中山市重点中学2022年数学九年级第一学期期末考试试题含解析

这是一份中山市重点中学2022年数学九年级第一学期期末考试试题含解析，共20页。试卷主要包含了反比例函数等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．用16米长的铝制材料制成一个矩形窗框，使它的面积为9平方米，若设它的一边长为x，根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A．B．C．D．
3．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（ ）
A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍
4．如图，为的直径，弦于点，若，，则的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．则△ABC的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
6．反比例函数（x＜0）如图所示，则矩形OAPB的面积是（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
7．掷一枚质地均匀的硬币次，下列说法中正确的是（ ）
A．可能有次正面朝上B．必有次正面朝上
C．必有次正面朝上D．不可能次正面朝上
8．如图，周长为28的菱形中，对角线、交于点，为边中点，的长等于( )
A．3.5B．4C．7D．14
9．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
10．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知，则的值是_______．
12．如图，直线AB与CD相交于点O，OA=4cm，∠AOC=30°，且点A也在半径为1cm的⊙P上，点P在直线AB上，⊙P以1cm/s的速度从点A出发向点B的方向运动_________s时与直线CD相切．
13．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .
14．如图所示，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，2），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是_____．
15．如图，在中，，，，则的长为__________．
16．如图，在中，，是三角形的角平分线，如果，，那么点到直线的距离等于___________.
17．某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰．现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来．请你根据图中数据判断这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？________．（填“会”或“不会”）
18．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已如函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
20．（6分）在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果；
（2）游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在斜边AB上取一点D，使CD=CB，圆心在AC上的⊙O过A、D两点，交AC于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，且AE=2，求CE的长．
22．（8分）如图，一块直角三角板的直角顶点放在正方形的边上，并且使一条直角边经过点．另一条直角边与交于点．求证：．
23．（8分）如图，在电线杆上的点处引同样长度的拉线，固定电线杆，在离电线杆6米处安置测角仪（其中点、、、在同一条直线上），在处测得电线杆上点处的仰角为，测角仪的高为米．
（1）求电线杆上点离地面的距离；
（2）若拉线，的长度之和为18米，求固定点和之间的距离．
24．（8分）如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离（AB）为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求AB与CD之间的距离（结果保留根号）．
（2）求建筑物CD的高度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，）
25．（10分）为了响应国家“大众创业、万众创新”的双创政策，大学生小王与同学合伙向市政府申请了10万元的无息创业贷款，他们用这笔贷款，注册了一家网店，招收了6名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为3500元，该网店每月还需支付其它费用0.9万元．开工后的第一个月，小王他们将该电子产品的销售单价定为6元，结果当月销售了1.8万件．
（1）小王他们第一个月可以偿还多少万元的无息贷款？
（2）从第二个月开始，他们打算上调该电子产品的销售单价，经过市场调研他们得出：如果单价每上涨1元，月销售量将在现有基础上减少1000件，且物价局规定该电子产品的销售单价不得超过成本价的250%．小王他们计划在第二个月偿还3.4万元的无息贷款，他们应该将该电子产品的销售单价定为多少元？
26．（10分）四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张（不放回），再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.
（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；
（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：8-x，根据它的面积为9平方米，即可列出方程式．
【详解】一边长为x米，则另外一边长为：8-x，
由题意得：x（8-x）=9，
故选：B．
【点睛】
此题考查由实际问题抽相出一元二次方程，解题的关键读懂题意列出方程式．
2、A
【分析】根据三视图的法则可得出答案.
【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故符合题意的选项是A.
【点睛】
错因分析 较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.
3、A
【分析】根据正方形的面积公式：s=a2，和积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，由此解答．
【详解】解：根据正方形面积的计算方法和积的变化规律，如果一个正方形的边长扩大为原来的4倍，那么正方形的面积是原来正方形面积的4×4=16倍．
故选A．
【点睛】
此题考查相似图形问题，解答此题主要根据正方形的面积的计算方法和积的变化规律解决问题．
4、C
【分析】根据题意，连接OC，通过垂径定理及勾股定理求半径即可.
【详解】如下图，连接OC，
∵，，
∴CE=4，
∵，，
∴，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了圆半径的求法，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键.
5、C
【分析】先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，解Rt△ADC，得出DC＝1，然后根据三角形的面积公式计算即可；
【详解】在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，
又∵AD＝1，
∴AB＝3，
∵BD2＝AB2﹣AD2，
∴BD．
在Rt△ADC中，
∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝1．
∴BC＝BD+DC＝2+1，
∴S△ABC＝•BC•AD＝×（2+1）×1＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的面积问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
6、D
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|解答即可．
【详解】∵点P在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴S矩形OAPB=|-4|=4，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数上一点向x轴，y轴作垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|是关键．
7、A
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案.
