2023届河北省秦皇岛市部分学校高三二模联考数学试题含解析

这是一份2023届河北省秦皇岛市部分学校高三二模联考数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法几何意义求复数的模.
【详解】由.
故选：B
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求.
【详解】由题设，，或，
所以.
故选：A
3．已知数列满足，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．0C．2D．4
【答案】C
【分析】先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.
【详解】根据题意，可得数列为等差数列，所以，所以，
所以，所以.
故选：C．
4．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由，得，
即函数的单调递减区间为，
令，则函数其中一个的单调递减区间为：
函数在区间内单调递减，
则满足，得，所以的取值范围是.
故选：D.
5．某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为，
故选：C.
6．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】画图分析，构造三角形求出相应的量，利用正弦定理和余弦定理求相应的量，分析点P到平面SAB的距离的最大值即可.
【详解】如图1，
设正三棱锥的底面外接圆的圆心为，外接球的球心为，
为的中点，的外接圆的圆心为，
所以在正三棱锥中有：平面，平面，
因为为等边三角形，
所以为的重心，且边长为3，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以在中，，
设，
所以在中，，
所以，
在中，，
所以，
由正弦定理得：，
又平面，平面，
所以，
所以在中，
，
由图2：
当共线时，点P到平面SAB的距离有最大值为：
，
故选：B.
7．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设根据单调性可得，再利用不等式的性质可得，设，确定其的单调性，即可得，从而可得答案．
【详解】设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，则，即，
所以，于是有，即；
设，，时，，
设，则，时，，
所以是减函数，所以恒成立，
所以在时是减函数，并且，
所以时，，所以．
综上，．
故选：A．
8．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79
B．若随机变量服从二项分布，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
【答案】BCD
【分析】根据百分位数的定义判断A，根据二项分布的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，根据分层抽样的性质判断D.
【详解】对于A，将样本数据按从小到大排列可得，
因为，所以样本数据的第60百分位数为，A错误；
对于B，因为服从二项分布，所以，B正确；
对于C，服从正态分布，因为，所以，
所以，C正确；
对于D，设从高二抽取人，由分层抽样性质可得，所以，
所以高三应抽取的人数为（人），D正确；
故选：BCD.
10．已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确；根据基本不等式计算可得当时，成立，但显然，即D错误.
【详解】对于A，由，可知，，
且，由不等式性质可得，所以，即A错误．
对于B，，
当且仅当，即时取等号，B正确．
对于C，作差可得，
所以，C正确．
对于D，，
当且仅当，即时取等号，显然取不到等号，D错误．
故选：BC．
11．函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则（ ）
A．的图像关于直线对称B．
C．的一个周期为4D．的图像关于点对称
【答案】AC
【分析】根据条件可得，即可判断A，然后可得，即可判断B，由条件可得，即可判断C，举特例可判断D.
【详解】A选项：由，得，又，
所以的图像关于对称，A选项正确；
B选项：由的图像关于点对称，得，由选项结论知，
所以，从而，故，
即的一个周期为4，
因为，
所以B选项错误；
C选项：由，及，
则，得，函数的周期为C选项正确；
D选项：取，又，
与的图像关于点对称矛盾，D选项错误，
故选：AC.
12．已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．当最大时，MN与BC所成的角为
C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等
D．若，则点N的轨迹长度为
【答案】ACD
【分析】首先利用平面的基本性质确定点所在平面，且面面，构建空间直角坐标系，求面的一个法向量，应用向量法求到面的距离，进而求三棱锥的体积判断A；找到最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B；判断，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可判断C；N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，进而求周长判断D.
【详解】过中点作与交，作与交，重复上述步骤，
依次作的平行线与分别交于（注意各交点均为各棱上的中点），
最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形，
因为，面，面，
所以面，同理可得面，
因为，面，所以面面，
所以面中直线都平行于面，又面，且平面，
所以面，即面，
根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，且，，，，，，
A：由上分析知：面任意一点到面的距离，即为到面的距离，
而，，若为面的一个法向量，
所以，令，则，而，
所以到面的距离，即到面的距离为，
又△为等边三角形，则，
所以三棱锥的体积为定值，正确；
B：由图知：当与重合时最大为，且，
所以MN与BC所成的角，即为，错误；
C：由正方体性质，只需判断各侧面的法向量，，与的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，
又，同理可得，
所以正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等，正确；
D：若，则点N的轨迹是以为球心的球体被面所截的圆，
因为面面，故也是面的法向量，而，
所以到面的距离为，故轨迹圆的半径，
故点N的轨迹长度为，正确.
故选：ACD
三、填空题
13．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.
【答案】
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意得到点的坐标，代入求出参数的值，即可得解.
【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，建立直角坐标系，依题意可得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得.
故该抛物线的焦点到准线的距离为cm.
