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2023-2024学年陕西省咸阳市乾县注泔镇部分学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市乾县注泔镇部分学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. (a+2)(a−2)=a2−4B. a2−a−2=a(a−1)−2
C. 2x+1=x(2+1x)D. 2a2−4a=2a(a−2)
3.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 55°
D. 65°
4.实数a，b，c满足a>b，且ac>bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
A. B.
C. D.
5.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为15，则▱ABCD的周长为( )
A. 30B. 26C. 24D. 15
6.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 14
7.顺次连结对角线互相垂直的四边形的四边中点所得图形是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
8.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得AC两点之间的距离为12cm，BD两点之间的距离为16cm，则这两张纸条的宽为( )
A. 19.2cm
B. 10cm
C. 9.6cm
D. 4.8cm
9.已知关于x的分式方程1−mx−1−21−x=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤4B. m≤4且m≠3
C. m≤0D. m≤0且m≠−1
10.如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.正八边形的每一个内角的度数为______度．
12.已知x−y=1，则代数式2x2−4xy+2y2的值为______．
13.如图，AD//BC，AB=BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连结DE.若∠BED=50°，则∠DBC的度数为______．
14.如图，函数y=kx和y=ax+b的图象交于点P(−3,1)，则不等式kx−b15.如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF.若AF=5，BE=3，则EF的长为______．
16.如图，在△ABC，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，连结GD，若∠EFC=60°，DG= 3，AC=5，则△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)解不等式组：2x+5≤3(x+2)x−12(2)解分式方程：x2x−3+53−2x=4．
18.(本小题5分)
如图，已知四边形ABCD，AD//BC.请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
化简(2x+5x2−1−3x−1)÷x−2x2−2x+1，从−1≤x<3中选出合适的x的整数值代入求值．
20.(本小题7分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AB=5，CE=2，求OE的长．
21.(本小题8分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为(6,0)，(−3,4).将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN．
(1)点M的坐标为______，点N的坐标为______；
(2)点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图1，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，其中E，F分别是BC，CD边上的中点，则△AEF的周长为______；
【问题探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=BC=4，∠B=60°，AB//CD，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF=60°，则△CEF周长的最小值为______；
【问题解决】
(3)如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地ABCD，计划在边BC，CD上分别取点E，F，利用小路AE，AF将这块四边形空地ABCD分开，在四边形空地AECF内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取AC的中点M，沿着ME，EC，CF，MF修建观赏长廊.经测量∠B=45°，∠BCD=120°，AB=6km，BC=(3 2+ 6)km，∠EAF=60°，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短.请你帮助规划部门确定ME+EC+CF+MF是否有最小值.若存在，请求出ME+EC+CF+MF的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】D
【解析】解：A.从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
3.【答案】B
【解析】解：∵秋千旋转了80°，小刚的位置也从A点运动到了A′点，
∴∠AOA′=80°，OA=OA′，
∴∠OAA′=12×(180°−80°)=50°．
故选：B．
根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、由图可知，a>b，c<0，则acB、由图可知，aC、由图可知，aD、由图可知，a>b，c>0，则ac>bc，故符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变，对四个选项逐一进行判定．
