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2023-2024学年河南省南阳市内乡县七年级（下）期末数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年河南省南阳市内乡县七年级（下）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若x=1是方程2x+a=0的解，则a=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.不等式组2x−5<13x+1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
A. B. C. D.
4.已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 4B. 5C. 10D. 11
5.如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中∠ABD=130°，CD//EF，∠E=60°，则∠BDC=( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
6.如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，下列错误的是( )
A. AC=DF B. EB=FC
C. ∠D=∠ABC D. DE//AB
7.下列各组图形中，属于全等图形的是( )
A. B.
C. D.
8.某商店卖出两件衣服，售价均为60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店( )
A. 不赚不亏B. 赚12元C. 亏8元D. 亏12元
9.手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可.下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
10.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数( )
A. 35°
B. 75°
C. 55°
D. 65°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写一个解为x=2y=1的二元一次方程______．
12.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书大约在四五世纪.书中著名的“雉(鸡)兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，此问题中鸡有______只.
13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______．
14.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE=5，AG=2，则S△DEC= ______．
15.工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地.他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是______米.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程(组)：
(1)x−73−1+x2=1；
(2)解方程组2x−y=3x+2y=4．
17.(本小题9分)
下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
18.(本小题9分)
阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如x=1y=2,x=−1y=3,x=4y=0.5……都是方程x+2y=5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y=24这个二元一次方程的正整数解．
解：2x+5y=24，得：y=24−2x5根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+5y=24的正整数解为x=2y=4或x=7y=2．
问题：已知关于x，y的方程组x+2y−6=0x−2y+ax+5=0
(1)请你直接写出方程x+2y−6=0的一组正整数解：______；
(2)若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有______．
A.3个
B.4个
C.5个
(3)若方程组的解满足x+y=0，求a的值．
19.(本小题9分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1)；
(2)在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
(3)直接写出△A1BC的面积为______．
20.(本小题9分)
河南某景区，门票价格规定如下表：
某校七年级(1)、(2)两个班共102人去该景区游玩，其中(1)班人数多于(2)班人数，且(1)班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级(1)班和(2)班各有多少学生？
(2)如果七年级(1)班有6名学生因特殊情况不能外出游玩，(2)班学生全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你如何购票才能最省钱？
21.(本小题9分)
如图：在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点(点E与B、C不重合)，连接A、E.若a、b满足b−6=02a−b=10，且c是不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的最大整数解．
(1)求a、b、c的长．
(2)若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．
22.(本小题10分)
某超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元．
(1)求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
(2)若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
23.(本小题10分)
我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(点C不与O，B重合)
(1)∠ABO的度数为 ，△AOB (填“是”或“不是”)“和谐三角形”；
(2)若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.C
10.C
11.x−2y=0(答案不唯一)
12.23
13.360°
14.5
15.12
16.解：(1)去分母得，2(x−7)−3(1+x)=6，
去括号得，2x−14−3−3x=6，
移项得，2x−3x=6+14+3，
合并同类项得，−x=23，
系数化为1得，x=−23；
(2)2x−y=3①x+2y=4②，
由②可得：x=4−2y③，
将③代入①：2(4−2y)−y=3，
解得：y=1，
把代入③：x=2，
∴原方程组的解是x=2y=1．
17.证明：方法一：∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
