2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列情况适合用抽样调查的是( )
A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某班学生的身高情况D. 学校招聘，对应聘人员进行面试
2.已知事件A,B,C的概率均不为0，则PA=PB的充要条件是( )
A. PA∪B=PA+PBB. PA∪C=PB∪C
C. PAB=PABD. PAC=PBC
3.下列命题正确的是
A. 一条直线和一点确定一个平面B. 两条相交直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面D. 三条平行直线确定一个平面
4.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.65
5.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1，“向上的点数之和大于5”的概率记为p2，“向上的点数之和为偶数”的概率记为p3，则( )
A. p16.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(单位：cm)，则( )
A. 铁棍的长度的极差为0.04cmB. 铁棍的长度的众数为3.62cm
C. 铁棍的长度的中位数为3.625cmD. 铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm
7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若m//α，n//β，α//β.则m/​/n；
②若α//γ，β//γ，则α/​/β；
③若m⊥α，n⊥β，α/​/β，则m/​/n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β．
其中正确命题的序号是( )
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
8.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
9.如图，在正四棱锥S−ABCD中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，当点P在线段MN上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP//BD；③EP//平面SBD；④EP⊥平面SAC．
其中恒成立的为( )
A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某中学高一年级有550名学生，高二年级有500名学生，高三年级有450名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了18人，则从高二年级应抽取的学生人数为
11.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为
12.若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 ．
13.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则C1E与FG所成的角的余弦值为 ．
14.从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是5的倍数的概率为 这个两位数是偶数的概率为
15.如图，在一个60°的二面角的棱上有A，B两点，线段AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，若AB=AC=1，BD=2，则CD的长为
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到PC的估计值为0.85．
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
(2)从A组小鼠和B组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多少．
17.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是35，乙答对每道题目的概率都是12.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
(Ⅰ)求甲第二次答题通过面试的概率；
(Ⅱ)求乙最终通过面试的概率；
(Ⅲ)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
18.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD= 2，AD=2，PA=PD= 5，E，F分别是棱AD，PC的中点．
(Ⅰ)证明：EF/​/平面PAB；
(Ⅱ)若二面角P−AD−B为60°，
(i)证明：平面PBC⊥平面ABCD；
(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
答案解析
1.B
【解析】根据抽样调查的定义可以判断B适合抽样调查，根据全面调查的定义可以判断A、C、D适合全面调查．
故选：B
2.C
【解析】因为PA∪B=PA+PB−PA∩B，
由PA∪B=PA+PB，
只能得到PA∩B=0，并不能得到PA=PB，
故A错误；
因为PA∪C=PA+PC−PA∩C，
PB∪C=PB+PC−PB∩C，
又PA∪C=PB∪C，
所以PA−PA∩C=PB−PB∩C，
由于无法确定事件A,B,C是否相互独立，
故无法确定PA=PB，故 B选项错误；
因为PAB=PA−PAB，PAB=PB−PAB，
又PAB=PAB，所以PA=PB，
故C正确；
对于D，由于不能确定A,B,C是否相互独立，