本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变，不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵△ABE的周长为15，
∴AB+BE+AE=15，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴AB+BE+AE=AB+AD=15，
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×15=30，
故选：A．
由平行四边形的性质得OB=OD，AB=CD，AD=BC，再由△ABE的周长为15得AB+BE+AE=15，然后由线段垂直平分线的性质得BE=ED，则AB+BE+AE=AB+AD=15，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、三角形周长以及线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用概率公式求解即可，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P(两次都是红球)=14．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：C．
根据三角形中位线定理得到EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，根据矩形的判定定理得到答案．
本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR⋅BC=AS⋅CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵点A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，
∴OA=6cm，OB=8cm，
∴AB= OA2+OB2= 62+82=10，
∴BC=10，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC⋅AR，
∴AR=12×12×1610=9.6(cm)．
∴这两张纸条的宽为9.6cm，
故选：C．
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB，由菱形的面积可得出答案．
此题主要考查了菱形的判定与性质，一元一次方程的应用，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
9.【答案】B
【解析】解：方程1−mx−1−21−x=1的两边同时乘x−1，
得，1−m+2=x−1，
解得x=4−m，
∵方程的解为非负数，
∴4−m≥0，
∴m≤4，
∵x≠1，
∴4−m≠1，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠3，
故选：B．
先解出分式方程得到x=4−m，再由题可知，4−m≥0，4−m≠1，解出m即可求解．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD=∠AFD′=90°，
∵∠DAC的平分线交DC于点E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵在△DAF与△D′AF中，
∠AFD=∠AFD′AF=AF∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF(ASA)，
∴D′是D关于AE的对称点，AD=AD′，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=8，
∴AD′=2 2，AD=AD′=2 2，
∴正方形ABCD的边长为2 2，
故选：D．
过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′.由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长
本题考查的是轴对称−最短路线问题，正方形 到现在，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11.【答案】135
【解析】解：∵正八边形的每个外角为：360°÷8=45°，
∴每个内角为180°−45°=135°．
利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数即可解决问题．
本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和即可解决问题．
12.【答案】2
【解析】解：∵x−y=1，
∴2x2−4xy+2y2
=2(x2−2xy+y2)
=2(x−y)2
=2×12
=2×1
=2，
故答案为：2．
先把所求多项式提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式，最后把已知条件代入进行计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征和几种常见的分解因式的方法．
13.【答案】55°
【解析】解：∵AD//BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
∵AB=BD，
∴BD=DE，
∴∠DEB=∠DBC=55°，
故答案为：55°．
先根据已知易得：四边形ABED是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AB=DE，从而可得BD=DE，最后利用等腰三角形的性质可得∠DEB=∠DBC=55°，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14.【答案】x>−3
【解析】解：由函数图象可知，
当x>−3时，函数y=kx的图象在函数y=ax+b图象的下方，即kx所以kx−b则不等式kx−b−3．
故答案为：x>−3．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：过F作FH⊥BC于H，如图：
∵将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，
∴∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF=5，
∵BE=3，
∴AB= AE2−BE2= 52−32=4，
