第19讲 探索三角形相似的条件（解析版讲义）

这是一份第19讲 探索三角形相似的条件（解析版讲义），共39页。学案主要包含了相似三角形，相似三角形的判定定理，解答题等内容，欢迎下载使用。

知识点一、相似三角形
在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.
知识点二、相似三角形的判定定理
1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）
要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）
考点一：两角对应相等，两个三角形相似
例1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC．
【答案】见解析
【分析】根据，得出，根据可判断，可证．
【详解】证明，
，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线性质，三角形相似判定，掌握平行线性质，三角形相似判定是解题关键．
【变式1-1】如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．
【答案】见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．
【答案】证明见解析．
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在中，，于点．
（1）求证：；
（2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可；
（2）两次用同角的余角相等推出和即可．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键．
考点二：两边成比例且夹角相等，两个三角形相似
例2.如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF．
【答案】见解析
【分析】根据题意得出，然后由∠1＝∠2得出∠BAC＝∠EAF，利用相似三角形的判定即可证明
【详解】证明：如图，
∵AB•AF＝AE•AC，
∴，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF，即∠BAC＝∠EAF，
∴△ABC∽△AEF．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
【变式2-1】如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】见解析
【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
【详解】证明：∵，，，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
【变式2-2】如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．
(1)求AC的长；
(2)若，求证：△ADE∽△ABC．
【答案】(1)AC=；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可；
（2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得出△ADE∽△ABC．
（1）
解：∵EF∥CD，
∴，
∵AF=3，AD=5，AE=4，
∴，
解得：AC=；
（2）
证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式2-3】如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论．
【答案】（1），；（2），证明见解析
【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长．
（2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断．
【详解】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形，
∴∠GBC=45°，
∵∠ABG=90°，
∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°；
∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2，
∴；
故答案为：，；
（2）解：相似．理由如下：
∵，，
∴，
∴
又∵
∴．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
考点三：三边对应成比例，两个三角形相似
例3. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】相似，理由见解析
【分析】根据勾股定理求出AB，BC，AC，DE，DF，EF的长，再根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：△ABC和△DEF相似；理由如下：
根据题意得：AB＝2，，；
，，EF＝2，
∴，，，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
【点睛】本题主要考查了网格图与勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【变式3-1】根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：
(1)，，，，，；
(2)，，，，，．
【答案】(1)相似，理由见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）计算对应边的比，根据三边对应，两三角形相似，进而判断即可；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可．
（1）
解：∵，，，
∴．
∴．
（2）
∵，，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
【变式3-2】如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据比例的性质可得，，即可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【变式3-3】如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先利用勾股定理分别求解再分别计算：可得两个三角形的三边对应成比例，从而可得结论.
【详解】解：由勾股定理可得：




【点睛】本题考查的是二次根式的运算，勾股定理的应用，相似三角形的判定，熟悉三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键.
考点四：添一个条件使两个三角形相似
例4. 如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．
【详解】解：添加，可以使两个三角形相似．
∵，，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．
【变式4-1】如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．
【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【变式4-2】如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________．
【答案】∠B=∠C（答案不唯一）
【分析】根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC．
【详解】解：∵∠AOB=∠DOC，
∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
【变式4-3】如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可）
【答案】或或（答案不唯一）
【分析】先由AD∥BC，得到∠DAC=∠ACB，然后利用相似三角形的判定定理，做题即可．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴当∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或
∴都可得相似．
故答案为：∠B=∠DCA或∠BAC=∠D或（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
考点五：判断三角形相似
例5. （23-24九年级上·四川眉山·期末）根据下列各组条件，不能判断和相似的是（ ）
A．，，
B．，，，
C．，，；，，
D．，，；，，
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，则，故A不符合要求；
∵，，，，
∴，，则，故B不符合要求；
∵，，；，，，
∴，不能判断和相似，故C符合要求；
∵，，；，，，
∴，，则，故D不符合要求；
故选：C．
【变式5-1】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意；
C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意；
D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意；
故选：D．
【变式5-2】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故A不符合题意；
如图2，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故B不符合题意；
如图3，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故C不符合题意；
如图4，
∵，
∴，，
∴，
假设，
∵，
∴，与已知条件不符，
∴与不相似，
故D符合题意，
故选：D．
【变式5-3】（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，，添加一个条件：① ；② ；③；④．其中能判定 的是（ ）．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理“两角分别对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，
先根据，得出，再由相似三角形的判定定理对各项逐一判断即可．
【详解】解：，，
①添加，则，本项符合题意；
②添加，则，本项符合题意；
③添加；无法判断，本项不合题意；
④添加；则，本项符合题意；
故选：B．
考点六：三角形相似有关比例变形式
例6. （23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接．下列结论中正确的个数有（ ）
①；②；③平分；④．

A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】①根据旋转的性质知，因为，，所以，可得的度数；
②因为与不一定相等，根据三角形相似的判定即可作出判断；
③证明，得，即可；
④，，，根据勾股定理判断．
【详解】解：①∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，故结论①正确；
②∵，，
∴，
但与不一定相等，
∴与不一定相似，故结论②错误；
③∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴平分，故结论③正确；
④∵，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转后，得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，故结论④正确，
∴结论正确的个数有个．
故选：C．
【点睛】本题属于图形的旋转变换，考查了旋转的性质，相似的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理．掌握旋转的性质、勾股定理及相似的判定是解题的关键．
【变式6-1】如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确；
②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确；
③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确；
④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求的长，计算的值，即可判断结论是否正确．
【详解】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
①正确；
，
，
，
是边的中点，
，
，
②正确；
如图，过点D作，分别交，于点M，N，
则四边形平行四边形，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
③正确；
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
④错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
【变式6-2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为中点，，连接，那么下列结论中：与相似；与相似；与相似：与相似；；其中错误的有（ ）个．
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定，根据正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，则，
∵为中点，，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，，
∵，
∴为直角三角形，，故正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，故正确；
∵，
∴和不相似，故错误；
④正确；
∴正确的有：①②④⑤，错误的有1个，
故选：B．
【变式6-3】（23-24九年级上·安徽·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E，F，连接，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的个数是（ ）

