2023-2024学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x(x−1)≤0}，则A∩B=( )
A. ⌀B. {0}C. {1}D. {0,1}
2.命题p：∀x∈R，都有ex>1，则命题p的否定为( )
A. ∃x∈R，使得ex≤1B. ∀x∈R，都有ex<1
C. ∃x∈R，使得ex>1D. ∀x∈R，都有ex≤1
3.函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为( )
A. −3B. 34C. 54D. 5
4.不等式x2+ax+4<0的解集为空集，则a的取值范围是( )
A. [−4,4]B. (−4,4)
C. (−∞,−4]∪[4,+∞)D. (−∞,−4)∪(4,+∞)
5.从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，不同方法的种数是( )
A. C73B. A73C. 37D. 73
6.已知一组样本数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为y=0.85x−85.7，则在样本点(165,57)处的残差为( )
A. −2.45B. 2.45C. 3.45D. 54.55
7.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量X～N(μ,σ2)，可以证明，对给定的k∈N∗，P(μ−kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩ξ基本服从正态分布ξ～N(105,102).若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为( )
A. 341B. 477C. 498D. 683
8.某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书.到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为( )
A. 15B. 14C. 13D. 38
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列说法正确的是( )
A. 1a−c>1b−cB. a−c>2bC. a2>b2D. ab+bc>0
10.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=10，则p=13
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是12
C. 已知An2=Cn3，则n=8
D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为4591
11.已知函数f(x)=x2ex,x<1exx2,x≥1，给出下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)存在4个极值点
B. f′(52)>f′(12)>f′(32)
C. 若点P(x1,y1)(x1<1)，Q(x2,y2)(x2≥1)为函数f(x)图象上的两点，则f(x1)−f(x2)<4e−e24
D. 若关于x的方程[f(x)]2−2af(x)=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(2e2,e28)∪(e2,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当x<54时，f(x)=4x−2+14x−5的最大值是______．
13.二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4= ______，a1+a3+a5= ______．
14.一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元.为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如表：
(Ⅰ)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
(Ⅱ)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，Y为这3件产品的利润总额．
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望EY．
16.(本小题15分)
如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数(单位：亿)的折线图．
注：年份代码1−9分别对应年份2014−2022．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数(结果精确到0.01)加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，并预测2023年我国65岁及以上老人人口数(单位：亿)．
参考数据：i=19yi=15.41,i=19tiyi=82.57, i=19(yi−y−)2=0.72, 15≈3.873．
参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t−)(yi−y−) i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2=i=1ntiyi−nt−y− i=1n(ti−t−)2 i=1n(yi−y−)2．
回归方程y​=a​+b​t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b​=i=1n(ti−t−)(yi−y−)i=1n(ti−t−)2，a​=y−−b​t−．
17.(本小题15分)
为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−2，g(x)=x2−mx+4(m∈R)．
(Ⅰ)当m=4时，求不等式g(x)>f(x)的解集；
(Ⅱ)若对任意x∈R，不等式g(x)>f(x)恒成立，求m的取值范围；
(Ⅲ)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得g(x1)=f(x2)，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x2−mx−1，g(x)=xlnx−1．
(Ⅰ)若f(x)在区间(−2,1)上恰有一个极值点，求实数m的取值范围；
(Ⅱ)求g(x)的零点个数；
(Ⅲ)若m=1，求证：对于任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)≥g(x)．
答案解析
1.D
【解析】解：A={−1,0,1}，B={x|x(x−1)≤0}={x|0≤x≤1}，
则A∩B={0,1}．
故选：D．
2.A
【解析】解：p：∀x∈R，都有ex>1，
则命题p的否定为：∀x∈R，都有ex≤1．
故选：A．
3.B
【解析】解：因为f(x)=x+1x，则f′(x)=1−1x2，
