第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布（综合检测）【一轮复习讲义】高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．二项式展开式的常数项为（ ）
A．B．60C．120D．240
【答案】B
【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可.
【详解】展开式的通项为：，
令得，
所以展开式的常数项为，
故选：B．
2．2021年10月18日，中共中央政治局召开会议，研究全面总结党的百年奋斗重大成就和历史经验问题.中共中央总书记习近平主持会议.中共中央政治局听取了《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》稿在党内外一定范围征求意见的情况报告，决定根据这次会议讨论的意见进行修改后将决议稿提请十九届六中全会审议.某班级从3名男生和3名女生中任选2人参加学校该《决议》精神宣讲团，则选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出基本事件的总数，再计算一名男生一名女生的基本事件个数，按概率公式求解即可得.
【详解】选中的2人恰好一名男生一名女生的概率为.
故选：D.
3．某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ）
参考数据：若，则，．
A．75人B．77人C．79人D．81人
【答案】C
【分析】，，由概率计算人数即可.
【详解】，，，
因为，
所以，
所以数学成绩在分以上的人数约为人.
故选：C．
4．从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出从袋子中取出一个红球的概率，进而得到，利用二项分布的方差公式进行求解.
【详解】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
5．逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把相关事件用字母表示，并分析事件的关系，结合对立事件求出概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】记事件A：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，
则事件：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病，
显然，，
所以.
故选：A
6．疫情期间，某社区将5名医护人员安排到4个不同位置的核酸小屋做核酸检测工作，要求每个核酸小屋至少有一名医护人员，则共有多少种不同安排方法（ ）
A．480种B．362种C．120种D．240种
【答案】D
【分析】根据分组分配问题结合排列组合即可求解.
【详解】5名医护人员安排到4个不同位置，按人数分组方式有，
所以不同安排方法有种．
故选：D
7．口袋里有红黄蓝绿的小球各四个，这些球除了颜色之外完全相同，现在从口袋里任意取出四个小球，则不同的方法有（ ）种.
A．48B．77C．35D．39
【答案】C
【分析】根据题意可将取出的球分为有一种、二种、三种、四种颜色分类，然后再求出各种情况有多少种，分类相加即可求解.
【详解】根据条件，取出的四个球可以分为一种，两种，三种，四种颜色，
当取出的球只有一种颜色时：有种；
当取出的球只有二种颜色时：有种；
当取出的球只有三种颜色时：有种；
当取出的球只有四种颜色时：有种；
共有：种.故C项正确.
故选：C.
8．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数．若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意确定10个数中的阳数和阴数，然后求出任取3个数中有0个阴数和1个阴数的概率，相加即可求解.
【详解】由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，
若任取的3个数中有0个阴数，则概率为；
若任取的3个数中有1个阴数，则概率为；
故这3个数中至多有1个阴数的概率为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．若袋子中有个白球，个黑球，现从袋子中有放回地随机取球次，每次取一个球，取到白球记分，取到黑球记分，记次取球的总分数为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】分析可知，可判断A选项；利用独立重复试验的概率可判断B选项；利用二项分布的期望公式可判断C选项；利用二项分布的方差公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，由题意可知，每次摸到白球的概率为，则，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
10．以下说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．随机变量，，若，则
C．若，，，则
D．若，且，则
【答案】BCD
【分析】根据二项分布的方差、分布列的期望、条件概率、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A．，，故A错；
B．，故B对；
C．，，，故C对；
D．，，故D对．
故选：BCD
11．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案.
【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中
所以，故B正确；
对C，取，则，
则，故C错误；
对D，取，则，
将其与作和得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
12．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．展开式中含项的系数是 .
【答案】120
【分析】化简，由的展开式的通项公式可知其不可能出现含的项，进而求解即可
【详解】，
因为的展开式的通项公式为，不可能出现含的项，
所以展开式中含的项为，即含项的系数是120.
故答案为：120.
14．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是 .
【答案】144
【分析】利用捆绑法和插空法计算可得.
【详解】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，
然后与“礼”､“数”进行排序，共有种，
最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，
由于是分步进行，所以共有种.
故答案为：144.
15．石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则 .
【答案】
【分析】根据题意先分别求出，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，事件的总数为，
所以，
事件和事件同时发生，
即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，
则事件的总数为，
所以，
所以.
故答案为：.
16．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．
【答案】1920
【分析】利用分步计数原理进行计算即可.
