北师版九上数学期末复习课（一）第一章 特殊平行四边形 （课件）

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总复习　期末复习课期末复习课（一）　（第一章　特殊平行四边形）数学 九年级上册 BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1知识梳理1. 特殊平行四边形的网络图（特殊平行四边形的判定）.2. 菱形的性质.（1）边：菱形的四条边 ⁠.（2）对角线：菱形的对角线互相 ，并且平分每一组 ⁠.（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.相等　垂直平分　对角　3. 矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是 ⁠.（2）对角线：矩形的对角线 ， 且互相 ⁠.（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.直角　相等　平分　4. 正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是 ⁠.（2）边：正方形的四条边 ⁠.（3）对角线：正方形的对角线 且互相 ⁠.（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.注：正方形具有菱形、矩形的一切性质.直角　相等　相等　垂直平分　5. 面积问题.（1）菱形的面积等于对角线乘积的一半；（2）矩形的面积等于长×宽；（3）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线乘积的一半.6. 直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ⁠.一半　数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练 ①②③④　【思路导航】推出 FG 是△ ACD 的中位线，即可判断①是否正确；证明四边形 ADBE 是菱形，得到 AD ＝ BD ，再利用Rt△ ACD 得到 AD2－ CD2＝ AC2，即可判断②是否正确；根据 FG 是△ ACD 的中位线，证得 S△ AOD ＝2 S△ AOG ，即可判断③是否正确；设 OA ＝ x ，根据 OA2＝ OF2＋ AF2，求出 OA 得到 AB ，进而求得 BC ，再根据 BD2－ CD2＝ AC2，求出 BD ，即可判断④是否正确.【解析】①由题意可知， MN 垂直平分 AB ，∴ OA ＝ OB ， ED ⊥ AB . 又∵ OF ⊥ AC ，∠ ACB ＝90°，∴ OF ∥ BC ， AF ＝ CF ，∴ FG 是△ ACD 的中位线，∴ CD ＝2 GF . 故①正确.②又∵ OE ＝ OD ，∴ DE 与 AB 互相垂直平分.∴四边形 ADBE 是菱形.∴ AD ＝ BD . 在Rt△ ACD 中， AD2－ CD2＝ AC2，∴ BD2－ CD2＝ AC2.故②正确.③∵ FG 是△ ACD 的中位线，∴点 G 是 AD 的中点.∴ S△ AOD ＝2 S△ AOG . 易知 S△ AOD ＝ S△ BOE ，∴ S△ BOE ＝2 S△ AOG .  综上所述，正确的结论有①②③④.故答案为①②③④.【点拨】本题考查了线段垂直平分线的作图方法、线段中垂线的性质、菱形的判定及性质定理、勾股定理等，是中考的一个常考点.熟练掌握并灵活运用相关定理是解题的关键.  B【解析】如图，设 AC 与 MN 的交点为点 O .根据作图可得， MN 垂直平分 AC . ∴ AO ＝ CO . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC . ∴∠ EAO ＝∠ OCF . 又∵∠ AOE ＝∠ COF ， AO ＝ CO ，∴△ AOE ≌△ COF （ ASA ），∴ AE ＝ FC . 又∵ AE ∥ CF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形. ∵ MN 垂直平分 AC ，∴ EA ＝ EC ，∴四边形 AECF 是菱形.故①正确. 综上所述，①②④正确，共3个.故选B. 类型二　矩形的性质与判定 在四边形 ABCD 中，已知 AC ， BD 相交于点 O ， AD ∥ BC ，∠ ADC ＝∠ ABC ， OA ＝ OB . （1）如图1，求证：四边形 ABCD 为矩形；（2）如图2，点 P 是边 AD 上任意一点， PE ⊥ BD ， PF ⊥ AC ，垂足分别是 E ， F ，若 AD ＝12， AB ＝5，求 PE ＋ PF 的值.  （2）解：如图，连接 OP . ∵在矩形 ABCD 中， AD ＝12， AB ＝5，      【点拨】（1）判定矩形的关键要素：①平行四边形；②直角或对角线相等.（2）矩形问题中涉及边长的和的求值或证明问题时，一般通过全等三角形或等面积法解决.（3）关于中点的处理，主要看中点所在的“环境”，如等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点、双中点等，不同环境处理方法各不相同. 1. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝3， BC ＝6.若点 E ， F 分别在 AB ， CD 上，且 BE ＝2 AE ， DF ＝2 FC ，点 G ， H 是 AC 的三等分点，则四边形 EHFG 的面积为 ⁠.2　2. 如图，已知▱ ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，过点 A 作 AF ⊥ CD ，垂足为 F . 延长 DC 到点 E ，使 CE ＝ DF ，连接 OE ， BE . （1）求证：四边形 ABEF 是矩形；（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， AB ＝ CD . ∵ CE ＝ DF ，∴ CE ＋ CF ＝ DF ＋ CF ，即 EF ＝ CD . ∴ AB ＝ EF . ∴四边形 ABEF 是平行四边形.又∵ AF ⊥ CD ，即∠ AFE ＝90°，∴▱ ABEF 是矩形.（2）若 AB ＝5， CF ＝2， AC ⊥ BD ，求 OE 的长.  类型三　正方形的性质与判定 （2022·邵阳）如图，在菱形 ABCD 中，已知对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E ， F 在对角线 BD 上，且 BE ＝ DF ， OE ＝ OA . 求证：四边形 AECF 是正方形.【思路导航】菱形的两条对角线互相垂直且平分，再根据两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形 AECF 是正方形.证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ OA ＝ OC ， OB ＝ OD 且 AC ⊥ BD . 又∵ BE ＝ DF ，∴ OB － BE ＝ OD － DF ，即 OE ＝ OF . ∵ OE ＝ OA ，∴ OA ＝ OC ＝ OE ＝ OF ，且 AC ＝ EF . ∴四边形 AECF 是矩形.又∵ AC ⊥ EF ，∴四边形 AECF 是正方形.【点拨】掌握菱形的性质和正方形的判定定理是解题的关键. 1. 如图，已知点 E ， F 分别是正方形 ABCD 的边 CD ， AD 上的点，且 CE ＝ DF . 连接 AE ， BF ，交于点 O . 下列结论：① AE ＝ BF ；② AE ⊥ BF ；③ S△ AOB ＝ S四边形 DFOE ；④ AO ＝ OE ；⑤∠ AFB ＋∠ AEC ＝180°.其中正确的有 ⁠（填序号）.①②③⑤　2. 如图，在菱形 ABCD 中，已知点 E ， O ， F 分别为 AB ， AC ， AD 的中点，连接 CE ， CF ， OE ， OF . （1）求证：△ BCE ≌△ DCF .  （2）当 AB 与 BC 满足什么关系时，四边形 AEOF 是正方形？ 请说明理由.   【思路导航】先由线段比设参数，由轴对称的性质等表示出 DG ；再在四边形 DEGF 中，由等面积法列方程求出参数；然后在△ BFH 中构造△ AEG 的相似三角形，求边长；最后由勾股定理求出 BH 的长.  【点拨】翻折变换中产生的“十字架模型”，常结合勾股定理等知识，利用参数构建方程解决问题. 1. 如图，有一个边长为2的正方形 ABCD ，点 M ， N 分别是 AD ， BC 边的中点，将点 C 折叠到线段 MN 上，落在点 P 的位置，折痕为 BQ ，则 MP 的长为 ⁠. 2. 如图，四边形 OABC 是矩形，点 A 的坐标为（8，0），点 C 的坐标为（0，4），将矩形 OABC 沿 OB 折叠，点 C 落在点 D 处，则点 D 的坐标为 ⁠. 类型五　特殊平行四边形中的旋转问题 如图，将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，点 E 在 AD 上，延长 ED 交 FG 于点 H . （1）求证：△ EDC ≌△ HFE . （2）连接 BE ， CH .   