2022-2023学年河南省南阳市南召县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河南省南阳市南召县八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. D. 不能确定
2. 清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为．( )
A. B. C. D.
3. 计算的结果是( )
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中，位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5. 如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个分式的值( )
A. 不变B. 是原来的倍C. 是原来的倍D. 是原来的
6. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于、的二元一次方程组的解是( )
A.
B.
C.
D.
7. 若关于的方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 反比例函数的图象经过、、、，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接、，若的面积是，则的值( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若分式有意义，则的取值范围为 ．
12. 写出一个随增大而增大的一次函数的解析式：______．
13. 化简的结果是______ ．
14. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点的对应点的坐标为______．
15. 甲、乙两个工程队完成某项工程，首先是甲单独做了天，然后乙队加入合做，完成剩下的全部工程，设工程总量为单位，工程进度满足如图所示的函数关系，那么实际完成这项工程所用的时间比甲单独完成这项工程所需时间少______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
16. 某运动鞋专卖店通过市场调研，准备销售、两种运动鞋，其中种运动鞋的进价比运动鞋的进价高元，已知鞋店用元购进运动鞋的数量与用元购进运动鞋的数量相同．
求两种运动鞋的进价；
若运动鞋的售价为元双，运动鞋的售价是元双，鞋店共进货两种运动鞋双，设运动鞋进货双，且，要使该专卖店获得最大利润，应如何进货？
四、解答题（本大题共7小题，共65.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
解方程：．
18. 本小题分
先化简：，再从，和中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．
19. 本小题分
年月日，中共中央办公厅，国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，学校积极响应“双减”政策，家长积极配合双休日小明和父母一起去北京旅游汽车驶上地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的速度是千米时已知地直达北京的高速公路全程为千米．
汽车距北京的路程千米与汽车在高速公路上行驶的时间时之间的函数关系是______ ；自变量的取值范围是______ ．
画出这个函数的图象．
求汽车在高速公路上行驶小时后，汽车距北京的路程．
20. 本小题分
下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步，
第二步，
第三步，
第四步，
第五步，
第六步．
任务一：
以上化简步骤中，第______ 步是进行分式的通分，通分的依据是______ ．
第______ 步开始出现错误，这一步错误的原因是______ ．
任务二：
请从出现错误的步骤开始继续进行该分式的化简．
任务三：
除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
21. 本小题分
水乃生命之源，节约用水，从我做起某市从今年月日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年月的水费是元，而今年月的水费则是元已知小丽家今年月的用水量比去年月的用水量多，求该市今年居民用水的价格．
22. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上．
在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？不必计算，只提出问题即可
23. 本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．
分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
根据图象，直接写出满足的的取值范围；
连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
直接利用分式的值为零则分子为零、分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可．
4.【答案】
【解析】解：，
，．
在第四象限．
故选：．
根据各个象限点的坐标特点选择即可．
本题考查各个象限中点的坐标特征．熟悉掌握点的特征是突破本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
把中的与都扩大为原来的倍，分式的值不变，
故选：．
依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．由图可知：两个一次函数的交点坐标为；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【解答】
解：函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于，的方程组的解是．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：方程两边都乘，得
最简公分母
原方程增根为，
把代入整式方程，得．
故选C．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
增根确定后可按如下步骤进行：
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8.【答案】
【解析】解：直线过一、三象限，要使两个函数没交点，
那么函数的图象必须位于二、四象限，
那么，则．
故选：．
根据正比例函数及反比例函数的性质作答．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，结合函数图象解答较为简单．
9.【答案】
【解析】解：设该反比例函数解析式为，
则．
把代入得到．
该反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大．
、位于第二象限，且，位于第四象限，
，，
．
故选：．
先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点的横坐标判断出各点所在象限，由函数图象在各象限内的增减性即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出反比例函数的图象所在的象限及在各象限内的增减性是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接，，与轴交于点，