故答案为：
14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
15．2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，设M为的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．
【答案】
【分析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，表示出球的内接正六棱柱体积,利用导数求体积最大值,求得，，利用图形找到截面，求截面面积.
【详解】设正六棱柱的底面边长为a，高为h．
若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱中体积最大者，
所以，即，又，
所以该正六棱柱的体积为．
设，，则，令，得．
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，所以，即，时V取得最大值．
过M作，交于点P，交于点Q，则P，Q分别是，的中点，
又，所以，则矩形ACQP即为平面ACM截该正六棱柱所得的截面．
因为，且，
所以矩形ACQP的面积为．
故答案为：
16．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.
【答案】
【分析】根据题设条件可得为周期为4的偶函数，进而有，目标不等式化为，构造并利用导数研究其单调性，即可求解集.
【详解】由为偶函数知：，又，
所以，即，故为周期为4的偶函数，
所以，
由可化为，
令，则，故在R上递减，又即，
所以，可得解集为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：首先要推出为周期为4的偶函数，再将不等式化为，构造函数研究单调性为关键.
四、解答题
17．在中，角的对边分别为，已知，且.
(1)求的外接圆半径；
(2)求内切圆半径的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
【详解】（1）由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
（2）由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
18．如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，先证明，从而可证得，从而可得点为的内心，即两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得，即可得的坐标，再利用向量法求解即可.
【详解】（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
在和中，因为，
所以，所以，
在和中，，
所以，所以，
即点到的距离相等，
同理点到的距离相等，
所以点为的内心，所以两点重合，
所以平面，
又因平面，
所以平面平面；
（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
设内切圆的半径为，则
即，解得，
故，
则，
则，
设平面的法向量，
则，可取，
设平面的法向量，
则，可取，
则，
由图可得二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19．随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：
已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为．
(1)请将下列2×2列联表补充完整．
能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．
(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．
附：，其中．
【答案】(1)表格见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关
(2)
【分析】（1）根据题意完善列联表，根据表中数据求，并与临界值比较分析；
（2）根据分层抽样求每层抽取的人数，再结合古典概型运算求解.
【详解】（1）预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，
故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，
18岁以下及36岁以上人数为人．
所以列联表中的数据为：
，
则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．
（2）按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，
其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．
从5人中任取2人，则有：，共有10种情况
其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共 6种情况，
故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：．
20．已知数列的首项，前n项和为，且满足．
(1)求及；
(2)若满足，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)5
【分析】（1）利用退位相减法，求得数列的递推关系，进而判断出数列为等比数列，从而求得通项公式（2）利用（1）的结论，可求得以及，化简，即可求解
【详解】（1）由，得．
因为，所以．
又①，②，
①②得 即．
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故．
（2）由（1）可得，
所以．
因此．令，得，
即，所以且，故的最大值为5．
21．已知函数
(1)若是的一个极值点，求的最小值；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值；
（2）方法一：求出的解析式，即可求出导函数，即可求出函数的单调区间，依题意可得，，即可得到，再利用导数求出函数的值域，即可求出的取值范围；
方法二：依题意可得有两个解，利用同构式，设函数，问题等价于方程有两个解，由导数说明函数的单调性，即可得到方程有两个解，设，，即有两个解，再构造函数，利用导数求出参数的取值范围，从而求出的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，解得，经检验符合题意，
所以，所以当时，当时，
因此在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值即最小值；
（2）方法一：因为，
所以，则在上单调递增，
记，
当时，，
当时，，
记，
当时，；
当时，；
所以存在唯一的，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若函数有两个零点，只需，
即，
又，即，
则，
设，则为增函数，，所以当时，，
则，即，
令，，
则在上单增，由得，
所以，
所以的取值范围是
方法二：若有两个零点，
即有两个解，
即有两个解，
利用同构式，设函数，
问题等价于方程有两个解，
恒成立，即单调递增，
所以，
问题等价于方程有两个解，
即有两个解，
设，，
即有两个解，
令，问题转化为函数有两个零点，
因为，当时，，当时，，
则在上递增，在上递减，
为了使有两个零点，只需，
解得，即，解得，
由于，
所以在和内各有一个零点．
综上知的取值范围是
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对称性得到和在C上，得到，再根据离心率得到答案；
（2）设直线，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，计算的横坐标，得到，设，，，计算最值即可.
【详解】（1）由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．
设C的半焦距为，则离心率为，所以，
所以，解得，以椭圆C的方程为．
（2）设，，，设直线．
由消去x得，
所以，
设点，直线EA的方程为，
由与联立得，
同理可得．
所以
．
整理得，
因为点到直线的距离，
所以．
设，则，
所以，
当，即时，．
【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，椭圆中的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，利用换元法求最值是解题的关键.
预订旅游
不预订旅游
合计
19-35岁
18岁以下及36岁以上
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
预订旅游
不预订旅游
合计
19~35岁
120
75
195
18岁以下及36岁以上
80
125
205
合计
200
200
400