2021-2022学年中山市重点中学中考数学押题卷含解析

这是一份2021-2022学年中山市重点中学中考数学押题卷含解析，共22页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．计算（﹣）﹣1的结果是（　　）
A．﹣ B． C．2 D．﹣2
2．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( )

A．7海里/时 B．7海里/时 C．7海里/时 D．28海里/时
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A．正五边形 B．平行四边形 C．矩形 D．等边三角形
4．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，且OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD的度数是（ ）

A．155° B．145° C．135° D．125°
5．如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　）

A． B．
C． D．
7．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，3)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为(　　)

A．(，) B．(2，) C．(，) D．(，3﹣)
8．如图，已知AB∥CD，DE⊥AF，垂足为E，若∠CAB=50°，则∠D的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
9．如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是以点P为位似中心的位似图形，且顶点都在格点上，则点P的坐标为（　　）

A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣4） C．（﹣3，﹣3） D．（﹣4，﹣4）
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．
12．计算：=_____________.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____．

14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是______．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：_____．

16．已知，如图，正方形ABCD的边长是8，M在DC上，且DM＝2，N是AC边上的一动点，则DN+MN的最小值是_____．

17．关于x的分式方程=2的解为正实数，则实数a的取值范围为_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．

（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．
（2）求乙组加工零件总量的值．
（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
19．（5分）某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问卷调查，调查结果分为“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”三个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)这次调查的市民人数为________人，m＝________，n＝________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该市约有市民100000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．

20．（8分）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表：
生产甲产品件数（件）
生产乙产品件数（件）
所用总时间（分钟）
10
10
350
30
20
850
（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？
（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a件（a为正整数）．
①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；
②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a的取值范围．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，直线y=x+2与双曲线y=相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

23．（12分）如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知∠AEF＝90°．
（1）求证：；
（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，∠AFE＝∠ADC，∠AEF＝90°．
①如图2，若∠AFE＝45°，求的值；
②如图3，若AB＝BC，EC＝3CF，直接写出cos∠AFE的值．

24．（14分）如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．




参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、D
【解析】
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【详解】
解： ，
故选D．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
2、A
【解析】
试题解析：设货船的航行速度为海里/时，小时后货船在点处，作于点.

由题意海里，海里，
在中,
所以
在中,
所以
所以
解得：
故选A.
3、C
【解析】
分析：根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．
详解：A. 正五边形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
B. 平行四边形，是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误.
C. 矩形，既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确.
D. 等边三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误.
故选C.
点睛：本题考查了对中心对称图形和轴对称图形的判断，我们要熟练掌握一些常见图形属于哪一类图形，这样在实际解题时，可以加快解题速度，也可以提高正确率.
4、D
【解析】
解：∵
∴
∵EO⊥AB，
∴
∴
故选D.
5、D
【解析】
【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
【详解】∵∠BDC=90°，∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B=α，
A、在Rt△BCD中，sinα=，故A正确，不符合题意；
B、在Rt△ABC中，sinα=，故B正确，不符合题意；
C、在Rt△ACD中，sinα=，故C正确，不符合题意；
D、在Rt△ACD中，cosα=，故D错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6、B
【解析】
根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7、A
【解析】
解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，），∴AC=OB=，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=×=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=AD=，∴AM=×cos10°=，∴MO=﹣1=，∴点D的坐标为（，）．故选A．

8、B
【解析】
试题解析：∵AB∥CD，且



∴在中，
故选B．
9、A
【解析】
利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度．
【详解】
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米，
BO=AB•sinα=300sinα米．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB，BO的关系是解题关键．
10、A
【解析】
延长A1A、B1B和C1C，从而得到P点位置，从而可得到P点坐标．
【详解】
如图，点P的坐标为（-4，-3）．

故选A．
【点睛】
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、1
【解析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有x个红球，列出方程=20%， 求得x=1.
故答案为1．
点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12、
【解析】
分析：按单项式乘以多项式的法则将括号去掉，在合并同类项即可.
详解：
原式=.
故答案为：.
点睛：熟记整式乘法和加减法的相关运算法则是正确解答这类题的关键.
13、
【解析】
∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA=
∴AB=10
∴．
∵D是AB的中点，∴AD=AB=1．
∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A
∴△ADE∽△ACB，
∴
即
解得：DE=．
14、
【解析】
利用特殊三角形的三边关系，求出AM,AE长，求比值.
【详解】
解：如图所示，设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
如图，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=，
故答案为：.

【点睛】
特殊三角形： 30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是1：：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实际关系.
15、（4，2）．
【解析】
利用图象旋转和平移可以得到结果.
【详解】
解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，
则BD′=OD=2，
∴点D坐标为（4，6）；
当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，
∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），
故答案为（4，2）．

【点睛】
平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.
定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
16、1
【解析】
分析：要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解．
解答：