所以f′(2)=1−122=34．
因此函数f(x)=x+1x在x=2处的切线斜率为34．
故选：B．
4.A
【解析】解：∵不等式x2+ax+4<0的解集为空集，∴△=a2−16≤0⇒−4≤a≤4．
故选A．
5.B
【解析】解：从7本不同的书中选3本送给3个人，每人1本，
则有C73A33=A73．
故选：B．
6.A
【解析】解：把x=165代入y =0.85x−85.7，得y =0.85×165−85.7=54.55，
则在样本点(165,57)处的残差为54.55−57=−2.45．
故选：A．
7.B
【解析】解：ξ基本服从正态分布ξ～N(105,102)，则μ=105，σ=10，
则125=105+20，符合2σ原则，
则P(105<ξ<125)=12P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=12×0.9545，
则1000名考生成绩在(105,125)的考生人数大约为：1000×12×0.9545≈477．
故选：B．
8.B
【解析】解：记事件A：从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，
记事件B2：丢失的一箱是语文书，事件B2：丢失的一箱是数学书，事件B3：丢失的一箱是英语书，
则P(A)=i=13P(Bi)P(A|Bi)=12×4×3C92+310×5×2C92+15×5×3C92=13，
P(AB3)=P(B3)P(A|B3)=15×5×3C92=112，
由贝叶斯公式可得P(B3|A)=P(AB3)P(A)=112×3=14．
故选：B．
9.BC
【解析】解：对于A，∵a>b>c，
∴a−c>b−c>0，
∴1a−c<1b−c，A错误；
对于B，∵a>b>c，a+b+c=0，
∴a>0，c<0，
∴b+c=−a<0，a−b>0，
∴a−b>b+c，即a−c>2b，B正确；
对于C，∵a−b>0，a+b=−c>0，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)>0，即a2>b2，C正确；
对于D，ab+bc=b(a+c)=−b2≤0，D错误．
故选：BC．
10.BC
【解析】解：对于选项A，已知随机变量X～B(n,p)，
又E(X)=30，D(X)=10，
则np=30，np(1−p)=10，
即p=23，
即选项A错误；
对于选项B，两位男生和两位女生随机排成一列，
则两位女生不相邻的概率是23A22AA44=12，
即选项B正确；
对于选项C，已知An2=Cn3，
则n(n−1)=n(n−1)(n−2)6，
则n=8，
即选项C正确；
对于选项D，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，
则取得2件次品的概率为24C101CC143=1591，
故选项D错误，
故选：BC．
11.ACD
【解析】解：当x<1时，f(x)=x2ex，
可得f′(x)=(x2+2x)ex=x(x+2)ex，
当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当−2当00，f(x)单调递增；
当x≥1时，f(x)=exx2，
可得f′(x)=(x−2)exx3，
当1当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在(−∞,−2)，(0,1)，(2,+∞)上单调递增，在(−2,0)，(1,2)上单调递减，
则函数f(x)的极大值点为−2，1，极小值点为0，2，共4个，故选项A正确；
因为f′(12)=54e12>1，f′(52)=4e52125<4×352125<4×33125<1，
即f′(12)>f′(52)，故选项B错误；
因为f(x)在x=−2处取得极大值，极大值f(−2)=4e2，
又f(1)=e，
当x<0时，f(x)>0恒成立，
所以当x1<1时，0≤f(x)因为f(x)在x=2处取得极小值f(2)=e24，
所以当x2≥1时，f(x2)≥f(2)=e24，
此时f(x1)−f(x2)因为[f(x)]2−2af(x)=0，
解得f(x)=0或f(x)=2a，
若f(x)=0，
解得x=0，
所以关于x的方程[f(x)]2−2af(x)=0有两个不相等的实数根，
当且仅当方程f(x)=2a有一个非0实根，
易知当4e2<2ae时，直线y=2a(a≠0)与函数y=f(x)的图象有一个公共点，
解得2e2e2，
则满足条件的实数a的取值范围为(2e2,e28)∪(e2,+∞)，故选项D正确．
故选：ACD．
12.1
【解析】解：∵x<54，∴4x−5<0，
∴f(x)=4x−2+14x−5=4x−5+14x−5+3，
令t=4x−5，则t<0，
∴y=t+1t+3，
由对勾函数的性质可知，y=t+1t+3在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减，
∴y的最小值为−1+(−1)+3=1，
即f(x)的最小值为1．
故答案为：1．
13.80 122
【解析】解：根据二项式的展开式Tr+1=C5r⋅2r⋅xr(r=0,1,2,3,4,5)，
令r=4，故a4=C54⋅24=80；
令x=1，故a0+a1+a2++a5=35，①，
令x=−1，故a0−a1+a2−a3+...−a5=−1，②，
①−②得：2(a1+a3+a5)=35+1，
故a1+a3+a5=122．
故答案为：80；122．
14.23
【解析】解：设事件A表示“第一次取出黑球”，事件B表示“第二次取出白球”，
则P(A)=410=25，P(AB)=16C41CA102=415，
所以P(B|A)=P(AB)P(A)=41525=23．
故答案为：23．
15.解：(Ⅰ)记Ai(i=1,2)表示“第i件产品是一等品”，
记Bi(i=1,2)表示“第i件产品是二等品”，
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，
此时C=A1B2+A2B1，
易知P(Ai)=12，P(Bi)=310，
则P(C)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=12×310+12×310=310；
(Ⅱ)①若从流水线上随机抽取3件产品，
则X的所有取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=12×12×12=18，P(X=1)=C31×12×12×12=38，P(X=2)=C32×12×12×12=38，P(X=3)=12×12×12=18，
所以X的分布列：
②EY=225．
【解析】(Ⅰ)由题意，记Ai(i=1,2)表示“第i件产品是一等品”，记Bi(i=1,2)表示“第i件产品是二等品”，记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”，结合所给信息代入公式求解即可．
(Ⅱ)①得到X的所有取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
②结合①中信息代入公式进行求解即可．
16.解：(1)由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为i=19yi=15.41,i=19tiyi=82.57， i=19(yi−y−)2=0.72，所以y−=i=19yi9=15.419，
