2023-2024学年湖南省长沙市长沙县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长沙县九年级上学期数学期中试题及答案，共28页。

2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示；
4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁；
5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本试卷时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
由定义可判定A、C、D选项的图形不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项的图形是中心对称图形，符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的顶点式，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是．
3. 如图，点A，B，C在上，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理解答即可.
【详解】解：∵，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据进行计算判断即可得到答案．
【详解】解：，
，
一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．
5. 如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
6. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，
故选B．
7. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则为（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握．
8. △ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（ ）
A. 60°B. 40°C. 80°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BDE的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC与⊙O交于D、E、C、B，
∴四边形BCED是圆内接四边形．
∴∠C+∠BDE＝180°．
∵∠C=60°，
∴∠BDE＝180°﹣60°＝120°．
∵∠A=40°，
∴∠AED＝∠BDE-∠A=120°﹣40°＝80°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键．
9. 如图，与相切于点与相交于点，若，则的半径为（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据切线性质，利用勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：∵与相切于点，
∴，
∴，
设的半径长为，
由勾股定理得，解得，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，涉及勾股定理，熟练掌握圆的性质，数形结合列方程是解决问题的关键．
10. 如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（ ）
①点在上；②；③；④当时，与相切．

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】A
【解析】
【分析】可证得和是等边三角形，可推出，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出，进一步得出③正确；根据等边三角形及题意得出，和重合，即可判断④．
【详解】解：，，
是等边三角形，
同理可得，是等边三角形，
①是等边三角形，
，
∴点在上，故①正确，
，
，
在和中，
，故②正确，
③由②知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，故③正确，
④如图，

过点O作于C，
等边三角形，
，
，，
垂直平分，
∴，
，
，
和重合，
，
是的切线，故④正确，
综上所述：①②③④均正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是作出辅助线，熟练掌握运用有关基础知识．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 一元二次方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用直接开方法解该方程即可．
【详解】解：，
，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤是解题关键．
12. 设抛物线经过点，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴经过点，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查抛物线上的点的特征求未知数，理解题意是解题关键．
13. 如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】4 cm2
【解析】
【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．
∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的，因而图中阴影部分的面积之和为4cm2．
故答案为4cm2．
【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
14. 在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】每一队需要与其余的个队比赛一场，且参赛的每两个队之间只比赛一场，因此有个队参赛，比赛场数为场，据此列方程即可.
【详解】解：设共有个队参赛，根据题意，可列方程
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住比赛场数问题的等量关系是解题的关键.
15. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”
答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是______步

【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理求得斜边长，分别连接圆心与三个切点，设内切圆的半径为，利用面积相等得到关于的方程，可求得内切圆的半径，即可求解．
【详解】解：如下图：连接圆心和三个顶点以及三个切点，

由题意可得：，，
则，
，
设内切圆的半径为，则
，
即，
解得，
则内切圆的直径为步．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形的内切圆，连接圆心和切点以及圆心和三个顶点，把三角形的面积分成三个三角形的面积，得到关于的方程是解题的关键．
16. 如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，于点，交⊙于点．若，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，根据圆周角定理和切线的性质证明，，继而证明，得到，代入已知线段，求出，再利用勾股定理即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，．
则，
又，
∴，
∵为直径，
∴，
∵直线与⊙相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍），即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值和乘法，再计算加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、二次根式的乘法运算．掌握实数的混合运算法则是解题关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣3）、C（4，﹣4），
（1）作出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）详见解析；（2）A1（﹣2，1）、B1（﹣1，3）、C1（﹣4，4）．
【解析】
【分析】（1）根据中心对称的定义作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接可得；
（2）由所作图形可得点的坐标．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知点A1的坐标为（﹣2，1）、B1的坐标为（﹣1，3）、C1的坐标为（﹣4，4）．
【点睛】此题考查了作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的定义和性质是解本题的关键．
19. 已知二次函数．
（1）求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴都有两个交点；
（2）若该二次函数图象的对称轴为轴，求它与轴的交点坐标．
【答案】（1）见解析 （2），
【解析】
【分析】（1）根据题意可求出二次函数相关一元二次方程的根的判别式，即证明无论为何值，该二次函数的图象与轴都有两个交点；
（2）根据二次函数的对称轴公式可求出k的值为0，即得出该二次函数为，令，解出x的值，即得出它与轴的交点坐标．
【小问1详解】
解：令，则，
∴，
∴一元二次方程，无论为何值，都有两个不相等的实数根，
∴二次函数，无论为何值，其图象与轴都有两个交点；
【小问2详解】
解：∵该二次函数图象的对称轴为轴，
∴，
解得：，
∴该二次函数为．
令，则，
解得：，，
∴它与轴的交点坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，二次函数的对称轴公式．掌握二次函数与x轴交点问题转化为时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系是解此题的关键，是一个比较典型的题目．
20. 如图，△中，点在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
（1）若，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质可得：，再由，可得，可证明，即可得出结果；
（2）根据等腰三角形的性质可得，从而得到，再由全等三角形的性质可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：根据旋转性质得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
21. 如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点，连接．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由等边对等角得出，由角平分线的定义得出，即得出，可证，结合题意即可证，得出直线是的切线；
（2）结合题意可求出，即得出，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得出，，从而得出．由直径所对圆周角为直角得出，即可求出，进而可求出．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
∵，即，
∴，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵为直径，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴（舍去负值），
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22. 近年来，在物联网场景下，工业“数字孪生”技术成为一个研究热点，其利用数字技术对物体、系统、流程的信息进行实时映射，完成虚拟仿真过程，从而显著减轻工业领域技术创新和决策优化研究中面临的重资产和高成本负担，某企业准备借助“数字孪生”技术对，两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资项目一年后的收益（万元）与投入资金（万元）的函数表达式为：，投资项目一年后的收益（万元）与投入资金（万元）的函数表达式为：．
（1）若将10万元资金投入项目，一年后获得的收益是多少？
（2）若对，两个项目投入相同的资金万元，一年后两者获得的收益相等，则的值是多少？
（3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到，两个项目中，当，两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】22. 一年后获得的收益是20万元
23.
24. 当项目投入28万元，B项目投入4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是80万元．
【解析】
【分析】（1）将代入求解即可；
（2）联立，，解出x的值即得出答案；
（3）设一年后获得的收益之和为w，投入B项目万元，则投入A项目万元，根据题意可求出w与的关系式，再结合二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：将代入，得：，
答：一年后获得的收益是20万元；
【小问2详解】
解：由题意可知，即，
解得：（舍），，
∴，两个项目投入相同的资金为8万元，即；
【小问3详解】
解：设一年后获得的收益之和为w，投入B项目万元，则投入A项目万元，
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为80．
．
答：当项目投入28万元，B项目投入4万元，一年后获得的收益之和最大，最大值是80万元．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用．理解题意，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
23. 新定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦．

