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北师版九上数学专题5 概率的综合问题 课件
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第三章 概率的进一步认识专题5 概率的综合问题数学 九年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述概率问题在历年的中考中都有出现，常结合统计、代数、 几何等相关知识综合考查.概率问题一般不困难，但部分较烦 琐，在做此类题目时，关键在于理解题意，能清晰地写出解答 过程.◎要点归纳1. 把刻画随机事件 A 发生的可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的 ，其计算由理论计算和试验估值两种方式.2. 根据获得概率的方式，我们遇到的概率问题大致分为三类：概率 3. 常用的计算概率的基本方法.（1）利用等可能事件的概率计算公式计算涉及一步试验的古典 概型及可化为古典概型的几何概型的概率；（2）计算涉及两步试验的等可能事件概率的两种方法——画树 状图和列表.注：当涉及两步试验时，用列表法较为简便，也可用画树状图 法；当涉及三步及三步以上试验时，应选用画树状图法.数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一 概率与频率的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3， 4， x ，这些球除数字外都相同. 甲、乙两人每次同时从袋中各随 机摸出1个小球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和. 记录 后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：根据表中数据，解答下列问题：（1）若试验继续进行下去，出现“和为7”的频率将稳定在它 的概率附近，试估计出现“和为7”的概率为 ；（2）根据（1），若 x 是不等于2，3，4的自然数，试求 x 的值.【思路导航】（1）观察表格中的数据，利用概率与频率之间的 关系，即可得出结论；（2）利用（1）得到事件“和为7”的概 率，即可列表、列式求解 x 的值.0.33（答案不唯 一） （1）【解析】出现“和为7”的概率为0.33（或0.31，0.32， 0.34均正确）.故答案为0.33（答案不唯一）.（2）解：列表如下： 【点拨】本例属于利用概率与频率之间的关系来解决的综合问 题.要注意如下问题：（1）在大量重复试验中，如果事件 A 发生 的频率稳定在某个常数 P 附近，那么这个常数 P 就是事件 A 发生 的概率.主要用于：①不是理论概率的问题，只能通过多次试 验，用频率来估计概率；②虽然是理论概率的问题，但理论概 率的计算很困难，这时也可以通过多次试验，用频率来估计概 率.（2）利用频率估计概率时，不能以某一次或次数较少的试 验结果作为估计的概率，试验次数越多，用频率估计的概率也 就越准确，即用足够多次试验后的频率稳定值估计其概率. 某水果公司以2元/ kg 的成本购进10 000 kg 柑橘，销售人员在销 售过程中随机抽取柑橘进行“损坏率”统计，并绘制成如图所 示的统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计 值为 ；（1）【解析】根据所给的统计图可知，柑橘损坏的概率估计值 为0.1，则柑橘完好的概率估计值为1－0.1＝0.9.故答案为0.1， 0.9.（2）估计这批柑橘完好的质量为 kg ；（2）【解析】根据（1）知，估计这批柑橘完好的质量为10 000×0.9＝9 000（ kg ）.故答案为9 000.0.1 0.9 9 000 （3）若公司希望销售这些柑橘能获得25 000元的利润，则在出 售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比 较合适（精确到0.01）？（3）解：设每千克柑橘大约定价为 x 元比较合适.根据题意，得 （ x －2）×9 000＝25 000，解得 x ≈4.78.故每千克柑橘大约定价为4.78元比较合适.类型二 概率与统计的综合问题 张老师为了了解本班学生完成数学课前预习的具体情况， 对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查.他将调查结果分 为四类：A. 很好；B. 较好；C. 一般；D. 较差.并将调查结果绘 制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题： （1）请计算出A类男生、C类女生和D类男生的人数，并将条形 统计图补充完整；（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各 随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或 列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率.【思路导航】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再 用总人数分别乘A，C类对应的百分比求得其人数，据此结合条 形统计图进一步得到答案，并补全条形统计图即可；（2）画树 状图列出所有可能的结果，从中找到所选两位同学恰好是一男 一女同学的结果，利用概率公式求解即可.