2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区八年级下学期期中数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列四个生活安全警示图标，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 用反证法证明，“在中，、对边是、若，则”第一步应假设( )
A. B. C. D.
4. 一组数据，，，，，，，若加入一个数，一定不会发生变化的统计量是( )
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数
5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6. 某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，大坝横截面的迎水坡的坡比为：，即：：，若坡面长度米，则坡面的水平宽度长为( )
A. B. C. D.
8. 如图，菱形的顶点，分别在轴正半轴，轴正半轴上，点的横坐标为，点的纵坐标为，若直线平行轴，则菱形的边长值为( )
A. B. C. D.
9. 从一块腰长为的等腰直角三角形铁皮零料上裁出一块面积为的矩形铁皮，要求矩形的四个顶点都在三角形的边上若裁出的矩形全等视为同种裁法，则有几种不同的裁法？( )
A. B. C. D.
10. 如图，点是矩形内一点，连结，，，，，知道下列哪个选项的值就能要求的面积( )
A. 与面积之差
B. 与面积之差
C. 与面积之差
D. 与面积之差
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 化简：______ ．
12. 已知一组数据是，，，，则这组数据的方差是______ ．
13. 若是方程的一个解，则的值为______．
14. 如图，在四边形中，，点在边上，连结，若与互补，则的值为______ ．
15. 如图，用长为米的铝合金制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米，则的长是______ 米用含，的代数式表示
16. 如图，在凸四边形中，，，，，连结，取中点，连结，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
解方程：
18. 本小题分
图是由边长为的正方形构成的的网格图，线段的端点都在格点上．
在图中画出一个以为一边，面积为的矩形，并直接写出矩形对角线的长为______ ；
命题“一组对边相等且有一个内角是直角的四边形是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图中画一个顶点都是格点的凸四边形说明；若是真命题，请进行证明．
19. 本小题分
某公司需招聘一名员工，对应聘者、、从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核、、各项得分如表：
根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于分、分、分，并按，，的比例计入总分，总分最高者将被录用根据规定，请你说明谁将被录用．
20. 本小题分
商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答：
商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示；
在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元？
21. 本小题分
如图，在矩形中，点，分别在，上，且．
求证：四边形是平行四边形；
若，，四边形是菱形，求长．
22. 本小题分
我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】请直接写出的最小值______ ；
【拓展应用】试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
23. 本小题分
如图，在边长为的正方形中，点在边上，，连结，点，点分别是线段，边上的动点．
如图，连结，，若，，三点共线，且．
求证：；
求的长；
如图，若，，则的长为______ ；
问题：“如图，若，直线刚好平分正方形的面积，求的长”在解决这一问题时，小红想先找到对应的点，然后再求的长经过不断的思考探索后，小红尝试以为原点，建立坐标系来解决这一问题．
请你帮助小红用无刻度的直尺在图中找到点，并直接写出的长为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是中心对称图形，故本选项符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
2.【答案】
【解析】解：不能合并，故选项A不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：．
熟记反证法的步骤，直接选择即可．
本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
4.【答案】
【解析】解：、原来数据的方差加入一个数后的方差一定发生了变化，不符合题意；
B、原来数据的平均数是，加入一个数，平均数一定变化，不符合题意；
C、原来数据的中位数是，加入一个数后，如果中位数一定变化，不符合题意；
D、原来数据的众数是，加入一个数后众数仍为，符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得到结论．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，即，
解得，
的取值范围是．
故选：．
由关于的一元二次方程没有实数根，根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据某商品经过连续两次降价，价格由元降为元，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：坡面的坡度为：，
，即，
由勾股定理得，，
则，
解得，
故斜坡的水平宽度的长为米．
故选：．
根据坡度的概念得到，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：连接，交于，
四边形是菱形，
，，，
平行轴，，
，
点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，
，，
．
菱形的边长值为．
故选：．
由菱形的性质得到，，，由点的横坐标为，点的纵坐标为，得到，，由勾股定理即可求出的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是掌握菱形的性质，勾股定理．
9.【答案】
【解析】解：中，，，则，
如图，矩形的边在上，顶点、分别在、上，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
