2023-2024学年山东省菏泽市单县八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省菏泽市单县八年级（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式一定有意义的是( )
A. −7B. xC. x2+1D. 2x
3.不等式组x−2≥113−3x<−2的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列各式正确的是( )
A. 23= 23B. 5− 2= 3
C. ( 2+1)2=3+ 2D. 27÷ 3=3
5.把点A(m,m−2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为( )
A. (−4,0)B. (0,0)C. (4,0)D. (0,−4)
6.如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4.则CE的长是( )
A. 5 2
B. 6 2
C. 4 5
D. 5 5
7.若m<−1，则一次函数y=(m+1)x+m−1的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图，将矩形ABCD绕A点逆时针旋转α(0°<α<90°)得到矩形AB′C′D′，已知∠1=120°，则旋转角α的度数为( )
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
9.如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,2)和点B(−2,0)，一次函数y=mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0A. −2B. −1C. x<−1
D. x>−1
10.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是( )
A. (4n−1, 3)B. (2n−1, 3)C. (4n+1, 3)D. (2n+1, 3)
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 16的算术平方根是______．
12.计算：(2 12−4 13)× 6= ______．
13.一小汽车正常行驶时，油箱中的剩余油量Q(升)与行驶里程x(千米)的关系式为Q=45−0.09x.从关系式可知这辆小汽车加满油箱最多可以行驶______千米．
14.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分
别是AB，AC、BD的中点，若BC=8，则△PMN的周长是______．
15.若关于x的不等式3x+116.如图，直线y=−34x+6分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为y=−2x+6；③点D(245,125)；④若直线BC上存在一点P，使得AP+DP的值最小，则点P的坐标是(3,0).正确的结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：(2+ 3)(2− 3)⋅(1+ 2)2；
(2)解不等式组：3(x+2)>x−2①x−1<1+x2②．
18.(本小题8分)
在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知a=12+ 3，求a+1的值.小华是这样解答的：∵a=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3∴a+1=3− 3.请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：1 3− 2= ______；1 3−1= ______；
(2)化简：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 289+ 288．
19.(本小题8分)
如图，点E与F分别在正方形ABCD的边BC与CD上，∠EAF=45°，以点A为旋转中心，将△ADF按顺时针方向旋转90°得到△ABF′.已知DF=5cm，BE=3cm，求EF的长．
20.(本小题8分)
小亮和妈妈去超市买凳子，善于观察的小亮发现售货员把凳子整齐叠放在一起，如图所示，每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的.凳子的数量n(单位：个)与叠放在一起的凳子的总高度ℎ(单位：cm)的关系如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)判断叠放的凳子总高度ℎ与凳子的数量n之间符合什么函数关系？请用待定系数法求ℎ与n的函数关系式；
(2)若将该种凳子竖直叠放在层高为91cm超市货架上，最多能叠放多少个？
21.(本小题9分)
如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2−EA2=AC2．
(1)求证：∠A=90°；
(2)若AC=6，BD=5，求AE的长度．
22.(本小题9分)
2023年5月17日，第4颗“北斗三号”地球静止轨道卫星在西昌发射场成功发射.某航模店看准商机，推出了“长征火箭”和“导航卫星”两款模型.该航模店计划购买两种模型共200个，购进“卫星”模型的数量不超过“火箭”模型数量的2倍.已知“卫星”模型的进价为30元/个，“火箭”模型的进价为20元/个，“卫星”模型售价为45元/个，“火箭”模型的售价为30元/个．
(1)求最多购进“卫星“模型多少个？
(2)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少？
23.(本小题10分)
如图，直线l1的函数解析式为y=−2x+4，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A、B，直线l1，l2交于点C．
(1)求直线l2的函数解析式；
(2)求△ADC的面积；
