第11讲 锐角的三角函数（原卷版讲义）

这是一份第11讲 锐角的三角函数（原卷版讲义），共25页。

知识点一 锐角三角比的概念
正弦
（1）定义：在中，，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
2.余弦
（1）定义：在中，，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
3.正切
（1）定义：在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
4.余切（拓展）
（1）定义：在中，，锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，即；
（2）符号语言:在中,，.
特别提醒：
(1)在直角三角形中,锐角的正弦、余弦、正切、余切反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值,它没有单位
(2)在表示正弦、余弦、正切、余切时,单字母表示的角通常省略角的符号,而三个字母表示的角不能省略角的符号.如的正弦、余弦、正切、余切分别记为,,，;的正弦、余弦、正切、余切分别记为,，，
(3),,,是完整的符号，不能写成 ,,,
(5)在中，，,,的对边分别是,,.由正弦、余弦、正切、余切的定义可知 ，，，.
【例1】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，CB=5，求∠B的三个三角函数值．
【答案】sinB=1213，csB=513，tanB=125
【分析】由勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，利用三角函数的定义即可完成．
【详解】在RtΔABC中，
∵∠C=90°，AB=13，CB=5，
∴AC=AB2−CB2
=132−52
=12．
∴sinB=ACAB=1213，
csB=BCAB=513，
tanB=ACBC=125．
【点睛】本题考查了求锐角三角函数值，掌握三个锐角三角函数的定义是关键．
知识点二 锐角三角比中的相互关系
直角三角形中要分清锐角的对边和邻边.
在中，，可知,所以互余，即,.
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AC=4，BC=3．
(1)求BD的长；
(2)求∠ACD的余切值．
【答案】(1)95
(2)34
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形面积公式，利用等面积法可得CD的长，再根据勾股定理求解即可；
（2）由（1）得：BD=95，从而得到AD=AB−BD=165，再由余切值等于邻边与对边的比，即可求解．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32= 5，
∵CD是AB边上的高，
∴12AB⋅CD=12AC⋅BC即12×5CD=12×4×3，
∴CD=125，
在Rt△BDC中，由勾股定理得
BD=BC2−CD2=32−1252=95；
（2）解：由（1）得：BD=95，
∴AD=AB−BD=165，
∴ct∠ACD=CDAD=125165=34．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积，求余切值，熟练掌握勾股定理，利用等面积法求线段长是解答的关键．
【变式2-1】如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB=12，AC=10，cs∠CAB=45．
(1)求△ABC的周长；
(2)求∠DAB的余切值．
注意：
三角函数与勾股定理联系紧密，要熟悉几组常用勾股数：
(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)6,8,10;(4)7,24,25;(5)8,15,17;(6)9,40,41.
知识点三 锐角三角函数
对于锐角A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sin A是锐角A的函数.同样地cs A ,tan A，ct A也是锐角A的函数，即锐角A的正弦、余弦、正切、余切都是∠A的锐角三角函数.
知识点四 30°,45°,60°角的三角函数值

特别提醒
根据上表可直接求得特殊角的锐角三角函数值，并用来计算,反过来,已知一个特殊角的锐角三角函数值,可求出相应的锐角.

