2024年内蒙古包头市青山区二机一中中考数学三模试卷（含答案）

这是一份2024年内蒙古包头市青山区二机一中中考数学三模试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列4个数中，最小的数是（ ）
A．﹣（﹣2）B．|﹣2|C．（﹣2）0D．（﹣2）﹣1
2．眼下正值春耕备耕关键时期，中国人民银行运城市中心支行指导辖内银行业金融机构将“支持春耕备耕”作为重点工作，多措并举，加大信贷投放力度．截至目前，辖内银行业金融机构共向春耕备耕领域投放贷款5.68万户共计27.87亿元，数据“27.87亿”用科学记数法表示为（ ）
A．27.87×108B．27.87×109
C．2.787×109D．2.787×1010
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（﹣a2）3＝a6C．a2+a2＝2a4D．a3÷a2＝1
4．下面几何体都是由6个大小相同的小正方体组成的，其中主视图和左视图相同的几何体是（ ）
A．B．
C．D．
5．一个含30°的直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
6．如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC'∥AB，划∠BAB′的度数是（ ）
A．35°B．40°C．50°D．70°
7．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且OD∥BC，若∠BAC＝α，则∠BAD的度数可以表示为（ ）
A．2αB．90°﹣αC．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移后得到抛物线y2，则抛物线y2的表达式为（ ）
A．y＝﹣2x2﹣4xB．y＝﹣2x2﹣4x+1
C．y＝﹣2x2+4xD．y＝﹣2x2+4x+1
9．如图，在△ABC中，CA＝CB，AB＝4，点D是AB的中点，分别以点A、B、C为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AC、BC于点E、F、G、H，若点E、F是线段AC的三等分点时，图中阴影部分的面积为（ ）
A．8B．16﹣4πC．8﹣4πD．16﹣2π
10．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）aB．（﹣2）aC．（ +1）aD．（ +2）a
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．分解因式：x2y﹣y3＝ ．
12．若实数m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，且m＜n，则点（m，n）在第 象限．
13．如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 ．
14．如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝ °．
15．如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝30°，∠OCB＝45°，BA⊥y轴于点A，CB⊥OB于点B，若AB＝1，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为 ．
16．如图，四边形ABCD是正方形，以BC为底边向正方形外部作等腰直角三角形BCE，连接AE，分别交BD，BC于点F，G．则下列结论：①△AFB∽△ABE；②△ADF∽△GCE；③CG＝3BG；④AF＝EF，其中正确的有 ．
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(本小题8分)（1）化简：（2﹣）÷；
（2）解不等式组：．
18．(本小题8分)为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生加科学竞赛．同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加科学讲座”这一问题进行调查．
【收集数据】
本次竞赛满分10分，已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据．
【整理数据】
a．图1为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图；
b．九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8．
【分析数据】
图表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
（1）m＝ ，n＝ ．
（2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，，比较大小 ；
（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座？”这一问题的调查中，已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比．
19．(本小题8分)位于海南临高县城西北部3.6公里处的高山岭，古称毗耶山，海拔高193米，是省级自然保护区．岭上有神石、神湖、怪石、瞭望塔和奇花异草．某数学学习小组的同学来到高山岭脚下，测量瞭望塔AB的高度．如图，小颖同学在坡底C处测得瞭望塔顶端A的仰角为45°，∠ACB＝15°，小颖沿坡面CB前行120m到达D处，测得瞭望塔顶端A的仰角为60°．求瞭望塔AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）
20．(本小题11分)某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第3分钟时消毒效果为 效力；
（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
21．(本小题12分)如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E是BC的中点，连接OE、DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若sinC＝，DE＝5，求AD的长；
（3）求证：2DE2＝CD•OE．
22．(本小题12分)综合探究
（1）如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°，得到DF，连接CF，则AE与FC的数量关系是 ；∠ACF的度数为 度．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF＝∠ACF＝90°时，求的值．
（3）如图3，在等边△ABC中，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接BE．取BE的中点F，连接DF．若AB＝4，BD＝2，请直接写出线段DF的长．
23．(本小题13分)如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值．
参考答案
一、选择题
1．D．
2．C．
3．A．
4．D．
5．C．
6．B．
7．C．
8．B．
9．A．
10．D．
二、填空题
11．y（x+y）（x﹣y）．
12．二．
13．1：3．
14．15．
15．2．
16．②④．
三、解答题。
17．解：（1）原式＝•
＝•
＝•
＝；
（2），
解①得：x＞﹣2；
解②得：x＜5，
故不等式组的解集为：﹣2＜x＜5．