(3)在直线l2上是否存在点P，使得△CDP面积是△ADC面积的3倍？如果存在，请求出P坐标；如果不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，CD=CE．
【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α(0°<α<90°)，线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC=45°，CD= 2，AD=4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
参考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.B
8.D
9.A
10.C
11.2
12.8 2
13.500
14.12
15.1016.①②③④
17.解：(1)(2+ 3)(2− 3)⋅(1+ 2)2
=(4−3)⋅(1+2+2 2)
=1×(3+2 2)
=3+2 2；
(2)3(x+2)>x−2①x−1<1+x2②，
由①得，x>−4，
由②得，x<3，
故不等式组的解集为：−418.(1) 3+ 2， 3−12；
(2)原式= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+...+ 289− 288
= 289−1
=17−1
=16．
19.解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠ABC=∠D=90°，
∵△ADF绕点A顺时针方向旋转90°得到△ABF′，
∴AF=AF′，∠ABF′=∠D=90°，∠FAF′=90°，DF=BF′=5cm，
∴点F′在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF′=45°，
在△EAF和△EAF′中，
AF=AF′∠EAF=∠EAF′AE=AE，
∴△EAF≌△EAF′(SAS)，
∴EF=EF′．
∴EF=EF′=BF′+BE=8cm．
20.解：(1)∵每增加一个凳子，叠在一起的凳子增加的高度是一样的，
∴叠放的凳子总高度ℎ与凳子的数量n之间符合一次函数关系；
设ℎ=kn+b，把(1,45)，(2,50)代入得：
45=k+b50=2k+b，
解得k=5b=40，
∴ℎ=5n+40；
(2)根据题意得：5n+40≤91，
解得n≤10.2，
∵n为整数，
∴n最大值为10，
∴最多能叠放10个．
21.(1)证明：如图，连接CE，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE，
∵BE2−EA2=AC2，
∴CE2−EA2=AC2，
∴EA2+AC2=CE2，
∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；
(2)解∵D是BC的中点，BD=5，
∴BC=2BD=10，
∵∠A=90°，AC=6，
∴AB= BC2−AC2= 102−62=8，
在Rt△AEC中，AE2+AC2=CE2，
∵CE=BE，BE=AB−AE
∴62+AE2=(8−AE)2，
解得：AE=74，
∴AE的长为74．
22.解：(1)设购进x个“卫星”模型，则购进(200−x)个“火箭”模型，
根据题意得：x≤2(200−x)，
解得：x≤4003，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为133．
答：最多购进“卫星“模型133个；
(2)设售完这批模型可以获得的总利润为y元，
根据题意得：y=(45−30)x+(30−20)(200−x)，
即y=5x+2000，
∵5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=133时，y取得最大值，最大值为5×133+2000=2665．
答：售完这批模型可以获得的最大利润是2665元．
23.解：(1)设直线l2的函数解析式为y=kx+b，
将A(5,0)、B(4,−1)代入y=kx+b，
5k+b=04k+b=−1，解得：k=1b=−5，
∴直线l2的函数解析式为y=x−5．
(2)联立两直线解析式组成方程组，
y=−2x+4y=x−5，解得：x=3y=−2，
∴点C的坐标为(3,−2)．
当y=−2x+4=0时，x=2，
∴点D的坐标为(2,0)．
∴S△ADC=12AD⋅|yC|=12×(5−2)×2=3．
(3)假设存在．
∵△CDP面积是△ADC面积的3倍，
∴|yP|=3|yC|=6，
当y=x−5=−6时，x=1，
此时点P的坐标为(1,1)；
当y=x−5=6时，x=11，
此时点P的坐标为(11,4)．
综上所述：在直线l2上存在点P(1,1)或(11,4)，使得△ADP面积是△ADC面积的3倍．
24.解：【观察猜想】AE⊥BD，AE=BD；
【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：因为∠ACB=∠DCE=90°，
所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)，
所以AE=BD，∠CAE=∠CBD，
因为∠ACB=90°，
所以∠CBD+∠CGB=90°，
因为∠CAE=∠CBD，∠AGF=∠CGB，
所以∠CAE+∠AGF=90°，
所以∠BFA=180°−90°=90°，
所以AE⊥BD；
【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
所以∠DCE=90°，CE=CD= 2，∠CDE=45°，
所以DE= CD2+CE2=2，
因为∠ADC=45°，
所以∠ADE=∠ADC+∠CDE=45°+45°=90°，
所以AE= DE2+AD2= 22+42=2 5，
因为将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
所以∠ACB=90°，AC=BC，
由【探究证明】在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
所以△ACE≌△BCD(SAS)知BD=AE，
所以BD=2 5．
凳子的数量n
1
2
3
4
…
叠放的凳子总高度ℎ
45
50
55
60
…