(2024年高考数学新题型秦皇岛二模)2024届河北省秦皇岛市部分高中高三二模数学试题

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是( )
A. 34.5B. 46C. 49D. 52
2.已知集合A={x|3x2−8x+4<0}，B={x|lgx≤0}，则A∪B=( )
A. (23,1]B. [1,2)C. (−∞,2)D. (0,2)
3.已知向量a=(m,2m+3)，b=(1,4m+1)，则“m=−34”是“a与b共线”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csAa+csBb=sinCc，13b2+13c2=10bc+13a2，则tanB的值为( )
A. 712B. 34C. 127D. 43
5.将数列{3n+1}与数列{4n−1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前30项的和为( )
A. 3255B. 5250C. 5430D. 6235
6.已知函数f(x)= 3sinωx+acsωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且f(0)+f(π3)=2，则函数f(x)在下列区间单调递增的是( )
A. (−π6,π4)B. (−5π4,−5π6)C. (π,4π3)D. (5π4,19π12)
7.已知A，B为椭圆C:x29+y25=1上两个不同的点(直线AB与y轴不平行)，F为C的右焦点，且|AF|+|BF|=4，若线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则|FP|=( )
A. 43B. 53C. 54D. 32
8.已知直线y=ax+3(a>0)与函数f(x)=e3x+b的图象相切，则函数f(x)的图象在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为( )
A. e3B. 2e3C. 3e3D. 4e3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知非零复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若|z1−1|=|z2−1|，则|z1|=|z2|
B. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则OZ1⋅OZ2=0
C. 若|z1+z2|=|z1−z2|，则z1⋅z2=0
D. 若|z1+z2|=|z1|+|z2|，则存在实数t，使得z2=tz1
10.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，AB=3，AD=4，AA1=6，点P是棱AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的一点，则下列说法正确的是( )
A. 直线PC与直线C1D所成角的余弦值为3 170170
B. 存在点M，使得MC⊥BD
C. 若点M是棱BB1上的一点，则点M到直线PC的距离的最小值为125
D. 若点M到平面ABCD的距离与到点A1的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
11.已知函数f(x)满足：对∀x，y∈R，都有f(x−y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+y)，且f(0)≠f(2)，则下列说法正确的是( )
A. f(1)=0B. f(0)=0
C. f(x)+f(2−x)=0D. i=12026f(i)=−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某节体育课上，胡老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有__________种.
13.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且|FA|=2|FB|，FA⋅FB=3a2，则C的离心率为__________.
14.已知正三棱台ABC−A1B1C1的所有顶点都在表面积为65π的球O的球面上，且AB=2A1B1=4 3，则正三棱台ABC−A1B1C1的体积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且数列{Sn+2}是公比为2的等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=n+2n(n+1)an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<12.
16.(本小题15分)
羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动.某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联?
(2)为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，BA=BD=BP= 5，CD=1，PA=PD= 2，PA⊥PD，E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，点F是棱PD上的一点.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD;
(2)若直线PC与平面ABF所成角的正弦值为11 35105，求DF的长.
18.(本小题17分)
已知抛物线E:x2=2y的焦点为F，点P是x轴下方的一点，过点P作E的两条切线l1，l2，且l1，l2分别交x轴于M，N两点.
(1)求证：F，P，M，N四点共圆;
(2)过点F作y轴的垂线l，l1，l2分别交l于A，B两点，求△PAB的面积的最小值.
19.(本小题17分)
定义：如果函数y=f(x)和y=g(x)的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=f(x)和y=g(x)具有C关系.
(1)判断函数f(x)=4x−8和g(x)=2x+1是否具有C关系;
(2)若函数f(x)=lnx−ax−1和g(x)=1−x2不具有C关系，求a的取值范围;
(3)若函数f(x)=x(ex−1)和g(x)=x+msinx(m<0)在区间(0,π)上具有C关系，求m的取值范围.
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不喜欢
总计
男生
40
60
100
女生
80
20
100
总计
120
80
200
α
0.100
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828