若A,B,C相互独立，则PAC=PAPC，PBC=PBPC，
则由PAC=PBC可得PA=PB，
故PAC=PBC无法确定PA=PB，
故D错误；
故选：C．
3.B
【解析】根据一条直线和直线外一点确定一个平面，知A不正确;
B显然正确;
C中四点不一定共面，或当四点在一条直线上时，不能确定一个平面，故C不正确;
三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D不正确．
故选：B．
4.B
【解析】解：样本数据落在区间[10,40)的频数为2+3+4=9，
故所求的频率为 920=0.45．
故选B．
5.C
【解析】把随机掷两枚骰子的所有可能结果列表如下：
共有36种等可能的结果，
其中“向上的点数之和不超过5”的有10种情况，
“向上的点数之和大于5”的有26种情况，
“向上的点数之和为偶数”的有18种情况，
所以“向上的点数之和不超过5”的概率p1=1036=518，
“向上的点数之和大于5”的概率p2=2636=1318，
“向上的点数之和为偶数”的概率p3=1836=12．
因为518<12<1318，
所以p1故选：C．
6.ABC
【解析】铁棍的长度从小到大排列依次为3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65(单位：cm)，
对于A：极差为3.65−3.61=0.04，故 A正确；
对于B：众数为3.62，故B正确；
对于C：中位数为3.62+3.632=3.625，故 C正确；
对于D：因为8×80％=6.4，所以铁棍的长度的第80百分位数为从小到大排列的第7个数，是3.64，所以D不正确．
故选：ABC．
7.C
【解析】对①，若m//α，n//β，α/​/β，则m与n可以平行、相交或异面，故①错误．
对②，α//γ，β//γ，则α/​/β，故②正确．
对③，当m⊥α，n⊥β，α/​/β，则m/​/n，故③正确．
对④，α⊥γ，β⊥γ，则α/​/β或者，α与β相交，故④错误．
故②③正确．
故选：C
8.B
【解析】解：由题意，
第一次从袋中摸出1个白球，概率为35，放回后再放入一个白球，
此时摸出黑球的概率为13，
即第一次从袋中摸出1个白球时，两次摸到的小球颜色不同的概率为35×13=15；
第一次从袋中摸出1个黑球，概率为25，放回后再放入一个黑球，
此时摸出白球的概率为12，
即第一次从袋中摸出1个黑球时，两次摸到的小球颜色不同的概率为25×12=15；
综上，则两次摸到的小球颜色不同的概率为15+15=25．
故选：B．
9.A
【解析】如图所示，连接NE,ME，
因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，所以EN//SB,MN//SD，
又因为EN∩MN=N,SB∩SD=S，且EN,MN⊂平面NEM，SB,SD⊂平面SBD，
所以平面SBD//平面NEM，
因为EP⊂平面NEM，EP//平面SBD，所以③恒成立；
设AC与BD交于点O，则O为底面正方形ABCD的中心，且AC⊥BD，
由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥平面ABCD，
因为AC⊂平面ABCD，所以SO⊥AC，
又因为SO∩BD=O，且SO,BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，
所以AC⊥平面NEM，因为EP⊂平面NEM，所以AC⊥EP，所以①恒成立；
对于②④对于线段MN上的任意一点P不一定成立．
故选：A．
10.20
【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为18450=125，
则高二年级抽取的人数是500×125=20，
故答案为：20．
11.两次都中靶
【解析】因为连续射击两次可能有两次都没中靶，恰有一次中靶，两次都中靶，
所以事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”．
故答案为 ：“两次都中靶”
12.2
【解析】解：数据21，19，x，20，18的平均数为20，
∴15×(21+19+x+20+18)=20，
解得x=22，
所以该组样本数据的方差为：
s2=15×[(21−22)2+(19−20)2+ (22−20)2+(20−20)2+(18−20)2]=2，
故答案为2．
13. 155
【解析】解：建立如图所示空间直角坐标系：

则D0,0,0,B1,1,0,C0,1,0,B11,1,1,D10,0,1,E0,0,12,F12,12,0,G1,1,12,C10,1,1，
FG=12,12,12,C1E=0,−1,−12，C1E⋅FG=−12−14=−34,FG= 32,C1E= 52，
所以csC1E,FG=C1E⋅FGC1E⋅FG=34 32⋅ 52= 155，
即C1E与FG所成的角的余弦值为 155．
故答案为： 155
14.925或0.36；1325或0.52
【解析】从数字0，1，2，3，4，5中任取2个数，组成没有重复数字的两位数，
因为十位不能为0，则十位共有5种情况，个位有5种情况，
则共有25种情况，
要使两位数是5的倍数，则个位上必须是5或0，且十位不能为0，
若个位上是5，则有4种情况；
若个位上是0，共有5种情况，故共有9种情况，
则这个两位数是5的倍数的概率为925．
要使两位数是偶数，则个位上必须是偶数，且十位不能为0，
若个位上是2或4，则有8种情况；
若个位上是0，则有5种情况，则共有13种情况，
则这个两位数是偶数的概率为1325．
故答案为：925；1325．
15.2
【解析】因为CD→=CA→+AB→+BD→，所以CD→2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→⋅AB→+2CA→⋅BD→+2AB→⋅BD→，
由题意，CA→⊥AB→,AB→⊥BD→，则CA→⋅AB→=0,AB→⋅BD→=0，