18．解：（1）∵8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，即m＝8；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4，5，6，6，7，7，8，8，9，10，
中位数是；
故答案为：8，7；
（2）从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；
八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以，
故答案为：＞；
（3）∵10÷5%＝200（人），
∴七八年级各200人，
∵8÷5%＝160（人），
∴九年级160人，
∴，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%．
19．解：过点D作DH⊥CE，垂足为H，
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，CD＝120米，
∴DH＝＝60（米），
延长AB交CE于点F，过点D作 DG⊥AF，垂足为F，
由题意得：AF⊥CE，DH＝FG，DG＝HF，
设DG＝FH＝x米，
在Rt△CDH中，∠DCH＝30°，CD＝120 米，
∴CH＝DH＝60（米），
∴DH＝FG＝60 米，CF＝CH+HF＝（x+60） 米，
在Rt△ADG中，∠ADG＝60°，
∴AG＝DG•tan60°＝x（米），
∴AF＝AG+FG＝（x+60）米，
在Rt△ACF中，∠ACF＝45°，
∴AF＝CF•tan45°＝（x+60）米，
∴x+60＝x+60，
解得：x＝60，
∴CF＝AF＝（60+60）米，
在Rt△BCF中，BF＝CF•tan30°＝（60+60）×＝（60+20） 米，
∴AB＝AF﹣BF＝60+60﹣（60+20）＝40≈69（米），
∴瞭望塔AB的高度约为69米．
20．解：（1）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx，
∵经过（10，3），
∴10k＝3，
解得：k＝，
∴解析式为y＝x，
当x＝3时，y＝×3＝0.9，
故答案为：0.9．
（2）设BC段的函数解析式为 y＝kx+b，
把（10，3）和（30，6）代入得，
解得：，
∴BC段的函数解析式为 y＝（4≤x≤30），
设CD段的函数解析式为，把（30，6）代入得，
∴m＝180，
∴CD段的函数解析式为（x≥30）；
（3）把y＝4分别代入和得， 和x＝45，
∵，
∴本次消毒有效．
21．（1）证明：连接OD，BD，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
∵OB、OD是⊙O的半径，
∴OB＝OD，
又∵OE＝OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠OBE＝90°，
∴半径OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，如图，
由（1）知：DE＝BE＝EC，∠ADB＝∠BDC＝∠ABC＝90°，
∵DE＝5，
∴BC＝10，
∵sinC＝，
∴＝，
∴BD＝8，
∵∠C+∠CBD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴sin∠ABD＝sin∠C＝，
∴＝，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（4x）2+82＝（5x）2，
解得：x＝（负值舍去），
∴AD＝4x＝4×＝；
（3）证明：连接BD，
由（1）（2）得：∠BDC＝∠OBE＝90°，BE＝DE，
∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，
∴OE∥AC，BC＝2BE，
∴∠C＝∠OEB，
∴△BCD∽△OEB，
∴＝，即＝，
∴2DE2＝CD•OE．
22．解：（1）在等边△ABC中，DE∥AB交AC于点E．
∠B＝∠DEC＝60°，∠BAC＝∠DEC＝60°，∠C＝60°，
∴△EDC是等边三角形，DE＝EC＝DC．
∵AD绕点D顺时针旋转60°，得到DF，
∴∠ADF＝60°，AD＝FD，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠EDC﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠FDC，
∵AD＝FD，ED＝CD，
∴△ADE≌△FDC（SAS），
∴AE＝FC，∠AED＝∠FDC，
∵∠DEC＝60°，
∴∠AED＝120°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝120°﹣60°＝60°．
故答案为：AE＝CF，60．
（2）∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADF＝90°，
∴∠ADF﹣∠EDF＝∠EDC﹣∠EDF，
∴∠ADE＝∠FDC．
∵∠ACF＝90°，
∠AED＝∠EDC+∠ACB，
∠FCD＝∠ACF+∠ACB，
∴∠AED＝∠FCD，
∵∠ADE＝∠FDC，
∴△DAE∽△DFC，
∴，
∵∠EDC＝90°，∠ACB＝60°，
∴tan∠ACB＝＝，
∴
（3）过点D作DG∥AB交AC于点G，截取DH＝DB，连接EH，交BC于点K．
在等边△ABC中，DG∥AB交AC于点G．
∠B＝∠GEC＝60°，∠BAC＝∠DGC＝60°，∠C＝60°，
∴△EGC是等边三角形，DG＝GC＝DC．
∴∠BDG＝180°﹣60°＝120°
∵AD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，
∴∠ADE＝120°，AD＝ED，
∴∠ADE＝∠BDG，
∴∠ADE﹣∠ADG＝∠BDG﹣∠ADG，
∴∠ADB＝∠EDH，
∵BD＝DH，AD＝ED，
∴△ADB≌△EDH（SAS），
∴AB＝EH＝，∠ABD＝∠EHD＝60°，
∴△DHK是等边三角形，HK＝DH＝DK＝DB＝2，
∴KE＝EH﹣HK＝，
∵BD＝DK，BF＝FE，
∴DF是△BEK的中位线，
∴DF＝KE＝2．
23．解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OB＝OC＝3OA，
∴BO＝OC＝3，
∴B（3，0），C（0，﹣3），
将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在一点M，使得，理由如下：
连接AC，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC的中点为（﹣，﹣），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
∴过AC的中点与BC平行的直线解析式为y＝x﹣1，
联立方程组，
解得或，
∴M（，）或（，）；
∴直线y＝x﹣1关于直线BC对称的直线为y＝x﹣5，
联立方程组，
解得或，
∴M（1，﹣4）或（2，﹣3）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）或（，）或（，）；
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴BC＝3，BD＝2，CD＝，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴tan∠CBD＝＝，
过点P作PQ⊥x轴交于Q，
∵∠PBA＝∠CBD，
∴＝，
∵点P（m，n）在第二象限内，
∴3（m2﹣2m﹣3）＝3﹣m，
解得m＝3（舍）或m＝﹣．
平均数
众数
中位数
七年级
6
8
7
八年级
7
6、7、8
n
九年级
8
m
8