轴，点在曲线上，点在曲线上，
，，
，
，
．
故选：．
根据轴可以得到，转换成反比例函数的问题即可解答．
此题考查了利用待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，熟记反比例函数面积与的关系是解本题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得．
解得，
故答案为：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】
【分析】
此题比较简单，考查的是一次函数的性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
根据一次函数的性质，只要使一次项系数大于即可．
【解答】
解：例如：，或等，答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
13.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，计算即可．
本题考查了分式的除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，
，
，
，
在与中，
，
≌
，，
，
，，
，
设反比例函数的解析式为，
将代入，
，
，
把代入，
，
当顶点恰好落在该双曲线上时，
此时点移动了个单位长度，
也移动了个单位长度，
此时点的对应点的坐标为
故答案为．
过点作轴于点，易证≌，从而可求出的坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据解析式与的坐标即可得知平移的单位长度，从而求出的对应点．
本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，平移的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
15.【答案】天
【解析】解：甲的工作效率是，
甲完成总工程需要天，
甲乙合作的工作效率是，
实际完成这项工程所用的时间是天
天，
故答案为：天．
首先求出甲的工作效率，再求出甲完成总工程需要的时间，根据图象再求出甲乙合作的工作效率，进一步求出实际完成这项工程所用的时间，相减即可得到答案．
本题主要考查了数学公式工作效率工作总量工作时间的灵活运用，能根据图象提供的数据进行计算是解此题的关键，题型较好．
16.【答案】解：设种运动鞋的进价为元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：运动鞋的进价为元双，运动鞋的进价是元双；
设总利润为元，
则，
，随的增大而增大，
又，
当时，取得最大值，，
答：要使该专卖店获得最大利润，此时应购进甲种运动鞋双，购进乙种运动鞋双．
【解析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得两种运动鞋的进价，注意分式方程要检验；
根据题意可以列利润与的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用一次函数的性质解答．
17.【答案】解：原式
；
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：将代入可得，
则是分式方程的增根，
故原分式方程的无解．
【解析】根据实数相关运算法则进行计算即可；
根据解分式方程的步骤解方程即可．
本题主要考查实数的混合运算及解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
18.【答案】解：
，
当，或时，原分式无意义，
，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从，，和中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子，即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
当时，，解得．
．
故答案为：，．
当时，；当时，．
坐标和所表示的点在这个函数的图象上，由描点法可画出这个函数的图象．
当时，．
汽车在高速公路上行驶小时后，汽车距北京的路程为千米．
根据题意可得与的函数关系式，在和当时对应的值之间取值；
根据与的函数关系式，分别得到该函数图象与轴和轴的交点坐标，根据“两点确定一条直线”和的取值范围可画出该函数的图象；
根据与的函数关系式，当时，求出对应的值即可．
本题考查一次函数的应用，正确写出函数的解析式是解答本题的关键．
20.【答案】三 分式的基本性 五 去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号
【解析】解：任务一：化简步骤中，第三步进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：三，分式的基本性质；
第五步开始出现错误，错误原因是去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：五；去括号时，括号前面是“”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：
；
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方成混淆等．
任务一：根据通分的概念及分式的基本性质进行填空；
根据去括号法则进行分析判断；
任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算；
任务三：结合分式的化简求值要求，异分母分式加减法运算法则进行分析解答．
本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．
21.【答案】解：设该市去年居民用水的价格为元，则该市今年居民用水的价格为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
，
答：该市今年居民用水的价格是每立方米元．
【解析】设该市去年居民用水的价格为元，则该市今年居民用水的价格为元，根据小丽家今年月的用水量比去年月的用水量多，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】解：存在这样的点，使周长最小．
因为，，
所以的长为定值．
则当最小时，的周长最小．
作点关于轴的对称点，记作点，
连接与轴的交点，即为取得最小值时点的位置．
由得，，
令：，
则，解得．
所以．
令得，．
所以点的坐标为．
点在轴上运动，点在轴上运动．是否存在点，，使，，，四个点组成的四边形是平行四边形？如果存在，求出点及点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解析】由是定值，则最小即为的周长最小，利用轴对称可解决问题．
根据题意，提出问题即可．
本题考查利用轴对称的性质求和最小的问题，准确作出对称点是解题的关键．
23.【答案】解：把代入得：，
反比例函数的解析式是，
代入反比例函数得：，
的坐标是，
把、的坐标代入一次函数得：，
解得：，，
一次函数的解析式是；
从图象可知：的的取值范围是当或．
过点作轴，交直线于，
，、关于原点对称，
，
把代入得，，
，
，
．
【解析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出的坐标，把、的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
根据函数的图象和、的坐标即可得出答案；
过点作轴，交直线于，求出的坐标，即可求得，然后根据即可求出答案．