【例3】在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝35，求csA、tanA以及∠B的三个三角函数值．
【分析】根据已知角A的正弦设BC=3kk>0，得出AB=5k，由勾股定理求出AC=4k，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】∵sinA＝35＝BCAB，
∴设BC=3kk>0，AB=5k，由勾股定理得：AC=4k，
则csA＝ACAB=4k5k=45，
tanA＝BCAC=3k4k=34，
sinB＝ACAB=45，
csB＝BCAB=35，
tanB＝ACBC=43．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟练掌握定义是关键．
【变式3-1】已知α为锐角，tanα=2cs60°，那么α= 度．
知识点五 三角函数值的计算
逆用特殊三角函数值进行混合运算，运算顺序与之前学习的有理数运算顺序一致，注意符号和去括号错误，运算结束不要忘记检查.
【例4】计算：
(1)12sin30°+22cs45°+sin30°tan60°；
(2) sin45°⋅cs45°+sin60°⋅tan45°tan45°⋅tan60°+3tan230°+tan45°cs30°．
【分析】（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘法，再算加法；
（2）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】（1）解：原式=12×12+22×22+12×3
=14+12+32
=34+32
=3+234；
（2）原式=22×22+32×11×3+3×(33)2+132
=12+12+3×13+233
=1+1+233
=2+233．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【变式4-1】计算： 2tan45°−2cs30°ct30°−2sin260°．
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考点一：正弦的概念辨析
例1．（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（单位：米）（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（21-22九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式1-3】如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ．
考点二：求角的正弦值
例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，连接、、，且交于，交于，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（22-23九年级上·安徽安庆·期末）等腰梯形的上底为，下底为，面积为，则较小的底角的正弦值为（ ）
A．2B．C．D．
【变式2-2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，为的中点，点在射线上，过点作于点，连接．请探究下列问题：
（1） ；
（2）当时， ．
考点三：己知正弦值求边长
例3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】（2023·安徽蚌埠·二模）如图①，在中，，点，分别从点，A出发，以每秒个单位长度的速度向A，移动，当点到达点A时，点也停止移动，的面积随时间的变化情况如图②所示，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【变式3-2】（21-22九年级上·安徽合肥·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为_______
【变式3-3】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长．
考点四：求角的余弦值
例4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中中，，，，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在正方形网格中位置如图所示，则的值为 ．
考点五：余弦的概念辨析
例5．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【变式5-1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知，则锐角A的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）已知锐角满足，则 ．
考点六：已知余弦求边长
例6．（23-24九年级下·安徽淮南·阶段练习）已知在中，，，，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的对角线与相交于点O，的角平分线分别交于M，N两点．若，则线段的长为（ ）
A．B．C．2D．
【变式6-3】（2023·安徽淮北·二模）如图，为的边上一点，，，，，则（ ）
A．B．C．D．4
考点七：求角的正切值
例7．（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（ ）
A．2或B．2或C．3或D．3或
【变式7-1】（23-24九年级下·安徽池州·开学考试）在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，在四边形中，，连接交于点F，O在上，，．
（1）若，则 °
（2）若，则
【变式7-3】（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ．
考点八：己知正切值求边长
例8．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，为等边内一点，，交于点．若，．则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2024·安徽滁州·二模）如图1，在中， 在内作，其中点D，E分别在边，上，过点 B作，垂足为点 F，且交 于点G．
(1)求证：；
(2)如图2，若是的中线，且，求 的值．
【变式8-2】（2024·安徽合肥·二模）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），杯底，点O是的中点，，杯子的高度（即，之间的距离）为，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）．
(1)求杯体所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与y轴交于点E（图2），过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处（），如图3．
①请你以的中点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
【变式8-3】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，中，，平分交于点D，交于点E，．
（1）的值为 ；
（2）的面积为 ．
考点九：特殊三角形的三角函数
例9．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（ ）

A．B．C．2D．
【变式9-1】（2024·安徽宿州·三模）计算：．
【变式9-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：．
【变式9-3】（2024·安徽淮南·二模）计算：．
考点十：由特殊角的三角函数值判断三角形形状
例10．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形
【变式10-1】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在中，若，则么一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【变式10-2】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形．
【变式10-3】（2024·重庆忠县·一模）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
考点十一：根据特殊角三角函数值求角的度数
例11．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（ ）
A．B．C．30°D．60°
【变式11-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若为锐角，，则 ．
【变式11-2】（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）若锐角满足，则 ．
【变式11-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）在中，，都是锐角，且，则是 三角形．
考点十二：己知角度比较三角函数值的大小
例12．（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）已知，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-1】（22-23九年级上·福建泉州·期中）三角函数，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式12-2】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）．
【变式12-3】（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．
(1)若，，，试比较、的大小；
(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．
考点十三：根据三角函数值判断锐角的取值范围
例13．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-1】（20-21九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期末）若，可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-3】（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，则锐角的取值范围是 ．
考点十四：利用同角三角函数关系求值
例14．（2024·安徽亳州·一模）如图，在正方形中，E是的中点，在延长线上取点F，使，过点F作交于点M，交于点G，交于点N，连接，， ．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为2．
①求的值；
②求四边形的面积．
【变式14-1】（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【变式14-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，在矩形中，点E是的中点，连接，，过点B作的垂线交，于点F，G．设．

