2025年高考数学二轮复习课时精练学案 必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式（2份打包，原卷版+含解析）

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1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－1|≤3}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－5,x＋1)<0))))，那么A∪B等于( )
A．(－1,4) B．(－1,4]
C．(－2,5) D．[－2,5)
答案 D
解析 由|x－1|≤3，解得－2≤x≤4，即A＝[－2,4]．由eq \f(x－5,x＋1)<0，解得－1所以A∪B＝[－2,5)．
2．“x<1”是“x2－4x＋3>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 解不等式x2－4x＋3>0，得x>3或x<1，所以“x<1”是“x2－4x＋3>0”的充分不必要条件．
3．若不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，则k的取值范围是( )
A．0≤k≤6 B．－6C．06
答案 C
解析 由题意，函数y＝2x2＋2kx＋3k的图象开口向上，又不等式2x2＋2kx＋3k>0对一切实数x都成立，
∴对应方程的判别式Δ＝(2k)2－4×2×3k<0，解得04．若关于x的一元二次方程x2＋qx＋8－q＝0有两个正实数根，则q的取值范围是( )
A．q>8 B．q<－4
C．q>8或q<－4 D．q<－8
答案 D
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝q2－48－q>0，,－q>0，,8－q>0，))解得q<－8.
5．若－π<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A．－2π<α－β<2π B．0<α－β<2π
C．－2π<α－β<0 D．{0}
答案 C
解析 ∵－π<β<π，∴－π<－β<π，又－π<α<π，∴－2π<α－β<2π，又α<β，∴α－β<0，∴－2π<α－β<0.
6．若正实数a，b满足(a＋1)(2b＋1)＝4，则a＋2b＋1的最小值为( )
A．2 B．3 C.eq \f(10,3) D．4
答案 B
解析 因为a，b为正实数，所以a＋2b＋1＝a＋1＋2b＋1－1≥2eq \r(a＋12b＋1)－1＝2eq \r(4)－1＝3，
当且仅当a＋1＝2b＋1，即a＝1，b＝eq \f(1,2)时等号成立．
7．若关于x的方程x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,a)))x＋9＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,7)，\f(2,5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(2,7))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,11)，0))
答案 D
解析 令f(x)＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,a)))x＋9，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,a)))2－36>0，,f1＝11＋\f(2,a)<0，))解得－eq \f(2,11)8．已知x1>0，x2>0，x1＋x2A．x1＋x2>1 B．x1＋x2<1
C.eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)eq \f(1,e)
答案 A
解析 由题意得eq \f(x1＋x2,x1x2)＝eq \f(x1,x1x2)＋eq \f(x2,x1x2)＝eq \f(1,x1)＋eq \f(1,x2)当且仅当x1＝x2时等号成立，所以x1＋x2>eq \f(4,e)>1.
二、多项选择题
9．下列各结论正确的是( )
A．“xy>0”是“eq \f(x,y)>0”的充要条件
B.eq \r(x2＋9)＋eq \f(1,\r(x2＋9))的最小值为2
C．命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x≤1，x2－x≤0”
D．“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)”是“a＋b＋c＝0”的充要条件
答案 AD
解析 xy>0⇔eq \f(x,y)>0，故A正确；
由基本不等式知，eq \r(x2＋9)＋eq \f(1,\r(x2＋9))≥2，当且仅当eq \r(x2＋9)＝eq \f(1,\r(x2＋9))，即x2＝－8时等号成立，
由于x2＝－8无解，所以等号不成立，所以取不到最小值2，故B错误；
命题“∀x>1，x2－x>0”的否定是“∃x>1，x2－x≤0”，故C错误；
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，显然有a＋b＋c＝0，反之亦可，故D正确．
10．若实数a，b满足aA.eq \f(1,a)ln b2
C．a|a|答案 BCD
解析 由a0⇒eq \f(a,ab)由a－b>0⇒a2>b2>0⇒ln a2>ln b2，故B正确；
因为a因为a11．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1,2)，则下列选项正确的是( )
A．a<0
B．b<0且c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2－cx＋b<0的解集是R
答案 AB
解析 由题意得，方程ax2－bx＋c＝0的两根为－1,2，且a<0，故A正确；
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋2＝\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝a，,c＝－2a，))则b<0，c>0，故B正确；
所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；
不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等式的解集为{x|x≠－1}，故D错误．
12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝2，则下列说法正确的是( )
A．a2＋b2的最小值为eq \f(5,4)
B．ab的最大值为eq \f(1,2)
C．4a2＋b2的最小值为4
D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2)
答案 BD
解析 由题意得，a>0，b＝2－2a>0，从而0所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(4,5)))2＋eq \f(4,5).当a＝eq \f(4,5)时，a2＋b2有最小值eq \f(4,5)，故A错误；
因为2＝2a＋b≥2eq \r(2ab)，所以ab≤eq \f(1,2)，当且仅当a＝eq \f(1,2)，b＝1时等号成立，故B正确；
4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×eq \f(1,2)＝2，当且仅当a＝eq \f(1,2)，b＝1时等号成立，故C错误；
eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(b,a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋2\r(\f(b,a)·\f(2a,b))))＝eq \f(3＋2\r(2),2)＝eq \f(3,2)＋eq \r(2)，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(2a,b)，
即a＝2－eq \r(2)，b＝2eq \r(2)－2时等号成立，故D正确．
三、填空题
13．“α＝β”是“sin α＝sin β”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个)
答案 充分不必要
解析 若α＝β，则sin α＝sin β，
当α＝0，β＝2π时，sin α＝sin β，此时α≠β，
所以“α＝β”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件．
14．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，若B⊆A，则 m 的取值范围为________．
答案 [－1，＋∞)
解析 ∵B⊆A，∴当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，符合题意；
当B≠∅时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1≥－3，,m＋1≤4，,2m－1≤m＋1，))解得－1≤m≤2，
综上所述，m≥－1，即m的取值范围为[－1，＋∞)．
15．若对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案 {a|a≤4}
解析 对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．
当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R；当1∵1∴a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}．
16．运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是6 元/升，而汽车每小时耗油eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(x2,360)))升，司机的工资是24 元/时．则这次行车的总费用最低为________元．
答案 260
解析 设所用时间为t＝eq \f(130,x) 小时，这次行车的总费用为y元．
则由题意知y＝eq \f(130,x)×6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6＋\f(x2,360)))＋24×eq \f(130,x)＝eq \f(7 800,x)＋eq \f(13x,6)，x∈[50,100]．
y＝eq \f(7 800,x)＋eq \f(13x,6)≥2eq \r(\f(7 800,x)·\f(13x,6))＝260，当且仅当eq \f(7 800,x)＝eq \f(13x,6)，即x＝60时等号成立．
故当x＝60千米/时，这次行车的总费用最低，最低为260元．