北师版九上数学专题7相似三角形中常作的辅助线（课外培优课件）

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第四章　图形的相似专题7　相似三角形中常作的辅助线  C A3. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD ⊥ AB ，垂足为 D ， AF 平分∠ CAB 交 CD 于点 E ，交 CB 于点 F . 若 AC ＝3， AB ＝5，则 CE 的长为（　A　）A4. 如图，在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝60°，∠ ABC ＝90°，直线 l1∥ l2∥ l3， l1与 l2之间的距离是1， l2与 l3之间的距离是2，且 l1， l2， l3分别经过点 A ， B ， C ，则边 AC 的长为 ⁠. 5. 如图，点 A 的坐标为（0，1），点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作Rt△ ABC ，使∠ BAC ＝90°，∠ ACB ＝30°.设点 B 的横坐标为 x ，点 C 的纵坐标为 y ，则 y 与 x 之间的函数关系式为 ⁠. 6. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝10，边 AC 的垂直平分线交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E . 若△ ABD 的周长为26，则 DE 的长为 ⁠.  7. 如图，已知△ ABC 的边 AB 上有一点 D ，边 BC 的延长线上有一点 E ，且 AD ＝ CE ， DE 交 AC 于点 F . 试证明： AB · DF ＝ BC · EF . 证明：如答图，作 DG ∥ BC ，交 AC 于点 G ，则△ ADG ∽△ ABC ，△ DGF ∽△ ECF .  又∵ AD ＝ CE ，  ∴ AB · DF ＝ BC · EF . 答图 证明：如答图，分别过点 D 作 DP ⊥ BC 于点 P ， DQ ⊥ AC 于点 Q ，则∠ DQC ＝∠ DPC ＝90°.∵∠ C ＝90°，∴四边形 DPCQ 是矩形.∴∠ QDP ＝90°.又∵ DM ⊥ DN ，∴∠ MDQ ＋∠ QDN ＝∠ QDN ＋∠ NDP ＝90°.∴∠ MDQ ＝∠ NDP . 又∵∠ DQM ＝∠ DPN ＝90°，答图 ∴ DQ ∥ BC ， DP ∥ AC . 又∵点 D 是 AB 的中点，  答图    10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA ， OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA ＝5， OC ＝3.若把矩形 OABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 A1处，则点 C 的对应点 C1的坐标为 ⁠.  11. 如图，已知△ ABC 和△ CDE 都是等边三角形，点 B ， C ， E 在同一直线上，连接 BD ，交 AC 于点 F ，连接 AD . （1）若 AD2＝ FD · BD ，求证： AD ＝ BF .   （2）若∠ BAD ＝90°， BE ＝6.①求△ BDE 的面积；②求 DF 的长.    12. （选做）如图，在边长为1的正方形 ABCD 中，已知点 E 为 AD 的中点.连接 BE ，将△ ABE 沿 BE 折叠得到△ FBE ， BF 交 AC 于点 G . 求 CG 的长.解：如答图，延长 BF ，交 CD 于点 H ，连接 EH . ∵△ FBE 由△ ABE 沿 BE 折叠得到，∴ EA ＝ EF ，∠ EFB ＝∠ EAB ＝90°.∵点 E 为 AD 的中点，正方形 ABCD 的边长为1， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ D ＝∠ EFB ＝∠ EFH ＝90°.答图 ∴Rt△ EDH ≌Rt△ EFH （HL）.∴∠ DEH ＝∠ FEH . 又∵∠ AEB ＝∠ FEB ，∴∠ DEH ＋∠ AEB ＝90°.又∵∠ ABE ＋∠ AEB ＝90°，∴∠ ABE ＝∠ DEH . ∴△ DHE ∽△ AEB . 答图  ∵ CH ∥ AB ，∴△ CHG ∽△ ABG .   ∵ AB ＝1， CB ＝1，∠ CBA ＝90°，答图  答图演示完毕 谢谢观看