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2023-2024学年甘肃省高二下学期教学质量统一检测数学试题（含答案）
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这是一份2023-2024学年甘肃省高二下学期教学质量统一检测数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=−2,−1,1，B={x∣−2A. {x∣−2C. −1,1D. x∣−1≤x≤1
2.在复平面内，复数i2−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间( )
A. 可能存在负相关B. 可能存在正相关C. 一定存在正相关D. 一定存在负相关
4.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
5.两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%.将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为( )
A. 5.5%B. 5.6%C. 5.7%D. 5.8%
6.已知向量AB=2,1，AC=1,m，CD=3,6.若A，B，D三点共线，则m=( )
A. 2B. −4C. −14D. −8
7.已知随机变量X∼B(6,12)，从X所有可能的取值中任取3个，在X=3取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过12的概率为( )
A. 13B. 23C. 35D. 45
8.已知点P在抛物线M:y 2=8x上，过点P作圆C:x−4 2+y 2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 5B. 6C. 7D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量X∼N0,22，Y∼N0,32，则( )
A. PX≤0=0.5B. PX≤−2=PX≥2
C. PX≤−2=PY≥2D. PX≤−210.已知函数fx=sinx−csx+2，则( )．
A. fx的最小正周期为2πB. fx的最大值为3
C. fx的图象关于点π4,2对称D. fx的图象关于直线x=−π4对称
11.若2x−19=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则( )
A. a0=1B. a0+a1+a2+⋯+a9=39
C. a0,a1,a2,⋯,a9中，a5最大D. a1+a221+a322+⋯+a928=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=6，A=π3，则▵ABC外接圆的面积为 ．
13.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)的左､右焦点，P2,53为C上一点，则C的离心率为 ，△PF1F2内切圆的半径为 ．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，且a1+a3+a5=18,a2=2a1．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=4anan+1，求数列bn的前n项和Sn．
16.(本小题12分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形，E是PA的中点．
(1)证明：PC//平面BDE．
(2)若PA=AB=6，四棱锥P−ABCD的体积为72，且PF=2FC，求平面BDF与平面PCD的夹角．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.已知函数fx=lnx−12ax，gx=aeax−2xlnx．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当gx≥0恒成立时，判断fx的零点个数．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.A
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.283π或28π3
13.23；23
14.486
15.(1)
设等差数列an的公差为d,a1+a3+a5=3a3=18，解得a3=6．
a2=2a1，可得a3−d=2a3−2d，解得d=2．
所以an=a3+2n−3=2n．
(2)
bn=4anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1
16.(1)
甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724．
(2)
由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X∼B(3,14)，
P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
17.(1)
连接AC，交BD于点O，连接OE，由ABCD是菱形，得O为AC的中点，
而E为AP的中点，则OE//PC，OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
所以PC//平面BDE．
(2)
由PA⊥底面ABCD，得VP−ABCD=13AB⋅ADsin∠BAD⋅PA=13⋅63sin∠BAD=72，
则sin∠BAD=1，即∠BAD=90∘，于是菱形ABCD为正方形，
以点A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(6,0,0),C(6,6,0),D(0,6,0),P(0,0,6)，
PC=(6,6,−6)，由PF=2FC，得PF=23PC=(4,4,−4)，则F(4,4,2)，
BD=(−6,6,0),BF=(−2,4,2),PD=(0,6,−6)，
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，n⋅BD=−6x+6y=0n⋅BF=−2x+4y+2z=0，令x=1，得n=(1,1,−1)，
设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅PC=6a+6b−6c=0m⋅PD=6b−6c=0，令b=1，得m=(0,1,1)，
显然n⋅m=0，所以平面BDF与平面PCD的夹角为90∘．
18.(1)
设双曲线C的一个焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0，
焦点F到渐近线距离为bc a2+b2=b= 2，
由实轴长是虚轴长的 2倍，得a= 2b=2，
