.48 【解析】 矩形的面积为6×102-62=48(cm2).
3.1 【解析】 ∵∠ABC=90°,∴BC=AC2-AB2=52-32=4.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴AECB=AFCF=14,∴AE=14BC=14×4=1.
4.52 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,BD=AC=10.∵AF=14AC,∴AF=12OA,即点F是OA的中点.又点E是AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=12OD=14BD=52.
5.48 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=∠CDE=90°.又∵点F,G分别是BE,CE的中点,AF=3,DG=4,FG=5,∴BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,∴BE2+CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°,∴S△BCE=12·BE·CE=12×6×8=24,∴S矩形ABCD=2S△BCE=2×24=48.
6.【参考答案】 (1)证明:将矩形ABCD沿对角线AC折叠,
则AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°.
在△DAF和△ECF中,
∠DFA=∠EFC,∠D=∠E,DA=EC,
∴△DAF≌△ECF.
(2)∵△DAF≌△ECF,
∴∠DAF=∠ECF=40°.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=50°.
由折叠可知∠EAC=∠CAB,
∴∠CAB=25°.
7.【参考答案】 (1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,则∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∠BAN=∠AMD,∠BNA=∠D=90°,BA=AM,
∴△ABN≌△MAD.
(2)∵△ABN≌△MAD,
∴BN=AD=2.
在Rt△ABN中,由勾股定理,得AB=AN2+BN2=25.
∵S矩形ABCD=2×25=45,S△MAD=S△ABN=12×2×4=4,
∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=45-8.
8.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠BAE=∠FDE,∠EBA=∠EFD.
∵E是AD的中点,
∴AE=ED,∴△BAE≌△FDE,
∴AB=FD.
又AB∥FD,∴四边形ABDF是平行四边形.
又∠BDF=90°,∴四边形ABDF是矩形.
(2)∵四边形ABDF是矩形,
∴∠AFD=90°,AF=BD,AB=DF=3.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3.
根据勾股定理,得AF=AD2-DF2=52-32=4,
∴BD=4,
∴S=S△BCD+S矩形ABDF=12×4×3+4×3=18.
9.D 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC.∵CE∥BD,∴∠ACE=∠AOB=90°,OB是△ACE的中位线,∴△ACE是直角三角形,OB=12CE.∵CD∥BE,CE∥BD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BC=AB=CD=BE=12AE.不确定∠ABC的大小,故BE和CE的长度大小无法确定.
10.C 【解析】 如图,延长BC于点D.易得OD=OB,OA=AD.∵∠O=60°,∴△OBD是等边三角形,∴BA⊥OD,∠ADB=60°,∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC=33.
11.B 【解析】 ∵四边形ABCD为菱形,E是CD的中点,∴AB∥CD,BC=CD=2CE.设BF=a,则CE=2a,∴BC=4a.如图,过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,则四边形CEFM为矩形,∴FM=EC=2a,CM=EF=7.在Rt△CBM中,CB2=BM2+CM2,即(4a)2=(3a)2+(7)2,解得a=1(负值已舍去),∴BC=4.
12.AB=AD(答案不唯一)
13.52 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=12AC=12,OB=12BD=5, ∴AB=OA2+OB2=13, ∴菱形ABCD的周长为4×13=52.
14.25 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,OB=OD,AC⊥BD,∴AE=OE2+AO2=32+42=5,∴BE=AE=5,∴OB=8,∴BC=AB=OA2+OB2=42+82=45.∵OB=OD,DF=CF,∴OF=12BC=25.
归纳总结
菱形的性质
(1)边:菱形的对边平行,四条边相等;
(2)角:菱形的对角相等;
(3)对角线:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;
(4)对称性:菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,菱形也是中心对称图形.
15.152 【解析】 连接AC交BD于点O,则OB=OD=72,AC⊥BD.在Rt△AOB中,AB=4,BO=72,∴AO=152.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB.∵AM=BN,ME⊥BD,NF⊥BD,∴ME+NF=MDsin∠MDE+BNsin∠NBF=MDsin∠ADO+AMsin∠ADO=ADsin∠ADO=AO=152.
16.32 【解析】 如图,连接BD交AC于点O.∵∠BAD=60°,四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,∠BAO=30°,∴AC=2OA=2AB·cs∠BAO=3.∵AE=3BE,∴AE=34.同理求得AN=CM=334,∴MN=AC-2(AC-AN)=-AC+2AN=-3+2×334=32.
17.【参考答案】 赞成小洁的说法.
补充条件:AB=CB.
证明:由小惠的证法得,AB=AD,CB=CD.
又∵AB=CB,
∴AB=AD=CB=CD,
∴四边形ABCD是菱形.
(答案不唯一,正确即可)
18.【参考答案】 证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC.
又∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC.
又∵∠BAC=∠DAC,
∴∠ACB=∠BAC,
∴BA=BC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,即EF⊥BD.
由(1)知四边形EBFD是平行四边形,
∴四边形EBFD是菱形.
19.【参考答案】 (1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AC⊥BD,且AO=CO,BO=DO.
∵∠ABC=60°,
∴∠ABO=30°.
又∵AB=10,
∴CO=AO=5,OD=OB=53,
∴AC=2AO=10,BD=2BO=103,
∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×10×103=503.
(2)证明:如图,连接EC, 则AE=CE.
设∠AEO=α,则∠CEO=α,∴∠CEF=120°-2α,∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°,
∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α,
∴∠F=∠ECF,∴CE=EF,
∴AE=EF.
20.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
(2)∵点E,F分别是AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线,
∴OD=2EF=3.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD=2OD=6.
在Rt△AOD中,AD=OA2+OD2=22+32=13,
∴四边形ABCD的周长为413.
归纳总结
特殊四边形的判定
1.平行四边形的判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(4)对角线相等的平行四边形是矩形.
3.菱形的判定
(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(3)四条边都相等的四边形是菱形.
4.正方形的判定
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(5)对角线相等的菱形是正方形;
(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
21.【参考答案】 (1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵点E是AD的中点,
∴AE=DE,
∴△FAE≌△CDE,
∴AF=CD.
∵点D是BC的中点,
∴BD=CD,∴AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形.
∵∠BAC=90°,点D是BC的中点,
∴AD=12BC=BD,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)∵四边形ADBF是菱形,
∴S菱形ADBF=2S△ABD.
∵点D是BC的中点,
∴S△ABC=2S△ABD,
∴S△ABC=S菱形ADBF=40,
∴12AB·AC=40,即12×8AC=40,
∴AC=10.
22.C
23.C 【解析】 ∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,AB=DA,∠DAF=∠B=90°.又∵AF=BE,∴△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=90°-22.5°=67.5°,故选C.
24.D 【解析】 如图,延长DA,BC交于点G.由题意知∠BAG=180°-90°=90°,∠ABC=60°,AD=AB=2,∴AG=3AB=23,∴DG=AD+AG=2+23.∵∠G=90°-60°=30°,DF⊥BC,∴DF=12DG=1+3.
25.D 【解析】 如图,连接EF.∵正方形ABCD的面积为3,∴它的边长为3.在Rt△BCE中,CE=1,BC=3,∴tan∠CBE=CEBC=33,∴∠CBE=30°,∴∠ABE=90°-30°=60°.∵AF平分∠ABE,∴∠ABF=12×60°=30°,∴AF=ABtan 30°=1,∴DF=3-1.又DE=3-1,∴在Rt△DEF中,EF=6-2.∵点M,N分别为BE,BF的中点,∴MN是△BEF的中位线,∴MN=12EF=6-22.
26.132 【解析】 如图,连接OF,过点O作OM⊥FC于点M,则OM=DM=2,∴OM=CE,FM=3,∴OF=22+32=13.易证△OMH≌△ECH,∴OH=HE.又点G为EF的中点,∴HG为△EOF的中位线,∴GH=12OF=132.
27.【参考答案】 证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DF,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
∵OE=OA,
∴AC=2OA=2OE=EF,
∴菱形AECF是正方形.
28.【参考答案】 证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°.
∵CE⊥BG,DF⊥CE,
∴∠BEC=∠DFC=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF.
在△CBE和△DCF中,
∠CBE=∠FCD,∠BEC=∠CFD,BC=CD,∴△CBE≌△DCF,
∴BE=CF,CE=DF,
∴DF=CE=CF+EF=BE+EF.
综合提升题组
1.D 【解析】 ∵A(0,3),B(1,0),∴OA=3,OB=1.由平移的性质可知,CD=AB,CD∥AB,∴四边形ABCD是平行四边形.又∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.过点D作DE⊥y轴于点E,易证△DEA∽△AOB,∴DEAO=AEOB=ADAB=BCAB=2,∴AE=2,DE=6,∴OE=5,∴D(6,5).
2.C 【解析】 取BD的中点O.∵BE=DF,OB=OD,∴OE=OF,故点M,N只要满足OM=ON且M,O,N三点共线,四边形MENF即为平行四边形,故存在无数个平行四边形MENF,故说法①正确.只要满足MN=EF,且M,O,N三点共线,四边形MENF即为矩形.又点E,F是BD上的动点,故存在无数个矩形MENF,故说法②正确.只要满足MN⊥EF,且M,O,N三点共线,四边形MENF即为菱形.又点E,F是BD上的动点,故存在无数个菱形MENF,故说法③正确.若要四边形MENF是正方形,则要满足MN⊥EF,OM=ON=OE=OF,且M,O,N三点共线,符合要求的正方形只有一个,故说法④错误.故选C.
3.C 【解析】 设正方形纸片的边长为a,矩形纸片的长、宽分别为b,c,则4a=2b+2c,EF=HG=a-c,∴b=2a-c,∴EH=FG=b-a=a-c,∴S阴影=12(a-c)(a+c+a+c)+(a-c)2=2a2-2ac=2a(a-c).∵S正方形纸片=a2,S四边形EFGH=(a-c)2,S△BEF=12a(a-c),S△AEH=12c(a-c),∴4S△BEF=S阴影,∴若知道阴影部分的面积,则一定能求出△BEF的面积.
4.D 【解析】 ∵四边形ABCD是菱形,∠DAB=60°,∴∠DAC=∠ACD=30°,∠ADC=120°.如图,取AC的中点O,连接OE,则OE是△ACD的中位线,∴OE=12CD,OE∥CD,∴∠OED=180°-∠ADC=60°,∠AOE=∠ACD=30°,∴∠OEF=∠OED-∠DEF=15°.又∠AFE=∠DEF-∠DAC=15°,∴∠OEF=∠AFE,∴OF=OE=12CD=12AD.易知AC=2ADcs 30°=3AD,∴OA=32AD,∴AF=3+12AD,∴FC=AC-AF=3-12AD,∴AF∶FC=2+3.
5.B 【解析】 如图,过点A作AH⊥BC于点H,延长FG交AB于点P,由题意可知,AB=BC=4,∵E是BC的中点,∴BE=2.∵在Rt△ABH中,AB=4,cs B=14,∴BH=1,∴H是BE的中点,即AH垂直平分BE,∴AE=AB=4,∴∠AEB=∠B.∵AF平分∠DAE,∴∠FAD=∠FAE.∵AD∥FG,∴∠FAD=∠AFG,∴∠FAG=∠AFG,∴AG=FG.易得四边形APFD是平行四边形,∴PF=AD=4.易知PF∥BC,∴∠AGP=∠AEB=∠B,AH⊥PG,APAB=AGAE,∴AP=AG,∴AH垂直平分PG.设FG=x,则AG=x,PG=4-x,∴cs∠AGP=12PGAG=2−x2x=14,∴x=83.故选B.
6.B 【解析】 如图,过点F作FH⊥BG于点H,FK⊥BC于点K,则四边形BHFK是正方形.∵DE⊥EF,∠EHF=90°,∴∠DEA+∠FEH=90°,∠EFH+∠FEH=90°,∴∠DEA=∠EFH.又∵∠A=∠EHF=90°,∴△DAE∽△EHF,∴ADHE=AEHF.∵正方形ABCD的边长为3,BE=2AE,∴AE=1,BE=2.设FH=a,则BH=a,∴32+a=1a,解得a=1.易证△DCN∽△FKN,∴DCFK=CNKN.∵BC=3,BK=FH=1,∴CK=2.设CN=b,则 KN=2-b,∴31=b2−b,∴b=32,即CN=32.易知△ADE∽△BEM,∴ADBE=AEBM,∴32=1BM,∴BM=23,∴MN=BC-CN-BM=3-32-23=56.故选B.