∵AD//BC，∠B=∠BHF=90°，
∴四边形ABHF是矩形，
∴FH=AB=4，BH=AF=5，
∴EH=BH−BE=5−3=2，
∴EF= FH2+EH2= 42+22=2 5；
故答案为：2 5．
过F作FH⊥BC于H，根据将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，得∠AEF=∠CEF，由四边形ABCD是矩形，知∠AFE=∠CEF，故∠AFE=∠AEF，可得AE=AF=5，从而AB= AE2−BE2=4，求出FH=AB=4，BH=AF=5，知EH=BH−BE=2，即可得EF= FH2+EH2= 42+22=2 5．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理，平行线的性质等，解题的关键是掌握矩形性质和翻折的性质．
16.【答案】15 34
【解析】解：连接BD，设BD的中点为H，连接HF，HE，如下图所示：
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF是△ABD的中位线，HE为△BCD的中位线，
∴HF//AB，HF=12AB，HE//CD，HE=12CD，
∴∠AGF=∠HFE，∠HEF=∠EFC=60°，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠HFE=∠HEF=60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴∠HFE=∠AGF=60°，
∵∠AFG=∠EFC=60°，
∴△AFG为等边三角形，
设AG=a，则AF=FG=a，
∵点F是AD的中点，
∴FD=AF=a，
∴FD=FG=a，
∴∠FDG=∠FGD，
∵∠FDG+∠FGD=∠EFC=60°，
∴∠FDG=∠FGD=30°，
∴∠AGD=∠AGF+∠FGD=60°+30°=90°，
在Rt△ADG中，AG=a，AD=2a，DG= 3，
由勾股定理得：AD2−AG2=DG2，
即(2a)2−a2=( 3)2，
解得：a1=1，a2=−1(不合题意，舍去)，
∴AG=a=1，AD=2a=2，
∵AC=5，
∴AB=CD=AC−AD=5−2=3，
∴S△ABD=12AB⋅DG=12×3× 3=3 32，
∵△ABD边AD上的高与△BCD边CD上的高相同，
∴S△ABD：S△BCD=AD：CD=2：3，
∴S△BCD=3/2S△ABD=32×3 32=9 34，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=3 32+9 34=15 34．
连接BD，设BD的中点为H，连接HF，HE，由三角形的中位线定理得HF//AB，HF=12AB，HE//CD，HE=12CD，由此可证△HEF和△AFG均为等边三角形，设AG=a，则AF=FG=FD=a，进而得∠FDG=∠FGD=30°，则∠AGD=90°，由此可求出a=1，则AG=a=1，AD=2a=2，AB=CD=AC−AD=3，进而得S△ABD=12AB⋅DG=3 32，然后根据S△ABD：S△BCD=AD：CD=2：3，得S△BCD=9 34，据此可得△ABC的面积．
此题主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确的作出辅助线构造三角形的中位线及等边三角形是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)解第一个不等式得：x≥−1，
解第二个不等式得：x<3，
故原不等式组的解集为−1≤x<3；
(2)原方程去分母得：x−5=8x−12，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x−3≠0，
故原方程组的解为x=1．
【解析】(1)解各不等式后即可求得不等式组的解集；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解一元一次不等式组及分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示：E、F即为所求．
【解析】作BD的垂直平分线与AD，BC的交点即可．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：(2x+5x2−1−3x−1)÷x−2x2−2x+1
=2x+5−3(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x−2
=2x+5−3x−3x+1⋅x−1x−2
=−(x−2)x+1⋅x−1x−2
=1−xx+1，
∵−1≤x<3，(x+1)(x−1)≠0，x−2≠0，
∴x=0，
当x=0时，原式=1−00+1=1．
【解析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从−1≤x<3中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=5，
∴AD=AB=BC=5，
∵EC=2，
∴BE=5−2=3，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2= 52−32=4，
∴DF=AE=4，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2= 42+22=2 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∴OE=12AC= 5．
【解析】(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AD=AB=BC=5，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，
根据题意得：18x=24x+0.3，
解得：x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3=0.9+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，依据题意得：
0.9m+1.2(25−m)≤26，
解得：m≥403，
∴m=14，
答：至少购买14个A型充电桩．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型充电桩的单价，再将其代入(x+0.3)中，即可求出B型充电桩的单价；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(3,2) (6,−2)