矩形的面积是，，
，
解得，，
或，
，或，，
如图，矩形的边在上，在上，顶点在上，
，
，
，
设，则，
解得，，
或，
，或，，这两个矩形全等，
有种不同的裁法，
故选：．
中，，，分两种情况，一是矩形的边在上，顶点、分别在、上，可证明≌，得，设，则，可求得，或，；二是矩形的边在上，在上，顶点在上，设，则，可求得，或，，这两个矩形全等，所以有种不同的裁法，于是得到问题的答案．
此题重点考查等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大．
10.【答案】
【解析】解：过作于，延长交于，
四边形是矩形，
，，
，
的面积，的面积，
的面积的面积矩形的面积，
的面积矩形的面积，
的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积的面积的面积的面积．
故选：．
过作于，延长交于，由四边形是矩形，得到，，由的面积，的面积，推出的面积的面积的面积，而的面积的面积的面积的面积，于是即可得到答案．
本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式推出的面积的面积的面积．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：这组数据的平均数是：，
这组数据的方差是：．
故答案为：．
先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
13.【答案】
【解析】解：把代入方程得：，
整理得：，
．
故答案为：
把代入方程计算即可求出所求式子的值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
14.【答案】
【解析】解：，
，
与互补，
，
．
故答案为：．
根据已知条件得出，再根据，即可得出的度数．
此题考查了多边形内角与外角，掌握四边形的内角和是是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
矩形，矩形，矩形的面积均相等，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
设，根据矩形，矩形，矩形的面积均相等，得出，再根据窗户框的总长为米，得出，从而表示出的长．
本题考查了列代数式，关键是根据矩形面积公式表示出的长．
16.【答案】
【解析】解：作于，取中点，连接，，，
是中点，
是的中位线，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
作于，取中点，连接，，，得到是的中位线，求出，由等腰直角三角形的性质求出，的长，得到垂直平分，因此，推出，由勾股定理求出的长，由，即可求出的最小值．
本题考查直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键是由三角形中位线定理求出的长，由勾股定理求出的长，由即可解决问题．
17.【答案】解：
；
，
，
，
或，
或．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用平方根的意义进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图中，四边形即为所求，对角线．
故答案为：．
是假命题，如图，，四边形表示矩形．
作一个长为，宽为的矩形即可；
是假命题，画图说明即可．
本题考查作图应用与设计作图，命题与定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：、、三人的平均分分别是，
，，，
所以三人的平均分从高到低是：、、；
因为的面试分不合格，所以甲首先被淘汰．
的加权平均分是：；
的加权平均分是：；
因为丙的加权平均分最高，因此，将被录用．
【解析】利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
利用加权平均数公式求解，即可判断．
此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键．
20.【答案】解：；
解：设每件商品降价元，则
由题意得：，
化简得：，
即，
解得：，，
该商场为了尽快减少库存，
降的越多，越吸引顾客，
选，
答：每件商品降价元，商场日盈利可达元．
【解析】解：降价元，可多售出件，降价元，可多售出件，盈利的钱数原来的盈利降低的钱数；
等量关系为：每件商品的盈利可卖出商品的件数，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
本题考查列代数式和一元二次方程的应用，得到总盈利元的等量关系是解决本题的关键．
21.【答案】证明四边形 是矩形，
，，
，
，
，
四边形 是平行四边形；
解：设，
四边形 是矩形，
．
四边形 菱形，
，
，
，
，
，
．
【解析】由矩形的性质得到，，而，因此，得到，即可证明四边形 是平行四边形；
设，由菱形的性质，勾股定理得到，求出的值即可得到的长．
本题考查矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，关键是掌握平行四边形的判定，菱形的性质；应用勾股定理列出关于的方程．
22.【答案】
【解析】解：
，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为；
故答案为：；
，
，
，
无论取何实数，二次根式都有意义；
，
四边形的面积，
，
，
四边形的面积
，
当，四边形的面积最大，最大值为．
利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；
利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义；
利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题．
本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．
23.【答案】
【解析】解：四边形 是正方形，
，．
又，
≌，
．
，
，
，
，
即 ．
四边形 是正方形，
．
，
，
．
，
，
；
连接交于，则，
由知≌，
，
，
，
，
，
由可知，
，
故答案为：；
如图，连接，交于点，连接交于，则直线平分正方形的面积．
以为原点，建立坐标系如下：
正方形的边长为，，
，，，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，
解得，
，
．
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得出证出，则可得出结论；
求出的长，则可得出答案；
连接交于，则，由等腰直角三角形的性质得出答案；
求出，，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立得方程组，求出点的坐标，则可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
笔试
面试
体能