7.B 【解析】 根据折叠的性质知,∠DGF=∠OGF,∠AGE=∠OGE,∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°,同理可得∠GEC=90°,∴GF∥EC,故结论①正确.根据折叠的性质知DG=GO=GA,∴点G为AD的中点,同理可得点E为AB的中点.设AD=BC=2a,AB=CD=2b,则DG=GO=GA=a,OC=BC=2a,AE=BE=OE=b,∴GC=3a.在Rt△CDG中,CG2=DG2+CD2,即(3a)2=a2+(2b)2,∴b=2a,∴AB=22a=2AD,故结论②不正确.设DF=FO=x,则 FC=2b-x.在Rt△COF中,CF2=OF2+OC2,即(2b-x)2=x2+(2a)2,∴x=b2-a2b=a2,即DF=FO=a2.又∵GE=a2+b2=3a,∴GEDF=3aa2=6,∴GE=6DF,故结论③正确.OCOF=2aa2=22,∴OC=22OF,故结论④正确.∵tan∠FCO=FOOC=24,tan∠GCE=GECE=3a(2a)2+(2a)2=22,∴∠FCO≠∠GCE,∴△COF∽△CEG不成立,故结论⑤不正确.故选B.
8.52或45 【解析】 如图,①当AP=AE=5时,点P在点P1的位置,此时PE=2AE=52.②当PE=AE=5时,点P在点P2的位置.∵BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°,∴PB=PE2-BE2=4,∴AP=AB2+BP2=45.综上可知,等腰三角形AEP的底边长为52或45.
9.194 【解析】 ∵点E为AB的中点,∴AE=EB=1.如图,过点C作AB的垂线,垂足为点H.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠CBH=∠DAB=60°,∴BH=12BC=1,CH=32BC=3,∴EB=BH.连接BF,∵EF=FC,∴FB∥CH,FB=12CH=32,∴∠FBE=90°,∴AF=AB2+BF2=192.连接BD,则△ABD是等边三角形,∴DE⊥AB,∴GE∥FB,∴点G是AF的中点,∴GF=12AF=194.
10.5+5 【解析】 如图,过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,由正方形的对称性可知EM=EN.易知∠MEN=90°,∴∠BEF=∠MEN,∴∠BEM=∠FEN.又∠EMB=∠ENF=90°,EM=EN,∴△BEM≌△FEN,∴EB=EF,∴∠EBF=∠EFB=45°.∵点F是CD的中点,∴CF=12CD=12AB=22,∴BF=BC2+CF2=210,∴BE=22BF=25 .∵AB∥CF,∴△ABH∽△CFH,∴FHBH=CFAB=12,∴FH=13BF=2310.由折叠的性质,得EH=EH',FH'=FH=2310,∠BFH'=2∠BFE=90°,∴BH'=BF2+FH'2=203.由AB=42,易得AO=BO=4,又∵AC⊥BD,∴cs∠EBO=BOBE=255,∴BG=EBcs∠EBG=5,∴EG=BG2-BE2=5,GH'=BH'-BG=203-5=53.在△BEH和△CFH中,∠EBH=∠FCH=45°,∠BHE=∠CHF,∴△BEH∽△CFH,∴EHFH=BECF,即EH2310=2522,解得EH=103,故△EGH'的周长为103+53+5=5+5.
11.【参考答案】 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB?CD,CB⊥AE.(1分)
又∵AC=EC,
∴AB=BE,(2分)
∴BE?CD,
∴四边形BECD是平行四边形.(4分)
(2)∵AB=AD,
∴矩形ABCD是正方形,
∴∠GAE=45°.
∵EG⊥AC,
∴∠E=∠GAE=45°,(5分)
∴GE=GA.(6分)
又∵AF=BE,
∴AB=FE,
∴FE=AD.(7分)
又∵∠DAC=∠E=45°,
∴△EGF≌△AGD,(8分)
∴GF=GD,∠DGA=∠FGE,(9分)
∠DGF=∠DGA+∠AGF=∠EGF+∠AGF=∠AGE=90°,
∴△DGF是等腰直角三角形.(10分)
12.【参考答案】 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC.
∵点B,D关于直线AC对称,
∴AD=AB,CD=BC,
∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形. (3分)
(2)不发生变化.(4分)
理由:如图,过点P分别作PE⊥AD,PF⊥AB,垂足分别为点E,F,则∠PED=∠PFQ=90°.
∵AC是菱形ABCD的对角线,△ABC是等边三角形,
∴∠CAD=∠CAB=60°,
∴∠EAF=120°,PE=PF.
又∵PD=PQ,
∴Rt△PDE≌Rt△PQF,
∴∠DPE=∠QPF,
∴∠DPQ=∠EPF=360°-90°-90°-120°=60°.(8分)
(3)AQ=CP.(9分)
证明:如图,连接DQ.
由(2)可知∠DPQ=60°.又PD=PQ,
∴△PDQ是等边三角形,
∴DP=DQ,∠PDQ=60°,
∴∠ADQ=∠PDQ-∠PDA=60°-∠PDA=∠CDP.
又∵DA=DC,
∴△DCP≌△DAQ,
∴AQ=CP.(12分)
分类训练18 圆
基础分类题组
1.B
2.A 【解析】 ∵∠C=∠APD-∠A=80°-48°=32°,∴∠B=∠C=32°.
3.C 【解析】 连接BD.∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°.又∠ABC=20°,∴∠CBD=90°-20°=70°,∴∠CAD=∠CBD=70°.
一题多解
连接OC,则AO=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵∠ABC=20°,∴∠AOC=2∠ABC=40°,∴∠OAC=∠OCA=12×(180°-40°)=70°.
4.B 【解析】 由题意知∠ODA=∠OEA=90°,∴∠A=360°-∠ODA-∠OEA-∠DOE=50°,∴∠BOC=2∠A=2×50°=100°.
5.A 【解析】 如图,连接AB,则∠ABC=∠ADC=30°.∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴BC=ACtan∠ABC=4tan30°=4 3.故选A.
6.【参考答案】 (1)△ABC是等腰直角三角形.
证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°.
连接OB,∵∠ADB=∠CDB,
∴∠AOB=∠COB,
∴AB=BC,
∴AB=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.
由(1)可得,AC=2AB=2,
∴CD=AC2-AD2=22-12=3.
7.C 【解析】 连接OC,如图.∵OF⊥BC,∴∠B=90°-∠BOF=25°,∴∠AOC=2∠B=50°.∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,∴AC=AD,∴∠AOD=∠AOC=50°.
8.C 【解析】 如图,连接OB,过点O作OE⊥BC于点E,则BE=12BC=12AB=32.易得OB平分∠ABC,∴∠OBE=30°,∴OB=BEcs30°=32×2 3= 3.
9.B 【解析】 ∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,∴CE=ED=12CD=12,∴cs∠OCE=CEOC=1213.
10.7 【解析】 ∵OC⊥AB,∴AD=BD,∠ADO=∠BDC=90°.∵D是OC的中点,∴OD=CD,∴△AOD≌△BCD,∴BC=OA=7.
一题多解
∵cs∠AOC=ODOA=ODOC=12,∴∠AOC=60°.连接AC,则△OAC为等边三角形.∵OC⊥AB,∴AC=BC,∴BC=AC=OA=7.
11.C 【解析】 ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵四边形ADFE是☉O的内接四边形,∴∠A+∠DFE=180°,∴∠DFE=180°-∠A=120°.
12.B 【解析】 ∵四边形ABCD内接于☉O,∠C=110°,∴∠A=70°,∴∠BOD=2∠A=140°.又∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB=12×(180°-140°)=20°.
13.C 【解析】 ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.又∵∠ABD=20°,∴∠A=70°.∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠BCD=110°.故选C.
14.【参考答案】 证明:(1)如图,连接OC.
∵AB⊥CD,OC=OD,
∴∠BOD=∠BOC=2∠A.
(2)如图.
∵点F是AC的中点,OA=OC,
∴DF⊥AC,
∴∠1+∠DCF=90°.
∵AB⊥CD,
∴∠A+∠DCF=90°,
∴∠A=∠1.
∵OC=OD,
∴∠1=∠2,∴∠A=∠2.
又∵∠A=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥DE.
又∵CE⊥DE,
∴CE⊥OC,
∴直线CE是☉O的切线.
15.【参考答案】 (1)证明:如图(1),连接OD,AD.
图(1)
∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,即AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴BD=DC.
又∵AO=OC,
∴OD∥AB.
又∵DE⊥AB,
∴DE⊥OD,
∴DE是☉O的切线.
(2)如图(2),连接CF,则∠AFC=90°.
图(2)
∵DE⊥AB,∴∠BED=90°,∴DE∥CF.
由(1)知BD=CD,
∴BE=EF,即DE是△FBC的中位线,
∴CF=2DE.
设AE=2k,DE=3k,则CF=6k.
∵AF=10,
∴BE=EF=AE+AF=2k+10,
∴AC=BA=BE+AE=4k+10.
在Rt△ACF中,由勾股定理,得AC2=AF2+CF2,即(4k+10)2=102+(6k)2,∴k=4,
∴AC=4k+10=4×4+10=26,
∴OA=13,即☉O的半径为13.
一题多解
本题第(1)问还有如下证法:
连接OD.
∵OD=OC,∴∠C=∠ODC.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B=∠ODC.
∵∠B+∠BDE=180°-∠BED=90°,
∴∠ODC+∠BDE=90°,
∴∠ODE=180°-90°=90°,即DE⊥OD,
∴DE是☉O的切线.
16.【参考答案】 (1)直线BC与☉O相切.
理由:如图,连接OB.
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA.
∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP.
又∵∠APO=∠CPB,
∴∠APO=∠CBP.
∵OC⊥OA,
∴∠A+∠APO=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,
∴∠OBC=90°.
又∵OB为半径,
∴直线BC与☉O相切.
(2)在Rt△AOP中,sin A=OPAP=55,OP2+OA2=AP2.
设OP=5x,则AP=5x,
∴(5x)2+82=(5x)2,
解得x1=455,x2=-455(不符合题意,舍去),
∴OP=5×455=4.
在Rt△OBC中,CB2+OB2=OC2,OC=CP+OP=CB+4,
∴CB2+82=(CB+4)2,
∴CB=6.
17.【参考答案】 (1)证明:如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.
∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCA=∠BCD.
又∵∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCD+∠OCB=90°,
即∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切线.
(2)如图,过点O作OF⊥BC于点F.
设CE=OA=r,则AB=2r.
在Rt△ABC中,BC=AB·sin∠BAC=2r×45=85r,
∴AC=AB2-BC2=65r.
∵OF⊥BC,OC=OB,∴CF=12BC=45r,
∴EF=EC-CF=r-45r=15r.
∵点O,F分别为AB,BC的中点,∴OF=12AC=35r,
∴tan∠CEO=OFEF=3.
18.B 【解析】 ∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,∴∠P=360°-(∠OAP+∠OBP)-∠AOB=360°-180°-128°=52°.
19.A 【解析】 ∵PA与☉O相切于点A,∴∠A=90°,∴∠BOD=∠AOP=90°-∠P=50°.∵OB=OD,∴∠ADB=12×(180°-50°)=65°.
20.C 【解析】 如图,连接OB,∵AB切☉O 于点B,∴OB⊥AB,∴∠A+∠AOB=90°.又∵∠AOB=2∠D,∠A=∠D,∴∠A+2∠A=90°,∴∠A=30°,∴AO=2OB,∴3+OB=2OB,∴OB=3,∴AB=33,故选C.
21.49 【解析】 ∵∠AOD=82°,∴∠B=12∠AOD=41°.∵AC是☉O的切线,∴∠BAC=90°,∴∠C=90°-41°=49°.
22.64° 【解析】 连接OC,如图,由圆周角定理,得∠COD=2∠A=64°.∵BC与☉O相切于点C,∴OC⊥BC,∴∠B+∠OCB=180°,∴AB∥OC,∴∠ADO=∠DOC=64°.
23.253 【解析】 如图,连接OA,OB,过点A作AD⊥OB于点D.∵BC与☉O相切于点B,∴OB⊥BC.又∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四边形ACBD为矩形,∴BD=AC=6 cm,AD=BC=8 cm.设☉O的半径为r cm,则OA=OB=r cm,∴OD=OB-BD=(r-6)cm.在Rt△OAD中,由勾股定理,得AD2+OD2=OA2,即82+(r-6)2=r2,解得r=253.
24.【参考答案】 (1)如图,连接OA.
∵∠ACB=20°,
∴∠AOD=2∠ACB=40°,
∴AD的长为40×π×6180=4π3.
(2)证明:∵AB与☉O相切于点A,
∴OA⊥AB.
∵∠B=90°,
∴OA∥BC,
∴∠OAD=∠ADB.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ADB=∠ODA,
∴AD平分∠BDO.
25.【参考答案】 (1)证明:∵AD是☉O的直径,EF是☉O的切线,
∴AD⊥EF.
又∵BC∥EF,
∴AD⊥BC,
∴AB=AC,
∴AB=AC.
(2)如图,连接OB.
∵AD⊥BC,BC=16,
∴BG=12BC=8.
设☉O的半径为r,则OB=r,OG=DG-OD=16-r.
在Rt△OBG中,OG2+BG2=OB2,
即(16-r)2+82=r2,
∴r=10,
∴AG=AD-DG=4.
