苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第19讲 反比例函数的图像与性质（学生版）

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知识精讲
知识点 反比例函数的图像与性质
1.反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴。
【微点拨】
（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴。
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以O为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
3.反比例函数的性质
（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；
（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；
【微点拨】
反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号。
4.反比例函数()中的比例系数的几何意义
过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为。
过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为。
【微点拨】
只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的。
【即学即练1】已知，，是反比例函数图象上的点，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，点、在轴上，若四边形是矩形，则它的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
能力拓展
考法01 反比例函数的图像与性质
【典例1】已知函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，那么它和函数y＝kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
考法02 k的几何意义
【典例2】如图，已知双曲线 经过矩形 边 的中点 且交 于 ，四边形 的面积为 2，则
A．1B．2C．4D．8
分层提分
题组A 基础过关练
1．若反比例函数的图象经过点A（a，a﹣b），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b）B．（a，b﹣a）C．（a﹣b，a）D．（a﹣b，b）
2．若反比例函数的图象经过点（，），则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，，在函数的图象上，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数y＝的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．3B．C．-3D．
6．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，之间的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ）
A．B．C．D．
8．若反比例函数的图像经过点，其中，则该反比例函数的图像经过（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、二四象限D．第三、四象限
题组B 能力提升练
1．已知点（x1，y1），（x2，y2）均在双曲线y＝﹣上，下列说法中错误的是（ ）
A．若x1＝x2，则y1＝y2B．若x1＝﹣x2，则y1＝﹣y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＜y2D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
2．如图，反比例函数y＝（x＜0）与一次函数y＝x＋4的图象交于A、B两点的横坐标分别为－3，－1．则关于x的不等式＜x＋4（x＜0）的解集为（ ）
A．x＜－3B．－3＜x＜－1C．－1＜x＜0D．x＜－3或－1＜x＜0
3．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M、N两点，已知点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为-1．根据图象信息可得关于的方程的解为（ ）
A．或1B．或3
C．或1D．或1
4．已知反比例函数，若在每个象限内y都随x的增大而增大，则k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知一次函数的图像经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数的描述，其中正确的是（ ）
A．图像在一、三象限B．随的增大而减小
C．随的增大而增大D．当时，
6．如图，点和点分别是反比例函数和的图像上的点，轴，点为轴上一点，若，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．是反比例函数在第一象限内的图像，且过点，与关于轴对称，那么图像的函数解析式为______．
8．在函数y＝﹣的图象上有两点（﹣3，y1）、（﹣1，y2），则函数值y1，y2的大小关系是___．
9．已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为______．
10．如图，在直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，．若点，的横坐标分别为，．当时，的取值范围是____．
题组C 培优拔尖练
1．已知反比例函数y＝，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图像的两支分别在第二、四象限
C．图像与y＝3x的图像有两个交点
D．A（﹣1，3）在函数的图像上
2．正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
3．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点、、，分别过这个三个点作轴、轴的平行线，阴影部分图形的面积从左到右依次为、、，若，，则的值为（ ）
A．6B．12C．18D．24
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣1），点B（1，2），连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转45°后并延长至点C，使得AC＝AB，若反比例函数y＝经过AC的中点，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，点在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，轴于点，交于点．若与的面积之差为4，，则的值为（ ）
A．-7B．-8C．-9D．-10
6．如图，已知点，，是轴上位于点上方的一点，平分，平分，直线交于点．若反比例函数的图像经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．
(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；
(2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．
(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．
8．如图, 在平面直角坐标系中， 是等边三角形．
(1)在 轴正半轴取一点 ，使得 是一个等腰直角三角形， 与 交 于 ，已知 ，求 ；
(2)若等边 的边长为 6 , 点 在边 上, 点 在边 上, 且 .反比例函数 的图像恰好经过点 和点 , 求反比例函 数解析式.(此题无须写括号理由)
9．如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线（k＞0）交于A，B两点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．
10．如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．
（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；
（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B'C′D′的顶点A′、B′两点的坐标．
课程标准
课标解读
能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =(k≠0)探究并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质；
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质；
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题。