【解析】解：(1)∵C(−3,4)，O(0,0)，将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN，
∴M(−3+6,4−2).N(0+6,0−2)，
即M(3,2)，N(6,−2)，
故答案为：(3,2)，(6,−2)；
(2)存在，∵A(6,0)，
∴OA=6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=6，BC//OA，
∵C(−3,4)，
∴B(3,4)，
设直线MN的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=26k+b=−2，
∴k=−43b=6，
∴直线MN的解析式为y=−43x+6，
∵点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，
设D(m,−43m+6)，E(n,0)，
∵以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
∴当以OE为对角线时，由中点坐标公式得，n=6+m4−43m+6=0，
解得m=152n=272，
∴E(272,0)；
当以OB为对角线时，由中点坐标公式得，4=−43m+63=m+n，
解得m=32n=32，
∴E(32,0)；
当以OD为对角线时，由中点坐标公式得，m=3+n−43m+6=4，
解得m=32n=−32，
∴E(−32,0)，
综上所述，点E的坐标为(272,0)或(32,0)或(−32,0)．
(1)根据平移的性质即可得到结论；
(2)由A(6,0)，得到OA=6，根据平行四边形的性质得到BC=OA=6，BC//OA，求得B(3,4)，设直线MN的解析式为y=kx+b，解方程组得到直线MN的解析式为y=−43x+6，设D(m,−43m+6)，E(n,0)，根据平行四边形 到现在列方程组即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、平移的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】6 3 4+2 3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=AC=BC，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，∠BAE=∠EAC=30°，
∵AB=4，
∴BE=2，
∴AE= AB2−BE2=2 3，
同理AF=2 3，
∵∠CAE=∠CAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=2 3，
∴△AEF的周长为6 3，
故答案为：6 3．
(2)∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∵AB//CD，
∴∠BCD=120°，
∴∠ACD=60°=∠B，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°−∠EAC，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF，AE=AF，
∴△EAF是等边三角形，
∵△CEF周长=CE+CF+EF=CE+BE+AE=BC+AE=4+AE，
∴要使周长最小，实际求AE最小即可，
当AE⊥BC时，AE最小，此时AE=2 3，
∴△CEF周长最小值=4+2 3，
故答案为：4+2 3．
(3)如图，AH⊥BC于点H，AG⊥CD于点G，
∵AB=6，∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴BH=AH=3 2，
∵BC=3 2+ 6，
∴CH= 6，
∴AC= AH2+CH2=2 6，
∴AC=2CH，
∴∠CAH=30°，∠ACH=60°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=60°=∠ACH，
∴AH=AG，
∵∠HAG=360°−90°−90°−120°=60°，
∴∠EAH=∠FAG，
∴△AEH≌△AFG(ASA)，
∴AE=AF，EH=FG，
∴CE+CF=EH+CH+CF=CH+CG=2 6，
在EB上截取EN=CF，连接AN，取AN中点M′，连接MM′，则MM′是△ANC的中位线，
∵∠ACD+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AEC+∠AEN=180°，
∴∠AFC=∠AEN，
∴△ACF≌△ANE(SAS)，
∴∠EAN=∠CAF，FM=EM′，
∴∠NAC=∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形，
∴NC=AC=2 6，
∴MM′= 6，
∴EM+FM=EM+EM′≥M′M′′，
作M关于BC对称点M′′，连接M′M′′交BC于点O，
∵MM′//BC，
∴MM′⊥MM′′，
∵CM=12AC= 6，∠MCO=60°，
∴OM=3 22，
∴MM′′=3 2，
在Rt△MM′M′′中，M′M′= MM′2+MM″2=2 6．
此时ME+EC+CF+MF=2 6+2 6=4 6，
∴ME+EC+CF+MF有最小值，最小值为4 6．
(1)证出△AEF是等边三角形，再求出AE的长度即可求解；
(2)先证△ABE≌△ACF，得到BE=CF，所以要求周长最小，实际上就是求AE最小，当AE⊥BC时最小，进而求解即可；
(3)根据前两问思路可得出，EC+CF是个定值，所以要求ME+EC+CF+MF的最小值，实际转化为ME+MF的最小值，构造手拉手全等，再作对称点三点共线即可．
本题主要考查了菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶.下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列从左到右的变形，是分解因式的是( )
A. (a+2)(a−2)=a2−4B. a2−a−2=a(a−1)−2
C. 2x+1=x(2+1x)D. 2a2−4a=2a(a−2)
3.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了80°，小刚的位置从A点运动到了A′点，则∠OAA′的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 55°
