河北省秦皇岛市部分学校2023届高三数学下学期联考（二模）试题（Word版附答案）

河北省2023届高三第二次高考模拟演练

数  学

一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数，则

A．1 B． C． D．

2．若集合，，则

A． B． C． D．

3．已知数列满足，其前n项和为，若，则

A． B．0 C．2 D．4

4．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是

A． B． C． D．

5．某学校为了搞好课后服务工作，教务处建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前音乐社团、书法社团、摄影社团、皮影社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进皮影社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为

A． B． C． D．

6．已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，点P为此三棱锥各顶点所在球面上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为

A． B．

C． D．

7．若，则的大小关系为

A． B．

C． D．

8．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．下列结论正确的是

A．数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79

B．若随机变量服从二项分布，则

C．若随机变量服从正态分布，，则

D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人

10．已知a，b为实数，且，则下列不等式正确的是

A． B．

C． D．

11．函数与的定义域为，且.若的图像关于点对称.则

A．的图像关于直线对称 B．

C．的一个周期为4 D．的图像关于点对称

12．已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则

A．三棱锥的体积为定值

B．当最大时，MN与BC所成的角为

C．正方体的每个面与点N的轨迹所在平面所成角都相等

D．若，则点N的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.

14．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．

15．2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型，设M为的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．

16．已知定义在R上的偶函数满足，，若，则不等式的解集为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在中，角的对边分别为，已知，且.

(1)求的外接圆半径；

(2)求内切圆半径的取值范围.

18．如图，在三棱锥中，为的内心，直线与交于，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，，求二面角的余弦值.

19．随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：

已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为．

(1)请将下列2×2列联表补充完整．

能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．

(2)将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率．

附：，其中．

20．已知数列的首项，前n项和为，且满足．

(1)求及；

(2)若满足，求的最大值．

21．已知函数．

(1)若是的一个极值点，求的最小值；

(2)若函数有两个零点，求a的取值范围．

22．已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值.

参考答案

1．B  2．A  3．C  4．D

5．C  6．B  7．A  8．D

9．BCD  10．BC  11．AC  12．ACD

13．      14．      15．      16．

17．(1)  (2)

18．(1)证明过程请见评分细则     (2)

19．(1)表格请见评分细则。

答：能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关     (2)

20．(1)；    (2)5

21．(1)  (2) 

22．(1)  (2)

评分细则

17.

（1）由正弦定理，，可得————————2分

再由余弦定理，，又，所以.

因为，所以.——————————————————4分

（2）由（1）可知：，则.

则.————————————6分

在中，由正弦定理，

，所以，

则

，

又，所以，所以，

，所以————————————————————10分

18.

（1）设平面，垂足为，作于，于，连接，

因为平面，平面，所以，

又平面，所以平面，

又平面，所以，

因为平面，所以平面，

又平面，所以，

在和中，因为，

所以，所以，

在和中，，

所以，所以，——————————————————4分

即点到的距离相等，

同理点到的距离相等，

所以点为的内心，所以两点重合，

所以平面，

又因平面，

所以平面平面；————————————————6分

（2）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，——————————————————8分

设内切圆的半径为，则

即，解得，

故，

则，

则，

设平面的法向量，

则，可取，

设平面的法向量，

则，可取，————————————————10分

则，

由图可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.————————————————12分

19.

（1）预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为，

故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：人，

18岁以下及36岁以上人数为人．

所以列联表中的数据为：

，

则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．——————6分

（2）按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，

其中在19－35岁年龄段的人数为，分别记为：A，B，C；18岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．

从5人中任取2人，则有：，共有10种情况

其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：，共 6种情况，

故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：——————————12分

20.

(1)

由，得．

因为，所以．

又①，②，

①②得 即．

又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．

故．————————————————5分

(2)

由（1）可得，

所以．

因此．令，得，

即，所以且，故的最大值为5．——————————————12分

21.

（1）因为，是的一个极值点，所以，得；

当时，，令可得.

由表可知是的一个极值点，且最小值为.————————4分

（2）若有两个零点，

即有两个解，

即有两个解，

设函数,

问题等价于方程有两个解，——————————6分

恒成立，即单调递增，

所以，

问题等价于方程有两个解，

即有两个解，

设

即有两个解，

令问题转化为函数有两个零点，

因为，当时，，当时，；

则在上单调递增，在上单调递减，

为了使有两个零点，需要，解得，即，解得，

由于当时，

所以在和内各有一个零点.

综上知的取值范围是.

22.

（1）由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．                                          

设C的半焦距为，则离心率为，所以，

所以，解得，以椭圆C的方程为．——————4分

（2）设，，，设直线．                   

由消去x得，

所以， ————————————————6分

设点，直线EA的方程为，

由与联立得，               

同理可得．

所以

．

整理得，

因为点到直线的距离，

所以．

设，则，

所以，

当，即时，．——————————————————12分