【详解】设在三棱台中，
首先对着色，有种；
然后：点可以用或点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：
（1）用或点的色，由对称性，不妨设用点的色，则点有4种色可以选择，
又分为两类：①与同色，则有3种色可选择；②与不同色，则有2种色可选择，共有，
（2）用剩下的两种色，则点有3种色可选择，又分为两类：
①与同色，则有3种色可选择；②与不同色，则有2种色可选择，共有：．
所以不同的染色方法的总数是．
故答案为：1920．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．中国在第七十五届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车的销售情况，一机构调查了该地区某家电动汽车企业近5个月的产值情况，如下表，由散点图知，产值y（百万）与月份代码x线性相关．
(1)求y与x的经验回归方程，并预测下一年2月份该企业的产值；
(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，该机构从某品牌汽车4S店当日4位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取3位车主进行采访，记选取的3位车主中购买燃油汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
参考公式：，．
【答案】(1)，预测产值为亿元.
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）求出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，并将代入回归直线方程，可得出结果；
（2）分析可知，利用超几何分布可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求.
【详解】（1）解：由表格中的数据可得，
，
，
，
所以，，，
所以，与的线性回归方程为，
当时，（百万元），
预计明年月份该企业的产值约为百万元.
（2）由题意得，则，其中，
，，，，
则分布列为：
则根据其服从超几何分布得.
18．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表．
(1)求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差近似服从正态分布，其中，用样本平均数作为的近似值，求概率的值；
(2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，求该零件为废品的概率．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由平均数的计算，即可由正态分布的对称性求解概率，
（2）根据全概率公式即可求解.
【详解】（1）．
，，得：
（2）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，
又，，
于是．
19．素质教育是指一种以提高受教育者诸方面素质为目标的教育模式．它重视人的思想道德素质、能力培养、个性发展、身体健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的课后服务课中展开羽毛球比赛，采用五局三胜制，经过一段时间紧张激烈的角逐，最终甲、乙两人进行总决赛，在总决赛的比赛中，甲每局获胜的概率为，且各局比赛之间没有影响．
(1)求甲获胜的概率；
(2)比赛结束时，甲比赛的局数为，求的分布列及其期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）甲获胜有三种情况，分别是3：0，3：1，3：2，对应的局数分别3局，4局，5局且各种情况相互独立，分别计算其概率并相加即可；
（2）比赛结束时必有一方赢另一方输，至少为3局，至多为5局，每种情况可能是甲赢或者乙赢，分别计算其概率，列出分布列，再根据期望公式即可求得数学期望.
【详解】（1）甲获胜有三种情况，第一种甲以3：0获胜，其概率为；
第二种甲以3：1获胜，其概率为；
第三种甲以3：2获胜，其概率为．
所以甲获胜的概率为：．
（2）由题知，的所有可能的取值为3，4，5．
，
，
，
所以的分布列为
所以．
20．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
21．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【分析】（1）比赛局数分2局和3局两种情况考虑，分别算出对应的概率填表，然后算出即可；
（2）分别算出4局甲赢、4局乙赢、5局甲赢、5局乙赢对应的概率相加，即可得到本题答案.
【详解】（1）解：可能取值为2，3．
所以的分布列如下：
∴．
（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为；
乙以2：0获胜的的概率均为
甲以2：1获胜的的概率均为
乙以2：1获胜的的概率均为
∴
即获胜方前两天比分为和，或者和再加附加赛
甲获胜的概率为，
乙获胜的概率为
∴
∴．
22．某单位组织“乡村振兴”知识竞赛，有甲、乙两类问题.每位参加比赛的选手先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该选手比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该选手比赛结束.甲类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知选手张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若选甲、乙两类问题是等可能的，求张某至少答对一道问题的概率；
(2)如果答题顺序由张某选择，以累计得分多为决策依据，说明张某应选择先回答哪类问题.
【答案】(1)
(2)应选择先回答甲类问题
【分析】（1）根据全概率公式，先求得张某一题都没答对的概率，从而求得张某至少答对一道问题的概率.
（2）根据张某先回答甲类或乙类问题进行分类讨论，计算出两者累计得分的期望值，从而作出决策.
【详解】（1）设 “张某选择甲类问题”， “张某答对所选问题”，
“张某至少答对一道问题”，
“张某选择乙类问题”，“张某未答对所选问题”
“张某一道问题都没答对”
由题意得，，
，，，，
由全概率公式，得
∴.
（2）根据条件可知：若张某先回答甲类问题，
则张某的累计得分X的可能值为0，30，80，
∵张某能正确回答甲类问题的概率为0.9，能正确回答乙类问题的概率为0.7，
∴；；，
则的分布列为
当张某先回答甲类问题时，累计得分的期望为：
，
若张某先回答乙类问题，则张某的累计得分的可能值为，
同理可求；；，
则此时累计得分的期望为，
因为.
所以，以累计得分多为决策依据，张某应选择先回答甲类问题．月份
6月
7月
8月
9月
10月
月份代码
1
2
3
4
5
产值/百万
12
16
20
24
28
0
1
2
3
质量差（单位：mg）
56
67
70
78
86
件数（单位：件）
10
20
48
19
3
3
4
5
X
4
3
2
P
2
3
0
30
80
0.1
0.27
0.63