2025年高考数学二轮复习-3.3-导数的简单应用【课件】

这是一份2025年高考数学二轮复习-3.3-导数的简单应用【课件】，共59页。PPT课件主要包含了CONTENTS，考情分析，导数的几何意义，专题检测，A组小题提速练，ln2，B组小题保分练，ln2－1等内容，欢迎下载使用。
2．(2023·全国乙卷)(函数的极值)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　)A．a＜b B．a＞bC．ab＜a2 D．ab＞a2解析：当a＞0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图①所示，观察可知b＞a.当a＜0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图②所示，观察可知a＞b.综上，可知必有ab＞a2成立．故选D.
3．(2023·新高考全国Ⅰ卷)(函数的最值)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．解析：函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
综上，f(x)min＝1.
4．(2024·新高考Ⅰ卷)(导数的几何意义)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________________________．
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
1．四个易误导数公式(1)(sin x)′＝cs x；(2)(cs x)′＝－sin x；(3)(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)；
2．利用导数研究函数的单调性(1)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(2)若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
3．利用导数研究函数的极值、最值(1)若f′(x0)＝0且在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值；(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．4．常用结论(1)在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件；(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零；(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
易错提醒　(1)求复合函数的导数时分不清函数的层次致误；(2)导数与函数单调性的充分必要条件理解不清致误；(3)导数与极值关系运用不当致误．
【例1】　(1)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　)A．(1，3)　　　　　　　B．(－1，3)C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3)解析　f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)．经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上．故选C．
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．
|方法总结|求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．　
1．曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为(　　)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：由题意可知y′＝2cs x－sin x，则y′|x＝π＝－2.所以曲线y＝2sin x＋cs x在点(π，－1)处的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y＋1－2π＝0，故选C．2．已知函数f(x)＝x3－5x＋a，直线2x＋y＋b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a＋b的值为________．解析：f′(x)＝3x2－5，令f′(x)＝－2，解得x＝±1.当x＝1时，切点为(1，a－4)，则－4＋a＝－2－b，解得a＋b＝2；当x＝－1时，同理可得a＋b＝－2.又a，b均为正实数，所以a＋b>0，即a＋b＝2.
【例2】　(1)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且函数f(x)的图象如图所示，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 (　　)
利用导数研究函数的单调性
解析　由图可知函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，则当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，且f′(－1)＝0.对于函数y＝xf′(x)，当x∈(－∞，－1)时，xf′(x)＞0，当x∈(－1，0)时，xf′(x)＜0，当x∈(0，＋∞)时，xf′(x)＞0，且当x＝－1时，xf′(x)＝0，当x＝0时，xf′(x)＝0，显然选项C符合，故选C．
(2)(多选)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，则使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－3) B．(－3，0)C．(0，3) D．(3，＋∞)
解析　∵f(x)，g(x)分別是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝－h(x)，故h(x)＝f(x)·g(x)为R上的奇函数，∵当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，∴h(x)＝f(x)·g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，∴奇函数h(x)在区间(0，＋∞)上也单调递减，作出h(x)的草图，如图所示，由g(－3)＝0，∴h(－3)＝－h(3)＝0，∴当x∈(－3，0)∪(3，＋∞)时，h(x)＝f(x)·g(x)＜0，故选B、D.
|方法总结|利用导数研究函数单调性的常见题型及求解策略(1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)0，b>a>0，k，a，b为常数，对于某一种药物k＝4，a＝1，b＝2.(1)口服药物后________小时血液中药物浓度最高；
(2)这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度f(n)如下表：
一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次服药的时间是________(时间以整点为准)．
解析：由题可知，病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第二次服药时间在11：00.第一次服药7个小时后药物浓度为0.116 3，此时为第二次服药后4个小时，药物浓度为0.468 0，而0.116 3＋0.468 0＝0.584 3>0.5；第一次服药8个小时后的药物浓度为0.072，此时为第二次服药后5个小时，药物浓度为0.301 0，而0.072＋0.301 0＝0.373 0