第3章《圆的基本性质》检测卷（解析版）

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第3章《圆的基本性质》检测卷（解析版）选择题：（本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．）1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=70°，则∠AOC的大小是（　 　） A．20° B．35° C．130° D．140°【答案】D【详解】试题解析：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC=2∠ABC=140°.故选D．2．如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（　 　） A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】连接，根据题意先求出半径，在中，利用勾股定理求解．【详解】解：连接，如图所示． ，，，，在中，．故选：C．3．如图，内接于，若，则的度数是（　 　） A． B． C． D．【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆周角的定理求的度数．【答案】解：连接，如图，，，，．故选：．4．如图，的直径，弦的平分线交于点D，则的长是（　 　） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据圆的直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，再由的平分线交于点D，得到AD=BD，然后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：∵是的直径，∴∠ADB=90°，∵的平分线交于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴ ，∴AD=BD，在中， 由勾股定理得： ，∵，∴ ，解得： ．故选：A． 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，若，则等于（　 　） A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案．【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且，，又四边形是的内接四边形，，又，，故选：A． 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（　 　） A． B． C． D．【答案】D【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故选：D． 如图，AB是⊙O的直径，点E是半径OA的中点，过点E作DC⊥AB，交⊙O于点C、D，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA的大小为（　 　） A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】由题意利用sin∠CDO＝，求得∠CDO＝30°，继而可得∠DOA＝60°，然后根据圆周角定理即可求得答案．【详解】∵点E是半径OA的中点，∴OE＝OD，∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，∴sin∠CDO＝，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DFA＝∠DOA＝×60°=30°，故选B．如图，边长为2的正方形的四个顶点分别在扇形的半径、和上，且点是线段的中点，则的长为（　 　） A． B． C． D．【分析】连接，求出长，根据勾股定理求出，求出，根据弧长公式求出即可．【答案】解：连接，四边形是正方形，，，为的中点，，在中，由勾股定理得：，为的中点，，，，，的长为，故选：．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　 　）  A．1 B． C． D．【答案】C【详解】连接AE，OD，OE．  ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD．∴△AOD是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E为BC的中点，∠AED=90°，∴AB=AC．∴△ABC是等边三角形，∴△EDC是等边三角形，且边长是△ABC边长的一半2，高是．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=．故选C． 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，．已知于点，．下列结论：①； ②若点为的中点，则．③若，则； ④；其中正确的是（　 　） A． B． C． D．【答案】A【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，依次分析判断，即可解决问题．【详解】解：，，，是的直径，，， 故正确，符合题意；点为的中点，，为直径，，，，，，，，，故正确，符合题意；连接， ，，，，，为等边三角形，，，故正确，符合题意；，，当时，，故错误，不符合题意；故选：．二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）11．若扇形的圆心角为120°，弧长为18πcm，则该扇形的半径为 cm．【答案】27【分析】根据弧长公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为r（cm），则18π=，解得：r=27.故答案为27.12．如图，是的外接圆，，，则的半径是　 　． 【解答】解：作直径，如图，连接，为直径，，，，，，即的半径是6．故答案为6．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 . 【答案】2【详解】试题解析：连接OC，由题意，得 故答案为:某公园摩天轮是一种大型转轮状机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，坐在摩天轮上慢慢往上转可以从高处俯瞰春天的景色．如图①，A，B表示摩天轮上的两个座舱，如图②所示为其示意图．点O是圆心，半径为，A，B是圆上的两点，，则弧AB的长为 m（结果保留）． 【答案】【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式，利用弧长公式求解．【详解】解：由题意 ,弧AB的长．