【详解】解：．掷一枚质地均匀的硬币次，可能有2次正面朝上，故本选项正确；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
．掷一枚质地均匀的硬币次，有可能有次正面朝上，故本选项错误；
故选：．
【点睛】
本题考查的知识点是随机事件的概念，理解随机事件的概念是解题的关键.
8、A
【解析】根据菱形的周长求出其边长，再根据菱形的性质得出对角线互相垂直，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【详解】∵四边形是菱形，周长为28
∴AB=7,AC⊥BD
∴OH=
故选：A
【点睛】
本题考查的是菱形的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握菱形的性质是关键.
9、D
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.
10、B
【分析】根据连续奇数的关系用x表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．
【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x＋2
∴
故选B．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】由可设a=k，b=3k，代入中即可.
【详解】解：∵，
∴设a=k，b=3k，代入中，
==.
故答案为：.
【点睛】
本题考查比例线段，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12、1或5
【分析】分类讨论：当点P在射线OA上时，过点P作PE⊥AB于点E，根据切线的性质得到PE=1cm，利用30度角所对的直角边等于斜边一半的性质的OP=2PE=2cm，求出⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，由此得到⊙P运动时间；当点P在射线OB上时，过点P作PF⊥AB于点F，同样方法求出运动时间.
【详解】当点P在射线OA上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，则PE=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PE=2cm，
∴⊙P移动的距离为4-2-1=1cm，
∴运动时间为s；
当点P在射线OB上时，如图，过点P作PF⊥AB于点F，则PF=1cm，
∵∠AOC=30°，
∴OP=2PF=2cm，
∴⊙P移动的距离为4+2-1=5cm，
∴运动时间为s；
故答案为：1或5.
【点睛】
此题考查动圆问题，圆的切线的性质定理，含30度角的直角边等于斜边一半的性质，解题中注意运用分类讨论的思想解答问题.
13、2
【解析】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时（如图），
由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．
14、y＝2x﹣1
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，易知△ACD≌△BAO（AAS），已知A（4，0），B（0，2），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
【详解】解：∵A（4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO＝∠BAO+∠CAD，
∴∠ABO＝∠CAD，
在△ACD和△BAO中
，
∴△ACD≌△BAO（AAS）
∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝4，
∴C（6，4）
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将点A，点C坐标代入得
，
∴
∴直线AC的解析式为y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
【点睛】
本题是几何图形旋转的性质与待定系数法求一次函数解析式的综合题，求得C的坐标是解题的关键，难度中等．
15、6
【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】∵DE∥BC
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴
又
∴BC=6
故答案为6.
【点睛】
本题考查的是相似三角形，比较简单，容易把三角形的相似比看成，这一点尤其需要注意.
16、1
【分析】作DE⊥AB于E，如图，利用勾股定理计算出BC=5，再根据角平分线的性质得DC=DE，然后利用面积法得到 ×5，从而可求出DE．
【详解】作DE⊥AB于E，如图，

在Rt△ABC中，BC= =5，
∵AD是三角形的角平分线，
∴DC=DE，
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，
∴×5，
∴DE=1，
即点D到直线AB的距离等于1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17、不会
【分析】根据斜坡的坡度的定义，求出坡度，即可得到答案．
【详解】∵∆ABC是等腰三角形，AB=AC=13m，AH⊥BC，
∴CH=BC=12m，
∴AH=m，
∴楼顶的坡度=，
∴这一楼顶铺设的瓦片不会滑落下来．
故答案是：不会．
【点睛】
本题主要考查斜坡坡度的定义，掌握坡度的定义，是解题的关键．
18、4π
【解析】根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
【详解】解:∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长=，
故答案为4π.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）函数图象见解析，性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；（3）不等式的解集为或
