甘肃省2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合,,则( )
A.B.C.D.
2．在复平面内,复数对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示,据此可以推断变量x与y之间( )
A.可能存在负相关B.可能存在正相关C.一定存在正相关D.一定存在负相关
4．设,,,则( )
A.B.C.D.
5．两批同种规格的产品,第一批占70%,次品率为6%;第二批占30%,次品率为5%.将这两批产品混合,从混合产品中任取1件,则这件产品是次品的概率为( )
A.5.5%B.5.6%C.5.7%D.5.8%
6．已知向量,,.若A,B,D三点共线,则( )
A.2B.C.D.
7．已知随机变量,从X所有可能的取值中任取3个,在取出的条件下,取出的3个值的概率之和超过的概率为( )
A.B.C.D.
8．已知点P在抛物线上,过点P作圆的切线,若切线长为,则点P到M的准线的距离为( )
A.5B.6C.7D.
二、多项选择题
9．若随机变量,,则( )
A.B.
C.D.
10．已知函数,则( ).
A.的最小正周期为B.的最大值为3
C.的图象关于点对称D.的图象关于直线对称
11．若,则( )
A.B.
C.中,最大D.
三、填空题
12．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则外接圆的面积为________.
13．已知,分别为椭圆的左､右焦点,为C上一点,则C的离心率为________,内切圆的半径为________.
14．甲,乙,丙等7名学生准备利用暑假时间从A,B,C三个社区中选一个参加义务劳动,若甲,乙,丙恰好去三个不同的社区,则所有不同的选择种数为________.
四、解答题
15．已知数列是等差数列,且.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
16．某种专业技能资格考核分A,B,C三个项目考核,三个项目考核全部通过即可获得资格证书,无需费用,否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书,且每个项目的培训费用为1000元.已知每个参加考核的人通过A,B,C三个项目考核的概率分别为,,,且每个项目考核是否通过相互独立.现有甲,乙,丙三人参与这种专业技能资格考核.
（1）求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率;
（2）记甲,乙,丙中不需要培训就获得资格证书的人数为,求的分布列与期望.
17．如图,在四棱锥中,底面ABCD,且底面ABCD是菱形,E是PA的中点.
（1）证明:平面BDE.
（2）若,四棱锥的体积为72,且,求平面BDF与平面PCD的夹角.
18．已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍,且焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程;
（2）若动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,O为坐标原点,证明:的面积为定值.
19．已知函数,.
（1）讨论的单调性;
（2）当恒成立时,判断的零点个数.
参考答案
1．答案：C
解析：集合,,所以.
故选:C
2．答案：A
解析：,对应的点为,在第一象限
3．答案：A
解析：从散点图看,这些点在一条线的附近,且从左上角到右下角呈递减的趋势,所以据此可以推断变量x与y之间可能存在负相关,
故选:A.
4．答案：B
解析：依题意,,又,
,所以.
故选:B
5．答案：C
解析：用事件,分别表示取到的产品来自第一批,第二批,B表示取到次品,
依题意,,,,,
所以由全概率公式得.
故选:C
6．答案：B
解析：由,,得,
由A,B,D三点共线,得,又,
因此,所以.
故选:B
7．答案：C
解析：依题意,,,
,,
在取出的条件下的事件为A,则,
取出的3个值的概率之和超过的事件为B,则,
所以所求概率.
故选:C
8．答案：A
解析：如图所示:
设切点为Q,则,
则,
设,则由两点间距离公式得到,
解得,因为,所以,
因为M的准线方程为,所以点P到M的准线的距离PE为.
故选:A.
9．答案：ABD
解析：随机变量,,由正态分布的性质得:
对于A,B,,,A,B正确;
对于C,D,,则,C错误,D正确.
故选:ABD
10．答案：ACD
解析：,
则的最小正周期为,故A正确;
的最大值为,故B错误;
的图象关于点对称,故C正确;
的图象关于直线对称.故D正确,
故选:ACD.
11．答案：BD
解析：对于A,令,得,A错误;
对于B,显然,,,,均为正数,,,,,均为负数,
取,得,
因此,B正确;
对于C,,,,
,,因此最大,C错误;
对于D,由,得,则,
因此,D正确.
故选:BD
12．答案：/
解析：依题意,,得,
设外接圆的半径为,所以外接圆的面积为.
故答案为:
13．答案：,
解析：将代入中,,
即,,则椭圆方程为,
离心率为:.
如图所示,
易得,,,
则,,,
因为(C为三角形周长,r为内切圆半径).
又,代入得,解得.
故答案为:;.
14．答案：486
解析：依题意,甲,乙,丙恰好去三个不同的社区有种方法,
除甲,乙,丙外的余下4人,每个选择一个社区的方法有3种,4人去社区的方法种数为,
所以所有不同的选择种数为.
故答案为:486
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）设等差数列的公差为d,,解得.
,可得,解得.
所以.
（2）,
所以
16．答案：（1）;
（2）分布列见解析,期望.
解析：（1）甲三个项目全部通过,所花费用为0,概率;
甲三个项目有一个没有通过,需要参加一次学习培训,所花费用为1000元,
概率,
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为.
（2）由（1）知,不需要培训就获得资格证书的概率为,
X的可能取0,1,2,3,显然,
,,
,,
所以X的分布列为:
期望.
17．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）连接EAC,交BD于点O,连接OE,由ABCD是菱形,得O为AC的中点,
而E为AP的中点,则,平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE.
（2）由底面ABCD,得,
则,即,于是菱形ABCD为正方形,
以点A为原点,直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,由,得,则,
,,,
设平面BDF的法向量为,,令,得,
设平面PCD的法向量为,则,令,得,
显然,所以平面BDF与平面PCD的夹角为.
18．答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）设双曲线C的一个焦点为,一条渐近线方程为,
焦点F到渐近线的距离为,
由实轴长是虚轴长的倍,得,
所以双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知,双曲线C的渐近线方程为,
当直线l的斜率不存在时,l的方程为,,,
当直线l的斜率存在时,不妨设直线,且,
由消去y得,
由,得,
由,得,不妨设与的交点为P,则点P的横坐标,
同理得点Q的横坐标,则,
而原点O到直线l的距离,因此,
所以的面积为定值,且定值为.
19．答案：（1）当时,在上递增;当时,在上递增,在上递减.
（2）当时,的零点个数为;当时,的零点个数为.
解析：（1）由知.
当时,对有,所以在上递增;
当时,对有,对有,
所以在上递增,在上递减.
综上,当时,在上递增;
当时,在上递增,在上递减.
（2）当恒成立时,
假设,则.
从而,这与矛盾,所以一定有.
当时,据的单调性有.
故对,有,代入表达式知,即.
所以对都有,
这就得到
.
故恒成立.
综上,a的取值范围是.
下面来讨论的零点个数:
当时,根据的单调性,有,所以没有零点;
当时,首先有.
而根据的单调性,对有,所以有唯一的零点即.
综上,当时,的零点个数为0;当时,的零点个数为1.
X
0
1
2
3
p