第19讲 直角三角形与勾股定理（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)
第十九讲 直角三角形与勾股定理
一、必备知识点 2
考点一 直角三角形的判定 2
考点二 勾股定理的应用--最短路径 5
考点三 勾股定理的应用二--翻折问题 7
考点四 直角三角形的性质--斜中半 11
考点五 直角三角形有关几何证明 18















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一、必备知识点
1．直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
性质：(1)直角三角形两锐角互余；
(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
判定：(1)两个内角互余的三角形是直角三角形；
(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
2．勾股定理及逆定理
(1)勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．









考点一 直角三角形的判定

1．△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A．a：b：c＝3：5：6 B．a2﹣c2＝b2
C．∠A﹣∠B＝∠C D．a＝，b＝3，c＝4
【解答】解：A、不妨设a＝3，b＝5，c＝6，此时a2+b2＝34，而c2＝36，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；
B、由条件可得到a2＝c2+b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；
C、由条件可得∠A＝∠B+∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，可求得∠A＝90°，故△ABC为直角三角形；
D、由条件有a2+b2＝()2+32＝16＝42＝c2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
2．△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上中线AP＝12，则AB，AC关系为(　　)
A．AB＞AC B．AB＝AC C．AB＜AC D．无法确定
【解答】解：∵AP是中线，AB＝13，BC＝10，
∴BP＝BC＝5．
∵52+122＝132，即BP2+AP2＝AB2，
∴△ABP是直角三角形，则AP⊥BC，
又∵BP＝CP，
∴AC＝AB＝13．
故选：B．

3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A．a：b：c＝4：5：6 B．b 2＝a2﹣c2
C．∠A＝∠C﹣∠B D．a＝3，b＝4，c＝5
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
B、∵b2＝a2﹣c2，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵∠A＝∠C﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是(　　)
A．a＝3，b＝5，c＝4 B．a＝12，b＝14，c＝15
C．a＝，b＝4，c＝5 D．a＝9，b＝41，c＝40
【解答】解：A、32+42＝52，能组成直角三角形，故此选项不合题意；
B、122+142≠152，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、42+52＝()2，能组成直角三角形，故此选项不合题意；
D、92+402＝412，能组成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
5．四边形ABCD中，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，且∠C＝90°，则四边形ABCD的面积为(　　)

A．84 B．36 C．54 D．72
【解答】解：连接BD，
在Rt△BCD中，∠C＝90°，BD＝＝5，
∵52+122＝132，
即BD2+AB2＝AD2，
∴△ABD为直角三角形，
∴四边形的面积＝S△ADB+S△BCD＝BD•AB+BC•CD＝×5×12+×3×4＝36．
故选：B．

6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是(　　)
A．B． C．D．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+202≠252，242+152≠252，故C不正确；
D、72+242＝252，152+202＝252，故D正确．
故选：D．



考点二 勾股定理的应用--最短路径

7．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为(　　)

A．10cm B．12cm C．15cm D．20cm
【解答】解：如图，
(1)AB＝＝＝3；
(2)AB＝＝15，
由于15＜3；
则蚂蚁爬行的最短路程为15cm．
故选：C．

8．如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为(　　)

A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【解答】解：已知如图：
∵圆柱底面直径AB＝cm、母线BC＝12cm，P为BC的中点，
∴圆柱底面圆的半径是cm，BP＝6cm，
∴AB＝×2××π＝8cm，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝10(cm)，
∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10cm，
故选：B．

9．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为(　　)

A．米 B．米 C．米 D．5米
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5(米)，
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．


考点三 勾股定理的应用二--翻折问题

10．如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16，则CE的长度为(　　)