t−=1+2+3+4+5+6+7+8+99=5，i=19(ti−t−)2=(1−5)2+(2−5)2+……+(9−5)2=60，
所以i=19(ti−t−)(yi−y−)=i=19tiyi−9t−y−=82.57−9×5×15.419=5.52，
r≈5.522×3.873×0.72≈0.99，
∵0.99>0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系．
(2)由(1)，结合题中数据可得，
b =i=19(ti−t−)(yi−y−)i=19(ti−t−)2=i=19tiyi−9t−y−i=19(ti−t−)2=5.5260=0.092，
y−=i=19yi9=15.419≈1.712，
a =y−−b t−=1.712−0.092×5≈1.25，
∴y关于t的回归方程y =0.09t+1.25，
2023年对应的t值为10，故y =0.09×10+1.25=2.15，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿．
【解析】(1)结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
(2)根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计．
17.解：(1)零假设为H0：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
χ2=200×(45×80−20×55)2100×100×65×135≈14.245>6.635，
根据小概率α=0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联；
(2)令A1=“每天长时间使用电子产品的学生”，A2=“每天非长时间使用电子产品的学生”，
B=“任意调查一人，此人近视”，
则Ω=A1∪A2，且A1，A2互斥，
P(A1)=0.3，P(A2)=0.7，P(B|A1)=0.6，P(B)=0.46，
依题意，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.3×0.6+0.7×P(B|A2)=0.46，
解得P(B|A2)=0.4，
所以从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生患近视的概率为0.4．
【解析】(1)计算χ2，对照临界值即可得出结论；
(2)设令A1=“每天长时间使用电子产品的学，A2=“每天非长时间使用电子产品的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，利用全概率公式计算即可．
18.解：(Ⅰ)当m=4时，由x2−4x+4>x−2得x2−5x+6>0，
即(x−3)(x−2)>0，解得x<2或x>3．
所以不等式g(x)>f(x)的解集为{x|x<2或x>3}．
(Ⅱ)由g(x)>f(x)得x2−mx+4>x−2，
即不等式x2−(m+1)x+6>0的解集是R．
所以(m+1)2−24<0，解得−2 6−1所以m的取值范围是(−2 6−1,2 6−1)．
(Ⅲ)当x2∈[4,5]时，f(x2)=x2−2∈[2,3]．
又g(x)=x2−mx+4=(x−m2)2+4−m24．
①当m2≤1，即m≤2时，
对任意x1∈[1,2]，g(x1)∈[5−m,8−2m]⊆[2,3]．
所以m≤2,5−m≥2,8−2m≤3,此时不等式组无解．
②当1对任意x1∈[1,2]，g(x1)∈[4−m24,8−2m]⊆[2,3]．
所以2③当32对任意x1∈[1,2]，g(x1)∈[4−m24,5−m]⊆[2,3]．
所以3④当m2≥2，即m≥4时，
对任意x1∈[1,2]，g(x1)∈[8−2m,5−m]⊆[2,3]．
所以m≥4,5−m≤3,8−2m≥2,此时不等式组无解．
综上，实数m的取值范围是[52,2 2]．
【解析】(Ⅰ)当m=4时，化简不等式x2−5x+6>0，然后求解即可．
(Ⅱ)由g(x)>f(x)，得到不等式x2−(m+1)x+6>0的解集是R.利用判别式转化求解即可．
(Ⅲ)g(x)=x2−mx+4=(x−m2)2+4−m24.通过m的取值，转化求解即可．
19.解：(Ⅰ)已知f(x)=x2−mx−1，函数定义域为R，
可得f′(x)=2x−m，
当x当x>m2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=m2时，函数f(x)取得极小值，
若f(x)在区间(−2,1)上恰有一个极值点，
此时−2解得−4则实数m的取值范围为(−4,2)；
(Ⅱ)已知g(x)=xlnx−1，函数定义域为(0,+∞)，
可得g′(x)=lnx+1，
当0当x>1e时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以当x=1e时，函数g(x)取得极小值，
当0即xlnx−1<0，
此时函数g(x)在(0,1e)上无零点；
当x>1e时，
易知g(1e)=−1e−1<0，g(e)=e−1>0，
所以函数g(x)在(1e,+∞)上存在唯一一个零点，
综上，g(x)有1个零点；
(Ⅲ)证明：若m=1，
此时f(x)=x2−x−1，
若对于任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)≥g(x)，
此时x2−x−1≥xlnx−1在x>0上恒成立，
即证x−1−lnx≥0，
不妨设ℎ(x)=x−1−lnx，函数定义域为(0,+∞)，
可得ℎ′(x)=1−1x=x−1x，
当0当x>1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
所以当x=1时，函数ℎ(x)取得极小值也是最小值，最小值ℎ(1)=0，
则∀x∈(0,+∞)，x−1−lnx≥0，
故对于任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)≥g(x)．
【解析】(Ⅰ)由题意，对函数f(x)进行求导，利用导数即可得到函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)对函数g(x)进行求导，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可；
(Ⅲ)将m=1代入函数f(x)的解析式中，将求证对于任意x∈(0,+∞)，恒有f(x)≥g(x)，转化成求证x−1−lnx≥0恒成立，构造函数ℎ(x)=x−1−lnx，对函数ℎ(x)进行求导，利用导数得到函数ℎ(x)的单调性和最值，进而即可求证．产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量(件)
50
30
20
长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
45
55
未近视
20
80
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
0
1
2
3
P
18
38
38
18