【思路导航】（1）由旋转和矩形的性质可知 CD ＝ EF ，∠ CDE ＝∠ EFH ＝90°，再根据平行线的性质得出∠ DEC ＝∠ FHE ，即可利用“AAS”证明△ EDC ≌△ HFE .   （2）①解：四边形 BEHC 是平行四边形.证明如下：如图，连接 BE ， CH . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC ，即 EH ∥ BC . ∵△ EDC ≌△ HFE ，∴ EC ＝ EH . ∵将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ，∴ EC ＝ BC . ∴ EH ＝ BC . 又∵ EH ∥ BC ，∴四边形 BEHC 是平行四边形.②【解析】要使四边形 BEHC 是菱形， ∵将矩形 ABCD 绕点 C 旋转得到矩形 FECG ， ∴△ BCE 是等边三角形.∴∠ EBC ＝60°.∴∠ ABE ＝90°－∠ EBC ＝30°.  【点拨】解答本题时，要综合运用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识. 1. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到矩形 AB ' C ' D '，此时点 B '恰好在 DC 边上，连接 BB '.若∠ B ' BC ＝15°，则α的大小为 ⁠.30°　 （6，4）　类型六　特殊平行四边形中的最值问题 如图，在矩形纸片 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝6，点 E 是 AD 的中点，点 F 是 AB 上一动点.将△ AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 落在点 A '处.在 EF 上任取一点 G ，连接 GC ， GA '， CA '，则△ CGA '周长的最小值为 ⁠. 【思路导航】连接 AC ，交 EF 于点 G ，连接 A ' G ，此时△ CGA '的周长最小，最小值为 A ' G ＋ GC ＋ CA '＝ GA ＋ GC ＋ CA '＝ AC ＋ CA '.当 CA '最小时，△ CGA '的周长最小，再求出 CA '的最小值即可解决问题.【解析】如图，当点 F 固定时，连接 AC 交 EF 于点 G ，连接 A ' G ，此时△ CGA '的周长最小，最小值为 A ' G ＋ GC ＋ CA '＝ GA ＋ GC ＋ CA '＝ AC ＋ CA '.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ D ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8. ∴△ CGA '的周长的最小值为10＋ CA '.当 CA '最小时，△ CGA '的周长最小.∵点 E 是 AD 的中点，∴ DE ＝ AE ＝ EA '＝3. ∵ CA '≥ CE － EA '，    【点拨】翻折就会有定点、定长，将其放入三角形中利用三角形三边长关系解决.特殊平行四边形中的最值问题一般有如下三种：（1）两定一动，动点在直线上的最值问题， 常常利用轴对称解决问题；（2）“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一动”最值问题；（3）“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或者找动态过程中的不变量，利用三角形三边长关系解决. 1. 如图，已知线段 AC ＝4，线段 CB 绕点 C 旋转，且 CB ＝6，连接 AB ，以 AB 为边作正方形 ADEB ，连接 CD ，则线段 CD 长的最大值是 ⁠.  2. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（4，3），点 D 是边 OC 上的一点，点 E 在直线 OB 上，连接 DE ， CE ，则 CE ＋ DE 的最小值为 ⁠. 【解析】如图，设 AC 与 OB 交于点 K ，连接 AE ， AD ，作 AH ⊥ OC 于点 H . ∵四边形 OABC 是菱形，点 A 的坐标为（4，3），∴ AC ⊥ OB ， AK ＝3， OK ＝4.∴ OA ＝ OC ＝5.∵点 A ， C 关于 OB 对称，∴ AE ＝ CE . ∴ CE ＋ DE ＝ AE ＋ DE . 根据“两点之间，线段最短”可知， AE ＋ ED ≥ AD . 根据“垂线段最短”可知， AD ≥ AH . 故当点 A ， E ， D 共线，且与 AH 重合时， CE ＋ DE 的值最小，最小值为 AH 的长.   演示完毕 谢谢观看