所以CD→2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→⋅BD→，
因为线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB，且二面角大小为60°，所以=120∘，
而AB=AC=1，BD=2，于是CD→2=1+1+4+2×1×2×−12=4，
所以|CD→|=2．
故答案为：2．
16.(1)
由频率分布直方图可得：0.05+b=1−0.85且0.15+a+0.2+0.15=0.85，
解得a=0.35,b=0.1，
甲离子残留百分比的中位数为3.5+4.5−3.5×．
(2)
A组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.15，
B组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率为0.7，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为0.15×0.7=0.105．
【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a,b，即可求中位数；
(2)先求出A组、B组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于5.5的概率，由相互独立事件的概率乘法公式求概率．
17.(Ⅰ)设甲第二次答题通过面试为事件A，则PA=1−35×35=625．
(Ⅱ)设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，
∵PB=1−121−121−12=18，
∴PB=1−18=78．
(Ⅲ)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
∵PC=1−351−351−35×18=1125，
∴PC=1−1125=124125．
【解析】(Ⅰ)甲第二次答题通过面试，则第一次面试未通过，利用分步用乘法即可计算出概率．
(Ⅱ)利用对立事件求出乙最终未通过面试的概率，再用1减去未通过面试的概率即得通过的概率．
(Ⅲ)利用对立事件求出甲、乙两人都未通过面试的概率，再用1减去甲、乙两人都未通过面试的概率即得甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
18.(Ⅰ)证明：连接AC，AC∩BD=H，
∵底面ABCD是平行四边形，
∴H为BD中点，
∵E是棱AD的中点．
∴在△ABD中，EH/​/AB，
又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAB，
∴EH/​/平面PAB．
同理可证，FH/​/平面PAB．
又∵EH∩FH=H，EH，FH⊂面EFH，
∴平面EFH/​/平面PAB，
∵EF⊂平面EFH，
∴EF/​/平面PAB；
(Ⅱ)证明：(i)如图，连接PE，BE．
∵BA=BD= 2，AD=2，PA=PD= 5，
∴BE=1，PE=2．
又∵E为AD的中点，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴∠PEB即为二面角P−AD−B的平面角，
即∠PEB=60°，∴PB= 3．
∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，
∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，
而AB∩BD=B，且AB，BD⊂平面ABCD，
∴PB⊥平面ABCD，
∵PB⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面ABCD；
(ii)解：由(i)知，PB⊥BD，PB⊥BA，
∵BA=BD= 2，AD=2，
∴BD⊥BA，
∴BD，BA，BP两两垂直，
以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系B−DAP，
则有A(0, 2,0)，B(0,0,0)，C( 2,− 2,0)，
D( 2,0,0)，P(0,0, 3)，
∴BC=( 2,− 2,0)，BP=(0,0, 3)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
∵n⋅BC=0n⋅BP=0，
∴ 2x− 2y=0 3z=0，
令x=1，则y=1，z=0，
故n=(1,1,0)，
∵E，F分别是棱AD，PC的中点，
∴E( 22, 22,0)，F( 22,− 22, 32)，
∴EF=(0,− 2, 32)，
设直线EF与平面PBC所成角为θ，
∴sinθ=cs=n⋅EF|n||EF|
=− 2 2× 112=2 1111，
即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为2 1111．
【解析】(Ⅰ)要证明EF/​/平面PAB，可以先证明平面EFH/​/平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；
(Ⅱ)(i)要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；
(ii)由(i)知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B−DAP，得到EF与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
1,6
2,6
3,6
4,6
5,6
6,6
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
1,4
2,4
3,4
4,4
5,4
6,4
1,3
2,3
3,3
4,3
5,3
6,3
1,2
2,2
3,2
4,2
5,2
6,2
1,1
2,1
3,1
4,1
5,1
6,1