解：（1）∵ 被调查的总人数为（7＋5）÷60％＝20，∴A类人数为20×15％＝3，C类人数为20×（1－15％－60％－10％）＝3.则A类男生人数为3－1＝2，C类女生人数为3－1＝2.D类男生人数为20×10％－1＝1.补全条形统计图如下：（2）画树状图（略图）如下：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中所选两位同学恰好 是一位男同学和一位女同学的结果有3种， 【点拨】本例属于概率与统计相结合的综合问题，正确读图和 识图是解决本题的关键，要注意的是条形统计图显示各选项的 具体数量，而扇形统计图显示各选项所占的百分比的大小，扇 形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.某选项的具体数量 除以其所占的百分比可得总体的数量，从而可得到各选项的具 体数量.在从统计图中获取有关的信息和必要的数据后，再利用 树状图求得所求的概率. 胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行校园电视台主持人选 拔赛.现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数 分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中 D 所在扇形的圆 心角度数； （2）若成绩在 D 组的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取 两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一 名女生的概率.解：（2）结合（1）可知， D 组中男生有3人，女生有2人.根据题意，画树状图（略图）如下： 类型三 概率与代数的综合问题 在一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字1，2，3，4的 小球，它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋里随机摸出一 个小球，记下数字 x ，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小 球，记下数字 y ，这样确定了点 P 的坐标为（ x ， y ）.（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ； （3）求点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5图象上的概率.【思路导航】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用画树状 图法或列表法求出所有等可能的结果；（3）将函数转化为 x ＋ y ＝5，找出符合题意的结果，然后根据概率公式求解即可.（2）请你用列表法或画树状图法表示由 x ， y 确定的点 P （ x ， y ）所有可能的结果；（2）解：画树状图（略图）如下：由树状图可知，点 P 的坐标可能是（1，2），（1，3），（1， 4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种等可能的 结果. 【点拨】本例属于概率与代数知识相结合的综合题，概率常常 与代数中的方程、不等式以及函数的有关知识综合考查.在求解 这类综合题时，关键是弄清方程、不等式和函数给出的条件， 以此列举出所有等可能的结果和其中符合条件的结果，再利用 概率公式求解即可. 解：画树状图（略图）如下：∴（ m ， n ）的所有取值是（0，0），（0，1），（0，2）， （1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2， 2），（3，0），（3，1），（3，2），共12种等可能的结果. 当 m ， n 的对应值为（0，0），（1，0），（2，0），（2， 1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）这8种情况 时，Δ≥0，原方程有实数根. 类型四 概率与几何的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数－2， －1，0，1，它们除数不同外，其他完全相同.小聪先从袋子中 随机摸出一个小球，记下的数作为平面直角坐标系内点 M 的横 坐标，然后放回搅匀；接着小明再从袋子中随机摸出一个小 球，记下的数作为点 M 的纵坐标.如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A （－2，0）， B （0，－2）， C （1，0）， D （0，1），求点 M 落在四边形 ABCD 内（含边界）的概率.【思路导航】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结 果，并从中找到符合条件的结果，再用概率公式计算即可.解：依题意，列表如下： 【点拨】本题考查的是概率与几何，弄清题意后，用列表法或 画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据题意，用所求结 果数与总结果数之比求解.解题时要注意是放回试验还是不放回 试验. 在3×3的方格纸中，点 A ， B ， C ， D ， E ， F 分别位于如图所 示的小正方形的顶点上.（1）从 A ， D ， E ， F 四点中任意取一点，以所取的这一点及 点 B ， C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率 是 ；（2）从 A ， D ， E ， F 四点中先后任意取两个不同的点，以所 取的这两点及点 B ， C 为顶点画四边形，则所画四边形是平行 四边形的概率是 . 演示完毕 谢谢观看