所以双曲线C的标准方程为x24−y22=1．
(2)
由(1)知，双曲线C的渐近线方程为x± 2y=0，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±2，PQ=2 2，S▵OPQ=12×2×2 2=2 2，
当直线l的斜率存在时，不妨设直线l：y=kx+m，且k≠± 22，
由y=kx+mx2−2y2=4消去y得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
由Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，得4k2=m2+2，
由y=kx+mx− 2y=0，得x= 2m1− 2k，不妨设l与x− 2y=0的交点为P，则点P的横坐标xP= 2m1− 2k，
同理得点Q的横坐标xQ=− 2m1+ 2k，则|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|，
而原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，因此S▵OPQ=12|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|=2 2，
所以△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
19.(1)
由fx=lnx−12ax知f′x=1x−12a=2−ax2x．
当a≤0时，对x>0有f’(x)=2−ax2x>0，所以fx在0,+∞上递增；
当a>0时，对00，对x>2a有f′x=2−ax2x=a2x2a−x<0，
所以fx在0,2a上递增，在2a,+∞上递减．
综上，当a≤0时，fx在0,+∞上递增；
当a>0时，fx在0,2a上递增，在2a,+∞上递减．
(2)
当gx≥0恒成立时，
假设a<2e，则ge=aeae−2elne<2e⋅eae−2e<2e⋅e2e⋅e−2e=2e⋅e2−2e=2e−2e=0．
从而ge<0，这与gx≥0矛盾，所以一定有a≥2e．
当a≥2e时，据fx的单调性有fx≤f2a=ln2a−12a⋅2a=ln2a−1．
故对x>0，有f2xa≤f2a，代入表达式知ln2xa−12a⋅2xa≤ln2a−1，即lnx≤x−1．
所以对x>0都有x−1−lnx≥0，
这就得到gx=aeax−2xlnx≥2e⋅eax−2xlnx≥2e⋅e2e⋅x−2xlnx=2x1xe2e⋅x−1−lnx
=2x1xexe−1⋅exe−lnxe−1=2x1xexe−1−xe⋅exe+exe−1−lnxe−1
=2x1xexe−1−1−xe−1⋅exe+exe−1−1−xe−1+xe−lnxe−1
=2exeexe−1−1−lnexe−1+2xexe−1−1−lnexe−1+2xxe−lnxe−1
≥2exe⋅0+2x⋅0+2x⋅0=0．
故gx≥0恒成立．
综上，a的取值范围是2e,+∞．
下面来讨论fx的零点个数：
当a>2e时，根据fx的单调性，有fx≤f2a=ln2a−12a⋅2a=ln2a−1当a=2e时，首先有f2a=ln2a−12a⋅2a=ln2a−1=ln22e−1=0．
而根据fx的单调性，对x∈0,2a∪2a,+∞有fx综上，当a>2e时，fx的零点个数为0；当a=2e时，fx的零点个数为1．X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=−2,−1,1，B={x∣−2
2.在复平面内，复数i2−i对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间( )
A. 可能存在负相关B. 可能存在正相关C. 一定存在正相关D. 一定存在负相关
4.设a=lg52，b=lg253，c=0.60.2，则( )
A. c>b>aB. c>a>bC. b>a>cD. a>c>b
5.两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%.将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为( )
A. 5.5%B. 5.6%C. 5.7%D. 5.8%
6.已知向量AB=2,1，AC=1,m，CD=3,6.若A，B，D三点共线，则m=( )
A. 2B. −4C. −14D. −8
7.已知随机变量X∼B(6,12)，从X所有可能的取值中任取3个，在X=3取出的条件下，取出的3个值的概率之和超过12的概率为( )
A. 13B. 23C. 35D. 45
8.已知点P在抛物线M:y 2=8x上，过点P作圆C:x−4 2+y 2=1的切线，若切线长为2 6，则点P到M的准线的距离为( )
A. 5B. 6C. 7D. 4 2
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量X∼N0,22，Y∼N0,32，则( )
A. PX≤0=0.5B. PX≤−2=PX≥2
C. PX≤−2=PY≥2D. PX≤−2
A. fx的最小正周期为2πB. fx的最大值为3
C. fx的图象关于点π4,2对称D. fx的图象关于直线x=−π4对称
11.若2x−19=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9，则( )
A. a0=1B. a0+a1+a2+⋯+a9=39
C. a0,a1,a2,⋯,a9中，a5最大D. a1+a221+a322+⋯+a928=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=6，A=π3，则▵ABC外接圆的面积为 ．
13.已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y2b2=1(b>0)的左､右焦点，P2,53为C上一点，则C的离心率为 ，△PF1F2内切圆的半径为 ．
14.甲、乙、丙等7名学生准备利用暑假时间从A，B，C三个社区中选一个参加义务劳动，若甲、乙、丙恰好去三个不同的社区，则所有不同的选择种数为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，且a1+a3+a5=18,a2=2a1．
(1)求an的通项公式；
(2)设bn=4anan+1，求数列bn的前n项和Sn．
16.(本小题12分)
某种专业技能资格考核分A，B，C三个项目考核，三个项目考核全部通过即可获得资格证书，无需费用，否则需要对未通过的项目进行较长时间的学习培训后才能获得资格证书，且每个项目的培训费用为1000元．已知每个参加考核的人通过A，B，C三个项目考核的概率分别为34，23，12，且每个项目考核是否通过相互独立．现有甲、乙、丙三人参与这种专业技能资格考核．
(1)求甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率；