方法二：延长BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠A+∠ACB+∠B=180°．
18.(1)x=4y=1或x=2y=2(任意一组)；
(2)B；
(3)根据题意得：x+2y−6=0①x+y=0②，
①−②得：y−6=0，
解得：y=6，
将y=6代入②得：x+6=0，
解得：x=−6，
∴方程组的解为x=−6y=6．
将x=−6y=6代入x−2y+ax+5=0得：−6−2×6−6a+5=0，
解得：a=−136．
答：a的值为−136．
19.解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，点P为所作；
(3)11．
20.解：(1)设去该景区游玩的七年级(1)班有x名学生，则七年级(2)班有(102−x)名学生，
根据题意得：50x+60(102−x)=5500，
解得：x=62，
∴102−x=102−62=40(人)．
答：去该景区游玩的七年级(1)班有62名学生，七年级(2)班有40名学生；
(2)方案1：两个班分别以班为单位单独购买门票，所需费用为50×(62−6)+60×40=5200(元)；
方案2：两个班联合起来购买102−6=96(张)门票，所需费用为50×96=4800(元)；
方案3：两个班联合起来购买101张门票，所需费用为40×101=4040(元)．
∵5200>4800>4040，
∴有3种购票方案，两个班联合起来购买101张门票才能最省钱．
21.解：(1)方程组b−6=02a−b=10的解为a=8b=6…(2分)
不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的解为：−4≤x<11 …(4分)
所以c=10. …(5分)
(2)如图，设CE=x，则BE=8−x．
∵AE平分△ABC的周长
∴6+x=10+(8−x)
∴x=6 …(7分)
∴CE=6，BE=2，
又∵AC=6，∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形
∴∠AEC=45° …(8分)
∴∠BEA=135° ….(9分)
22.解：(1)设这个超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，
根据题意得：15x+18y=1500(20−15)x+(26−18)y=600，
解得：x=40y=50．
答：这个超市购进甲种文具40个，乙种文具50个；
(2)设甲种文具的售价为每个m元，
根据题意得：40(m−15)+(26−18)×50×2≥920，
解得：m≥18，
∴m的最小值为18．
答：甲种文具的最低售价每个应为18元．
23.(1)30°，不是；
(2)∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB=∠O+∠OAC，
又∠O=60°，∠ACB=84°
∴∠OAC=24°，
∠ACO=180°−84°=96°，
∴∠ACO=4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
(3)∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF=∠ADE，
而∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC=4∠B或者∠B=4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°
∴∠B=30°或者∠B=80°．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD//AB．
购票张数
1～50张(包含50张)
50～100张(不包含50张，含100张)
100张以上
每张票的价格
60元
50元
40元
1.若x=1是方程2x+a=0的解，则a=( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
2.不等式组2x−5<13x+1≥2x的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是( )
A. B. C. D.
4.已知三角形两边的长分别是3和8，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 4B. 5C. 10D. 11
5.如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中∠ABD=130°，CD//EF，∠E=60°，则∠BDC=( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
6.如图，三角形ABC沿BC边所在的直线向左平移得到三角形DEF，下列错误的是( )
A. AC=DF B. EB=FC
C. ∠D=∠ABC D. DE//AB
7.下列各组图形中，属于全等图形的是( )
A. B.
C. D.
8.某商店卖出两件衣服，售价均为60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店( )
A. 不赚不亏B. 赚12元C. 亏8元D. 亏12元
9.手势密码是在手机触屏上设置的一笔连成的九宫格图案，登录软件时画一下设定的图案即可.下列四种手势密码图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
10.如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数( )
A. 35°
B. 75°
C. 55°
D. 65°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写一个解为x=2y=1的二元一次方程______．
12.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书大约在四五世纪.书中著名的“雉(鸡)兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”，此问题中鸡有______只.
13.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______．
14.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AG为△ABC的高，若CE=5，AG=2，则S△DEC= ______．
15.工人师傅选用三种规格的边长都是1m的正多边形地砖铺地.他先用两块正六边形地砖和一块正方形地砖铺成如图所示的图形，若再用一块正多边形地砖无缝隙不重叠地铺在∠AOB处，则选用的这块正多边形地砖的周长是______米.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
解方程(组)：
(1)x−73−1+x2=1；
(2)解方程组2x−y=3x+2y=4．
17.(本小题9分)
下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
18.(本小题9分)
阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如x=1y=2,x=−1y=3,x=4y=0.5……都是方程x+2y=5的解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解即可．
我们在求一个二元一次方程的正整数解时通常采用如下方法：
例：求2x+5y=24这个二元一次方程的正整数解．
