[数学]贵州省部分学校2024届高三下学期联考试卷(解析版)

这是一份[数学]贵州省部分学校2024届高三下学期联考试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可知，.
故选：A.
2. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为或，
所以.
故选：D
3 若复数满足，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，所以，
由，得，则，
所以，解得.
故选：B.
4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数.
故选：C.
5. 某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ）
A. 240种B. 360种C. 720种D. 2002种
【答案】B
【解析】根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种.
故选：B.
6. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，则，，
所以曲线在点处的切线方程为.
令，得，令，得，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
故选：C
7. 设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ）
A. 21B. 25C. 27D. 31
【答案】D
【解析】由，得，则，
从而.
故选：D
8. 如图，在长方体中，，，是上一点，且，则四棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在长方体中，平面，又平面，
所以，又，，面，
所以平面，又面，
所以，
由，，，
得，所以，又，
所以，
则点到平面的距离，
故四棱锥的体积.
故选：A.
二、选择题
9. 若一组数据14，17，11，9，12，15，，8，10，7的第65百分位数为12，则的值可能为（ ）
A. 8B. 10C. 13D. 14
【答案】AB
【解析】将这组数据除去后，按从小到大的顺序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17.
因为，所以.
故选：AB.
10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A. B.
C. 的离心率为D. 直线的斜率为
【答案】ACD
【解析】如图，由，可设，.
因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.
故选：ACD.
11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于选项A，若，则，从而，则，即.
令，则，在上单调递增，
所以，即，则，即，故A正确；
对于选项B，① 若，，则，不符合题意，
② 若，，则，不符合题意，
③ 若，，则，，
所以，，，符合题意，
此时，故B不正确.
对于选项C，若，，则，即.令，
则，当时，，不符合题意，
当时，，单调递增，
由，，可得，则.
若，则不妨设，
若，则，此时，不符合题意，
若，则，此时，不符合题意，
若，则，此时，符合题意，则，故C正确.
对于选项D，若，则，则在上单调递增，
则，即.
令，显然在上单调递增，
因为，所以由，
可知，其中，且，故D不正确
故选：AC.
三、填空题
12. 已知向量，，若，则______.
【答案】
【解析】因为，所以，即，解得.
故答案为：.
13. 已知为圆锥的顶点，为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则______.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，则，所以.
在中，由余弦定理知.
故答案为：
14. 定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为______.
【答案】4
【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，，
则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，
故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数.
根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）.
由图可知与的图象在上有4个交点.
故答案为：4.
四、解答题
15. 行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下.
（1）根据表中的数据，求关于的回归直线方程；
（2）某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为，求.
附：回归直线方程中，，.
解：（1），
则，
所以，
故关于的回归直线方程为.
（2）由题可知，每名行人通过该路口闯红灯的概率，
则，
所以.
16. 如图，在四棱锥中，，，侧面是边长为8的等边三角形，，.
（1）证明：平面.
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：过点作，并与相交于点，连接.
因为，所以，则.
因为，所以，又，
所以四边形为平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接，面内作，因为侧面是等边三角形，所以.
又面面，面面，在面内，所以面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，所以，，，，
则，，.
设平面的法向量为，由得令，得.
，故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数.
（1）若，求单调区间；
（2）若恒成立，求的取值集合.
解：（1）由，得，定义域为，
则，
当时，，当时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由，，得，
若，则显然，不符合题意，
若，令，解得，
则当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
则，即，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，当满足时，，
所以的取值集合为.
18. 已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点.
（1）求的方程；
（2）若，求的值；
（3）若，记，的面积分别为，，求的取值范围.
（1）解：由抛物线上一点到坐标原点的距离为，
可得，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）解：由题意，设直线的方程为，且，.
联立方程组，消去整理得，
则，所以，，
因为，，所以，所以，
又因为，所以，则，
因为，所以，则.
（3）解：根据抛物线对称性，不妨令，
由（2）中，，得直线的方程为，
令，得，同理可得，
则，，
且，，
故
，
令，则，
显然在上恒成立，所以在上单调递增，
由，，可得的取值范围为.
19. 对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
（1）证明：.
（2）若方阵，满足，且,证明：
.
（1）证明：设方阵，
则，
，
，
，
则，
所以.
因为，所以，证毕.
（2）解：设，，则由，
可得，①
，②
，③
，④
由①④，得，⑤
由②③，得，⑥
由⑤⑥，可得，
整理得，即.
由，可得或则.
又，
所以，证毕.
月份序号
1
2
3
4
5
闯红灯人数
1040
980
860
770
700