在Rt△ABG中,AB=BG2+AG2=82+42=45.
26.B 【解析】 连接CD.∵∠ACB=90°,∠B=30°,AB=8,∴∠A=90°-30°=60°,AC=12AB=4.由作图得CD=AC,∴△ACD为等边三角形,∴∠ACD=60°,∴AD的长为60π×4180=43π.
27.C 【解析】 连接OB,OC,则OB=OC,∠BOC=360°6=60°,∴△BOC是等边三角形,∴OB=BC.由圆的周长公式,得2π·OB=6π,解得OB=3,∴BC=3,即正六边形的边长为3.
28.A 【解析】 如图,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点O,则点O是AMB所在圆的圆心,∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠P=40°,∴∠AOB=140°,∴AMB对应的圆心角的度数为360°-140°=220°,∴AMB的长是220π×9180=11π(cm).
29.B 【解析】 ∵CA=CB,B'D⊥AB,∴AD=BD.由旋转可知AB=AB',∴cs∠DAB'=12,∴2α=60°,∴α=30°,∴AB=2AD=2CAcs 30°=43,∴BB'的长为60π×43180=43π3.
30.π3 【解析】 ∵∠BAE=65°,∴∠BOE=130°.又∠COD=70°,∴∠BOC+∠DOE=60°,∴BC与DE的长度之和为60·π·1180=π3.
31.【参考答案】 (1)如图,连接OA.
∵AB是☉O的切线,点A为切点,
∴∠BAO=90°.
∵AB=AC,OA=OC,
∴∠B=∠ACB=∠OAC.
在△ABC中,∠B+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠ACB+∠ACB+90°+∠ACB=180°,
∴∠ACB=30°.
(2)由(1)可知∠OAC=∠ACB=30°,
∴∠AOC=120°,
∴AC的长为120π×3180=2π.
32.B 【解析】 设该扇形的半径为r cm,则10π=150×π×r180,解得r=12,∴S扇形=12×12×10π=60π(cm2).
33.π 【解析】 S扇形=90π×22360=π.
34.3πa210 3a5 【解析】 S扇形=108360×π×a2=3πa210,该扇形弧长为108180×π×a=3πa5,该扇形的弧长等于该扇形围成的圆锥的底面圆的周长,设底面圆的直径为d,则πd=3πa5,∴d=3a5.
35.B 【解析】 如图,连接OA,OB,则OA=OB=2.又∵∠AOB=2×360°12=60°,∴△OAB是等边三角形.∵S△ABO=12×2×32×2=3,S扇形AOB=60×π×22360=23π,∴S阴影=S扇形AOB-S△ABO=23π-3.故选B.
36.D 【解析】 如图,设切点为F,连接AF,则AF⊥BC.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠B=60°,∴AF=32AB=3,∴S阴影=S△ABC-S扇形ADE=12×2×3-60×π×32360=3-π2.
37.B 【解析】 ∵∠A=60°,DE⊥AD,∴∠AED=30°.∵AB∥CD,∴∠EDF=∠AED=30°.∵ED=EF,∴∠EFD=∠EDF=30°,∴∠DEF=120°.过点E作EG⊥DF于点G,如图.∵∠GDE=30°,DE=6,∴GE=3,DG=33,∴DF=2DG=63,∴S阴影=120π×62360-12×63×3=12π-93.
38.B 【解析】 连接OC,则OC=OA=CA,∴△AOC是等边三角形,∴∠AOC=60°.同理∠BOC=60°,∴∠AOB=120°,∴S扇形AOB=120π×32360=3π.∵AC=AO=BO=BC,∴四边形ACBO是菱形,∴S菱形ACBO=3×32×3=932,∴S阴影=S扇形AOB-S菱形ACBO=3π-932.
39.B 【解析】 以点O为圆心,OD为半径作弧DN,易知S扇形BOM=S扇形DON,S△DOF=S△BOE,∴S阴影=S扇形DOC-S△DOC=90π×( 22)2360-14×1×1=π8-14.故选B.
40.π+4-42 【解析】 如图,连接AB.∵∠AOB=90°,OB=OA=2,∴AB'=AB=2OA=22, ∴OB'=2 2-2.设OC=x,则B'C=BC=2-x,∴x2+(2 2-2)2=(2-x)2,解得x=22-2,∴S阴影=90π×22360-12×(22-2)×2×2 =π+4-42.
41.【参考答案】 (1)直线AC与☉O相切.
理由:∵∠ABC=45°,AB=AC,
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠BAC=180°-2×45°=90°,
∴BA⊥AC.
又∵AB是☉O的直径,
∴直线AC与☉O相切.
(2)连接OD,则OD=12×4=2.
∵∠ABC=45°,OB=OD,
∴∠ODB=45°,
∴∠AOD=90°,
∴S阴影=S梯形AODC-S扇形OAD=12×(2+4)×2-90π·22360=6-π.
42.B 【解析】 S侧=πrl=π×4×6=24π(cm2).
43.C 【解析】 如图,在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=32+42=5.由题意可知圆锥的母线长为5,底面圆的半径为4,故该圆锥的侧面积为πrl=π×4×5=20π.
44.120° 【解析】 设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°.根据题意知,母线长l=30 cm,底面圆半径 r=10 cm.∵S侧=πrl=nπl2360,∴π×10×30=nπ×302360,解得n=120,即圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为120°.
综合提升题组
1.D 【解析】 连接BC,OC,OD,∵∠ACD=∠CAB,∴∠AOD=∠BOC,∴BC=AD=2.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=25,∴☉O的半径为5.
2.C 【解析】 ∵AD平分∠BAC,OA=OD,∴∠DAE=∠DAB=∠ODA,∴AE∥OD,∠BOD=2∠EAD=50°.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,∴AE⊥DE.故选项A,B,D中的结论正确.如图,过点D作DF⊥AB于点F.∵AD平分∠BAC,∴DE=DF.∵OD>DF,∴OD>DE,故选项C中的结论错误.
3.C 【解析】 ∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°.∵OD⊥AC,∴点D是AC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥BC,且OD=12BC.设OD=x,则BC=2x,OE=4-x,∴AB=2OE=8-2x.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AB2=AC2+BC2,∴(8-2x)2=(42)2+(2x)2,解得x=1,∴BC=2x=2.故选C.
4.A 【解析】 设等边三角形ABC的边长为r,∴60πr180=13×2π,解得r=2,∴此曲边三角形的面积为34×22+3×(60π×22360-34×22)=2π-23.
5.144° 【解析】 ∵∠DCE=72°,∴∠BCD=180°-∠DCE=108°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A=180°-∠BCD=72°,∴∠BOD=2∠A=144°.
6.30° 【解析】 ∵OC⊥AB,OD为☉O的半径,∴BD=AD,∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=60°,∴∠APD=12∠AOD=30°.
7.7.5 【解析】 如图,设球心为O,球与玻璃瓶的右侧交点为D,连接AD,过O作OM⊥AD于M,连接OA,则AM=DM=12AD=12BC=6 cm.设球的半径为r cm,则OM=32-20-r=(12-r)(cm),在Rt△OAM中,由勾股定理得AM2+OM2=OA2,即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5,即球的半径为7.5 cm.
8.32或65 【解析】 连接OA,∵AC是☉O的切线,∴OA⊥AC.设OA=OB=r,根据勾股定理,得OC2=OA2+AC2,∴(4-r)2=r2+22,解得r=32,∴OC=4-32=52.分两种情况讨论:①当∠ADC=90°时,∵S△OAC=12OA·AC=12OC·AD,∴AD=32×252=65;②当∠DAC=90°时,点D与点O重合,∴AD=AO=32.综上可知,AD的长为32或65.
名师点拨
圆中与切线相关的常见辅助线:判定切线时,连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂线;有切线时,常常连接切点和该圆的圆心得到半径.
9.【参考答案】 (1)其他两种情况的图形如图(1)和图(2)所示.

图(1) 图(2)(2分)
若选择“圆心O在∠C的一条边上”这种情况,如题图(1).
∵∠AOB是△AOC的外角,∴∠AOB=∠C+∠A.
∵OA=OC,∴∠C=∠A,
∴∠AOB=2∠C,即∠C=12∠AOB.(4分)
若选择“圆心O在∠ACB的内部”这种情况,如图(3),
图(3)
连接CO并延长交☉O于点D.
∵∠AOD是△AOC的外角,
∴∠AOD=∠ACD+∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠ACD=∠OAC,
∴∠AOD=2∠ACD.
同理可得∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACD+2∠BCD=2(∠ACD+∠BCD)=2∠ACB,
即∠ACB=12∠AOB.(4分)
若选择“圆心O在∠ACB的外部”这种情况,如图(4),
图(4)
连接CO并延长交☉O于点D.
∵∠AOD是△AOC的外角,
∴∠AOD=∠ACD+∠OAC.
∵OA=OC,
∴∠ACD=∠OAC,
∴∠AOD=2∠ACD.
同理可得∠BOD=2∠BCD,
∴∠AOB=∠AOD -∠BOD=2∠ACD-2∠BCD =2(∠ACD-∠BCD)=2∠ACB,
即∠ACB=12∠AOB.(4分)
(2)连接OA,OB.
∵∠C=60°,∴∠AOB=120°.
方法一:如图(5),连接AB,过点O作OD⊥AB于点D.
图(5)
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵OA=OB,∠AOB=120°,
∴AB=2AD,∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠PAB=∠PAO-∠OAB=90°-30°=60°,
∠PBA=∠PBO-∠OBA=90°-30°=60°,
∴△PAB为等边三角形,
∴PA=AB.
在Rt△ADO中,∠OAD=30°,AO=2,
∴AD=AO·cs 30°=2×32=3,
∴PA=AB=2AD=23.(8分)
方法二:如图(6),连接OP,
图(6)
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴PO平分∠APB,∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=60°,
∴∠APO=12∠APB=12×60°=30°.
在Rt△APO中,AO=2,tan∠APO=tan 30°=AOPA=2PA,
∴PA=23.
方法三:如图(6),连接OP,
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°.
在Rt△AOP与Rt△BOP中,
OA=OB,OP=OP,
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL),
∴∠AOP=∠BOP.
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP= 120°,
∴∠AOP=∠BOP=60°.
在Rt△APO中,∠AOP= 60°,AO=2,tan 60°=PAOA=PA2,
∴PA=23.(8分)
10.【参考答案】 (1)证明:如图,连接OB.
∵AB是☉O的切线,CD是☉O的直径,
∴∠OBE=∠CBD=90°,
∴∠E+∠BOE=90°,∠D+∠DCB=90°.
∵OE∥BC,∴∠BOE=∠OBC.
∵OC=OB,∴∠OBC=∠DCB,
∴∠BOE=∠DCB,∴∠D=∠E.(5分)
(2)∵点F是OE的中点,☉O的半径为3,
∴EF=OF=OB=3,∴OE=6.
在Rt△BOE中,cs∠BOE=OBOE=12,
∴∠BOE=60°.
∵OE∥BC,∠CBD=90°,∴∠OGB=90°,
∴OG=32,BG=332,
∴S阴影=S扇形BOF-S△OBG=60×π×32360-12×32×332=32π-983.(10分)
阶段测评四 三角形、四边形和圆
1.B
2.B 【解析】 如图,过点C作CD∥l1,∵l1∥l2,∴l1∥l2∥CD,∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ACB=12(180°-∠BAC)=70°,∴∠1+∠2=70°.
3.C 【解析】 ∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,OB=OD.又∵EC=ED,∴BC=2OE=6,∴C菱形ABCD=4×6=24,故选C.
4.B 【解析】 ∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∠B=∠EDC,∠FDB=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠FDB,∠C=∠EDC,∴BF=FD,DE=EC,∴AF+FD=AF+BF=AB,AE+DE=AE+EC=AC,∴▱AEDF的周长=AB+AC=5+5=10.
5.D 【解析】 如图,∵AMDN=BMCN=2,∠AMB=∠DNC=90°,∴△ABM∽△DCN,∴∠ABC=∠DCN,ABCD=AMDN=2,∴AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴△ABE与△CDE的周长比为2∶1.
6.C 【解析】 如图,连接AD,BC,交于点O,则点O为矩形外接圆的圆心.∵CD=2,BD=23,∴BC=CD2+BD2=4,∴OC=OD=2=CD,∴△COD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为360°-60°=300°,∴改建后门洞的圆弧长是300π×2180=103π(m).
7.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,CD=AB=5,∴∠BDC=∠DBF.由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,∴∠BDF=∠DBF,∴BF=DF.设BF=x,则DF=x,AF=5-x,在Rt△ADF中,由勾股定理可得AD2+AF2=DF2,即32+(5-x)2=x2,∴x=175,∴cs∠ADF=ADDF=3175=1517.