A． B． C． D．
【解答】解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，
∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，
∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，
∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，
∴∠A＝∠ACD，
∴CD＝AD＝3x，
∴AB＝AD+DB＝8x＝16，
∴x＝2，
∴CD＝6，BD＝10，B'C＝4，
∴BC＝＝8，
设CE＝a，则BE＝8﹣a＝B'E，
∵CE2+B'C2＝B'E2，
∴a2+32＝(8﹣a)2，
解得a＝3，
∴CE＝3，
故选：C．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由折叠可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
FC2＝FB2+BC2，
即x2＝(8﹣x)2+42，
解得x＝5，
即AF＝5，
故选：B．
12．如图，矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，沿DM将三角形CDM进行翻折，点C的对应点为点E，若AB＝6，BC＝8，则BE的长度为(　　)

A．4 B． C． D．
【解答】解：∵矩形ABCD中，已知点M为边BC的中点，AB＝6，BC＝8，
∴CD＝AB＝6，BM＝CM＝4，
∴DM＝＝2，
∵沿DM将三角形CDM进行翻折，
∴ME＝CM＝4，∠EMD＝∠CMD，
∴BM＝EM，
过M作MF⊥BE于F，
∴BE＝2BF，∠BMF＝∠EMF，
∴∠EMF+∠DME＝90°，
∴∠BME+∠CMD＝90°，
∵∠CMD+∠CDM＝90°，
∴∠CDM＝∠BMF，
∵∠BFM＝∠C＝90°，
∴△BFM∽△MCD，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴BE＝2BF＝，
故选：D．

13．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为(　　)

A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：如图，延长BC交AE于H，

∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，
∴∠ACB＝120°，
∵将△ACB沿直线AC翻折，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，
∵∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝15°，
∴∠CAE＝30°，
∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，
∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，
∴∠AED＝∠EAC，
∴AC＝EC，
又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，
∴△ABC≌△EBC(SAS)，
∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，
∴AH＝EH，BH⊥AE，
∵∠CAE＝30°，
∴CH＝AC＝，AH＝CH＝，
∴AE＝2，
∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴BE＝＝2，
故选：C．


考点四 直角三角形的性质--斜中半

14．如图，在△ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将△BCD沿着CD翻折，得到△ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，则点C到AB的距离为(　　)

A． B．4 C． D．2
【解答】解：连接BE，延长CD交BE于点G，作CH⊥AB于点H，如图所示，
由折叠的性质可得：BD＝DE，CB＝CE，
则CG为BE的中垂线，
故BG＝，
∵D为AB中点，
∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，
∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，
即2∠DEB+2∠DEA＝180°，
∴∠DEB+∠DEA＝90°，
即∠BEA＝90°，
在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：
BE＝＝＝，
∴BG＝，
∵S△ABC＝2S△BDC，
∴2×＝，
∴CH＝＝＝．
故选：C．

15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于(　　)

A．5° B．10° C．20° D．30°
【解答】解：连接AH，CH，
∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，
∴AH＝CH＝BD．
∵点G时AC的中点，
∴HG是线段AC的垂直平分线，
∴∠EGH＝90°．
∵∠BEC＝80°，
∴∠GEH＝∠BEC＝80°，
∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．
故选：B．

16．如图，在等边△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，则CF的最小值为(　　)

A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3
【解答】解：如图取AB的中点E，连接EF、EC．

∵△ABC是等边三角形，AE＝EB，
∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，
∴CE＝BC•sin60°＝3，
∵∠AFB＝90°，AE＝EB，
∴EF＝AB＝3，
∴CF≥EC﹣EF，
∴当E、F、C共线时，FC的值最小，最小值为3﹣3，
故选：D．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是(　　)

A．2+2 B．2 C．2 D．6
【解答】解：取AC的中点D，连接OD、DB，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵D是AC中点，
∴OD＝AC＝2，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2，OD＝AC＝2，
∴点B到原点O的最大距离为2+2，
故选：A．

18．在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，2)，M(1，0)，点B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，P为BC的中点，则PM的最小值为(　　)