D. 65°
4.实数a，b，c满足a>b，且ac>bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
A. B.
C. D.
5.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为15，则▱ABCD的周长为( )
A. 30B. 26C. 24D. 15
6.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )
A. 23B. 12C. 13D. 14
7.顺次连结对角线互相垂直的四边形的四边中点所得图形是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
8.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得AC两点之间的距离为12cm，BD两点之间的距离为16cm，则这两张纸条的宽为( )
A. 19.2cm
B. 10cm
C. 9.6cm
D. 4.8cm
9.已知关于x的分式方程1−mx−1−21−x=1的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m≤4B. m≤4且m≠3
C. m≤0D. m≤0且m≠−1
10.如图，在正方形ABCD中，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD，AE上的动点，若DQ+PQ的最小值是2，则正方形ABCD的边长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.正八边形的每一个内角的度数为______度．
12.已知x−y=1，则代数式2x2−4xy+2y2的值为______．
13.如图，AD//BC，AB=BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交射线BC于点E，连结DE.若∠BED=50°，则∠DBC的度数为______．
14.如图，函数y=kx和y=ax+b的图象交于点P(−3,1)，则不等式kx−b
16.如图，在△ABC，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，连结GD，若∠EFC=60°，DG= 3，AC=5，则△ABC的面积为______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)解不等式组：2x+5≤3(x+2)x−12
18.(本小题5分)
如图，已知四边形ABCD，AD//BC.请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题6分)
化简(2x+5x2−1−3x−1)÷x−2x2−2x+1，从−1≤x<3中选出合适的x的整数值代入求值．
20.(本小题7分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AB=5，CE=2，求OE的长．
21.(本小题8分)
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩.已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，求至少购买多少个A型充电桩？
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，A，C两点的坐标分别为(6,0)，(−3,4).将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN．
(1)点M的坐标为______，点N的坐标为______；
(2)点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，使得以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．
23.(本小题10分)
【问题提出】
(1)如图1，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，其中E，F分别是BC，CD边上的中点，则△AEF的周长为______；
【问题探究】
(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=BC=4，∠B=60°，AB//CD，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF=60°，则△CEF周长的最小值为______；
【问题解决】
(3)如图3，规划部门准备绿化一块四边形空地ABCD，计划在边BC，CD上分别取点E，F，利用小路AE，AF将这块四边形空地ABCD分开，在四边形空地AECF内种植郁金香，其他区域种植草坪，为了方便市民游览，决定取AC的中点M，沿着ME，EC，CF，MF修建观赏长廊.经测量∠B=45°，∠BCD=120°，AB=6km，BC=(3 2+ 6)km，∠EAF=60°，为节约建设成本，修建长廊长度之和应该最短.请你帮助规划部门确定ME+EC+CF+MF是否有最小值.若存在，请求出ME+EC+CF+MF的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2.【答案】D
【解析】解：A.从左到右的变形是多项式乘法，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
3.【答案】B
【解析】解：∵秋千旋转了80°，小刚的位置也从A点运动到了A′点，
∴∠AOA′=80°，OA=OA′，
∴∠OAA′=12×(180°−80°)=50°．
故选：B．
根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、由图可知，a>b，c<0，则ac
故选：D．
根据不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变，对四个选项逐一进行判定．
本题考查了不等式的性质，不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变，不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不改变．
5.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵△ABE的周长为15，