8.C 【解析】 如图,连接AC,AE,CF,CG.易证△ADE≌△CDG,∴AE=CG,∴d1+d2+d3=DE+CF+CG=EF+CF+AE.易知当点A,E,F,C共线时,d1+d2+d3的值最小,最小值为AC的长.∵AC=2AB=22,∴d1+d2+d3的最小值为22.
9.D 【解析】 根据题意,得DP=t,BM=t,∴AP=10-t,CM=8-t.当四边形ABMP为矩形时,AP=BM,即10-t=t,解得t=5,故选项A中的结论不正确.当四边形CDPM为平行四边形时,DP=CM,即t=8-t,解得t=4,故选项B中的结论不正确.当CD=PM时,分两种情况:①四边形CDPM是平行四边形,此时t=4;②四边形CDPM是等腰梯形,如图,过点M作MG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H,则四边形ABMG、ABCH为矩形,Rt△MGP≌Rt△CHD,∴AG=BM=t,AH=BC=8,PG=DH,∴DH=AD-AH=2,PG=AG-AP=2t-10,∴2=2t-10,解得t=6,故选项C中的结论不正确,选项D中的结论正确.
10.62 【解析】 连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=28°,∴∠B=62°,∴∠D=62°.
11.12 【解析】 如图,连接DE,CD.∵▱BDFE的面积为2,∴S△BDE=12S▱BDFE=1.∵BE=14BC,∴S△BDC=4S△BDE=4.∵BD=13BA,∴S△ABC=3S△BDC=12.
12.7 【解析】 如图,连接EC,由题意知,MN是线段BC的垂直平分线,∴CE=BE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中,AE= AC2-CE2= 52-42=3,∴AB=AE+BE=3+4=7.
13.4.4 【解析】 由题意可知AD∥CP.∵∠DPC=30°,∴∠ADB=30°,∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×33=4315(m).∵AC=AF+CF=3 m,∴BC=AC-AB=(3-4315)(m).在Rt△BCP中,∠BPC=30°,∴CP=BCtan∠BPC=3BC=33-45≈4.4(m).
14.13π+32 【解析】 如图,设O'A'与AB相交于点C,连接OC,CB,∵点O'为OB的中点,CO'⊥OB,∴CO=CB,∴CB=OC=OB=2,∴△COB为等边三角形,∴∠COB=60°,∴S弓形CB=S扇形COB-S△COB=60π×22360-34×22=23π-3,S△CO'B=12×1×2×32=32,∴S阴影部分=90π×22360-(23π-3)-32=13π+32.
归纳总结
阴影部分面积的计算方法
1.规则图形,可直接用公式求解.
2.分割求和(差)法:把图形适当分割,将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图(1),S阴影=S扇形BOC+S△COD-S△ODE.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
3.等积转化法:通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(2),点D为AB的中点,则S阴影=S△ACD.如图(3),已知扇形AOB,DO∥AB,则S阴影=S△DAB+S弓形AB=S△OAB+S弓形AB=S扇形AOB.
4.整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积.如图(4),已知▱ABCD,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,连接CE,则S阴影=S▱ABCD-S△BCE-S扇形DAE.
5.容斥原理法:当阴影部分由几个图形叠加而成时,利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和-(多加部分的面积+空白部分的面积)”求解.如图(5),阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分,则S阴影=S扇形ABE+S扇形ACD-S△ABC.
图(5)
15.5或354 【解析】 如图,过点C作AE 的垂线,垂足为F,过点D作CF的垂线,垂足为点G,连接EG.由题意可知tan∠QBE=3=CFBF,故可设BF=k,CF=3k.∵∠CAF+∠ACF=90°,∠ACF+∠DCG=90°,∴∠CAF=∠DCG.又∠AFC=∠CGD=90°,AC=CD,∴△AFC≌△CGD(AAS),∴DG=CF=3k,CG=AF=10+k.∵∠CGD=∠CED=90°,∴C,E,D,G四点共圆.∵CE=DE,CE⊥DE,∴∠EDC=45°,∴∠CGE=45°,∴EF=FG=CG-CF=10-2k.∵CF2+EF2=CE2=(22CD)2=12(DG2+CG2),∴(3k)2+(10-2k)2=12[(3k)2+(10+k)2],整理得4k2-25k+25=0,解得k=5或k=54,∴BE=BF+EF=k+10-2k=10-k=5或354.
16.【参考答案】 证明:∵BF=EC,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.(2分)
在△ABC和△DEF中,
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠D.(8分)
17.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OC=12AC,OD=12BD,AC=BD,
∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC.
∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,
∴∠CDF=∠DCF,
∴DF=CF.(4分)
(2)由(1)可知,DF=CF.
又∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,
∴CD=DF=6.
∵∠BDC=∠CDF=60°,OC=OD,
∴△OCD是等边三角形,
∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,
∴BC=BD2-CD2=122-62=63,
∴S矩形ABCD=BC·CD=63×6=363.(8分)
18.【参考答案】 (1)证明:连接DE,BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD,AO=OC.
又E,F分别为AO,OC的中点,
∴EO=12OA,OF=12OC,
∴EO=FO,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF. (4分)
(2)当k=2时,四边形DEBF是矩形.
理由:由(1)得四边形DEBF是平行四边形,
∴当BD=EF时,四边形DEBF是矩形,
即当OD=OE时,四边形DEBF是矩形.
∵AE=OE,
∴k=ACBD=AC2OD=AC2OE=ACOA=2,
即当k=2时,四边形DEBF是矩形.(8分)
19.【参考答案】 如图,过点C作CF⊥AD于点F,则四边形AFCE是矩形.(1分)
设CF=2x m,则AE=CF=2x m,BE=(3-2x)m.
在Rt△CDF中,tan∠CDF=CFDF=tan 63.4°≈2,
∴DF=x m,
∴EC=AF=AD+DF=(2+x)m.
在Rt△BEC中,tan∠BCE=BEEC=tan 10°≈0.18,
即3−2x2+x=0.18,
解得x≈1.21,
经检验,x=1.21是方程的解,且符合题意,
∴BE=3-2x=0.58(m).
∵sin∠BCE=BEBC≈0.17,
∴BC=≈3.4(m).
答:遮阳篷BC的长度约为3.4 m.(8分)
20.【参考答案】 (1)证明:∵AM是☉O的切线,
∴∠BAM=90°.(1分)
又∵∠CEA=90°,∴AM∥CD,∴∠CDB=∠APB.(2分)
又∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.(3分)
(2)如图,连接AD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠CDB+∠ADC=90°.
∵∠CAB+∠C=90°,∠CDB=∠CAB,
∴∠ADC=∠C,∴AD=AC=8.(5分)
又∵AB=10,∴BD=6.(6分)
易证△ADB∽△PAB,∴ABPB=BDAB,
∴PB=AB2BD=1006=503,
∴DP=503-6=323.(8分)
21.【参考答案】 (1)75 60 (4分)
(2)如图(1),过点A作AE⊥DC于点E,
图(1)
则AE=BC=100 米,EC=AB=10 米.
在Rt△AED中,∠DAE=30°,
∴DE=AE·tan 30°=100×33=10033(米),
∴CD=DE+EC=(10033+10)米,
∴楼CD的高度为(10033+10)米.(7分)
(3)如图(2),过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F,
图(2)
则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10 米.
∵MN∥AE,
∴∠PAF=∠MPA=60°.
∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.
∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.
又∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,
∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD,
∴△APF≌△DAE,
∴PF=AE=100 米,
∴PG=PF+FG=100+10=110(米),
∴无人机距离地面BC的高度为110米. (10分)
22.【参考答案】 (1)证明:设CE与BD交于点O.
∵BC=CD,CE⊥BD,
∴DO=BO,∠DCO=∠BCO,
∴CE垂直平分线段BD,
∴DE=BE.
∵DE∥BC,
∴∠DEC=∠BCO,
∴∠DEC=∠DCO,
∴BC=CD=DE=BE,
∴四边形BCDE是菱形. (4分)
(2)(i)∵DE垂直平分线段AC,∴AE=CE,
∴∠AED=∠CED.
由(1)知CE垂直平分线段DB,∴DE=BE,
∴∠DEC=∠BEC,
∴∠AED=∠CED=∠BEC.
又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,
∴∠CED=13×180°=60°.(8分)
(ii)证明:∵AE=EC,∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,
∴∠ACE=30°.
同理可得,∠EBD=30°,
∴∠ACE=∠ABF.
在△ACE和△ABF中,
∠ACE=∠ABF,∠CAE=∠BAF,AE=AF,
∴△ACE≌△ABF(AAS),
∴AC=AB.
又∵AE=AF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF.(12分)
23.【参考答案】 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAO=90°.
由折叠的性质知∠DEO=∠DAO=90°,∴OE⊥DE.
又∵OE是半径,∴DE是☉O的切线.(3分)
(2)当点E落在BD上时,如图(1),
在Rt△ADB中,∠DAB=90°,AD=3,AB=4,
∴BD=AD2+AB2=32+42=5.
∵S△ADB=S△ADO+S△BDO,
∴12×3×4=12×3×x+12×5×x,
解得x=32.(6分)
(3)设AE,OD交于点J,易知OD垂直平分线段AE.
由勾股定理,得OD2=OA2+AD2=x2+9.
∵S△OAD=12OA·AD=12OD·AJ,
∴AJ2=(OA·ADOD)2=9x2x2+9,
∴AE2=4AJ2=36x2x2+9.
∵AG是半圆O的直径,∴∠AEG=90°=∠ABF.
又∵∠EAG=∠BAF,∴△AEG∽△ABF,
∴y=S△AEGS△ABF=(AEAB)2=36x2x2+916=9x24x2+36.(10分)
(4)32解法提示:当半圆O与CD切于点H时,如图(2),连接OH,则OH⊥CD,易知四边形OADH是正方形,∴x=OA=AD=3.
当半圆O经过点C时,如图(3),连接OC,则OC=OA=x,OB=4-x.
根据勾股定理,得OC2=OB2+BC2,∴x2=(4-x)2+32,解得x=258.
分析可知,当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围为3224.【参考答案】 (1)75°(2分)
(2)如图(1),连接BP.
图(1)
∵AP∥BC,AP=BC=AC,∴四边形ACBP是菱形,(3分)
∴BP=AC=6.
∵∠ACB=120°,∴∠PBE=60°.
∵l⊥BC,
∴BE=PB·cs 60°=3, PE=PB·sin 60°=33,
∴S△ABC=12BC·PE=93.(4分)
∵∠ABC=12×(180°-120°)=30°,
∴OE=BE·tan 30°=3,
∴S△OBE=12BE·OE=332,
∴S四边形OECA=S△ABC-S△OBE=1532.(6分)
(3)符合要求.(7分)
由作法,知AP=AC.
∵CD=CA,∠CAB=45°,∴∠ACD=90°.
如图(2),以AC,CD为边,作正方形ACDF,连接PF.
图(2)
∴AF=AC=AP.(9分)
∵l是CD的垂直平分线,∴l是AF的垂直平分线,
∴PF=PA,
∴△AFP为等边三角形,(10分)
∴∠FAP=60°,∴∠PAC=30°,
∴∠BAP=15°,
∴裁得的△ABP型部件符合要求.(12分)
分类训练19 尺规作图及用无刻度的直尺作图
1.【参考答案】 (1)如图.
(2)AE=CF.
证明如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO.
∵EF为AC的垂直平分线,∴OA=OC,
∴△AEO≌△CFO,
∴AE=CF.
2.【参考答案】 如图所示.
3.【参考答案】 (1)如图所示.
(2)△ABC的面积=12×14×1.3=9.1(cm2).
4.A 【解析】 由作图可知BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.∵AB=AC,AD=BD,∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=2∠ABD.在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,即5∠A=180°,∴∠A=36°.
5.C
6.6 【解析】 如图,连接BE,由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE=3CE=3.在Rt△ECB中,BC=BE2-CE2=22,∴AB=AC2+BC2=26.又∵CD为Rt△ABC斜边上的中线,∴CD=12AB=6.
7.【参考答案】 如图,射线CP即为所求作.
8.【参考答案】 如图,点P即为所求.
9.【参考答案】 (1)如图(1),☉A即为所求作.
图(1)
(2)设∠ADB=α,☉A的半径为r.
如图(2),∵BD与☉A相切于点E,CF与☉A相切于点G,
图(2)
∴AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF= 90°.
∵CF⊥BD,
∴∠EFG=90°,
∴四边形AEFG是矩形.
又AE=AG=r,
∴四边形AEFG是正方形,
∴EF=AE=r.
在Rt△AEB和Rt△DAB中,∠BAE+∠ABD=90°,∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BAE=∠ADB=α.
在Rt△ABE中,tan∠BAE=BEAE,
∴BE=rtan α.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF.
又∠AEB=∠CFD=90°,
∴△ABE≌△CDF,
∴DF=BE=rtan α,
∴DE=DF+EF=rtan α+r.
在Rt△ADE中,tan∠ADE=AEDE,即DE·tan α=AE,
∴(rtan α+r)tan α=r,
即tan2α+tan α-1=0.