（1）如图1，，是⊙的等垂弦，，，垂足分别为，．求证：四边形是正方形；
（2）如图2，弦与弦交于点，，．
①求证：，是⊙的等垂弦；
②连接，若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据垂直的定义及等垂弦定义推出四边形是矩形，根据垂径定理得出，即可判定矩形是正方形；
（2）①连接，由圆心角、弦的关系及全等三角形的判定和性质可得，由圆周角定理可得，，可得结论；
②连接并双向延长交于点F，交于点G，根据题意得出为等腰直角三角形，再由垂直平分线的判定和性质得出，利用平行线的判定和性质及全等三角形的判定和性质即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，是的等垂弦，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，是的等垂弦，
∴，
∵，，
∴，
∴矩形是正方形；
【小问2详解】
①证明：连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴、是的等垂弦．
②连接并双向延长交于点F，交于点G，如图所示：

由①得，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质及勾股定理解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
24. 对于一个函数，如果存在实数，使得当函数的自变量为时，函数值也是，我们称该函数为智能函数，点为智能函数上的智能点．
（1）判断函数是否为智能函数；
（2）二次函数与轴交于，两点，且，若无论为何值，该函数都是智能函数，求的取值范围；
（3）在第（）问的前提下，若、为函数上的智能点，且、关于直线对称，求的最小值．
【答案】（1）函数为智能函数；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据题意，找出智能点即可求解；
（）把二次函数转化为一元二次方程根与系数之间的关系即可；
（）根据求函数的最值即可．
【小问1详解】
是智能函数，理由：
设智能点，
当时，，解得，
∴当函数的自变量为时，函数值也是，即智能点，
∴函数为智能函数；
【小问2详解】
令时，，
∵二次函数与轴交于，两点，
∴，，
∴，则有，
∴二次函数为，
∵恒有智能点，
∴方程有解，
即，恒成立，
设，
∴，
，
，
∵，无论为何值，该函数都是智能函数，
∴，
∵，
∴的取值范围为；
小问3详解】
设方程的两个根为，，
整理得：
则，
∵、为函数上的智能点，
∴由题意可得、两点的直线为，
∵、关于直线对称，，
∴，且中点在该直线上，
∴设中点，代入可得：，
则，
令，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∴的最小值为．
【点睛】此题考查了二次函数和一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数和一元二次方程及其应用．
25. 二次函数（、、是常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，图象顶点为点，经过点、、三点，且．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若，求的面积；
（3）若直线与相切，求的值．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）不妨设（时情况类似），由抛物线的对称性知，且平分，则，由，得，即，从而问题得证；
（2）求出抛物线与x轴两个交点的距离及顶点坐标，设直线交轴于点，则可分别求得，由可求得，则可得，即可求得的面积；
（3）设直线切于点N，与抛物线对称轴交于点F，连接，设圆的半径为r；则可得，另一方面可得，即有；由题意得都是等腰直角三角形，则易得，，，即，消去r，即可得与的关系，而，由此可求得结果．
【小问1详解】
证明：不妨设，连接，如图所示，（时情况类似），

依题意，得，且平分，
∴，
，
，
∴，
为等边三角形；
【小问2详解】
解：时，二次函数的解析式为：，
当时，，
设，
由求根公式得：，，
则，
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，，
故顶点，
如（1）中图，设直线交轴于点，

为等边三角形，，
，
，，
∴，
，
，
，，
，
，
，
故；
【小问3详解】
解：设直线切于点N，与抛物线对称轴交于点F，连接，设圆的半径为r，如图；

由（2）知，，则，
∴，
设的两个解为，
由求根公式得：，，
则，
∴；
∵直线是二、四象限的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
即，
∵，且，
∴．
【点睛】本题考查二次函数综合、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数关系、等腰直角三角形的性质、勾股定理，圆的切线性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．同时本题有较大的运算量，对学生的运算能力提出了更高的要求．