A． B． C．2 D．
【解答】解：如图，

过点A作y轴的平行线交x轴于点E，过点B作BH⊥EA的延长线于点H，
则四边形OEHB是矩形，
∴OE＝BH＝2，AE＝2，
设OC＝x，则CE＝x+2，
∵∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠BAH+∠EAC＝90°，∠ECA+∠EAC＝90°，
∴∠BAH＝∠ECA，
∴△BAH∽△ACE
∴＝
即＝，
∴AH＝(x+2)，
∴OB＝AH+AE＝2+(x+2)＝(x+8)，
∴B(0，(x+8))，C(x，0)
∵P为BC的中点，
∴P(x，(x+8))，
作PF⊥x轴于点F，
在Rt△PMF中，根据勾股定理，得
PM2＝MF2+PF2，
＝(x﹣1)2+[(x+8)]2
＝(x+)2+，
∵＞0，
∴x＝﹣时，PM2有最小值，最小值为，
∴PM最小值为．
故选：A．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝　3　．

【解答】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM＝CB，MN∥BC，又CD＝BD，
∴MN＝CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN＝CM，
∵∠ACB＝90°，M是AB的中点，
∴CM＝AB＝3，
∴DN＝3，
故答案为：3．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，点E为AC的中点，∠DBE＝30°，BD＝2，则BC的长为　4　．

【解答】解：∵BD⊥AC，∠DBE＝30°，BD＝2，
∴DE＝2，BE＝4，
∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，
∴EC＝AE＝BE＝4，
∴CD＝CE+DE＝6，
∴BC＝，
故答案为：4．


考点五 直角三角形有关几何证明

21．如图，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接DE交AC于点M．
(1)如图1，若AB＝2，∠C＝30°，AD⊥BC，求CD的长；
(2)如图2，若∠ADB＝45°，点N为ME上一点，MN＝BC，求证：AN＝EN+CD；
(3)如图3，若∠C＝30°，点D为直线BC上一动点，直线DE与直线AC交于点M，当△ADM为等腰三角形时，请直接写出此时∠CDM的度数．

【解答】(1)解：如图1中，

在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，∠C＝30°，
∴BC＝2AB＝4，∠B＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3；

(2)证明：如图2中，过点A作AH⊥DE于H，AJ⊥BC于J，AT⊥AN交BC于T．

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠E＝45°，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠ADE，
∵AJ⊥DB，AH⊥DE，
∴AJ＝AH，
∵∠TAN＝∠DAE＝90°，
∴∠EAN＝∠DAT，
在△AEN和△ADT中，
，
∴△AEN≌△ADT(ASA)，
∴AN＝AT，EN＝DT，
在Rt△AHN和Rt△ATJ中，
，
∴Rt△AHN≌Rt△AJT(HL)，
∴∠ANH＝∠ATJ，
∵∠NAT＝∠CAB＝90°，
∴∠NAM＝∠TAB，
在△ANM和△ATB中，
，
∴△ANM≌△ATB(ASA)，
∴NM＝BT，
∵MN＝BC，
∴BT＝BC，
∴BT＝CT，
∴AT＝CT，
∴AN＝CT＝DT+CD＝EN+CD；

(3)解：如图3﹣1中，当点D与B重合时，△ADM是等腰直角三角形，此时∠CDM＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°．

如图3﹣2中，当AD＝DM时，

∵∠ADM＝45°，
∴∠AMD＝∠DAM＝(180°﹣45°)＝67.5°，
∵∠AMD＝∠ACB+∠CDM，
∴∠CDM＝67.5°﹣30°＝37.5°．
如图3﹣3中，当MA＝MD时，∠AMD＝90°，

∴∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝60°．
如图3﹣4中，当DA＝DM时，∠DAM＝∠DMA，