∵tan α>0,
∴tan α=5-12.
即tan∠ADB的值为5-12.
易错警示
尺规作图中的易错之处
1.混淆尺规作图与一般画图
尺规作图要求只能用无刻度的直尺和圆规来画图,在操作过程中是不允许度量的.而一般画图可以使用一切画图工具,包括三角尺、量角器等,在操作过程中可以度量.
2.缺少作图痕迹
尺规作图一般不要求写步骤,但每一步的作图痕迹都要保留下来,痕迹要清晰.
3.缺少“点睛之笔”
解答中除了作图之外,最后的答案一定要强调题目所要求作的是哪条线段、哪个角、哪个点或哪个图形.
10.【参考答案】 (1)如图(1),点D即为所求.
图(1)
(2)532
解法提示:如图(2),过点A作AE⊥BC于点E.
图(2)
∵∠B=60°,AB=2,
∴BE=12AB=1,AE=3,
∴CE=BC-BE=2.
易知四边形AECD是矩形,
∴AD=CE=2,
∴四边形ABCD的面积为12(AD+BC)·AE=12×(2+3)×3=532.
11.【参考答案】 【初步尝试】 如图(1),直线OP即为所求.
图(1)
【问题联想】 如图(2),△MNP即为所求.
图(2)
【问题再解】 如图(3),CD即为所求.
图(3)
(作法不唯一,正确即可)
12.【参考答案】 (1)等腰三角形ABC如图(1)所示(答案不唯一,画出一个即可).
图(1)
(2)菱形ABDE如图(2)所示.
图(2)
13.【参考答案】 (1)如图(1),射线m即为所求.(画出其中一种即可)
图(1)
(2)如图(2),直线l即为所求.(画出其中一种即可)
图(2)
14.【参考答案】 (1)如图(1),线段BF即为所求.
(2)如图(2),线段BG即为所求.
图(1) 图(2)
15.【参考答案】 (1)如图(1),直线m即为所求;
(2)如图(2),直线n即为所求.
图(1) 图(2)
16.【参考答案】 (1)答案不唯一,正确即可.画图如图(1)所示.
(2)答案不唯一,正确即可.画图如图(2)所示.
图(1) 图(2)
17.【参考答案】 (1)画图如图(1)所示.
图(1) 图(2)
(2)画图如图(2)所示.
注:(1)中BF可以不画.
分类训练20 视图与投影
1.C 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12.C 13.B
14.B 【解析】 由俯视图和左视图可知,该几何体有两层,且由下往上数第一层有5个小正方体,第二层最多有3个小正方体.故所需的小正方体的个数最多是8个.
15.D 16.D 17.C 18.月
分类训练21 图形的对称、平移、旋转与位似
1.D 2.B 3.D 4.B
5.B 【解析】 根据题意,能拼接成的不同的轴对称图形如图所示,∴还能拼接成不同的轴对称图形的个数为3.故选B.
6.A 【解析】 由折叠可知∠B=∠ADB,∠CDE=∠C,AD=AB=2,CE=DE.∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∴∠ADB+∠CDE=90°,∴∠ADE=90°.设AE=x,则DE=CE=3-x.在Rt△ADE中,由勾股定理,得AD2+DE2=AE2,即22+(3-x)2=x2,解得x=136,即AE=136.
7.C 【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠EBF =∠BCD =90°.由翻折性质知DF=AD=BC,∠DFE=∠A=90°,∴∠BFE+∠CFD=90°,∠BFE +∠BEF =90°,∴∠BEF =∠CFD,∴△BEF∽△CFD,∴BFCD=BECF.∵CD=3BF,∴CF=3BE=12.设BF=x,则CD=3x,DF=AD=BC=x+12,在Rt△CDF中,CD2+CF2=DF2,∴(3x)2+122=(x+12)2,解得x1=3,x2=0(舍去),∴AD=x+12=3+12=15.
8.6 【解析】 如图,延长NM交AB于点G,由折叠的性质,得AM=MD,MN⊥AD,AD⊥BC,∴GN∥BC,∴AG=BG,AN=NC,∴GN是△ABC的中位线,∴GN=12BC=12×12=6.易知PM=GM,∴MP+MN=GM+MN=GN=6.
归纳总结
涉及折叠问题时,我们应该掌握以下内容.
(1)折叠的本质:位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称;折叠前后的两部分图形全等,对应边、角、线段、周长、面积等均相等;折叠前后,对应点的连线被折痕垂直平分;
(2)找出隐含的折叠前后相关的位置关系和数量关系;
(3)求线段长时,一般会应用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识求解,或运用方程思想,设出恰当的未知数,利用方程来求解.
9.263 【解析】 由折叠可知EF=AE=1,FG=AB=22,∠EFG=∠BAC=90°,∴EG= 12+(2 2)2=3.如图,过点F作FH⊥EG于点H,则12×EF×FG=12×EG×FH,∴FH=2 23,∴EH= 12-(2 23)2=13,∴AH=43,∴AF= AH2+FH2=263.

一题多解
如图,连接BE,BG,由折叠的性质得BE=GE,∠AEB=∠FEG.∵A,E,G三点共线,∴B,E,F三点共线.∵AB=22,AE=1,∴EG=BE=3,∴AG=4,∴BG=26.∵直线DE垂直平分AF,BG,∴AF∥BG,∴△AEF∽△GEB,∴AFBG=AEEG,即AF26=13,∴AF=263.
10.2 【解析】 如图,连接AP.∵四边形ABCD为正方形,∴AD=BC=AB=6,∠B=∠C=∠D=90°.∵点E是BC的中点,∴BE=CE=12BC=3.由翻折可知:AF=AB=6,EF=BE=3,∠AFE=∠B=90°,∴AD=AF,∠AFP=∠D=90°,又AP=AP,∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),∴PF=PD.设PF=PD=x,则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x.在Rt△PEC中,根据勾股定理得EP2=EC2+CP2,即(3+x)2=32+(6-x)2,解得x=2,即DP的长度为2.
11.33 6-33 【解析】 当点M与点B重合时,由折叠的性质知EF垂直平分线段AB,∴AE=EB=12AB=3.在Rt△AEF中,∠A=60°,AE=3,∴EF=33.当DF的长取得最大值时,AF的长取得最小值.由折叠的性质知AF=FM,当FM⊥BC时,FM的长取得最小值.如图,过点D作DG⊥BC于点G,则四边形DGMF为矩形,∴FM=DG.在Rt△DGC中,∠C=∠A=60°,DC=AB=6,∴DG=DCsin 60°=33,∴DF长的最大值为AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-33.
12.35 【解析】 设BC=3,则CD=2.当点B'落在CD的中点时,B'C=B'D=1.设CN=m,则B'N=BN=3-m.在Rt△B'CN中,B'N2=B'C2+CN2,即(3-m)2=12+m2,解得m=43,∴BN=53.设A'B'交AD于点E,则∠D=∠C=∠NB'E=90°,易得∠DB'E=∠CNB',∴cs∠DB'E=cs∠CNB'=45,∴DB'B'E=45,∴B'E=54,∴A'E=34.∵∠A'=∠D=90°,∠A'EM=∠DEB',∴∠A'ME=∠DB'E=∠CNB',∴tan∠A'ME=34,∴A'EA'M=34,∴AM=A'M=1,∴v1v2=AMBN=35.
13.【参考答案】 (1)证明:由题易得,CD=AB=PD,∠ADC=∠B=∠PDF=90°,
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF.
又∵∠P=∠A=∠C=90°,
∴△PDE≌△CDF.
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,则四边形EGCD是矩形,
∴EG=CD=4.
又∵EF=5,∠EGC=90°,
∴GF=EF2-EG2=3.
设AE=x,则EP=x,
∵△PDE≌△CDF,
∴CF=EP=x,
∴DE=GC=GF+FC=3+x.
在Rt△PED中,PE2+PD2=DE2,即x2+42=(3+x)2,
解得x=76,
∴BC=AD=AE+DE=76+3+76=163(cm).
归纳总结
证明三角形全等的思路
1.已知两边找夹角→SAS找直角→HL或SAS找第三边→SSS
2.已知一边和一角边为角的对边→找任一角→AAS边为角的一边找夹角的另一边→SAS找夹边的另一角→ASA找边的对角→AAS
3.已知两角:找任意一边→AAS或ASA
14.【参考答案】 (1)设BE=x,则AE=EC=4-x.
在Rt△ABE中,由勾股定理得,AB2+BE2=AE2,
即(22)2+x2=(4-x)2,解得x=1,
∴BE=1,AE=CE=3.
如图,∵AE=EC,∴∠1=∠2.
∵∠ABC=90°,
∴∠CAB=90°-∠2=90°-∠1.
由折叠可知∠FAC=∠CAB=90°-∠1,AF=AB=22,
∴∠FAC+∠1=90°,∴∠FAE=90°.
在Rt△FAE中,EF=AF2+AE2=(22)2+32=17.
(2)如图,过点F作FM⊥BC于点M,则∠FME=∠FMC=90°.
设EM=a,则MC=3-a.
在Rt△FME中,FM2=FE2-EM2 ,
在Rt△FMC中,FM2=FC2-MC2,
∴FE2-EM2=FC2-MC2,
即(17)2-a2=42-(3-a)2,
∴a=53,即EM=53,
∴FM=(17)2-(53)2=823,
∴sin∠CEF=FMEF=82317=83451.
15.【参考答案】 (1)∵∠B=40°,∠ACB=90°,
∴∠BAC=50°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=12∠BAC=25°.
∵P与E重合,
∴点D在AB边上,AE⊥CD,
∴∠ACD=65°,
∴α=∠ACB-∠ACD=25°.
(2)①如图(1),当点P在线段BE上时,
图(1)
由题意知AD=AC,∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠ACD=90°-α,
又∵∠ADC+∠BAD=∠ABC+∠BCD,
∴90°-α+β=40°+α,
∴2α-β=50°.
②如图(2),当点P在线段CE上时,
图(2)
延长AD交BC于点F,
易知∠ADC=∠ACD=90°-α.
∵∠ADC=∠AFC+α=∠ABC+∠BAD+α=40°+α+β,
∴90°-α=40°+α+β,
∴2α+β=50°.
16.B 【解析】 由平移知,AC=A'C',AC∥A'C',∴四边形ACC'A'是平行四边形.由题意知,∠ABC=90°,AA'=12,BC=AB·tan 60°=8 3,∴S▱ACC'A'=AA'×BC=12×8 3=96 3.
17.C 【解析】 如图,设AD与PQ交于点I,延长DF至T,使DT=BC=12,连接AT,AT交MN于B',作B'C'∥BC,交PQ于C',则当BC在B'C'处时,AB+CD最小,最小值为AT的长,过点B,D作PQ的垂线,垂足分别为G,L,过点A作PQ的垂线,与MN,PQ分别交于点K,H,与过点D的PQ的平行线交于点R,则AK=AE·sin 60°=23,RH=DL=DF·sin 60°=43,KH=BG=BC·sin 60°=63,∴AR=23+63+43=123,∴sin∠ADR=ARAD=123243=12,则∠FID=∠ADR=30°.又∠PFD=60°,∴∠ADT=90°,∴AT= AD2+DT2=12 13.
18.8 【解析】 由平移的性质得,S△A'B'C'=S△ABC,BC=B'C',BC∥B'C',∴四边形B'C'CB为平行四边形.又∵BB'⊥BC,∴平行四边形B'C'CB为矩形,∴阴影部分的面积=S△A'B'C'+S矩形B'C'CB-S△ABC=S△A'B'C'+S矩形B'C'CB-S△A'B'C'=S矩形B'C'CB=4×2=8(cm2).
高分秘籍
阴影部分面积的求解方法
1.规则图形直接用公式求解;
2.将不规则图形分割成规则图形求解;
3.将不规则图形分割后,移动部分图形,组成规则图形求解;
4.将阴影部分中某些图形等面积变形后移位,重组成规则图形求解;
5.将阴影部分看成一些基本图形叠放而成的重叠部分,用整体和差法求解.
19.(1,-3) 【解析】 ∵A(0,2),A'(-1,0),0-1=-1,2-2=0,∴点B的对应点B'的坐标为(2-1,-1-2),即(1,-3).
20.(8+23) 【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4,AC=3BC=23.由平移可知,B'C'=BC=2,AA'=CC'=BB'=1,∴AB'=AB+BB'=5,∴四边形AB'C'C的周长为AB'+B'C'+CC'+AC=5+2+1+23=(8+23)(cm).
21.C 【解析】 方法一:∵∠BCD=α,BC=CD,∠ACB=90°,∴∠DCF=90°-α,∠CDF=∠B=12(180°-α)=90°-12α,∴∠EFC=∠DCF+∠CDF=90°-α+90°-12α=180°-32α.方法二:由旋转的性质,得BC=CD,∠BCD=∠ACE,∠A=∠E.在△BCD中,∠B=12(180°-∠BCD)=12(180°-α)=90°-12α,∴∠E=∠A=90°-(90°-12α)=12α.又∠ACE=∠BCD=α,∴∠EFC=180°-(12α+α)=180°-32α.