【分析】（1）根据待定系数法进行求解函数的表达式；
（2）结合（1），将函数的表达式写成分段形式，然后进行画图，进而求解；
（3）结合（2）中的函数图象直接写出不等式的解集．
【详解】解：（1）∵当时，，，
∴，
∴；
（2）由（1）知，，
∴该函数的图象如图所示：
性质：函数图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）由函数图象可知，写出不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查待定系数法求函数的表达式，反比例函数的图象与性质，一元一次不等式与一次函数的关系，学会画函数的图象与运用数形结合的思想是解题的关键．
20、（1）见解析，两数和共有12种等可能结果；（2）游戏对双方公平，见解析
【分析】（1）根据题意列出表格，得出游戏中两数和的所有可能的结果数；
（2）根据（1）得出两数和共有的情况数和其中和小于12的情况数，再根据概率公式分别求出阳光和乐观获胜的概率，然后进行比较即可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意列表如下：
可见，两数和共有12种等可能结果；
（2）∵两数和共有12种等可能的情况，其中和小于12的情况有6种，
∴阳光获胜的概率为
∴乐观获胜的概率是，
∵=，
∴游戏对双方公平．
【点睛】
解决游戏公平问题的关键在于分析事件发生的可能性，即比较游戏双方获胜的概率是否相等，若概率相等，则游戏公平，否则不公平．
21、（1）详见解析；（2）CE=．
【分析】（1）连接OD，由CD=CB， OA=OD，可以推出∠B=∠CDB，∠A=∠ODA，再根据∠ACB=90°，推出∠A+∠B=90°，证明∠ODC=90°，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）连接DE，证明△CDE∽△CAD，得到，结合已知条件，设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，列出方程，求出x，即可求出CE的长度．
【详解】解：（1）连接OD．
∵CD=CB， OA=OD，
∴∠B=∠CDB，∠A=∠ODA．
又∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠ODC=180°-（∠ODA+∠CDB）=90°，
即CD⊥OD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）连接DE．
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=90°，
又∵∠ODC=∠CDE+∠ODE =90°，
∴∠ADO=∠CDE．
又∵∠DCE=∠DCA，
∴△CDE∽△CAD，
∴
∵，AE=2，
∴可设BC=x=CD，则AC=3x，CE=3x-2，
即
解得，
∴CE=3x-2=
【点睛】
本题主要考查了圆的切线证明以及圆与相似综合问题，能够合理的作出辅助线以及找出相似三角形，列出比例式是解决本题的关键．
22、详见解析
【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP．
【详解】证明：四边形是正方形，
．
，
，，
，
．
【点睛】
此题重点考查学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．
23、（1）米（2）米
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，可得四边形ABDH为矩形，根据A处测得电线杆上C处得仰角为30°，在△ACH中求出CH的长度，从而得出CD的长；
（2）然后在Rt△CDE中求出DE的长度，根据等腰三角形的性质，可得出DF=DE，从而得出EF的长．
【详解】解：（1）过作于，由条件知，为矩形，
∴，．
在中，，即，
∴．∴．
∴为米．
（2）∵，，∴，
在中，，，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴、之间的距离为米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．
24、（1）；（2）51m
【分析】（1）作于M，根据矩形的性质得到，，根据正切的定义求出AM；
（2）根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：（1）作于M，
则四边形ABCM为矩形，
，，
在中，，
则，
答：AB与CD之间的距离；
（2）在中，，
则，
，
答：建筑物CD的高度约为51m．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25、（1）0.6万元；（2）2元
【分析】（1）根据利润＝单件利润×数量﹣员工每人每月的工资×员工数﹣其它费用，即可求出结论；
（2）设他们将该电子产品的销售单价定为x元，则月销售量为[12000﹣1000（x﹣6）]件，根据第二个月的利润为3.4万元，即可得出关于x的一元二次方程，即可求解.
【详解】（1）（6﹣4）×12000﹣3500×6﹣9000＝6000（元），
6000元＝0.6万元．
答：小王他们第一个月可以偿还0.6万元的无息贷款．
（2）设他们将该电子产品的销售单价定为x元，则月销售量为[12000﹣1000（x﹣6）]件，
依题意，得：（x﹣4）[12000﹣1000（x﹣6）]﹣3500×6﹣9000＝34000，
整理，得：x2﹣22x+160＝0，
解得：x1＝2，x2＝1．
∵4×250%＝10，1＞10，
∴x＝2．
答：他们应该将该电子产品的销售单价定为2元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据“利润＝单件利润×数量﹣员工每人每月的工资×员工数﹣其它费用”，列出方程，是解题的关键.
26、（1）见解析
（2）P（积为奇数）=
【分析】（1）用树状图列举出2次不放回实验的所有可能情况即可；
（2）看是奇数的情况占所有情况的多少即可．
【详解】（1）
（2）P（积为奇数）=
6
7
8
9
3
9
10
11
12
4
10
11
12
13
5
11
12
13
14