A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；三角形相似的判定，勾股定理证明判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵是等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
在中，，
∴，，
∴，故③错误；
设，则，
根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故⑤正确．
综上分析可知，正确的结论有4个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．
考点七：三角形相似的证明综合题
例7. （23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接．
(1)求证：平分．
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）可推出，，进而推出，从而得出，从而平分；
（2）可推出，，从而，进一步得出结论．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
将沿着折叠后得，
，，
，，
，
，
，
平分．
（2）证明：由折叠可得：，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件．
【变式7-1】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
【答案】(1)见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论；
（2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵点F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：与相似，理由如下：
设，
∵E为边的中点，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键．
【变式7-2】（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，平分，作交于点E，垂足为F．作，垂足为G．

(1)求证：．
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键．
（1）由已知条件先证∽，再得出对应成比例的线段即可；
（2）先证≌，得出，再证∽，得出成比例的线段即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
又∵，
∴∽，
∴，即．
（2）证明：∵平分，
∴．
又∵，，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴∽，
∴，即，
∴．
【变式7-3】（2024·上海金山·二模）如图，已知：D是的边上一点，点E在外部，且，，交于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案；
（2）先证明，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
一、单选题
1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）依据下列条件不能判定与相似的是（ ）
A．，，，，，
B．，，，，
C．，，
D．，，，，，
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，直接根据定理内容逐一判定即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得
故A不符合题意；
∵，但与不是夹角，
∴不能判定与相似，
故B符合题意；
∵，，
∴
∴，
根据两角分别对应相等的两个三角形相似可得
故C不符合题意；
∵，
∴根据三边成比例的两个三角形相似可得
故D不符合题意；
故选：B．
2．（2024·云南昆明·二模）如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．
【详解】解：∵，
∴，
、添加，不能判定，此选项不符合题意；
、添加，不能判定，此选项不符合题意；
、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意；
、添加，不能判定，此选项不符合题意．
故选：C．
3．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】解：∵，
，故①正确；
∵，
∴是等腰三角形，与不一定相等，
∴与不相似，故②错误；
∵，，
，故③正确；
，即，
此两个对应边的夹角不是，
∴与不相似，故④错误；
能满足和相似的条件是①③，
故选：B．
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，E、F分别为、的中点，连接，H为的中点，过点H作，交于点 D，连接，则与相似(不含)的三角形个数为（ ）
A．1B．4C．8D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定等知识点，由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】∵E、F分别为、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：D．
5．（2024·天津和平·一模）如图，已知，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、，，
，
故A不符合题意；
B、，，
，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：D．
二、填空题
6．（23-24九年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知，则图中相似三角形是 ．

【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
7．（2024·云南昆明·三模）如图，在四边形中，平分，且，．当 时，．
【答案】9
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
当时，，
即：，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：9．
8．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与相似的三角形是 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
【详解】解：观察图象可知，
．
故答案为：．
9．（23-24九年级上·四川成都·期末）某工件横截面如图1所示，已知，，．现将一根宽为2cm的直尺分别按图2及图3的方式摆放（图3中，直尺恰好卡在AD之间），测得，，则该工件的内径长为 ．

【答案】
【分析】设直尺与的交点为F，过点D作于点H，先证明四边形是平行四边形，得到的长及，根据勾股定理求得的长，进一步得到，的长，再证明，求出的长，以及证明是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一性质得到的长，即得答案．
【详解】解：设直尺与的交点为F，过点D作于点H，
则由已知得，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
10．（22-23九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可）
【答案】 是 ，
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出．
【详解】（1）如图，

∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：是；
（2）∵，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
故答案为：，．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．
三、解答题
11．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：．
【答案】②，见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．
【详解】证明：选择①
∵，
∴，
∵，
∴．
12．（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由．
【答案】相似，理由见解析
【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定方法，根据小正方形的边长求出两个三角形的三边长，然后根据来判定两个三角形是否相似．
【详解】解：与相似，理由如下：
由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理得：
；
∴；
∴．
13．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．

【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，得到，求出，根据相似三角形的判定得到结论即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
14．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由．
(1)，，，，，；
(2)，，，．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，
（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论；
（2）由三角形内角和定理求出，得出，，即可得出结论；
熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边对应成比例或两角对应相等是解题的关键．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，，，，，
∴，，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，，，，
∴，
∴，，
∴．
15．（23-24九年级上·江西景德镇·期末）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中的边上确定一点E，连接，使；
(2)在图②中的边上确定一点P，在边上确定一点Q，连接，使，且相似比为．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：
（1）作于E，一个公共角以及另一组对应角为，即可作答；
（2）作出，的中点，即可．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：如图所示，点，点即为所求．
16．（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）证明，即可；
（2）根据平行得到，再根据，即可得证．
掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）∵正方形，
∴，
∴，
又，
∴．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；
2．掌握相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3；
3．能熟练运用相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3。