22.A 【解析】 由题意可知,将△ABC绕着点P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1.易知点C(4,7)绕着点P逆时针旋转90°后得到的点C1的坐标为(-2,3).
23.C 【解析】 ∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC2+BC2=10.由旋转知∠AC'B'=∠C=90°,AC'=AC=6,B'C'=BC=8,∴∠BC'B'=90°,BC'=AB-AC'=4,∴BB'=BC'2+B'C'2=42+82=45,∴sin∠BB'C'=BC'BB'=445=55.
24.C 【解析】 如图,过点B作AB的垂线,交AC的延长线于点D.又∠BAC=60°,∴AD=2AB=2AC,BD=3AB.由题得A(0,2),C(m,3),∴D(2m,4).过点D作x轴的垂线,垂足为E,则DE=4,∠DEB=∠AOB=∠ABD=90°,由此易证△AOB∽△BED,∴AOBE=OBDE=ABBD=33,∴OB=433,BE=23,∴2m=OE=OB+BE=1033,∴m=533.
25.D 【解析】 由旋转的性质可知,CB=CE,∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,∴BE=BC,故选项A中的结论正确.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,点F是边AC的中点,∴AB=12AC=CF=BF.由旋转的性质可知,CA=CD,∠ACD=60°,∴∠A=∠ACD.在△ABC和△CFD中,AB=CF,∠A=∠FCD,CA=CD,∴△ABC≌△CFD,∴DF=BC=BE.又∵DE=AB=BF,∴四边形EBFD为平行四边形,∴BF∥DE,故选项B中的结论正确.∵△ABC≌△CFD,∴∠DFC=∠ABC=90°,故选项C中的结论正确.在Rt△GFC中,∠GCF=30°,∴GF=33CF.同理可得DF=3CF,∴DF=3GF,∴DG=2GF,故选项D中的结论错误.故选D.
26.60(答案不唯一) 【解析】 题图可抽象为正六边形,360°6=60°,故当旋转角为60°的正整数(小于6)倍时,均符合题意.
27.(33-3) 【解析】 如图,设BC交EF于点N,由题意得,∠EDF=∠BAC=90°,∠DEF=60°,∠DFE=30°,∠ABC=∠ACB=45°,BC=DF=12,∵△ABC绕点O顺时针旋转60°,O是边BC(DF)的中点,∴OC=OF=6,∠BOD=∠NOF=60°,∴∠NOF+∠F=90°,∴∠FNO=90°,∴△ONF是直角三角形,∴FN=32OF=33,ON=12OF=3,∴NC=OC-ON=3.∵∠FNO=90°,∴∠GNC=180°-∠FNO=90°.又∠NCG=45°,∴△CNG是等腰直角三角形,∴NG=NC=3,∴FG=FN-NG=33-3,即FG的长是(33-3)cm.
28.B 【解析】 由两个位似图形的周长比等于位似比可知,C△ABCC△DEF=23,∴C△DEF =32C△ABC =32×4=6.故选B.
29.D
30.C 【解析】 易知题图中与△AOB位似的三角形是△GOH.由题意可知,OB=2 3OA,OC=2 3OB=(2 3)2OA,…,OG=(2 3)6OA.∵S△AOB=1,∴S△GOH=[(2 3)6]2S△AOB=(43)6 .
31.(4,2)
32.【参考答案】 (1)△A1O1B1如图所示.
(2)△A2OB2如图所示.
(3)在Rt△AOB中,OB=OA2+AB2=5,
∴点B经过的路径长为90360×2π×5=52π.
33.【参考答案】 (1)点D如图(1)所示,此时四边形ABCD是轴对称图形.(答案不唯一,正确即可)
图(1) 图(2)
(2)点E如图(2)所示,此时四边形ABCE是中心对称图形.(答案不唯一,正确即可)
34.【参考答案】 (1)△A1B1C1如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
35.【参考答案】 (1)△A1B1C1如图所示.
(2)△A2B2C2如图所示.
点B2的坐标为(-4,-6).
阶段测评五 图形的变换
1.B 2.D 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D
8.C 【解析】 由旋转可得∠CAN=∠BAM,AN=AM,∴∠MAN=∠BAC,∠AMN=∠ANM,∴∠AMN=180°−∠MAN2.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=180°−∠BAC2,∴∠AMN=∠B=∠ACN,故选项C中的结论正确.AN=AM≤AC=AB,故选项A中的结论不一定正确.当∠B=70°时,∠ACB=70°,∠NCA=70°,∴∠NCB+∠B=210°≠180°,故AB∥NC不一定正确.设AC,MN交于点O,当∠B确定时,∠AMN为定角,∠MAC不确定,∴∠AOM不确定,∴MN⊥AC不一定正确.故选C.
9.A 【解析】 如图,分别过点B,B'作x轴的垂线,垂足分别为点M,N.易证△CBM∽△CB'N,则CMCN=CBCB',即a-1CN=12,∴CN=2a-2,∴点N的横坐标为1-(2a-2)=-2a+3,即点B'的横坐标为-2a+3.
一题多解
将△ABC和△A'B'C向左平移1个单位长度,设点B和点B'的对应点分别为H,G,则点H的横坐标为a-1,点G的横坐标为-2(a-1),故点B'的横坐标为-2(a-1)+1,即-2a+3.
10.C 【解析】 设PQ与BD交于点O,由作图可得PQ为BD的垂直平分线,∴BO=DO,BM=MD,BN=ND.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,∴△MDO≌△NBO,∴DM=BN,∴四边形BNDM为平行四边形.∵BM=MD,∴四边形MBND为菱形.设MB=x,则MD=BM=x,∴AM=AD-DM=4-x.在Rt△ABM中,由勾股定理,得AB2+AM2=BM2,即22+(4-x)2=x2,解得x=52,∴四边形MBND的周长=4BM=10.
11.A 【解析】 如图,过点G作GT⊥AD于点T,则四边形CDTG为矩形.设AD=y,则AE=DE=12y.∵BFGC=23,∴可设BF=2k,CG=3k,∴DT=CG=3k.由翻折的性质可知,A'E=AE=12y,B'F=BF=2k,∠GEF=∠AEF.∵AD∥CB,∴∠AEF=∠GFE,∴∠GEF=∠GFE,∴EG=FG=y-5k,∴GA'=12y-(y-5k)=5k-12y.∵点C,A',B'共线,GA'∥FB',∴△CGA'∽△CFB',∴CGCF=GA'FB',即3ky-2k=5k-12y2k,∴y2-12ky+32k2=0,解得y1=8k,y2=4k(舍去),∴GE=8k-5k=3k,∴ET=4k-3k=k,∴AB=GT=(3k)2-k2=22k,∴ADAB=8k22k=22.
12.2∶5 【解析】 ∵OA∶AD=2∶3,∴OA∶OD=2∶5,∴△ABC与△DEF的周长比是2∶5.
13.(1,2) 【解析】 ∵点A(3,2)的对应点C的坐标为(-1,2),3-4=-1,2-0=2,∴点B(5,2)的对应点D的坐标为(5-4,2-0),即(1,2).
14.(2,2) 【解析】 △A1B1C1和△A2B2C1如图所示,故点A2的坐标为(2,2).
15.18° 【解析】 由作图可知CF是线段AD的垂直平分线,∴∠AFC=90°.∵∠B=54°,AB=AC,∴∠BAC=180°-54°×2=72°,∴∠ACF=90°-∠BAC=18°.
16.4a+2b 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=80°,∴∠D=80°,∠BCD=100°.由翻折可知∠ACE=∠ACB,又∵∠ACE=2∠ECD,∴5∠ECD=∠BCD=100°,∴∠ECD=20°,∴∠ACB=∠ACE=40°,∴∠DAC=∠ACB=40°,∠DFC=∠BCF=80°,∴∠FAC=∠FCA,∠CFD=∠D,∴AF=FC=DC=a.∵FD=b,∴AD=a+b,∴▱ABCD的周长为2(AD+DC)=2(a+b+a)=4a+2b.
17.2 5-2 【解析】 如图,连接DG,将DG绕点D逆时针旋转90°得到线段DM,连接MG,CM,MF,过点M作MH⊥CD于点H.∵∠EDF=∠GDM=90°,∴∠EDG=∠FDM.又∵DE=DF,DG=DM,∴△EDG≌△FDM,∴MF=EG=2.根据“一线三直角模型”易得△DGC≌△MDH,∴DH=CG=2,MH=CD=4,∴CM= 42+22=2 5.易得CF≥CM-MF=2 5-2,当且仅当点F在CM上时取等号,∴CF的最小值为2 5-2.
18.【参考答案】 (1)4(2分)
(2)如图,△A'B'C'即为所求作.(5分)
19.【参考答案】 (1)画法不唯一,如图(1)或图(2).(4分)
图(1) 图(2)
(2)画法不唯一,如图(3)或图(4).(8分)
图(3) 图(4)
20.【参考答案】 (1)如图(1)所示.(5分)
图(1)
图(2)
(2)45(8分)
解法提示:连接OB,如图(2).
∵AC=BC,CD平分∠ACB,
∴CD垂直平分AB.
∵AB=485,∴BD=245.
又∵OB=5,∴OD=OB2-BD2=75,
∴CD=325,∴BC=CD2+BD2=8,
∴sin∠ABC=CDBC=45.
21.【参考答案】 (1)如图(1),△ABD1,△ABD2,△ACD3,△ACD4,△CBD5即为所求.(4分)
(2)如图(2),菱形ABDC,BECF即为所求.(8分)
22.【参考答案】 (1)如图,△OA'B',△OA″B″即为所求.(4分)
(2)△OA1B1如图所示.(6分)
∵OB=42+62=213,
∴线段OB旋转过程中所形成扇形的周长为2×213+90π×213180=413+13π.(8分)
23.【参考答案】 (1)四边形AMDN为矩形.(1分)
理由:∵点M为AB的中点,点D为BC的中点,
∴MD∥AC,(2分)
∴∠AMD+∠A=180°.
∵∠A=90°,∴∠AMD=90°.(3分)
∵∠EDF=90°,∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°,
∴四边形AMDN为矩形.(4分)
(2)方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,∴∠B+∠C=90°,BC=AB2+AC2=10.
∵点D是BC的中点,∴CD=12BC=5.
∵∠EDF=90°,∴∠MDB+∠1=90°.
∵∠B=∠MDB,∴∠1=∠C,
∴ND=NC.
过点N作NG⊥BC于点G,则∠CGN=90°,
图(1)
∴CG=12CD=52.
∵∠C=∠C,∠CGN=∠CAB=90°,
∴△CGN∽△CAB,
∴CGCA=CNCB,即528=CN10,∴CN=258.(8分)
方法二:如图(2),连接AD.
图(2)
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,
∴∠B+∠C=90°,BC=AB2+AC2=10.
∵点D为BC的中点,∴AD=CD=12BC=5,
∴∠2=∠C.
∵∠EDF=90°,∴∠MDB+∠1=90°.
∵∠B=∠MDB,∴∠1=∠C,
∴∠1=∠2.
又∵∠C=∠C,∴△CDN∽△CAD,
∴CNCD=CDCA,即CN5=58,∴CN=258.(8分)
(3)AN=257.(10分)
解法提示:如图(3),分别过点M,N作MH⊥BC,NQ⊥BC,垂足分别为H,Q.
图(3)
设AM=AN=x,则CN=8-x,BM=6-x.
易得sin B=cs C=45,sin C=cs B=35,
则MH=BM·sin B=24−4x5,BH=BM·cs B=18−3x5,CQ=CN·cs C=32−4x5,NQ=CN·sin C=24−3x5,
∴HD=BD-BH=7+3x5,DQ=CD-CQ=4x-75.
易证△MHD∽△DQN,
∴MHDQ=DHNQ,即24−4x54x-75=7+3x524−3x5,
∴x=257.
24.【参考答案】 (Ⅰ)在Rt△POQ中,由∠OPQ=30°,得∠OQP=90°-∠OPQ=60°.
根据折叠,知O'Q=OQ,∠O'QP=∠OQP=60°.
∵∠O'QA=180°-∠O'QP-∠OQP,
∴∠O'QA=60°.(2分)
如图,过点O'作O'H⊥OA,垂足为点H,则∠O'HQ=90°.
在Rt△O'HQ中,∠QO'H=90°-∠O'QA=30°.
由t=1,得OQ=1,则O'Q=1.
由QH=12O'Q=12,O'H2+QH2=O'Q2,
得OH=OQ+QH=32,O'H=O'Q2-QH2=32,
∴点O'的坐标为(32,32).(4分)
(Ⅱ)∵点A(3,0),
∴OA=3.