第三章 概率的进一步认识专题5 概率的综合问题数学 九年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述概率问题在历年的中考中都有出现，常结合统计、代数、 几何等相关知识综合考查.概率问题一般不困难，但部分较烦 琐，在做此类题目时，关键在于理解题意，能清晰地写出解答 过程.◎要点归纳1. 把刻画随机事件 A 发生的可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的 ，其计算由理论计算和试验估值两种方式.2. 根据获得概率的方式，我们遇到的概率问题大致分为三类：概率 3. 常用的计算概率的基本方法.（1）利用等可能事件的概率计算公式计算涉及一步试验的古典 概型及可化为古典概型的几何概型的概率；（2）计算涉及两步试验的等可能事件概率的两种方法——画树 状图和列表.注：当涉及两步试验时，用列表法较为简便，也可用画树状图 法；当涉及三步及三步以上试验时，应选用画树状图法.数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一 概率与频率的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2，3， 4， x ，这些球除数字外都相同. 甲、乙两人每次同时从袋中各随 机摸出1个小球，并计算摸出的这两个小球上的数字之和. 记录 后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：根据表中数据，解答下列问题：（1）若试验继续进行下去，出现“和为7”的频率将稳定在它 的概率附近，试估计出现“和为7”的概率为 ；（2）根据（1），若 x 是不等于2，3，4的自然数，试求 x 的值.【思路导航】（1）观察表格中的数据，利用概率与频率之间的 关系，即可得出结论；（2）利用（1）得到事件“和为7”的概 率，即可列表、列式求解 x 的值.0.33（答案不唯 一） （1）【解析】出现“和为7”的概率为0.33（或0.31，0.32， 0.34均正确）.故答案为0.33（答案不唯一）.（2）解：列表如下： 【点拨】本例属于利用概率与频率之间的关系来解决的综合问 题.要注意如下问题：（1）在大量重复试验中，如果事件 A 发生 的频率稳定在某个常数 P 附近，那么这个常数 P 就是事件 A 发生 的概率.主要用于：①不是理论概率的问题，只能通过多次试 验，用频率来估计概率；②虽然是理论概率的问题，但理论概 率的计算很困难，这时也可以通过多次试验，用频率来估计概 率.（2）利用频率估计概率时，不能以某一次或次数较少的试 验结果作为估计的概率，试验次数越多，用频率估计的概率也 就越准确，即用足够多次试验后的频率稳定值估计其概率. 某水果公司以2元/ kg 的成本购进10 000 kg 柑橘，销售人员在销 售过程中随机抽取柑橘进行“损坏率”统计，并绘制成如图所 示的统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）柑橘损坏的概率估计值为 ，柑橘完好的概率估计 值为 ；（1）【解析】根据所给的统计图可知，柑橘损坏的概率估计值 为0.1，则柑橘完好的概率估计值为1－0.1＝0.9.故答案为0.1， 0.9.（2）估计这批柑橘完好的质量为 kg ；（2）【解析】根据（1）知，估计这批柑橘完好的质量为10 000×0.9＝9 000（ kg ）.故答案为9 000.0.1 0.9 9 000 （3）若公司希望销售这些柑橘能获得25 000元的利润，则在出 售（已去掉损坏的柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比 较合适（精确到0.01）？（3）解：设每千克柑橘大约定价为 x 元比较合适.根据题意，得 （ x －2）×9 000＝25 000，解得 x ≈4.78.故每千克柑橘大约定价为4.78元比较合适.类型二 概率与统计的综合问题 张老师为了了解本班学生完成数学课前预习的具体情况， 对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查.他将调查结果分 为四类：A. 很好；B. 较好；C. 一般；D. 较差.并将调查结果绘 制成以下两幅不完整的统计图.请你根据统计图解答下列问题： （1）请计算出A类男生、C类女生和D类男生的人数，并将条形 统计图补充完整；（2）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中各 随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或 列表的方法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率.【思路导航】（1）由B类人数及其所占百分比求得总人数，再 用总人数分别乘A，C类对应的百分比求得其人数，据此结合条 形统计图进一步得到答案，并补全条形统计图即可；（2）画树 状图列出所有可能的结果，从中找到所选两位同学恰好是一男 一女同学的结果，利用概率公式求解即可.