2025年高考数学二轮复习课时精练学案必刷小题8　解三角形（2份打包，原卷版+含解析）

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(2)b，sin A＝eq \f(1,3)，则sin B等于( )
A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(\r(7),3) C.eq \f(\r(2),6) D.eq \f(\r(34),6)
答案 C
解析 因为a＝eq \r(2)b，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2).由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(2),6).
2．在△ABC中，若a＝bcs C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 由余弦定理得cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，将其代入a＝bcs C，得a＝b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,2a)，
∴2a2＝a2＋b2－c2，∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知9sin2B＝4sin2A，cs C＝eq \f(1,4)，则eq \f(c,a)等于( )
A.eq \f(\r(11),4) B.eq \f(\r(10),4) C.eq \f(\r(11),3) D.eq \f(\r(10),3)
答案 D
解析 ∵9sin2B＝4sin2A，∴9b2＝4a2，即b＝eq \f(2a,3)，∵cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋\f(4a2,9)－c2,\f(4a2,3))＝eq \f(1,4)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2＝eq \f(10,9)，则eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),3).
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝60°，b＝1，eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(2\r(3),3)，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 B
解析 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，所以eq \f(a,sin A)＝eq \f(b＋c,sin B＋sin C)＝eq \f(2\r(3),3)，
则a＝eq \f(2\r(3),3)sin A＝eq \f(2\r(3),3)sin 60°＝eq \f(2\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝1，又b＝1，A＝60°，所以△ABC是正三角形，
所以△ABC的面积S△ABC＝eq \f(1,2)absin 60°＝eq \f(\r(3),4).
5．在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，若AC＝4BD，则cs∠ABC等于( )
A．－eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5) C．－eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 在△ABC中，A＝eq \f(π,4)，BD⊥AC，D为垂足，
又AC＝4BD，不妨设BD＝t，则AD＝t，AB＝eq \r(2)t，AC＝4t，CD＝3t，BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝eq \r(10)t，
则cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2×AB×BC)＝eq \f(\r(2)t2＋\r(10)t2－4t2,2×\r(2)t×\r(10)t)＝－eq \f(\r(5),5).
6．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq \r(2) m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于( )
A．30eq \r(2) m B．20eq \r(3) m
C．30 m D．20 m
答案 D
解析 在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10eq \r(2) m，由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(CB,sin∠CDB)，
可得eq \f(10\r(2),sin 30°)＝eq \f(CB,sin180°－15°－30°)，可得CB＝20eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝20(m)，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝BC＝20 m.
7．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是( )
A．－eq \f(17,25) B．－eq \f(4\r(21),25) C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(8,25)
答案 A
解析 依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，因为B为AD′的中点，
所以AB＝AC＝eq \f(1,2)AD′＝20(cm)，当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，所以BD＝20(cm)，
在△ABD中，cs∠BAD＝eq \f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq \f(400＋256－400,2×20×16)＝eq \f(2,5)，
所以cs∠BAC＝cs 2∠BAD＝2cs2∠BAD－1＝2×eq \f(4,25)－1＝－eq \f(17,25).
8．在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\r(3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\r(3)))
答案 D
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h＝asin B＝eq \f(\r(3),2)a，
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin120°－C,sin C)＝eq \f(\f(\r(3),2)cs C＋\f(1,2)sin C,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由△ABC为锐角三角形，可知30°eq \f(\r(3),3)，所以a＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
从而h∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\r(3)))，因此AB边上的高的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，\r(3))).