∵∠ADE＝∠DAM+∠DMA＝45°，
∴∠DAM＝∠DMA＝22.5°，
∴∠CDM＝180°﹣∠DCM﹣∠DMC＝180°﹣30°﹣22.5°＝127.5°，
综上所述，满足条件的∠CDM的值为15°或37.5°或60°或127.5°．
22．已知，在等腰直角△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，D是△ABC内一点，连接BD，过点D作DE⊥DB，且DB＝DE，连接BE．
(1)如图1，连接AD，若∠1＝30°，ED＝2，CA＝2，求线段AD的长度；
(2)如图2，连接AE，CD．若F是AE的中点，连接CF，求证：CD＝CF．

【解答】(1)解：如图1，连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

∵∠1＝30°，ED＝2，
∴DF＝ED＝1，BF＝，
∵CA＝2，
∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴AB＝CA＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴AD＝＝＝2；
(2)如图2，延长AC到G，使CG＝CA，连接BG，EG，

∵∠BCA＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵BC⊥AG，CG＝CA，
∵F是AE的中点，
∴CF＝GE，
∵∠CBG＝∠DBE＝45°，
∴∠CBG﹣∠CBE＝∠DBE﹣∠CBE，
即∠EBG＝∠DBC，
∵＝＝，
∴△BEG∽△DBC，
∴＝＝，
即EG＝CD，
∴CF＝GE＝CD，
∴CD＝CF．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是线段AB上一点，连接CD，且CD＝BD，过点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E．
(1)如图1所示，若BC＝4，CD＝2，求AE的长．
(2)如图2所示，若DF⊥AD交AC于点F，过点F作FG⊥CD于点G．求证：AE＝DF+FG．

【解答】解：(1)∵CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠DCA，
∴CD＝AD，
∴CD＝AD＝BD＝2，
∴AB＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵S△ACD＝S△ABC＝×CD×AE，
∴×4×4＝2×AE，
∴AE＝；
(2)∵S△ACD＝S△CDF+S△ADF，
∴×CD×AE＝×CD×GF+AD×DF，
∴AE＝GF+DF．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．
(1)若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．
(2)在(1)的条件下，若∠BAC＝45°，AD＝6，求C、E两点间的距离．

【解答】解：(1)EF＝CF．
证明：∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
∵点F是斜边AD的中点，
∴EF＝AD，CF＝AD，
∴EF＝CF；
(2)连接CE，由(1)得EF＝AF＝CF＝AD＝3，

∴∠FEA＝∠FAE，∠FCA＝∠FAC，
∴∠EFC＝2∠FAE+2∠FAC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴CE＝＝＝．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．
(1)求证：CF＝AD；
(2)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；
(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

【解答】证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，DE＝AD，
又∵AB＝AC，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°，
∵点F是DE的中点，
∴CF＝DE＝AD；
(2)AG＝BC，
理由如下：如图2，过点G作GH⊥BC于H，

∵BD＝2CD，
∴设CD＝a，则BD＝2a，BC＝3a，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝＝a，
由(1)可知：△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE＝2a，
∵CF＝DF，
∴∠FDC＝∠FCD，
∴tan∠FDC＝tan∠FCD，
∴＝2，
∴GH＝2CH，
∵GH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BGH＝45°，
∴BH＝GH，
∴BG＝BH
∵BH+CH＝BC＝3a，
∴CH＝a，BH＝GH＝2a，
∴BG＝2a，
∴AG＝BG﹣AB＝a＝CD＝BC；
(3)如图3﹣1，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP＝PN，
∴PA+PB+PC＝AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，
此时，如图3﹣2，连接MC，

∵将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，
∴BP＝BN，BC＝BM，∠PBN＝60°＝∠CBM，
∴△BPN是等边三角形，△CBM是等边三角形，
∴∠BPN＝∠BNP＝60°，BM＝CM，
∵BM＝CM，AB＝AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BPD＝60°，
∴BD＝PD，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∴PD＝PD+AP，
∴PD＝m，
∴BD＝PD＝m，
由(1)可知：CE＝BD＝m．