又OQ=t,∴QA=OA-OQ=3-t.
同(Ⅰ)知,O'Q=t,∠O'QA=60°.
∵四边形OABC是矩形,
∴∠OAB=90°.
在Rt△EAQ中,∠QEA=90°-∠EQA=30°,
∴QA=12QE,
∴QE=2QA=2(3-t)=6-2t.
又O'E=O'Q-QE,
∴O'E=3t-6,其中t的取值范围是2(Ⅲ)3,103(答案不唯一,满足3≤t<23即可)(12分)
解法提示:过点O'作O'H⊥x轴于点H,则QH=t2,故OH=32t.设折叠后重合部分的面积为S.
当0<32t≤3,即0当2当3≤t<23时,易知S不变,始终为33.
综上,当3≤t<23时,重合部分的面积为33.
25.【参考答案】 (1)BF=CF(2分)
(2)成立.
证明:根据旋转可知,∠DAE=α,AE=AD.
∵∠BAC=α,
∴∠EAC=∠BAD.
在△ACE和△ABD中,
AE=AD,∠EAC=∠DAB,AC=AB,
∴△ACE≌△ABD,
∴∠ACE=∠ABD=90°,
∴∠ACF=90°.
如图(1),连接AF.

图(1)
∴BF=CF. (6分)
(3)PD的值为6-12m,0或12m-6.(12分)
解法提示:∵α=60°,AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC=BC=43.
①当0°<∠BAD<60°时,如图(2),连接AF.
图(2)
由(2)可知Rt△ABF≌Rt△ACF,
∴∠BAF=∠CAF=12∠BAC=30°,
∴ CF=BF=AB·tan 30°=4.
由(2)可知,△ACE≌△ABD,
∴CE=BD=m,
∴EF=CF+CE=4+m,∠FBC=∠FCB=90°-60°=30°,
∴∠EFP=∠FBC+∠FCB=60°.
又∠EPF=90°,
∴∠FEP=90°-60°=30°,
∴PF=12EF=2+12m,
∴BP=BF+PF=6+12m,
∴PD=BP-BD=6-12m.
②当∠BAD=60°时,点D为AC的延长线与射线BN的交点,如图(3).

图(3)
∵∠DAE=60°,AE=AD,
∴△ADE为等边三角形,
∴∠ADE=60°.
∵∠ADB=90°-∠BAC=30°,
∴∠BDE=90°,
∴此时点P与点D重合,PD=0.
③当60°<∠BAD<90°时,如图(4),连接AF.
图(4)
由(1)得CF=BF=4,EF=4+m,PF=12EF=2+12m,
∴BP=BF+PF=6+12m,
∴PD=BD-BP=12m-6.
综上,PD的值为6-12m,0或12m-6.
分类训练22 统计
1.A 2.A 3.D 4.B 5.C
6.A 【解析】 这组数据出现次数最多的是5,所以众数是5;这组数据的平均数x=3×4+4×6+5×8+6×24+6+8+2=4.4;将这组数据从小到大排列,处在中间位置的两个数是4和5,故中位数是4+52=4.5;这组数据的方差s2=120[(3-4.4)2×4+(4-4.4)2×6+(5-4.4)2×8+(6-4.4)2×2]=0.84.故选A.
7.D 【解析】 追加后的5个数据中,众数和中位数依然是5,平均数与之前的5个数据的平均数相比增大,故不变的为中位数和众数.
8.A 【解析】 由题图可得,甲的射击成绩在6环上下浮动,波动较小,乙的射击成绩波动较大,所以甲的射击成绩比乙的射击成绩稳定,故选项A中结论正确;甲射击成绩的众数是6环,乙射击成绩的众数是9环,所以甲射击成绩的众数小于乙射击成绩的众数,故选项B中结论错误;甲射击成绩的平均数是5×2+6×6+7×210=6(环),乙射击成绩的平均数是3+4+5+6+7+8+9×3+1010=7(环),所以甲射击成绩的平均数小于乙射击成绩的平均数,故选项C中结论错误;甲射击成绩的中位数是6环,乙射击成绩的中位数是7+82=7.5(环),所以甲射击成绩的中位数小于乙射击成绩的中位数,故选项D中结论错误.
9.87.4 【解析】 她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%=87.4(分).
10.120 【解析】 40双滑冰鞋中销售量最多的鞋号是39号,共销售出12双,故商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为400×1240=120(双).
11.【参考答案】 (1)m=110×(10×4+9×3+8×2+3)=8.6.
(2)甲
(3)丙
解法提示:去掉一个最高分和一个最低分前,甲、乙、丙三位同学得分的平均数相同,故三位同学得分的数据的和相同.若去掉一个最高分和一个最低分,则甲、乙、丙得分的数据的和分别减去17,17,13,故去掉一个最高分和一个最低分后,丙得分的数据的和最大,其平均分最高,即丙表现最优秀.
12.【参考答案】 (1)95 90 20
(2)∵从B型扫地机器人抽取的10台中,“优秀”等级的百分比是30%,
∴估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为3 000×30%=900(台).
答:估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数为900台.
(3)A型扫地机器人扫地质量更好.
理由:①A型扫地机器人除尘量的众数95高于B型扫地机器人除尘量的众数90;
②A,B型扫地机器人除尘量的平均数都是90,A型扫地机器人除尘量的方差26.6低于B型扫地机器人除尘量的方差30;
③A型扫地机器人除尘量的“优秀”等级所占百分比40%高于B型扫地机器人除尘量的“优秀”等级所占百分比30%.
B型扫地机器人扫地质量更好.
理由:B型扫地机器人除尘量的中位数90高于A型扫地机器人除尘量的中位数89.
(答案不唯一,写出一条理由即可)
13.D 【解析】 逐项分析如下,故选D.
14.C 【解析】 100÷25%=400,故样本容量为400,选项A中的说法正确;类型D所对应的扇形的圆心角为360°×10%=36°,故选项B中的说法正确;类型C所占百分比为140400×100%=35%,故选项C中的说法错误;类型B的人数为400×(1-25%-35%-10%)=400×30%=120(人),故选项D中的说法正确.故选C.
15.【参考答案】 (1)<
(2)培训前:1232×100%,
培训后:432×100%,
1232×100%-432×100%=25%.
答:测试成绩为“6分”的百分比比培训前减少了25%.
(3)培训前:640×432=80,
培训后:640×1532=300,
300-80=220.
答:估计该校九年级640名学生经过培训,测试成绩为“10分”的学生增加了220人.
16.【参考答案】 (1)65
解法提示:a=200-19-27-72-17=65.
(2)补充扇形统计图如图所示.
(3)200×25%=50(名).
答:最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50名.
17.【参考答案】 (1)62.71
(2)141 260×64.72%
(3)①
解法提示:观察统计图可知,近年全国常住人口城镇化率呈增长趋势,但增加幅度逐年降低,故估计2022年年末全国常住人口城镇化率会高于64.72%.
18.【参考答案】 (1)100
补全条形统计图如图所示.
(2)72 C
(3)1 800×10+20+25+40100=1 710(人).
答:估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1 710人.
19.【参考答案】 (1)30 96 93
(2)七年级学生掌握防溺水安全知识较好.
理由:虽然七、八年级的平均分均为92分,但七年级的中位数高于八年级.
(3)估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是1 200×6+320=540(人).
答:估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是540人.
20.【参考答案】 (1)4 2 16 18
(2)月销售额定为18万元合适.
理由:将这组数据从小到大排列后,中间两个数均为18,中位数为18,故月销售额定为中位数时,一半左右的营业员都能达到销售目标.
(3)13.
解法提示:设第六组的两名营业员为A1,A2,第七组的两名营业员为B1,B2,列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的情况,其中两名营业员在同一组的情况有4种,
∴P=412=13.
分类训练23 概率
1.D 2.D 3.A
4.A 【解析】 ∵“任意摸出一个球,摸出球上的号码小于5”是必然事件,∴x<5,故选A.
5.A 6.C
7.B 【解析】 同时闭合两个开关,共有3种等可能的结果:S1,S2;S1,S3;S2,S3.其中能形成闭合电路的结果有2种,故所求概率为23 .
8.A 【解析】 易知OA=OB=10,∠AOB=90°,故所求概率为S扇形OABS网格=90π×(10)23605×6=π12.
9.13 【解析】 从一箱中随机抽取1件产品,共有6种可能,其中能中奖的可能有2种,故能中奖的概率为26=13.
10.59 【解析】 这9个数中,绝对值不大于2的有-2,-1,0,1,2,共5个,故所求概率为59.
11.π-24 【解析】 设小正方形的对角线的长为2a,则小正方形的边长为2a,圆的半径为a,大正方形的边长为2a,∴S阴影=πa2-(2a)2=πa2-2a2,S大正方形=4a2,∴点取在阴影部分的概率为S阴影S大正方形=πa2-2a24a2=π-24.
12.A 13.0.9
14.D 【解析】 画树状图如下.共有4种等可能的结果,其中出现(正,正)的结果有1种,∴出现(正,正)的概率为14.
15.A 【解析】 根据题意列表如下:
由表格可知,共有4种等可能的结果,其中第一次摸到红球、第二次摸到绿球的结果有1种,故所求概率为14.
16.B 【解析】 根据题意,画树状图如下:
由树状图可知,共有20种等可能的结果,其中两个数的和为偶数的有8种,故所求概率为820=25.故选B.
17.C 【解析】 根据题意,列表如下:
由表格可知共有12种等可能的情况,其中A,B两位同学座位相邻的情况有6种(①②,②①,②③,③②,③④,④③),故A,B两位同学座位相邻的概率是612=12.
18.16 【解析】 根据题意,列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的情况,其中恰好选中甲和丙的情况有2种,故所求概率P=16.
19.14 【解析】 记两把不同的锁分别为A,B,四把钥匙分别为a,b,c,d,设钥匙a,b分别能打开锁A,B.根据题意,画树状图如下.由树状图可知,共有8种等可能的结果,其中随机取出一把钥匙开任意一把锁,一次打开锁的结果有2种,故所求概率为28,即14.
20.16 【解析】 列表如下:
由表可知,共有12种等可能的情况,其中点(x,y)落在直角坐标系第二象限的情况有2种,故所求概率为212=16.
21.【参考答案】 将正面写有长白山、松花湖、净月潭的卡片依次用字母A,B,C表示.
方法一:画树状图如下.
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人都决定去长白山的结果有1种,故所求概率为19.
方法二:列表如下.
由表格可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两人都决定去长白山的结果有1种,故所求概率为19.
22.【参考答案】 (1)C
(2)方法一:画树状图如下.
从树状图可以看出,所有可能结果共有12种,且每种结果出现的可能性相等,其中抽到的2名护士都是共产党员的结果有6种,
所以P(抽到的2名护士都是共产党员)=612=12.
方法二:列表如下.
由上表可知,所有可能结果共有12种,且每种结果出现的可能性相等,其中抽到的2名护士都是共产党员的结果有6种,
所以P(抽到的2名护士都是共产党员)=612=12.
23.【参考答案】 (1)根据题意,画树状图如下:
(2)摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖,摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖.
理由:由(1)可知,共有6种等可能的结果,其中摸出颜色不同的两球的结果有4种,摸出颜色相同的两球的结果有2种,
∴摸出颜色不同的两球的概率为46=23,摸出颜色相同的两球的概率为26=13.
∵一等奖的获奖率低于二等奖,13<23,
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖,摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖.
24.【参考答案】 (1)25
(2)列表如下:
由表格可知,共有20种等可能的结果,其中2个西瓜的质量之和为15 kg的结果有4种.
∴P=420=15.
名师点拨
解决有关概率问题,需熟练掌握以下方法:
1.公式法,P(A)=mn,其中n为所有事件发生的总次数,m为事件A发生的总次数.
2.列举(列表或画树状图)法,其一般步骤为:①判断应使用列表法还是画树状图法,列表法一般适用于两步计算,画树状图法适用于两步及两步以上计算;②不重不漏地列举出所有可能出现的结果,并判断每种结果发生的可能性是否相等;③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m;④用公式P(A)=mn求事件A发生的概率.
25.【参考答案】 (1)13
(2)树状图如图所示:
由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中乙不输的结果共有6种,
∴P(乙不输)=69=23.
答:乙不输的概率是23.
26.【参考答案】 列表如下:
由表可知,共有10种等可能的结果,其中两球编号之和为奇数的结果有5种,两球编号之和为偶数的结果有5种,
∴P(小冰获胜)=510=12,
P(小雪获胜)=510=12.
∵P(小冰获胜)=P(小雪获胜),
∴这个游戏对双方都公平.
阶段测评六 统计与概率
1.D
2.D 【解析】 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势,采用折线统计图最合适,故选项A中的说法不正确; “煮熟的鸭子飞了”是确定事件,故选项B中的说法不正确;一组数据的中位数只有1个,故选项C中的说法不正确;为了解我省中学生的睡眠情况,应采用抽样调查的方式,故选项D中的说法正确.故选D.