二、多项选择题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列对△ABC解的个数的判断中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解
B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．a＝eq \r(3)，b＝eq \r(6)，A＝60°，有一解
D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
答案 AB
解析 选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；
选项B，bsin A＝25sin 150°＝eq \f(25,2)，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；
选项C，bsin A＝eq \r(6)sin 60°＝eq \f(3\r(2),2)，则a选项D，bsin A＝9sin 45°＝eq \f(9\r(2),2)，则a10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＝(3b－c)sin B，且cs A＝eq \f(1,3)，则下列结论正确的是( )
A．a＋c＝3b B．tan A＝2eq \r(2) C．△ABC的周长为4c D．a＝c
答案 ABD
解析 由已知及正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，故A正确；
由cs A＝eq \f(1,3)可得sin A＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，则tan A＝eq \f(sin A,cs A)＝2eq \r(2)，故B正确；
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·eq \f(1,3)，整理得3b＝2c，则△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝eq \f(8,3)c，故C错误；由以上可知，a＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，故D正确．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.则下列命题正确的是( )
A．若a＝3eq \r(3)，b＝3，B＝30°，则A＝60°
B．若A>B，则sin A>sin B
C．若eq \f(c,b)D．若a＝eq \r(2)，b＝3，c2＋ab＝a2＋b2，则△ABC的面积为3
答案 BC
解析 对于A，由于a＝3eq \r(3)，b＝3，B＝30°，利用正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，解得sin A＝eq \f(\r(3),2)，
由于0°对于B，当A>B时，a>b，根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，可得sin A>sin B，故B正确；
对于C，若eq \f(c,b)故△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若a＝eq \r(2)，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2，利用余弦定理可得ab＝2abcs C，解得cs C＝eq \f(1,2)，
因为0°12．在△ABC中，已知a＝2b，且eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan B)＝eq \f(1,sin C)，则( )
A．a，c，b成等比数列
B．sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)
C．若a＝4，则S△ABC＝eq \r(7)
D．A，B，C成等差数列
答案 ABC
解析 因为eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan B)＝eq \f(1,sin C)，所以eq \f(cs A,sin A)＋eq \f(cs B,sin B)＝eq \f(sin Bcs A＋cs Bsin A,sin Asin B)＝eq \f(sinA＋B,sin Asin B)＝eq \f(sin C,sin Asin B)＝eq \f(1,sin C)，
即sin2C＝sin Asin B，即c2＝ab.对选项A，因为c2＝ab，所以a，c，b成等比数列，故A正确；
对选项B，因为a＝2b，c2＝ab＝2b2，即c＝eq \r(2)b，所以a∶b∶c＝2∶1∶eq \r(2)，即sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶eq \r(2)，故B正确；
对选项C，若a＝4，则b＝2，c＝2eq \r(2)，则cs B＝eq \f(42＋2\r(2)2－22,2×4×2\r(2))＝eq \f(5\r(2),8)，因为0故S△ABC＝eq \f(1,2)×4×2eq \r(2)×eq \f(\r(14),8)＝eq \r(7)，故C正确；
对选项D，若A，B，C成等差数列，则2B＝A＋C.又因为A＋B＋C＝π，则B＝eq \f(π,3).因为a∶b∶c＝2∶1∶eq \r(2)，设a＝2k，b＝k，c＝eq \r(2)k，k>0，则cs B＝eq \f(2k2＋\r(2)k2－k2,2×2k×\r(2)k)＝eq \f(5\r(2),8)≠eq \f(1,2)，故D错误．
三、填空题
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝6，B＝30°，a2＋c2＝3eq \r(3)ac，则△ABC的面积为________．
答案 eq \f(3\r(3),2)
解析 因为b＝6，B＝30°，所以62＝a2＋c2－2accs 30°＝a2＋c2－eq \r(3)ac，
因为a2＋c2＝3eq \r(3)ac，所以3eq \r(3)ac－eq \r(3)ac＝36，得ac＝6eq \r(3)，故S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(3\r(3),2).
14．已知圆内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，AD＝CD＝4，则四边形ABCD的面积为________．
答案 8eq \r(3)
解析 连接BD，如图，圆内接四边形对角互补，A＋C＝π，
由余弦定理，得62＋42－2×6×4cs C＝22＋42－2×2×4cs(π－C)，
∴cs C＝eq \f(1,2)，又015．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cs2C＝sin2A＋cs2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________．
答案 eq \f(π,3) 12π
解析 由cs2C＝sin2A＋cs2B－sin Asin C，可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C，
即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，又因为B∈(0，π)，可得B＝eq \f(π,3)，
设△ABC外接圆的半径为R，则R＝eq \f(b,2sin B)＝2eq \r(3)，所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，则eq \f(acs B,bcs A)＝________.
答案 4
解析 因为在△ABC中，(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，所以eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
所以bccs(π－A)＋accs B＝eq \f(3,5)c2，即acs B－bcs A＝eq \f(3,5)c，
由正弦定理得sin Acs B－sin Bcs A＝eq \f(3,5)sin C＝eq \f(3,5)sin(A＋B)，化简得sin Acs B＝4sin Bcs A，
所以eq \f(acs B,bcs A)＝eq \f(sin Acs B,sin Bcs A)＝4.