[数学]贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊试卷(解析版)

这是一份[数学]贵州省六盘水市2024届高三下学期三诊试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为全集，，，
∴，则．
故选：D．
2. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线，则，，故焦点坐标为.
故选：D.
3. 已知曲线的一条切线方程为，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】设切点为
因为切线，
所以，
解得（舍去）
代入曲线得，
所以切点为
代入切线方程可得，解得.
故选：D.
4. 在中，，， ，则外接圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，， ，
由余弦定理可得：，
设外接圆的半径为，由正弦定理可得：，则．
故选：B．
5. 已知点O为的重心，，则（ ）
A. B. C. 1D. 6
【答案】A
【解析】根据向量加法三角形运算法知（∗）；
F为中点，则（∗∗）；
点O为的重心，则，
代入（∗∗）得到，，
代入（∗）得到，，
结合，可得，所以.
故选：A
6. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（ ）
A. B. 1C. D. ﹣2
【答案】C
【解析】圆与直线与相交于A，B两点，且．
则圆心到直线的距离，
利用垂径定理得，所以，解得．
故选：C．
7. 定义在R上的奇函数，满足，时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，
所以
，
故的周期为，当时，，
则，所以，
所以．
故选：C．
8. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知，，，则，，，
作出函数，，，的图象，

由图可知．
故选：A．
二、多项选择题
9. 已知函数，若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A.
B.
C. 点是函数图象的对称中心
D. 将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于轴对称
【答案】ABD
【解析】因为函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，，
因为直线为函数图象的一条对称轴，
所以，，则，，
因为，所以，故AB正确；
所以，因为，
故C错误；
将函数的图象向左平移个单位长度后所得函数为
，图象关于轴对称，故D正确.
故选：ABD.
10. （多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则（ ）
A. 的面积为
B. 三棱锥的体积为
C. 存在点P，使得⊥
D. 存在点P，使得⊥平面
【答案】BD
【解析】A选项，在棱长为1的正方体中，
点P是线段上的动点，当点P与重合时，为等边三角形，
边长为，
故的面积为，故A错误；
B选项，因为，
其中，
表示点P到平面的距离，故，
所以三棱锥的体积为，故B正确；
C选项：在正方体中，以为直径的球面，半径，
则直线与该球面没有公共点，故不存在点P，故C错误；
D选项：取的中点M，连接PM，
当P为的中点时，即为的交点时，
因为，，所以四边形为平行四边形，
故，
又，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为⊥平面，
易知⊥平面，
因为平面，
所以PM⊥，
又因为在正方体中，⊥，
而，所以⊥平面，故D正确．
故选：BD．
11. （多选）设O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为2，焦点到渐近线的距离为，点为双曲线上一点，则（ ）
A. 若，则
B. 若的面积为，则
C. 若线段的中点在y轴上，则
D. 内切圆的圆心到轴的距离为1
【答案】BCD
【解析】渐近线方程为，
由题意可得，焦点到渐近线的距离为，结合，解得，则双曲线的方程为 ，
，所以 或，选项A错；
记，则，
由，可得，即有，所以，选项B对：
因为的中点在轴上，所以,故轴，故，选项C对；
取点在双曲线的右支上，如图所示，
，
又因为，解得，，
所以切点是双曲线的右顶点，从而内切圆圆心的横坐标为1，选项D对．
故选：BCD．
三、填空题
12. 若复数是方程的根，则复数的模为______．
【答案】
【解析】设复数，若复数是方程的根，
则，整理得
所以，
若，则，，则在实数范围内无解，不符合题意
故，从而解得，
所以复数，故复数的模为.
故答案为：.
13. 诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为___________．
【答案】
【解析】由题意，甲、乙两队抢到该题的概率均为，
该题被答对的概率为．
故答案：．
14. 已知正四面体的棱长为，以其中一个顶点为球心作半径为3的球，则所得球面与该正四面体表面的交线长之和为 _______．
【答案】
【解析】以点为球心的球，其球面与正四面体的四个面都相交，所得交线分成两类：
一类与三个侧面，
设与侧面交线为，则在过球心的大圆上，且与交于中点，
正四面体中每个面都是等边三角形，且，，
又，则，
根据对称性可知：与侧面ABD，ACD的交线与相等，
另一类交线是与底面BCD的交线，过A作AO⊥平面BCD，
则，
，
，
故与底面BCD刚好相交于底面BCD各边中点处，形成的交线此时是底面BCD的内切圆，
内切圆半径为，故弧长为，
该球球面与正四面体ABCD的表面相交所得到的曲线长度之和为．
故答案为：．
四、解答题
15. 已知为等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得，
解得，则．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，
又恒成立，则恒成立，
设，则，
当时，，即；
当时，，则，则；
则，故，
故实数λ的取值范围为．
16. 某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，
（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.
附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．
②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．
③泊松分布表（局部）
表中列出了的值（如：时，
（1）解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，
则，，，
所以ξ的分布列为：
所以ξ的期望为；
（2）解：依题题意，得，则，
所以，
因为，所以，
于是，
所以时的概率估计值为．
17. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
（1）证明：取的中点为，连结，因为为中点，
则，且，
因为，，，所以
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面;
（2）解：在中，
，所以，
在中，，即，
因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，所以，
易知平面的一个法向量为，
设二面角为，由图知为钝角，
所以，
所以，
故二面角的正弦值为．
18. 在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．
解：（1）设，因为，所以，
由得，，
将，代入得，，
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）由（1）知，
联立得，，
由韦达定理得，，
于是，从而，
因为，，
则，，
，所以．

19. 若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”
（1）若，判断是否为上的“4类函数”；
（2）若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
（3）若为上的“2类函数”且，证明：，，.
（1）解：函数是上的“4类函数”，理由如下：
不妨设，所以，
，
所以是上的“4类函数”；
（2）解：，，
由题意知，对于任意不同的都有，
不妨设，则，
故且，
所以为上的增函数，为上的减函数，
所以对任意的，即，
由，令，
则，，
令得在上单调递增，，
由，令，
只需，，
令得在单调递增，
所以，
综上所述，实数a的取值范围为；
（3）证明：因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，当时，；
当时，因为，
所以
，
综上所述，，，.


…
0.5
0.6
0.7
…
0
…
0.606531
0.548812
0.496585
…
1
…
0.303265
0.329287
0.347610
…
2
…
0075816
0.098786
0.121663
…
3
…
0.012636
0.019757
0.028388
…
4
…
0.001580
0.002964
0.004968
…
5
…
0.000158
0.000356
0.000696
…
6
…
0.000013
0.000036
0.000081
…
7
…
0.000001
0.000003
0.000008
…
ξ
0
1
2
P