∴AB+BE+AE=15，
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴AB+BE+AE=AB+AD=15，
∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×15=30，
故选：A．
由平行四边形的性质得OB=OD，AB=CD，AD=BC，再由△ABE的周长为15得AB+BE+AE=15，然后由线段垂直平分线的性质得BE=ED，则AB+BE+AE=AB+AD=15，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、三角形周长以及线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用概率公式求解即可，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【解答】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
∴P(两次都是红球)=14．
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故选：C．
根据三角形中位线定理得到EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，根据矩形的判定定理得到答案．
本题考查的是中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR⋅BC=AS⋅CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
∵点A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，
∴OA=6cm，OB=8cm，
∴AB= OA2+OB2= 62+82=10，
∴BC=10，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=BC⋅AR，
∴AR=12×12×1610=9.6(cm)．
∴这两张纸条的宽为9.6cm，
故选：C．
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB，由菱形的面积可得出答案．
此题主要考查了菱形的判定与性质，一元一次方程的应用，勾股定理等知识，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
9.【答案】B
【解析】解：方程1−mx−1−21−x=1的两边同时乘x−1，
得，1−m+2=x−1，
解得x=4−m，
∵方程的解为非负数，
∴4−m≥0，
∴m≤4，
∵x≠1，
∴4−m≠1，
∴m≠3，
∴m的取值范围是m≤3且m≠3，
故选：B．
先解出分式方程得到x=4−m，再由题可知，4−m≥0，4−m≠1，解出m即可求解．
本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′．
∵DD′⊥AE于F，
∴∠AFD=∠AFD′=90°，
∵∠DAC的平分线交DC于点E，
∴∠DAE=∠CAE，
∵在△DAF与△D′AF中，
∠AFD=∠AFD′AF=AF∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF(ASA)，
∴D′是D关于AE的对称点，AD=AD′，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′=2，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=8，
∴AD′=2 2，AD=AD′=2 2，
∴正方形ABCD的边长为2 2，
故选：D．
过D作DF⊥AE于F，延长DF交AC于D′，过D′作D′P′⊥AD于P′，D′P′交AE于Q′.由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值，再根据等腰直角三角形的性质求出正方形的边长
本题考查的是轴对称−最短路线问题，正方形 到现在，全等三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
11.【答案】135
【解析】解：∵正八边形的每个外角为：360°÷8=45°，
∴每个内角为180°−45°=135°．
利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数即可解决问题．
本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和即可解决问题．
12.【答案】2
【解析】解：∵x−y=1，
∴2x2−4xy+2y2
=2(x2−2xy+y2)
=2(x−y)2
=2×12
=2×1
=2，
故答案为：2．
先把所求多项式提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式，最后把已知条件代入进行计算即可．
本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征和几种常见的分解因式的方法．
13.【答案】55°
【解析】解：∵AD//BE，AD=BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE，
∵AB=BD，
∴BD=DE，
∴∠DEB=∠DBC=55°，
故答案为：55°．
先根据已知易得：四边形ABED是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AB=DE，从而可得BD=DE，最后利用等腰三角形的性质可得∠DEB=∠DBC=55°，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
14.【答案】x>−3
【解析】解：由函数图象可知，
当x>−3时，函数y=kx的图象在函数y=ax+b图象的下方，即kx
故答案为：x>−3．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：过F作FH⊥BC于H，如图：
∵将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，
∴∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF=5，