3.B
4.D 【解析】 这一组数据的平均数为110×(8+8+6+7+9+9+7+8+10+8)=8,故这一组数据的方差为110×[4×(8-8)2+(6-8)2+2×(7-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.
5.D
6.B 【解析】 平均数和方差受每一个数据的影响.睡眠时间为7小时,8小时,9小时的分别有5人,11人,16人,遮盖的部分共有18个数据,故不能确定众数,中位数是9小时.故中位数不受被遮盖的数据的影响.
7.B 【解析】 样本容量为10÷5%=200,故A中说法正确;1 600名学生中,估计最喜欢体育课外活动的人数为1 600×50200=400(人),故B中说法错误;被调查的学生中,最喜欢艺术课外活动的人数为200×25%=50(人),故D中说法正确;最喜欢科技课外活动的人数为200-50-10-70-50=20(人),所以科技部分所对应的圆心角是20200×360°=36°,故C中说法正确.故选B.
8.B 【解析】 根据题意可知共有如下8种情况,且每种情况出现的可能性相等.
其中是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有3种,故所求概率为38.
一题多解
将涂成黑色记为B,涂成白色记为W,则根据题意,画树状图如下:
由树状图可知共有8种等可能的情况,其中是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的情况有3种,故所求概率为38.
9.13
10.950 【解析】 95100×1 000=950(名).
11.8.3 【解析】 9×3+8×4+8×33+4+3=8.3(分).
12.16 【解析】 列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的情况,其中甲、乙两位同学分到同一组的情况有2种,故所求概率为212=16.
13.【参考答案】 (1)14(2分)
(2)方法一:画树状图如下.
(4分)
方法二:列表如下.
(4分)
∴P=38.(6分)
14.【参考答案】 (1)37(2分)
(2)根据题意,列表如下:
由表格可知,共有12种等可能的情况,其中2位学生中至少有1位是A1或B1的情况有6种,
故所求概率为612=12.(6分)
15.【参考答案】 (1)补全条形统计图如图所示.
(3分)
(2)众数为4万元,中位数为5万元,平均数为(3+4×4+5×3+7+8×2+10×3+18)÷15=7(万元).(7分)
(3)月销售额定为7万元合适.(8分)
16.【参考答案】 (1)∵当嘉淇走到道口A时,有直、左、右3种等可能结果,只有向右转为北,
∴P(嘉淇向北走)=13.(3分)
(2)补全树状图如下.
(6分)
由树状图可知,所有等可能结果共有9种,其中朝向东2种,朝向西3种,朝向南2种,朝向北2种.
∴P(朝西)=39=13>P(朝东)=P(朝南)=P(朝北)=29,(9分)
∴嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.(10分)
17.【参考答案】 (1)20 10(2分)
(2)108(4分)
(3)七(1)班3位同学分别记为A1,A2,A3,七(2)班2位同学分别记为B1,B2.列表如下:
(8分)
由上表可知,共有20种等可能的结果,抽中的2名学生来自不同班级(记作事件A)的结果有12种,
∴P(A)=1220=35.(10分)
18.【参考答案】 (1)20 4(2分)
(2)86.5(4分)
(3)估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人.(6分)
理由如下:
七年级学生中,对冬奥会关注程度高的人数约为500×3+120=100.
八年级学生中,对冬奥会关注程度高的人数约为500×(1-5%-5%-20%-35%)=175.
100+175=275.
故估计该校七、八两个年级对冬奥会关注程度高的学生一共有275人.(10分)
19.【参考答案】 (1)3.75 2.0(4分)
解法提示:把芒果树叶的长宽比按照从小到大的顺序排列为3.4,3.5,3.6,3.6,3.7,3.8,3.8,4.0,4.0,4.0,第5,6位的数分别为3.7,3.8,∴中位数为3.7+3.82=3.75,∴m=3.75;荔枝树叶的长宽比数据中,2.0出现了4次,出现的次数最多,∴众数是2.0,∴n=2.0.
(2)②(7分)
解法提示:从树叶的长宽比的方差来看,芒果树叶的长宽比的方差较小,所以芒果树叶的形状差别较小;从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,荔枝树叶的长约为宽的两倍.
(3)这片树叶更可能来自荔枝树.理由如下:
115.6≈2.0,
结合两种树叶的长宽比的平均数、中位数和众数,可知这片树叶更可能来自荔枝树.(10分)
20.【参考答案】 (1)300 2%(或0.02)(2分)
(2)收集到的第一组数据有:102+48+75+51+24=300.
收集到的第二组数据有:168+9+16+6+1=200.
参与调查的总人数:300+200=500(人).(4分)
方法一:6+6500=2.4%.
方法二:6300=2%,6200=3%.
300500×2%+200500×3%=2.4%.
故“双减”后报班个数为3的学生人数占比2.4%.(7分)
(3)①1 0(9分)
②分析1:“双减”后参加校外学科补习班的人数明显下降;
分析2:“双减”后参加校外学科补习班的现象仍然存在,但比“双减”前明显减少;
分析3:“双减”后不报班的学生人数明显增加.(11分)
(注:写出一条,且答案合理即可给分)
年份
进口额/
亿元
出口额/
亿元
进出口总
额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
甲种客车
乙种客车
载客量/(人/辆)
40
55
租金/(元/辆)
500
600
离开学生公寓的时间/min
5
8
50
87
112
离学生公寓的距离/km
0.5
1.6
A方案
B方案
C方案
每月基本费用/元
20
56
266
每月免费使用流量/兆
1 024
m
无限
超出后每兆收费/元
n
n
种类
真丝衬衣
真丝围巾
进价/(元/件)
a
80
售价/(元/件)
300
100
x
0
0.5
1
1.5
2
y
1
1.5
2
2.5
3
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
运动时
间t/s
0
1
2
3
4
运动速度
v/(cm/s)
10
9.5
9
8.5
8
运动距
离y/cm
0
9.75
19
27.75
36
售价x/(元/kg)
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y需求/t
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
已知:如图,△ABC.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
方法一
证明:如图,过点A作DE∥BC.
方法二
证明:如图,过点C作CD∥AB.
月用水量/吨
3
4
5
6
户数
4
6
8
2
鞋号
35
36
37
38
39
40
41
42
43
销售量/双
2
4
5
5
12
6
3
2
1
同学
甲
乙
丙
平均数
8.6
8.6
m
型号
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级
所占百分比
A
90
89
a
26.6
40%
B
90
b
90
30
30%
培训
前
成绩/分
6
7
8
9
10
划记
正正
正
正
人数/人
12
4
7
5
4
培训
后
成绩/分
6
7
8
9
10
划记
正
正正正
人数/人
4
1
3
9
15
跳绳个
数(x)
x≤50
50<
x≤60
60<
x≤70
70<
x≤80
x>80
频数(摸
底测试)
19
27
72
a
17
频数(最
终测试)
3
6
59
b
c
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
组别
一
二
三
四
五
六
七
销售额/
万元
13≤
x<16
16≤
x<19
19≤
x<22
22≤
x<25
25≤
x<28
28≤
x<31
31≤
x<34
频数
6
10
3
3
a
b
2
平均数
众数
中位数
20.3
c
d
组别
A型
B型
AB型
O型
频率
0.4
0.35
0.1
0.15
抽检产品数n
100
150
200
250
300
500
1 000
合格产品数m
89
134
179
226
271
451
904
合格率mn
0.890
0.893
0.895
0.904
0.903
0.902
0.904
体温/℃
36.2
36.3
36.5
36.6
36.8
天数/天
3
3
4
2
2
项目
A
B
C
D
人数/人
5
15
a
b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
芒果树叶
的长宽比
3.8
3.7
3.5
3.4
3.8
4.0
3.6
4.0
3.6
4.0
荔枝树叶
的长宽比
2.0
2.0
2.0
2.4
1.8
1.9
1.8
2.0
1.3
1.9
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶
的长宽比
3.74
m
4.0
0.042 4
荔枝树叶
的长宽比
1.91
1.95
n
0.066 9
报班个数
学生人数
类别
0
1
2
3
4及
以上
合计
“双减”前
102
48
75
51
24
m
“双减”后
255
15
24
n
0
m
选项
分析
正误
A
m+m=(1+1)m=2m
✕
B
2(m-n)=2m-2n
✕
C
(m+2n)2=m2+4mn+4n2
✕
D
(m+3)(m-3)=m2-32=m2-9
√
选项
分析
正误
A
23-3=3
✕
B
(a+1)2=a2+2a+1
✕
C
(a2)3=a6
✕
D
2a2·a=2a3
√
选项
分析
是否符
合题意
A
Δ=1+8=9>0,方程有两个不相等的实数根.
否
B
Δ=4>0,方程有两个不相等的实数根.
否
C
Δ=1-20=-19<0,方程没有实数根.
是
D
Δ=4-4=0,方程有两个相等的实数根.
否
甲
乙
丙
香樟
4b
3b
9b
红枫
5a-4b
6a-3b
合计
5a
6a
7a
甲
乙
丙
合计
香樟
4b
3b
9b
16b
红枫
6b
9b
5b
20b
合计
10b
12b
14b
背景
点A(x1,y1),B(x2,y2)是直线y=kx+b(k≠0)上两点,直线y=kx+b与x轴所夹锐角为α.
推理
过程
将A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=kx+b,得y1=kx1+b,①y2=kx2+b,②①-②,得y1-y2=k(x1-x2),所以k=y1-y2x1-x2.
图示、
tan α与
k的
关系
k=tan α
k=-tan α
重要
结论
1.函数y=kx+b(k≠0)的k值等于其图象上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比.
2.当k>0时,k等于直线与x轴所夹锐角的正切值;当k<0时,k等于直线与x轴所夹锐角的正切值的相反数.
选项
分析
是否符合题意
A
可判定上下两边平行,左右两边不平行,故不是平行四边形.
否
B
只能判定左右两边平行,故不一定是平行四边形.
否
C
只能判定左右两边相等,故不一定是平行四边形.
否
D
上下两边既平行又相等,故是平行四边形.
是
选项
分析
正误
A
4月到5月,阅读课外书的本数上升.
✕
B
每月阅读课外书的本数最大值是78,最小值是28,故最大值比最小值多50.
✕
C
这7个数据中,58出现的次数最多,故众数是58.
✕
D
将这7个数据按大小顺序排列后,中间的数是58,故中位数是58.
√
A1
A2
B1
B2
A1
(A2,A1)
(B1,A1)
(B2,A1)
A2
(A1,A2)
(B1,A2)
(B2,A2)
B1
(A1,B1)
(A2,B1)
(B2,B1)
B2
(A1,B2)
(A2,B2)
(B1,B2)
红
绿
红
(红,红)
(红,绿)
绿
(绿,红)
(绿,绿)
①
②
③
④
①
①②
①③
①④
②
②①
②③
②④
③
③①
③②
③④
④
④①
④②
④③
甲
乙
丙
丁
甲
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
2
0
-1
3
(2,3)
(0,3)
(-1,3)
2
(2,2)
(0,2)
(-1,2)
-2
(2,-2)
(0,-2)
(-1,-2)
-3
(2,-3)
(0,-3)
(-1,-3)
A
B
C
A
(A,A)
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
(B,B)
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
(C,C)
甲
乙
丙
丁
甲
(甲,乙)
(甲,丙)
(甲,丁)
乙
(乙,甲)
(乙,丙)
(乙,丁)
丙
(丙,甲)
(丙,乙)
(丙,丁)
丁
(丁,甲)
(丁,乙)
(丁,丙)
6
6
7
7
8
6
12
13
13
14
6
12
13
13
14
7
13
13
14
15
7
13
13
14
15
8
14
14
15
15
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
甲
乙
丙
丁
甲
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
白
红1
红2
红3
白
(白,白)
(白,红1)
(白,红2)
(白,红3)
红1
(红1,白)
(红1,红1)
(红1,红2)
(红1,红3)
红2
(红2,白)
(红2,红1)
(红2,红2)
(红2,红3)
红3
(红3,白)
(红3,红1)
(红3,红2)
(红3,红3)
A1
A2
A3
A4
B1
(A1,B1)
(A2,B1)
(A3,B1)
(A4,B1)
B2
(A1,B2)
(A2,B2)
(A3,B2)
(A4,B2)
B3
(A1,B3)
(A2,B3)
(A3,B3)
(A4,B3)
A1
A2
A3
B1
B2
A1
(A1,A2)
(A1,A3)
(A1,B1)
(A1,B2)
A2
(A2,A1)
(A2,A3)
(A2,B1)
(A2,B2)
A3
(A3,A1)
(A3,A2)
(A3,B1)
(A3,B2)
B1
(B1,A1)
(B1,A2)
(B1,A3)
(B1,B2)
B2
(B2,A1)
(B2,A2)
(B2,A3)
(B2,B1)