(2)记甲、乙、丙中不需要培训就获得资格证书的人数为X，求X的分布列与期望．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是菱形，E是PA的中点．
(1)证明：PC//平面BDE．
(2)若PA=AB=6，四棱锥P−ABCD的体积为72，且PF=2FC，求平面BDF与平面PCD的夹角．
18.(本小题12分)
已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长是虚轴长的 2倍，且焦点到渐近线的距离为 2．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：△OPQ的面积为定值．
19.已知函数fx=lnx−12ax，gx=aeax−2xlnx．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当gx≥0恒成立时，判断fx的零点个数．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.B
5.C
6.B
7.C
8.A
9.ABD
10.ACD
11.BD
12.283π或28π3
13.23；23
14.486
15.(1)
设等差数列an的公差为d,a1+a3+a5=3a3=18，解得a3=6．
a2=2a1，可得a3−d=2a3−2d，解得d=2．
所以an=a3+2n−3=2n．
(2)
bn=4anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
所以Sn=b1+b2+b3+⋯+bn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1
16.(1)
甲三个项目全部通过，所花费用为0，概率P1=34×23×12=14；
甲三个项目有一个没有通过，需要参加一次学习培训，所花费用为1000元，
概率P2=14×23×12+34×13×12+34×23×12=1124，
所以甲获得资格证书所花费用不超过1000元的概率为P1+P2=1724．
(2)
由(1)知，不需要培训就获得资格证书的概率为14，
X的可能取0，1，2，3，显然X∼B(3,14)，
P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×(34)2×14=2764，
P(X=2)=C32×(14)2×34=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以X的分布列为：
期望E(X)=3×14=34．
17.(1)
连接AC，交BD于点O，连接OE，由ABCD是菱形，得O为AC的中点，
而E为AP的中点，则OE//PC，OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
所以PC//平面BDE．
(2)
由PA⊥底面ABCD，得VP−ABCD=13AB⋅ADsin∠BAD⋅PA=13⋅63sin∠BAD=72，
则sin∠BAD=1，即∠BAD=90∘，于是菱形ABCD为正方形，
以点A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0),B(6,0,0),C(6,6,0),D(0,6,0),P(0,0,6)，
PC=(6,6,−6)，由PF=2FC，得PF=23PC=(4,4,−4)，则F(4,4,2)，
BD=(−6,6,0),BF=(−2,4,2),PD=(0,6,−6)，
设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，n⋅BD=−6x+6y=0n⋅BF=−2x+4y+2z=0，令x=1，得n=(1,1,−1)，
设平面PCD的法向量为m=(a,b,c)，则m⋅PC=6a+6b−6c=0m⋅PD=6b−6c=0，令b=1，得m=(0,1,1)，
显然n⋅m=0，所以平面BDF与平面PCD的夹角为90∘．
18.(1)
设双曲线C的一个焦点为F(c,0)，一条渐近线方程为bx−ay=0，
焦点F到渐近线距离为bc a2+b2=b= 2，
由实轴长是虚轴长的 2倍，得a= 2b=2，
所以双曲线C的标准方程为x24−y22=1．
(2)
由(1)知，双曲线C的渐近线方程为x± 2y=0，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=±2，PQ=2 2，S▵OPQ=12×2×2 2=2 2，
当直线l的斜率存在时，不妨设直线l：y=kx+m，且k≠± 22，
由y=kx+mx2−2y2=4消去y得(1−2k2)x2−4mkx−2m2−4=0，
由Δ=16m2k2+4(1−2k2)(2m2+4)=0，得4k2=m2+2，
由y=kx+mx− 2y=0，得x= 2m1− 2k，不妨设l与x− 2y=0的交点为P，则点P的横坐标xP= 2m1− 2k，
同理得点Q的横坐标xQ=− 2m1+ 2k，则|PQ|= 1+k2|xP−xQ|=2 2|m| k2+1|1−2k2|，
而原点O到直线l的距离d=|m| k2+1，因此S▵OPQ=12|PQ|⋅d= 2m2|1−2k2|=2 2，
所以△OPQ的面积为定值，且定值为2 2．
19.(1)
由fx=lnx−12ax知f′x=1x−12a=2−ax2x．
当a≤0时，对x>0有f’(x)=2−ax2x>0，所以fx在0,+∞上递增；
当a>0时，对0
所以fx在0,2a上递增，在2a,+∞上递减．
综上，当a≤0时，fx在0,+∞上递增；
当a>0时，fx在0,2a上递增，在2a,+∞上递减．
(2)
当gx≥0恒成立时，
假设a<2e，则ge=aeae−2elne<2e⋅eae−2e<2e⋅e2e⋅e−2e=2e⋅e2−2e=2e−2e=0．
从而ge<0，这与gx≥0矛盾，所以一定有a≥2e．
当a≥2e时，据fx的单调性有fx≤f2a=ln2a−12a⋅2a=ln2a−1．
故对x>0，有f2xa≤f2a，代入表达式知ln2xa−12a⋅2xa≤ln2a−1，即lnx≤x−1．
所以对x>0都有x−1−lnx≥0，
这就得到gx=aeax−2xlnx≥2e⋅eax−2xlnx≥2e⋅e2e⋅x−2xlnx=2x1xe2e⋅x−1−lnx
=2x1xexe−1⋅exe−lnxe−1=2x1xexe−1−xe⋅exe+exe−1−lnxe−1
=2x1xexe−1−1−xe−1⋅exe+exe−1−1−xe−1+xe−lnxe−1
=2exeexe−1−1−lnexe−1+2xexe−1−1−lnexe−1+2xxe−lnxe−1
≥2exe⋅0+2x⋅0+2x⋅0=0．
故gx≥0恒成立．
综上，a的取值范围是2e,+∞．
下面来讨论fx的零点个数：
当a>2e时，根据fx的单调性，有fx≤f2a=ln2a−12a⋅2a=ln2a−1
而根据fx的单调性，对x∈0,2a∪2a,+∞有fx
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164
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