河南省南阳市南召县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (含答案)

2022-2023学年河南省南阳市南召县八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在实数、、、、、中，无理数的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列说法不正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 是的一个平方根
C. 的算术平方根是 D. 的立方根是

3. 估算在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设，，则，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

7. 多项式与多项式的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线可以得到≌，所以那么射线就是的平分线．≌的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，现添加以下的哪个条件仍不能判定(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”下列正整数中能称为“好数”的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. ______．
12. 计算：______．
13. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，图中全等的三角形共有______对．

14. 已知多项式除以一个多项式，得商式为，余式为，求这个多项式是______．
15. 在华师大版八年级上册页的综合与实践中，我们学习了代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释．请结合图形，完成下面的实践与探索活动．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图：
    如果选取号，号，号卡片分别为张，张，张，可拼成一个长方形不重叠无缝隙，如图，运用拼图前后面积之间的关系写出算式：______．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. 分解因式：
    ；
    ．
17. ．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，某段河流的两岸是平行的，八班数学兴趣小组在张老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
    在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
    沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
    从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走；
    测得的长为米．
    根据他们的做法，回答下列问题：
    河的宽度是多少米？
    请你证明他们做法的正确性．

20. 已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：
    ≌；
    ．

21. 阅读理解：
    参考上述过程解答：
    
    若，，则______，______；
    若，求的值；
    若，，则______．
22. 在一次数学实践活动中，小明同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为请你直接写出，，之间的关系；并说明理由．

23. 已知，在中，，，点为直线上一动点点不与点、重合，连接，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接．
    如图，当点在线段上时，与的数量关系是______，与的位置关系是______，、、三条线段的数量关系是______．
    如图，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请写出、、三条线段之间的关系并说明理由．
    如图，当运动到的延长线上，且、分别在直线的两侧，若，，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，这些是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，，，共有个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】 

【解析】解：的平方根是，说法正确，选项不符合题意；
B.是的一个平方根，说法正确，选项不符合题意；
C.的算术平方根是，不是，说法错误，选项符合题意；
D.的立方根是，说法正确，选项不符合题意；
故选：．
根据平方根，算术平方根，立方根的定义进行判断便可．
本题考查了平方根，算术平方根，立方根的定义，关键是熟记和正确理解这些概念．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
在与之间．
故选：．
先找到所求的无理数在哪两个和它接近的有理数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
此题考查了估算无理数的大小，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
 

4.【答案】 

【解析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
A、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误．
故选C．

此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键直接利用幂的乘方运算法则结合同底数幂的乘法运算法则求出答案．
【解答】
解：，，
．
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故选：．
根据多项式乘多项式的法则先进行计算，再利用作差法比较、的大小，即可得出答案．
本题主要考查了多项式乘多项式，运用作差法比较大小是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
多项式与多项式的公因式是．
故选：．
分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找它们的公因式．
本题主要考查公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公共因式．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
在和中，
，
≌，
，
射线就是的平分线．
故选：．
根据作图过程可以证明≌，进而可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，作图复杂作图，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理。
欲使，已知，可根据全等三角形判定定理添加条件，逐一证明即可。
【解答】
解：为公共角，
A、如添加，利用即可证明；
B、如添，因为，不能证明，两边一角要想证明全等则角必须为夹角，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添，等量关系可得，利用即可证明；
D、如添，利用即可证明。
故选：。  

10.【答案】 

【解析】解：根据平方差公式得：
．
所以两个连续奇数构造的“好数”是的倍数
，，都不能被整除，只有能够被整除．
故选：．
利用平方差公式计算，得到两个连续奇数构造的“好数”是的倍数，据此解答即可．
本题考查了新概念和平方差公式．熟练掌握平方差公式：是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用同底数幂的乘法的法则及同底数幂的除法的法则进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，且，，，，
在和中，
，，，
≌，
同理可证≌，
在和中，
，，，
≌，
同理可证≌．
故答案为．
利用平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等可证出组全等三角形．
本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可知：


．
故答案为：．
根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算以及加减运算，本题属于基础题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：号卡片的面积为，，号卡片的面积为，号卡片的面积，
由拼图可知，长方形的长为，宽为，因此面积为，
各个部分面积和为，
因此有，
故答案为：．
用代数式表示各个部分的面积，再利用面积之间的和差关系得出答案．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
 

16.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】原式第一项利用单项式乘以单项式法则计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：原式
，
当时，
原式． 

【解析】原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，合并得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：由做法知：，，米，
，
在和中，
，
≌，
米，
即河的宽度是米．
由的求解过程可证明他们的做法是正确的，． 

【解析】将题目中的实际问题转化为数学问题，然后利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可求出河宽并能说明其做法的正确性．
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题．
 

20.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，，
． 

【解析】由与都与垂直，得到一对直角相等，且在直角三角形中，两个锐角互余，再由垂直于，利用平角的定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由，利用即可得证；
由得到≌，利用全等三角形对应边相等得到，，根据，等量代换即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

21.【答案】     

【解析】解：，，
；
；
故答案为：，；
，，
即，，
；
，，
，，
即，
，
，
．
故答案为：．
利用完全平方公式得到；，然后利用整体代入的方法计算；
利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算；
把已知的两等式相加和相减得到和，再把所得的两等式相加得到，则根据完全平方公式得到，然后两边开方得到的值．
本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，理由如下：
根据题意可知：
，
，
． 

【解析】根据图形可得四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积，进而可以解决问题．
此题主要考查了勾股定理的证明，根据图形得到四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积等于大正方形的面积是解题关键．
 

23.【答案】     

【解析】解：，，，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
，，
．
．
，
即；
故答案为：；；；
解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌．
，
；
解：，
，
，
即，
在和中，
，
≌．
，
，
，，
．
由“”可证≌，可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得结论；
由“”可证≌，可得，由线段的关系可得结论；
由“”可证≌，可得，由线段的关系可得结论．
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．