解：（1）∵ 被调查的总人数为（7＋5）÷60％＝20，∴A类人数为20×15％＝3，C类人数为20×（1－15％－60％－10％）＝3.则A类男生人数为3－1＝2，C类女生人数为3－1＝2.D类男生人数为20×10％－1＝1.补全条形统计图如下：（2）画树状图（略图）如下：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中所选两位同学恰好 是一位男同学和一位女同学的结果有3种， 【点拨】本例属于概率与统计相结合的综合问题，正确读图和 识图是解决本题的关键，要注意的是条形统计图显示各选项的 具体数量，而扇形统计图显示各选项所占的百分比的大小，扇 形统计图中所有扇形表示的百分比之和为1.某选项的具体数量 除以其所占的百分比可得总体的数量，从而可得到各选项的具 体数量.在从统计图中获取有关的信息和必要的数据后，再利用 树状图求得所求的概率. 胜利中学为丰富同学们的校园生活，举行校园电视台主持人选 拔赛.现将36名参赛选手的成绩（单位：分）统计并绘制成频数 分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：请根据统计图的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并求扇形统计图中 D 所在扇形的圆 心角度数； （2）若成绩在 D 组的选手，男生比女生多一人，从中随机抽取 两人临时担任该校艺术节的主持人，求恰好选中一名男生和一 名女生的概率.解：（2）结合（1）可知， D 组中男生有3人，女生有2人.根据题意，画树状图（略图）如下： 类型三 概率与代数的综合问题 在一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字1，2，3，4的 小球，它们的形状、大小完全相同.小红先从口袋里随机摸出一 个小球，记下数字 x ，小颖在剩下的3个球中随机摸出一个小 球，记下数字 y ，这样确定了点 P 的坐标为（ x ， y ）.（1）小红摸出标有数字3的小球的概率是 ； （3）求点 P （ x ， y ）在函数 y ＝－ x ＋5图象上的概率.【思路导航】（1）利用概率公式求解即可；（2）利用画树状 图法或列表法求出所有等可能的结果；（3）将函数转化为 x ＋ y ＝5，找出符合题意的结果，然后根据概率公式求解即可.（2）请你用列表法或画树状图法表示由 x ， y 确定的点 P （ x ， y ）所有可能的结果；（2）解：画树状图（略图）如下：由树状图可知，点 P 的坐标可能是（1，2），（1，3），（1， 4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），共12种等可能的 结果. 【点拨】本例属于概率与代数知识相结合的综合题，概率常常 与代数中的方程、不等式以及函数的有关知识综合考查.在求解 这类综合题时，关键是弄清方程、不等式和函数给出的条件， 以此列举出所有等可能的结果和其中符合条件的结果，再利用 概率公式求解即可. 解：画树状图（略图）如下：∴（ m ， n ）的所有取值是（0，0），（0，1），（0，2）， （1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2， 2），（3，0），（3，1），（3，2），共12种等可能的结果. 当 m ， n 的对应值为（0，0），（1，0），（2，0），（2， 1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）这8种情况 时，Δ≥0，原方程有实数根. 类型四 概率与几何的综合问题 一个不透明的袋子中装有4个小球，上面分别标有数－2， －1，0，1，它们除数不同外，其他完全相同.小聪先从袋子中 随机摸出一个小球，记下的数作为平面直角坐标系内点 M 的横 坐标，然后放回搅匀；接着小明再从袋子中随机摸出一个小 球，记下的数作为点 M 的纵坐标.如图，已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A （－2，0）， B （0，－2）， C （1，0）， D （0，1），求点 M 落在四边形 ABCD 内（含边界）的概率.【思路导航】用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结 果，并从中找到符合条件的结果，再用概率公式计算即可.解：依题意，列表如下： 【点拨】本题考查的是概率与几何，弄清题意后，用列表法或 画树状图法表示出所有等可能的结果，再根据题意，用所求结 果数与总结果数之比求解.解题时要注意是放回试验还是不放回 试验. 在3×3的方格纸中，点 A ， B ， C ， D ， E ， F 分别位于如图所 示的小正方形的顶点上.（1）从 A ， D ， E ， F 四点中任意取一点，以所取的这一点及 点 B ， C 为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率 是 ；（2）从 A ， D ， E ， F 四点中先后任意取两个不同的点，以所 取的这两点及点 B ， C 为顶点画四边形，则所画四边形是平行 四边形的概率是 . 演示完毕 谢谢观看
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