解：2x+5y=24，得：y=24−2x5根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程2x+5y=24的正整数解为x=2y=4或x=7y=2．
问题：已知关于x，y的方程组x+2y−6=0x−2y+ax+5=0
(1)请你直接写出方程x+2y−6=0的一组正整数解：______；
(2)若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有______．
A.3个
B.4个
C.5个
(3)若方程组的解满足x+y=0，求a的值．
19.(本小题9分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(点A的对应点是点A1，点B的对应点是点B1，点C的对应点是点C1)；
(2)在直线l上画出点P，使PA+PC最小；
(3)直接写出△A1BC的面积为______．
20.(本小题9分)
河南某景区，门票价格规定如下表：
某校七年级(1)、(2)两个班共102人去该景区游玩，其中(1)班人数多于(2)班人数，且(1)班人数不足100人，如果两个班分别以班为单位单独购买门票，一共应付5500元．
(1)去该景区游玩的七年级(1)班和(2)班各有多少学生？
(2)如果七年级(1)班有6名学生因特殊情况不能外出游玩，(2)班学生全员参加游玩，作为组织者，你有几种购票方案？通过比较，你如何购票才能最省钱？
21.(本小题9分)
如图：在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点(点E与B、C不重合)，连接A、E.若a、b满足b−6=02a−b=10，且c是不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的最大整数解．
(1)求a、b、c的长．
(2)若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．
22.(本小题10分)
某超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元．
(1)求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
(2)若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
23.(本小题10分)
我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C(点C不与O，B重合)
(1)∠ABO的度数为 ，△AOB (填“是”或“不是”)“和谐三角形”；
(2)若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．
【应用拓展】
如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.C
5.A
6.C
7.C
8.C
9.C
10.C
11.x−2y=0(答案不唯一)
12.23
13.360°
14.5
15.12
16.解：(1)去分母得，2(x−7)−3(1+x)=6，
去括号得，2x−14−3−3x=6，
移项得，2x−3x=6+14+3，
合并同类项得，−x=23，
系数化为1得，x=−23；
(2)2x−y=3①x+2y=4②，
由②可得：x=4−2y③，
将③代入①：2(4−2y)−y=3，
解得：y=1，
把代入③：x=2，
∴原方程组的解是x=2y=1．
17.证明：方法一：∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；
方法二：延长BC，如图，
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，
∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠A+∠ACB+∠B=180°．
18.(1)x=4y=1或x=2y=2(任意一组)；
(2)B；
(3)根据题意得：x+2y−6=0①x+y=0②，
①−②得：y−6=0，
解得：y=6，
将y=6代入②得：x+6=0，
解得：x=−6，
∴方程组的解为x=−6y=6．
将x=−6y=6代入x−2y+ax+5=0得：−6−2×6−6a+5=0，
解得：a=−136．
答：a的值为−136．
19.解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，点P为所作；
(3)11．
20.解：(1)设去该景区游玩的七年级(1)班有x名学生，则七年级(2)班有(102−x)名学生，
根据题意得：50x+60(102−x)=5500，
解得：x=62，
∴102−x=102−62=40(人)．
答：去该景区游玩的七年级(1)班有62名学生，七年级(2)班有40名学生；
(2)方案1：两个班分别以班为单位单独购买门票，所需费用为50×(62−6)+60×40=5200(元)；
方案2：两个班联合起来购买102−6=96(张)门票，所需费用为50×96=4800(元)；
方案3：两个班联合起来购买101张门票，所需费用为40×101=4040(元)．
∵5200>4800>4040，
∴有3种购票方案，两个班联合起来购买101张门票才能最省钱．
21.解：(1)方程组b−6=02a−b=10的解为a=8b=6…(2分)
不等式组x+124≤x+62x+23>x−3的解为：−4≤x<11 …(4分)
所以c=10. …(5分)
(2)如图，设CE=x，则BE=8−x．
∵AE平分△ABC的周长
∴6+x=10+(8−x)
∴x=6 …(7分)
∴CE=6，BE=2，
又∵AC=6，∠C=90°，
∴△ACE为等腰直角三角形
∴∠AEC=45° …(8分)
∴∠BEA=135° ….(9分)
22.解：(1)设这个超市购进甲种文具x个，乙种文具y个，
根据题意得：15x+18y=1500(20−15)x+(26−18)y=600，
解得：x=40y=50．
答：这个超市购进甲种文具40个，乙种文具50个；
(2)设甲种文具的售价为每个m元，
根据题意得：40(m−15)+(26−18)×50×2≥920，
解得：m≥18，
∴m的最小值为18．
答：甲种文具的最低售价每个应为18元．
23.(1)30°，不是；
(2)∵∠ACB是△AOC的一个外角，
∴∠ACB=∠O+∠OAC，
又∠O=60°，∠ACB=84°
∴∠OAC=24°，
∠ACO=180°−84°=96°，
∴∠ACO=4∠OAC，
∴△AOC是“和谐三角形”；
(3)∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD//EF，
∴∠DEF=∠ADE，
而∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∵DE//BC，
∴∠CDE=∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠B=∠BCD，
∵△BCD是“和谐三角形”，
∴∠BDC=4∠B或者∠B=4∠BDC
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°
∴∠B=30°或者∠B=80°．
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．
已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
方法一
证明：如图，过点A作DE//BC．
方法二
证明：如图，过点C作CD//AB．
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