∵BE=3，
∴AB= AE2−BE2= 52−32=4，
∵AD//BC，∠B=∠BHF=90°，
∴四边形ABHF是矩形，
∴FH=AB=4，BH=AF=5，
∴EH=BH−BE=5−3=2，
∴EF= FH2+EH2= 42+22=2 5；
故答案为：2 5．
过F作FH⊥BC于H，根据将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，得∠AEF=∠CEF，由四边形ABCD是矩形，知∠AFE=∠CEF，故∠AFE=∠AEF，可得AE=AF=5，从而AB= AE2−BE2=4，求出FH=AB=4，BH=AF=5，知EH=BH−BE=2，即可得EF= FH2+EH2= 42+22=2 5．
本题考查矩形中的翻折问题，涉及勾股定理，平行线的性质等，解题的关键是掌握矩形性质和翻折的性质．
16.【答案】15 34
【解析】解：连接BD，设BD的中点为H，连接HF，HE，如下图所示：
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴HF是△ABD的中位线，HE为△BCD的中位线，
∴HF//AB，HF=12AB，HE//CD，HE=12CD，
∴∠AGF=∠HFE，∠HEF=∠EFC=60°，
∵AB=CD，
∴HF=HE，
∴∠HFE=∠HEF=60°，
∴△HEF为等边三角形，
∴∠HFE=∠AGF=60°，
∵∠AFG=∠EFC=60°，
∴△AFG为等边三角形，
设AG=a，则AF=FG=a，
∵点F是AD的中点，
∴FD=AF=a，
∴FD=FG=a，
∴∠FDG=∠FGD，
∵∠FDG+∠FGD=∠EFC=60°，
∴∠FDG=∠FGD=30°，
∴∠AGD=∠AGF+∠FGD=60°+30°=90°，
在Rt△ADG中，AG=a，AD=2a，DG= 3，
由勾股定理得：AD2−AG2=DG2，
即(2a)2−a2=( 3)2，
解得：a1=1，a2=−1(不合题意，舍去)，
∴AG=a=1，AD=2a=2，
∵AC=5，
∴AB=CD=AC−AD=5−2=3，
∴S△ABD=12AB⋅DG=12×3× 3=3 32，
∵△ABD边AD上的高与△BCD边CD上的高相同，
∴S△ABD：S△BCD=AD：CD=2：3，
∴S△BCD=3/2S△ABD=32×3 32=9 34，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=3 32+9 34=15 34．
连接BD，设BD的中点为H，连接HF，HE，由三角形的中位线定理得HF//AB，HF=12AB，HE//CD，HE=12CD，由此可证△HEF和△AFG均为等边三角形，设AG=a，则AF=FG=FD=a，进而得∠FDG=∠FGD=30°，则∠AGD=90°，由此可求出a=1，则AG=a=1，AD=2a=2，AB=CD=AC−AD=3，进而得S△ABD=12AB⋅DG=3 32，然后根据S△ABD：S△BCD=AD：CD=2：3，得S△BCD=9 34，据此可得△ABC的面积．
此题主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理等，熟练掌握三角形的中位线定理，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确的作出辅助线构造三角形的中位线及等边三角形是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)解第一个不等式得：x≥−1，
解第二个不等式得：x<3，
故原不等式组的解集为−1≤x<3；
(2)原方程去分母得：x−5=8x−12，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x−3≠0，
故原方程组的解为x=1．
【解析】(1)解各不等式后即可求得不等式组的解集；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查解一元一次不等式组及分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示：E、F即为所求．
【解析】作BD的垂直平分线与AD，BC的交点即可．
本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】解：(2x+5x2−1−3x−1)÷x−2x2−2x+1
=2x+5−3(x+1)(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x−2
=2x+5−3x−3x+1⋅x−1x−2
=−(x−2)x+1⋅x−1x−2
=1−xx+1，
∵−1≤x<3，(x+1)(x−1)≠0，x−2≠0，
∴x=0，
当x=0时，原式=1−00+1=1．
【解析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从−1≤x<3中选出一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC且AD=BC，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴AD=EF，
∵AD//EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AD=5，
∴AD=AB=BC=5，
∵EC=2，
∴BE=5−2=3，
在Rt△ABE中，AE= AB2−BE2= 52−32=4，
∴DF=AE=4，
在Rt△AEC中，AC= AE2+EC2= 42+22=2 5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，
∴OE=12AC= 5．
【解析】(1)根据菱形的性质得到AD//BC且AD=BC，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
(2)根据菱形的性质得到AD=AB=BC=5，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，
根据题意得：18x=24x+0.3，
解得：x=0.9，
经检验，x=0.9是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3=0.9+0.3=1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，依据题意得：