故答案为：． 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为 （结果保留整数） 【答案】【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ，是半径，且，，在中，，，解得：，故答案为：．16 . 如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是 ．  【答案】【详解】试题分析：∵根据旋转的性质知∠ABD=60°，△ABC≌△DBE，∴S△ABC﹣S△DBE．∴．三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，求点P的坐标 【【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．【详解】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP， ∵A（6，0），PD⊥OA， ∴OD=OA=3，在Rt△OPD中 ∵OP=  OD=3，  ∴PD=2   ∴P(3，2)  . 18 .如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积． 【答案】72πm2.【详解】试题分析：作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．解：解：过点O作OC⊥AB于C点．∵OC⊥AB，AB=18，∴AC=AB=9，∵OA=OB，∠AOB=360°﹣240°=120°，∴∠AOC=∠AOB=60°．在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2  ，又∵OC=OA，∴r=OA= ，∴S=πr2=72π（m2）．19．如图，如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝62°，求的度数；(2)若OC＝6，OA＝10，求的长．【答案】(1)∠DEB=31°；(2)AB=16．【分析】（1）先根据垂径定理得到，然后利用圆周角定理得到∠DEB=∠AOD；（2）根据垂径定理得到AC=BC，然后利用勾股定理计算出AC即可．（1）解：∵OD⊥AB，∴，∴∠DEB=∠AOD=×62°=31°；（2）解：∵OD⊥AB，∴AC=BC，∵OC=6，OA=10，∴在Rt△OAC中，AC==8，20．已知四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD，连接AC，BD．(1)如图①，若∠CBD＝36°，求∠BAD的大小；(2)如图②，若点E在对角线AC上，且EC＝BC，∠EBD＝24°，求∠ABE的大小．【答案】(1)（2）24°【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CBD=∠CDB=36°，根据圆周角定理可得∠BAC=∠BDC，∠CBD=∠CAD，根据∠BAD=∠BAC+∠CAD即可得答案；（2）根据等腰三角形性质可得∠EBD+∠CBD=∠BEC，根据外角性质可得∠BEC=∠ABE+∠BAE，由圆周角定理可得∠CBD=∠BAE，通过等量代换即可得∠ABE=∠EBD=24°.【详解】（1）∴∴∴（2）∴=∴∴21．如图，AB是的直径，弦AD平分，过点D分别作，，垂足分别为E、F，与AC交于点G． 求证：；若的半径，，求AG长．【答案】(1)见详解(2)AG= 8．【分析】（1）连接BD，GD，证明，即可得到结论；（2）先证明，可得AE=AF，结合EG＝BF=2，即可得到答案．（1）解：连接BD，GD，∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AC、DF⊥AB，∴DE=DF，∠DEG=∠DFB=90°，∵∠GAD=∠FAD，∴，∴DG=DB，在Rt△DEG和Rt△DFB中，，∴（HL），∴EG＝BF；（2）解：∵∠GAD=∠FAD，∠DEG=∠DFB=90°，AD=AD，∴（AAS），∴AE=AF，∵⊙O的半径r＝6，BF＝2，∴AE=AF=2×6-2=10，∵EG＝BF=2，∴AG=AE-EG=10-2=8．22．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：＝（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴＝．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，[来源:Z|xx|k.Com]∵AF为⊙O直径，∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△FCA中∴AC＝＝4（1）已知：如图1，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．求证：；（2）已知：如图2，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：． 【分析】（1）延长至，使，连接，证明是等边三角形．利用，，，得到，所以；（2）过点作交于，证明，所以，可得；【答案】证明：（1）延长至，使，连接，如图1，、、、四点共圆，，，，，是等边三角形，，；又，，，、为等边三角形，，，在和中，，，；（2）过点作交于，如图2，，，，，在和中，，，，；已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．②若DE＝7，AM＋MF＝17，求△ADF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①相等，见解析；②42【分析】（1）如图1，利用AB＝CD得到，则，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后根据等腰三角形的判定得到结论；（2）①连接AC，如图，由弧BE＝弧BC得到∠CAB＝∠EAB，再根据等腰三角形的判定方法得到AC＝AF，则∠ACF＝∠AFC，然后圆周角定理、对顶角和等量代换得到∠DFE＝∠E；②由∠DFE＝∠E得DF＝DE＝7，再利用AM＝DM得到AM＝MF＋7，加上AM＋MF＝17，于是可求出AM，然后根据三角形面积公式求解．【解析】（1）证明：如图1，∵AB＝CD，∴，即，∴，∴∠A＝∠D，∴AM＝DM；（2）①∠E与∠DFE相等．理由如下：连接AC，如图，∵，∴∠CAB＝∠EAB，∵AB⊥CD，∴AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，∴∠DFE＝∠E；②∵∠DFE＝∠E，∴DF＝DE＝7，∵AM＝DM，∴AM＝MF＋7，∵AM＋MF＝17，∴MF＋7＋MF＝17，解得MF＝5，∴AM＝12，∴7×12＝42.