初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计

这是一份初中数学人教版八年级下册19.2.3一次函数与方程、不等式教学设计，共6页。教案主要包含了新课导入，探究新知，当堂练习，巩固所学等内容，欢迎下载使用。
教学内容
19.2.3一次函数与方程、不等式
课时
1
核心素养目标
1.会用数学的眼光观察现实世界：根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题，培养抽象能力和应用能力.
2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习理解一次函数与方程、不等式的关系，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过运用一次函数与方程、不等式的关系解决有关现实问题，学生会运用数据形成合理判断或决策，感悟数据的价值.
知识目标
1.理解一次函数与方程、不等式的关系.
2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.
教学重点
理解一次函数与方程、不等式的关系.
教学难点
根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.
教学准备
课件
教学过程
主要师生活动
设计意图
一、新课导入
二、探究新知
当堂练习，巩固所学
一、问题回顾，导入新知
教师叙述：今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：一次函数与一元一次方程
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
师生活动：学生独立思考，发现三个方程的等式左边都相同.教师提示，把等式右边看作 y ，则三个等式可以表示同一个函数.
学生观察力不够时，教师可以提示从函数值、函数图象两个分享理解，学生独立思考，小组讨论并作答，教师完成总结.
从函数值看：
解这 3 个方程 ⟺ 一次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
从函数图象看：
当直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，它们的横坐标的取值.
总结：
师生活动：学生独立思考，共同作答填空完成总结.
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、b、c为常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值.
归纳总结
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0 的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗?
练习
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， )，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____.
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋2 与 x 轴交点坐标为( ， ).
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡视，选两名学生作答.
例1 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡视，选三名学生板书，教师规范解题思路.
知识点二：一次函数与一元一次不等式
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
师生活动：学生独立思考，小组讨论，选代表回答问题.师生共同完成总结.
从函数值的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x 的取值范围.
从函数图象的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺ 在直线y = 3x + 2 上取纵坐标分别满足大于 2、小于 0、小于 -1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.
归纳总结
一次函数与一元一次不等式的关系
例2 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3 ?
师生活动：教师分析解题思路，学生独立思考并作答，选两名学生板书，教师规范解题步骤.
练习3. 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交于点(-4，0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是( )

A. x > -4
B. x > 0
C. x < -4
D. x < 0
知识点三：一次函数与二元一次方程组
问题3 1号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了 1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y (m) 与气球上升时间 x (min) 的函数关系．
师生活动：学生独立思考写出两个函数解析式.
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
师生活动：教师提问：以一次方程 y =0.5 x + 15 举例，可以从几个方向思考关系？
预设：从方程观点和函数观点看，他们可以互相转化.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
在同一坐标内，(1) 画出 y = 0.5x + 15 的图象；
(2)画出以方程 y - 0.5x = 15 的 5 个解为坐标的点.你有什么发现？
设计意图：学生独立思考，完成计算，教师巡视；再小组讨论观察的结论，选代表回答.
教师播放课件总结.
总结：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
三、当堂练习，巩固所学
1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程 kx + 3 = 0 的解为 .
2．若方程组 的解为 则一次函数 y = 2x + 1 与 y = 3x - 1 的图象交点坐标为______.
3.一次函数 y1= 4x + 5 与 y2 = 3x + 10 的图象如图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是（ ）
A. x < 5
B. x > 5
C. x > -5
D. x > 25
设计意图：用趣味的游戏思考，把学生的注意力吸引至课堂，让学生带着问题学习本课，激发学生的探索欲望.
设计意图：耐心提示，把课堂交给学生自主发现，培养学生的自主学习能力和观察能力.
设计意图：通过对比，实现由方程到一次函数的过渡.
设计意图：通过学生思考填空，梳理一次函数与一元一次方程的关系，加深学生的理解.
设计意图：通过做题巩固对一次函数与一元一次方程的关系的理解，提高学生的应用能力.
设计意图：通过做题巩固对一次函数与一元一次方程的关系的理解，培养发散性思维和应用能力.
设计意图：学生通过对问题1的探究，已经掌握了一定方法，这里要求学生学以致用，培养自主探究能力.
设计意图：通过做题巩固对一次函数与一元一次不等式的关系的理解，培养学生的应用能力.
设计意图：锻炼学生应用一次函数与一元一次不等式的关系及图象进行解题的能力，体会方法的简便与优越.
设计意图：用显示情境问题，激发学生的探究兴趣，体会本节课内容在实际生活中的作用.
设计意图：学生独立思考，锻炼前面学习的探究方法.
设计意图：学生独立思考，锻炼前面学习的探究方法.
设计意图：考查学生能否根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题.
设计意图：考查对一次函数与二元一次方程组的关系的掌握.
设计意图：考查学生能否根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题.
板书设计
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 ⟺ 对应一次函数
解一元一次不等式 ⟺ 对应一次函
解二元一次方程组 ⟺ 求对应
课后小结
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思
通过前面的学习，学生已经掌握了从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集.而本节课通过函数图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.但学生对函数的理解还停留在直观的解析式或者图象上，学生很难想到利用函数的观点来看待方程和不等式的问题，从函数的对应关系来辩证的理解三个数学模型.