0.9m+1.2(25−m)≤26，
解得：m≥403，
∴m=14，
答：至少购买14个A型充电桩．
【解析】(1)设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价(x+0.3)万元，利用数量=总价÷单价，结合用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型充电桩的单价，再将其代入(x+0.3)中，即可求出B型充电桩的单价；
(2)设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25−m)个，根据购买总费用不超过26万元即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22.【答案】(3,2) (6,−2)
【解析】解：(1)∵C(−3,4)，O(0,0)，将线段CO先向右平移6个单位后，再向下平移2个单位，得到线段MN，
∴M(−3+6,4−2).N(0+6,0−2)，
即M(3,2)，N(6,−2)，
故答案为：(3,2)，(6,−2)；
(2)存在，∵A(6,0)，
∴OA=6，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC=OA=6，BC//OA，
∵C(−3,4)，
∴B(3,4)，
设直线MN的解析式为y=kx+b，
∴3k+b=26k+b=−2，
∴k=−43b=6，
∴直线MN的解析式为y=−43x+6，
∵点D是直线MN上的动点，在x轴上是否存在E，
设D(m,−43m+6)，E(n,0)，
∵以O，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，
∴当以OE为对角线时，由中点坐标公式得，n=6+m4−43m+6=0，
解得m=152n=272，
∴E(272,0)；
当以OB为对角线时，由中点坐标公式得，4=−43m+63=m+n，
解得m=32n=32，
∴E(32,0)；
当以OD为对角线时，由中点坐标公式得，m=3+n−43m+6=4，
解得m=32n=−32，
∴E(−32,0)，
综上所述，点E的坐标为(272,0)或(32,0)或(−32,0)．
(1)根据平移的性质即可得到结论；
(2)由A(6,0)，得到OA=6，根据平行四边形的性质得到BC=OA=6，BC//OA，求得B(3,4)，设直线MN的解析式为y=kx+b，解方程组得到直线MN的解析式为y=−43x+6，设D(m,−43m+6)，E(n,0)，根据平行四边形 到现在列方程组即可得到结论．
本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质、平移的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
23.【答案】6 3 4+2 3
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=AC=BC，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，∠BAE=∠EAC=30°，
∵AB=4，
∴BE=2，
∴AE= AB2−BE2=2 3，
同理AF=2 3，
∵∠CAE=∠CAF=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△EAF是等边三角形，
∴AE=AF=EF=2 3，
∴△AEF的周长为6 3，
故答案为：6 3．
(2)∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∵AB//CD，
∴∠BCD=120°，
∴∠ACD=60°=∠B，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF=60°−∠EAC，
∴△ABE≌△ACF(ASA)，
∴BE=CF，AE=AF，
∴△EAF是等边三角形，
∵△CEF周长=CE+CF+EF=CE+BE+AE=BC+AE=4+AE，
∴要使周长最小，实际求AE最小即可，
当AE⊥BC时，AE最小，此时AE=2 3，
∴△CEF周长最小值=4+2 3，
故答案为：4+2 3．
(3)如图，AH⊥BC于点H，AG⊥CD于点G，
∵AB=6，∠B=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴BH=AH=3 2，
∵BC=3 2+ 6，
∴CH= 6，
∴AC= AH2+CH2=2 6，
∴AC=2CH，
∴∠CAH=30°，∠ACH=60°，
∵∠BCD=120°，
∴∠ACD=60°=∠ACH，
∴AH=AG，
∵∠HAG=360°−90°−90°−120°=60°，
∴∠EAH=∠FAG，
∴△AEH≌△AFG(ASA)，
∴AE=AF，EH=FG，
∴CE+CF=EH+CH+CF=CH+CG=2 6，
在EB上截取EN=CF，连接AN，取AN中点M′，连接MM′，则MM′是△ANC的中位线，
∵∠ACD+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AEC+∠AEN=180°，
∴∠AFC=∠AEN，
∴△ACF≌△ANE(SAS)，
∴∠EAN=∠CAF，FM=EM′，
∴∠NAC=∠EAF=60°
∴△AEF是等边三角形，
∴NC=AC=2 6，
∴MM′= 6，
∴EM+FM=EM+EM′≥M′M′′，
作M关于BC对称点M′′，连接M′M′′交BC于点O，
∵MM′//BC，
∴MM′⊥MM′′，
∵CM=12AC= 6，∠MCO=60°，
∴OM=3 22，
∴MM′′=3 2，
在Rt△MM′M′′中，M′M′= MM′2+MM″2=2 6．
此时ME+EC+CF+MF=2 6+2 6=4 6，
∴ME+EC+CF+MF有最小值，最小值为4 6．
(1)证出△AEF是等边三角形，再求出AE的长度即可求解；
(2)先证△ABE≌△ACF，得到BE=CF，所以要求周长最小，实际上就是求AE最小，当AE⊥BC时最小，进而求解即可；
(3)根据前两问思路可得出，EC+CF是个定值，所以要求ME+EC+CF+MF的最小值，实际转化为ME+MF的最小值，构造手拉手全等，再作对称点三点共线即可．
本题主要考查了菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
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