(1)求证：；
(2)如图1，连接，若，求m的值；
(3)如图2，若平分，过点D作的垂线交，及的延长线分别于点P，H，M．若，求的长．
【变式14-3】（22-23九年级上·安徽宣城·期末）已知为锐角， ，求的值．
考点十五：互余两角三角函数的关系
例15．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式15-1】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若锐角A满足，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）在中，，则的值为 ．
【变式15-3】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．

(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
考点十六：三角函数综合
例16．（2024·安徽蚌埠·三模）如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F．
(1)求的值；
(2)如图2，若，求的长；
(3)如图3，当时，求的长．
【变式16-1】（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、，
(1)求证：；
(2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M．
①求证：；
②若，，求的长．
【变式16-2】（2023·安徽·模拟预测）某校数学兴趣小组对四边形进行了如下探究：在四边形中，对角线相交于点．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若（为锐角），求四边形的面积；（用含的代数式表示）
(3)如图3，若，求四边形的面积．
【变式16-3】（22-23八年级下·安徽亳州·期中）如图，等腰的底边，高，M是的中点，连接．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以为边作正方形，使G，H和点A在的同侧，设点E运动的时间为t秒．

(1)当时，用含t的代数式表示的长；
(2)设正方形面积为，正方形与重叠面积为，当时，求t的值；
(3)在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒个单位的速度沿折线段，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形内（含边界）的时长．
【变式16-4】（2022·内蒙古呼和浩特·三模）抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围．
【例1】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化D．不能确定
易错攻克
锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，与所在的直角三角形的边的长短无关。
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，求sinB的值.
易错攻克
锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，当给出的三角形不是直角三角形时，需通过作高等方法构造出直角三角形.
1．（2024·安徽合肥·二模）已知，点E是的中点，平分，，若，，则长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知正方形中，，点E是边上的点（不与点B，C重合），等腰直角的斜边与边交于点Q，连接，则的最小值等于（ ）

A．1B．2C．D．
3．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，则点C的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·安徽芜湖·一模）计算的值为（ ）
A．4B．C．D．
5．（2024·安徽蚌埠·三模）计算：
6．（2024·安徽合肥·二模）如图，在菱形中，是坐标原点，点在轴上，点，都在第一象限，反比例函数的图象经过点，与线段交于点，，则的面积是 ．
7．（2024·安徽芜湖·三模）如图，直线AB的解析式为，与双曲线相交于A，B两点，且点A的坐标为．
（1） ．
（2）如图，若轴，轴，直线与直线相交于点D，则 ．
8．（23-24九年级下·安徽宣城·开学考试）计算：
9．（2024·安徽六安·二模）计算：
10．（2024·安徽淮南·模拟预测）计算：．
11．（2024·安徽淮北·三模）如图，在正方形中，点E是的中点，连结，，过点C作的垂线交，于点G，F．
(1)求证：F是的中点；
(2)求的值；
(3)求与的面积比．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1.理解正弦、余弦、正切、余切这四个锐角三角函数的概念,能准确地用直角三角形两边的比表示这些函数，
2.掌握特殊角的三角函数值,会计算含有特殊角的三角函数的运算式,能根据特殊角的三角函数值得出对应锐角的度数.
3.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角比值，并能根据这些值说出对应的锐角度数；能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角比的运算式。
三角比的值
角度