2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第5章　必刷小题10　平面向量与复数

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版） 第5章　必刷小题10　平面向量与复数，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．(2022·临沂模拟)设向量a＝(1，x)，b＝(x,9)，若a∥b，则x等于( )
A．－3 B．0 C．3 D．3或－3
答案 D
解析 由a∥b，得9－x2＝0，所以x＝±3.
2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝eq \r(32＋42)＝5，
所以z＝eq \f(5,1－2i)＝eq \f(51＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(51＋2i,5)＝1＋2i，
所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．
3．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．0
答案 B
解析 因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.
4．(2022·聊城模拟)若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a＋b)，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 由题可知，|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝0⇒a·b＝－1，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,1×2)＝－eq \f(1,2).
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴向量a与b的夹角为eq \f(2π,3).
5.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 如图，连接AO，由O为BC的中点可得，eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up6(→))，
∵M，O，N三点共线，∴eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1，即m＋n＝2.
6．定义：|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8 C．8或－8 D．6
答案 A
解析 由已知可得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(3,5)，
∵0≤θ≤π，∴sin θ＝eq \r(1－cs2θ)＝eq \f(4,5)，
∴|a×b|＝|a|·|b|sin θ＝8.
7．(2023·日照模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，且eq \(DE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(1,12) B.eq \f(1,12) C．1 D．－8
答案 B
解析 如图所示，把△ABC放在直角坐标系中，
由于△ABC的边长为1，故B(0,0)，C(1,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∵点D，E分别是边AB，BC的中点，
∴Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，设F(x，y)，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－\f(\r(3),4)))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)，y))，∵eq \(DE,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)＝3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，,－\f(\r(3),4)＝3y))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,12)，,y＝－\f(\r(3),12)))⇒Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)，－\f(\r(3),12)))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,12)，－\f(7\r(3),12)))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,0)，eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,12).
8．(2023·岳阳模拟)在一个边长为2的等边△ABC中，若点P是平面ABC内的任意一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值是( )
A．－eq \f(5,2) B．－eq \f(4,3) C．－1 D．－eq \f(3,4)
答案 C
解析 如图，以AC为x轴，AC中点为原点建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，C(1,0)，
设P(x，y)，则eq \(PA,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝x2－1＋y2＝x2＋y2－1≥－1，当且仅当P在原点时，取等号．
故eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值是－1.
二、多项选择题
9．(2022·潍坊模拟)若复数z1＝2＋3i，z2＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A.eq \f(z1,z2)∈R
B.eq \x\t(z1·z2)＝eq \x\t(z1)·eq \x\t(z2)
C．若z1＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
D．若eq \x\t(z1)，eq \x\t(z2)在复平面内对应的向量分别为eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))(O为坐标原点)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5
答案 BC
解析 对于A，eq \f(z1,z2)＝eq \f(2＋3i,－1＋i)＝eq \f(2＋3i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq \f(1－5i,2)＝eq \f(1,2)－eq \f(5,2)i，A错误；
对于B，∵z1·z2＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，∴eq \x\t(z1·z2)＝－5＋i；
又eq \x\t(z1)·eq \x\t(z2)＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴eq \x\t(z1·z2)＝eq \x\t(z1)·eq \x\t(z2)，B正确；
对于C，∵z1＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；
对于D，由题意得eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－3,2)，
∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13)，D错误．
10．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为eq \f(\r(2),2)b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案 CD
解析 对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(1,2)b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝eq \f(1,2)(2m·n)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
11．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是( )
A.eq \(GH,\s\up6(→))＝2eq \(OG,\s\up6(→))
B.eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0
C．设BC边的中点为D，则有eq \(AH,\s\up6(→))＝3eq \(OD,\s\up6(→))
D.eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))
答案 AB
解析 如图，
对于A项，由题意得eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→))，AH⊥BC，
所以eq \(GH,\s\up6(→))＝2eq \(OG,\s\up6(→))，所以A选项正确；
对于B项，设D为BC的中点，
eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→))＝－eq \(GA,\s\up6(→))，
所以eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，所以B选项正确；
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GD,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))＝2eq \(OG,\s\up6(→))，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以eq \(AH,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))，故C选项错误；
对于D项，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))的模相等，方向不同，故D选项错误．
12．(2023·潍坊模拟)已知向量eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,2)，将eq \(OP,\s\up6(→))绕原点O旋转－30°，30°，60°到eq \(OP1,\s\up6(—→))，eq \(OP2,\s\up6(—→))，eq \(OP3,\s\up6(—→))的位置，则下列说法正确的是( )
A.eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝0
B．|eq \(PP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(PP2,\s\up6(—→))|
C.eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))
D．点P1的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，\f(1＋2\r(3),2)))
答案 ABC
解析 由题意作图如图所示，
∵eq \(OP1,\s\up6(—→))⊥eq \(OP3,\s\up6(—→))，∴eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝0，故选项A正确；
∵PP1与PP2所对的圆心角相等，∴|eq \(PP1,\s\up6(—→))|＝|eq \(PP2,\s\up6(—→))|，故选项B正确；
∵eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OP3,\s\up6(—→))＝|eq \(OP,\s\up6(→))||eq \(OP3,\s\up6(—→))|cs 60°＝eq \f(5,2).
eq \(OP1,\s\up6(—→))·eq \(OP2,\s\up6(—→))＝|eq \(OP1,\s\up6(—→))||eq \(OP2,\s\up6(—→))|cs 60°＝eq \f(5,2)，故选项C正确；
若点P1坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，\f(1＋2\r(3),2)))，
则|eq \(OP1,\s\up6(—→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2\r(3),2)))2)≠eq \r(5)，故选项D错误．
三、填空题
13．设{e1，e2}为基底，已知向量eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是________．
答案 2
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq \(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝e1－2e2，
若A，B，D三点共线，则eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BD,\s\up6(→))，
所以存在实数λ使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，
故e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以λ＝1，k＝2.
14．已知i是虚数单位，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(i2 021＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 022))＝________.
答案 eq \r(2)
解析 因为i2 021＝i，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 022＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋i2,1－i1＋i)))2 022＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2i＋i2,2)))2 022＝i2 022＝i2＝－1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(i2 021＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2 022))＝|－1＋i|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2).
15.(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝3eq \(DC,\s\up6(→))，E为边BC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
答案 eq \f(7,6)
解析 连接AC，如图所示，
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，
则λ＋μ＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,6).
16．(2023·济宁模拟)等边△ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 8
解析 ∵△ABC为等边三角形，其外接圆的半径为2，
∴以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(2,0)，B(－1，eq \r(3))，C(－1，－eq \r(3))，
设P(2cs θ，2sin θ)，
则eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－2cs θ，－2sin θ)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－1－2cs θ，eq \r(3)－2sin θ)，eq \(PC,\s\up6(→))＝(－1－2cs θ，－eq \r(3)－2sin θ)，
则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝(2－2cs θ)(－1－2cs θ)＋2sin θ(2sin θ－eq \r(3))＋(2cs θ＋1)2＋(2sin θ－eq \r(3))(2sin θ＋eq \r(3))＝4＋2cs θ－2eq \r(3)sin θ＝4＋4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
∴0≤eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))≤8，
则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为8.