北师版九上数学专题2特殊平行四边形中的最值问题课件

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第一章　特殊平行四边形专题2　特殊平行四边形中的最值问题数学 九年级上册 BS版专题解读典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1专题解读◎问题综述四边形中的最值问题是近几年中考的热点问题，试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换，有一定难度，具有很强的探索性.通过研究发现这类问题，常常利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”“斜边大于直角边”“三角形三边关系定理”等来解决.数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一　“将军饮马”模型 如图，已知菱形 ABCD 的对角线 AC ＝12，面积为24，△ ABE 是等边三角形.若点 P 在对角线 AC 上移动，求 PD ＋ PE 的最小值.【思路导航】连接 BD . 连接 PB . 推出 PD ＝ PB ，从而推出 PE ＋ PD ＝ PE ＋ PB ，由 PE ＋ PB ≥ BE ，推出当 E ， P ， B 三点共线时， PE ＋ PD 的值最小，最小值为 BE 的长，求出 BE 即可解决问题.解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O ，连接 PB .   ∴ BD ＝4.∵四边形 ABCD 是菱形，  ∵ AC 与 BD 互相垂直平分，∴ PD ＝ PB . ∴ PE ＋ PD ＝ PE ＋ PB . ∵ PE ＋ PB ≥ BE ，∴当 E ， P ， B 三点共线时， PE ＋ PD 的值最小，最小值为 BE 的长.∵△ ABE 是等边三角形，  【点拨】两定一动，动点在直线上的最值问题就是“将军饮马”最值问题，常常利用轴对称来解决问题. 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为2，点 E 是 BC 的中点，点 P 是 AC 边上的一个动点，连接 BP ， EP ，则 BP ＋ EP 的最小值为 ⁠.  2. 如图，在矩形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8， E 为 CD 边的中点，点 P ， Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ ＝2，当四边形 APQE 的周长最小时，则 BP 的长为 ⁠.4　【解析】由题知 PQ ， AE 的长均为定值，∴当四边形 APQE 的周长最小时， AP ＋ QE 最小.如图，在 AD 上截取线段 AF ＝ PQ ＝2，作点 F 关于 BC 的对称点 G ，连接 EG 与 BC 交于一点即为点 Q ，过点 A 作 FQ 的平行线交 BC 于一点，即为点 P ，此时 AP ＋ QE 最小.过点 G 作 BC 的平行线交 DC 的延长线于点 H . 则四边形 FGHD 为矩形.∴ CH ＝ AB ＝4.∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝ BC ＝8，∠ D ＝90°，∠ QCE ＝90°.∵ PQ ＝2，∴ DF ＝ AD － AF ＝6.∴ GH ＝6.∵点 E 是 CD 的中点，∴ CE ＝2.∴ EH ＝2＋4＝6.∴ EH ＝ GH . ∴∠ GEH ＝45°.设 BP ＝ x ，则 CQ ＝ BC － BP － PQ ＝8－ x －2＝6－ x ，在△ CQE 中，∵∠ QCE ＝90°，∠ CEQ ＝45°，∴ CQ ＝ CE . ∴6－ x ＝2，解得 x ＝4.∴ BP 的长为4.故答案为4.类型二　垂线段最短 如图，在Rt△ ABC 中，已知 AC ＝2， BC ＝4，点 P 为斜边 AB 上一动点， PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ，求线段 EF 长的最小值.【思路导航】连接 CP ，判定四边形 ECFP 是矩形，再根据当 CP 最小时， EF 也最小，同时根据垂线段最短即可求解.解：如图，连接 CP . ∵ PE ⊥ BC ， PF ⊥ CA ，∴∠ PEC ＝∠ PFC ＝∠ ACB ＝90°.∴四边形 ECFP 是矩形.∴ EF ＝ PC . ∴当 CP 最小时， EF 也最小.∵垂线段最短，∴当 CP ⊥ AB 时， CP 最小.    【点拨】“两动点之间距离”最小值问题，可转化为“一定一动”最值问题.本题中运用矩形的对角线相等将 EF 长的最值转化为 CP 长的最值是解决问题的关键. 1. 如图，过边长为1的正方形的中心点 O 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于点 A ， B ，则线段 AB 长的最小值是 ⁠.   2. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 P 为 AB 边上一动点（不与点 A ， B 重合）， PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F . 若 AC ＝20， BD ＝10，求 EF 的最小值.解：如答图，连接 OP . ∵四边形 ABCD 是菱形， AC ＝20， BD ＝10， ∴∠ AOB ＝90°.在Rt△ ABO 中，由勾股定理，得 ∵ PE ⊥ OA 于点 E ， PF ⊥ OB 于点 F ，∴∠ OEP ＝∠ OFP ＝90°.答图∴四边形 OEPF 是矩形.∴ EF ＝ OP . 则当 OP 取最小值时， EF 的值最小.   答图类型三　利用三点共线取最值 如图，点 M ， N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM ＝ BN ，连接 AC ，交 BN 于点 E ，连接 DE ，交 AM 于点 F ，连接 CF . 若正方形的边长为6，求线段 CF 长度的最小值.【思路导航】先判断出Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL），得出∠ DAM ＝∠ CBN ；判断出△ DCE ≌△ BCE （SAS），得出∠ CDE ＝∠ CBE ，即可判断出∠ AFD ＝90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点 F 到 AD 的中点 O 的距离不变；利用勾股定理列式求出 OC 的长，再根据三角形的三边关系可知当 O ， F ， C 三点共线时， CF 的长度最小. ∴Rt△ ADM ≌Rt△ BCN （HL）.∴∠ DAM ＝∠ CBN .  ∴△ DCE ≌△ BCE （SAS）.∴∠ CDE ＝∠ CBE . ∴∠ DAM ＝∠ CDE . ∵∠ ADF ＋∠ CDE ＝∠ ADC ＝90°，∴∠ DAM ＋∠ ADF ＝90°.∴∠ AFD ＝180°－90°＝90°.如图，取 AD 的中点 O ，连接 OF ， OC ， 在Rt△ ODC 中， ∵ OF ＋ CF ≥ OC ， 【点拨】“一定一动”最值问题的关键是找到动点的轨迹，或者找动态过程中的不变量，利用三角形三边关系解决.本题中利用全等三角形的判定与性质得到“动中有静”，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出 CF 最小时点 F 的位置是解题关键. 如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，点 E ， F 分别为 AD ， CD 边上的动点（不与端点重合），连接 BE ， BF ，点 E ， F 在运动过程中，始终保持∠ EBF ＝45°，连接 EF . 过点 B 作 BH ⊥ EF ，垂足为 H ，连接 DH ，则 DH 的最小值为 ⁠. 【解析】如答图，延长 DC 至点 G ，使 CG ＝ AE ，连接 BG ， BD . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AB ＝ CB ，∠ A ＝∠ BCD ＝∠ BCG ＝90°. ∴ BE ＝ BG ，∠ ABE ＝∠ CBG . ∴∠ EBG ＝∠ EBC ＋∠ CBG ＝∠ EBC ＋∠ ABE ＝90°.∵∠ EBF ＝45°，∴∠ GBF ＝∠ EBF ＝45°.答图 ∵ BH ⊥ EF ， BC ⊥ CD ，∴ BH ＝ BC ＝4.  答图演示完毕 谢谢观看