解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，∴NB=ND，则BM就是DN+MN的最小值，∵正方形ABCD的边长是8，DM=2，∴CM=6，∴BM==1，∴DN+MN的最小值是1．
故答案为1．
点评：考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
17、a＜2且a≠1
【解析】
将a看做已知数，表示出分式方程的解，根据解为非负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．
【详解】
分式方程去分母得：x+a-2a=2(x-1)，
解得：x=2-a，
∵分式方程的解为正实数，
∴2-a>0,且2-a≠1，
解得：a＜2且a≠1．
故答案为：a＜2且a≠1．
【点睛】
分式方程的解．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、 (1)见解析（2）300（3）2小时
【解析】
解：（1）设甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为．
根据题意，得，解得．
所以，甲组加工的零件数量y与时间x的函数关系式为:.
（2）当时，．
因为更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，
所以，．解得．
（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为
．
当0≤x≤2时，．解得．舍去．
当2 当2.8 所以，经过3小时恰好装满第1箱．
当3 当4.8 因为5－3=2，
所以，再经过2小时恰好装满第2箱．
19、 (1)500，12，32；(2)补图见解析；(3)该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A.非常了解”的程度．
【解析】
（1）根据项目B的人数以及百分比，即可得到这次调查的市民人数，据此可得项目A，C的百分比；（2）根据对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，补全条形统计图；（3）根据全市总人数乘以A项目所占百分比，即可得到该市对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度的人数．
【详解】
试题分析：
试题解析：（1）280÷56%=500人，60÷500=12%，1﹣56%﹣12%=32%，
（2）对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的人数为：32%×500=160，
补全条形统计图如下：

（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
20、（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①600-；② a≤1．
【解析】
（1）设生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要x分钟、y分钟，根据图示可得：生产10件甲产品，10件乙产品用时350分钟，生产30件甲产品，20件乙产品，用时850分钟，列方程组求解；
（2）①根据生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间关系即可表示出结果；
②根据“小王四月份的工资不少于1500元”即可列出不等式.
【详解】
（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，由题意得：
，
解这个方程组得：，
答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；
（2）①∵生产一件甲种产品需15分钟，生产一件乙种产品需20分钟，
∴一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件，
所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25×8﹣）=600-；
②依题意：1.5a+2.8(600-)≥1500，
1680﹣0.6a≥1500，
解得：a≤1.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系列出方程组、不等关系列出不等式是解题的关键.
21、（1）y=－x2－2x＋1，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）（2）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为
（，2）或（，2）或（，2）或（，2）
【解析】
解：（1）∵直线y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－1，0），B（0，1）．
∵抛物线y=－x2＋bx＋c经过A、B两点，
∴，解得．
∴抛物线解析式为y=－x2－2x＋1．
令y=0，得－x2－2x＋1=0，解得x1=－1，x2=1，
∴C（1，0）．
（2）如图1，
设D（t，0）．
∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴E（t，t＋1），P（t，－t2－2t＋1）．
PE=yP－yE=－t2－2t＋1－t－1=－t2－1t=－（t+2）2+1．
∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值1，此时P（－2，6）．
（2）存在．如图2，过N点作NH⊥x轴于点H．
设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=15°．
∴NH=AH=1－m，∴yQ=1－m．
又M为OA中点，∴MH=2－m．
当△MON为等腰三角形时：
①若MN=ON，则H为底边OM的中点，
∴m=1，∴yQ=1－m=2．
由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．
∴点Q坐标为（，2）或（，2）．
②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中，
根据勾股定理得：MN2=NH2＋MH2，即22=（1－m）2＋（2－m）2，
化简得m2－6m＋8=0，解得：m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．
∴yQ=2，由－xQ2－2xQ＋1=2，解得．
∴点Q坐标为（，2）或（，2）．
③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中，
根据勾股定理得：ON2=NH2＋OH2，即22=（1－m）2＋m2，
化简得m2－1m＋6=0，∵△=－8＜0，
∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形．所求Q点的坐标为
（，2）或（，2）或（，2）或（，2）．
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标．
（2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值．
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标． “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解．
22、（1）（2）(-6,0)或(-2,0).
【解析】
分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；
（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．
详解：（1）把A点坐标代入y=x+2，可得：3=m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=；
（2）在y=x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．
点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）①；②cos∠AFE＝
【解析】
（1）用特殊值法，设，则，证，可求出CF，DF的长，即可求出结论；
（2）①如图2，过F作交AD于点G，证和是等腰直角三角形，证，求出的值，即可写出的值；②如图3，作交AD于点T，作于H，证，设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，，分别用含x的代数式表示出∠AFE和∠D的余弦值，列出方程，求出x的值，即可求出结论．
【详解】
（1）设BE＝EC＝2，则AB＝BC＝4，
∵，
∴，
∵，
∴∠FEC＝∠EAB，
又∴，
∴，
∴，
即，
∴CF＝1，
则，
∴；
（2）①如图2，过F作交AD于点G，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴∠AGF＝∠C，
又∵，
∴∠GAF＝∠CFE，
∴，
∴，
又∵GF＝DF，
∴；

②如图3，作交AD于点T，作于H，
则，
∴，
∴∠ATF＝∠C，
又∵，且∠D＝∠AFE，
∴∠TAF＝∠CFE，
∴，
∴，
设CF＝2，则CE＝6，可设AT＝x，则TF＝3x，，
∴，且，
由，得，
解得x＝5，
∴．

【点睛】
本题主要考查了三角形相似的判定及性质的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质是解决本题的关键.
24、 (1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.
【解析】
（1）令y=0，得到关于x 的一元二次方程﹣x2﹣x+4=0，解此方程即可求得结果；
（2）先求出直线AC解析式，再作PD⊥AO交AC于D，设P（t，﹣t2﹣t+4），可表示出D点坐标，于是线段PD可用含t的代数式表示，所以S△ACP=PD×OA=PD×4=2PD，可得S△ACP关于t 的函数关系式，继而可求出△ACP面积的最大值．
【详解】
(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4
∴x1=﹣4，x2=2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D

设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
∴AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2
∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
【点睛】
本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法进行求解.