2023-2024学年山西省晋城市部分高中学校高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年山西省晋城市部分高中学校高二下学期7月期末联考数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3=18，则a2=( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
2.已知空间向量a=(x,x−1,0)，b=(0,1,1)，c=(1,1,1)，且a，b，c共面，则实数x=( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
3.如图，过圆O:x2+y2=9内一点M1,2作两条弦AB,CD，且AB过圆心O，CD=5，则sin∠CMA=( )
A. 2210B. 5510C. 115D. 105
4.过原点O作曲线f(x)=ex−ax的切线，其斜率为2，则实数a=( )
A. eB. 2C. e+2D. e−2
5.已知双曲线x24m−y2m=1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的面积为52，则m=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
6.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60∘，则直线AC,FB所成角的正弦值为( )
A. 63B. 53C. 104D. 64
7.若fx=x+a,x<12ax+12x+1,x≥12是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A. 1,2B. 2,3C. 2,3D. [2,+∞)
8.已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a2024<0，lg2a1+lg2a2+⋯+lg2a2025>0，则当a1a2⋯an最小时，n=( )
A. 1012B. 1013C. 2022D. 2023
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点A1,2在抛物线y2=2px(p>0)上，F为抛物线的焦点，Q−1,0，则下列说法正确的是( )
A. p=2B. 点F的坐标为2,0
C. 直线AQ与抛物线相切D. AF⊥AQ
10.从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件A=“取到数字1或数字2”，事件B=“取到数字1或数字3”，事件C=“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A,B相互独立
B. 事件B,C为对立事件
C. PCA=14
D. 设事件A发生的次数为X，则E(X)=1
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是( )
A. DB1=13DA1+13DC1+13DBB. BC1⊥DB1
C. 直线CE与DB1夹角的余弦值为13D. 点E到平面A1BC1的距离为 36
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知X∼N(3,σ2)，且P(X>2)=23，则PX≥4= ．
13.将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为 ．
14.将(1+x)n(n∈N∗)的展开式中第m项的系数记作Am,n，则A1,2+A2,3+A3,4+⋯+A9,10= (用数字作答)．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和Sn=n3+n+1(n∈N∗).
(1)求a1+a5的值；
(2)证明：1Sn−1≤1n−1n+1；
(3)证明：1S1−1+1S2−1+1S3−1+⋯+1Sn−1<1．
16.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，∠PAB=∠ABC=90∘，PA=8，PC=4 6，AB=BC=4．
(1)证明：BC⊥平面PAB；
(2)过PA的中点A1作平面A1B1C1与平面ABC平行，并分别交PB，PC于点B1，C1，且E为BC的中点，求二面角E−AC1−C的正弦值．
17.(本小题12分)
已知直线y=12x+3分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)于不同的A,B两点，且A,B三等分线段PQ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当▵OMN的面积最大时，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−1−alnx−2x．
(1)当a=−1时，证明：函数f(x)为增函数；
(2)当a=1时，证明：f(x)>−52．
19.(本小题12分)
一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n(n≥3)个球，号码分别标为1，2，22，…，2n−1，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为a1，a2，a3．
(1)若n=4，求a1(2)求E(a1)+E(a2)+E(a3)的值．
参考答案
1.B
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.C
8.A
9.AC
10.AB
11.BD
12.13
13.12
14.165
15.解：(1)当n=1时，a1=S1=3，
又a5=S5−S4=53+5+1−43+4+1=62，
所以a1+a5=65．
(2)1Sn−1=1n3+n=1nn2+1
因为n∈N∗，所以n2≥n(n=1时取“=”)．
所以1Sn−1=1nn2+1≤1nn+1=1n−1n+1，
即1Sn−1≤1n−1n+1(当且仅当n=1时取“=”)．
(3)由(2)1Sn−1≤1n−1n+1(当且仅当n=1时取“=”)．
所以1S1−1=1−12，1S2−1<12−13，1S3−1<13−14，…，1Sn−1<1n−1n+1．
各式相加得：1S1−1+1S2−1+1S3−1+⋯+1Sn−1≤1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1．
即1S1−1+1S2−1+1S3−1+⋯+1Sn−1<1．

16.解：(1)在▵ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，所以AC=4 2．
在▵PAC中，PA=8，PC=4 6，AC=4 2，因为82+4 22=4 62，所以∠PAC=90∘.即PA⊥AC，
又PA⊥AB，AB,AC⊂平面ABC，AB∩AC=A，所以PA⊥平面ABC．
因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA，
又BC⊥AB，AB,AP⊂平面PAB，AB∩AP=A，
所以BC⊥平面PAB．
(2)如图：以B为原点，建立如图空间直角坐标系．
因为平面ABC//平面A1B1C1，且A1为PA中点，则C1为PC中点．
则B0,0,0，E0,2,0，A4,0,0，C0,4,0，P4,0,8，C12,2,4．
所以AE=−4,2,0，AC=−4,4,0，AC1=−2,2,4．
设平面EAC1的法向量为n=x1,y1,z1，
则n⊥AEn⊥AC1⇒x1,y1,z1⋅−4,2,0=0x1,y1,z1⋅−2,2,4=0⇒−2x1+y1=0−x1+y1+2z1=0，取n=−2,−4,1；
设平面CAC1的法向量为m=x2,y2,z2，
则m⊥ACm⊥AC1⇒x2,y2,z2⋅−4,4,0=0x2,y2,z2⋅−2,2,4=0⇒−x1+y1=0−x1+y1+2z1=0，取m=1,1,0．
设二面角E−AC1−C为θ，则csθ=m⋅nm⋅n=−6 42=− 427，
所以sinθ= 77．

17.解：(1)直线y=12x+3分别交x轴、y轴于P，Q两点，故P−6,0,Q(0,3)，
由于A,B是线段PQ的三等分点，所以PA=13PQ,PB=23PQ，
故A−4,1,B−2,2，
将A−4,1,B−2,2代入椭圆方程可得16a2+1b2=14a2+4b2=1⇒a2=20,b2=5,
故椭圆方程为x220+y25=1，
(2)设直线MN：y=x+m，
则y=x+mx220+y25=1⇒5x2+8mx+4m2−20=0,
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则Δ=64m2−204m2−20>0x1+x2=−8m5x1x2=4m2−205,
故MN= 2× x1+x22−4x1x2= 2× −8m52−4×4m2−205=4 2 −m2+255，
点O到直线MN的距离d=m 2，
故S▵MON=12MNd=12×4 2 −m2+255m 2=2 −m2+25m25≤25−m2+25+m22=5，当且仅当−m2+25=m2，即m=±5 22时等号成立，
m=±5 22时，Δ=64m2−204m2−20=−16m2+400=−16×252+400=200>0，符合题意，
故▵OMN的面积最大时，求直线l的方程为y=x±5 22

18.解：(1)当a=−1时，f(x)=ex−1+lnx−2x，x∈0,+∞，
f′x=ex−1+1x−2，
令ℎx=ex−1−xx>0，则ℎ′x=ex−1−1，
当01时，ℎ′x>0，
所以函数ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以ℎx≥ℎ1=0，即ex−1≥x，
所以f′x=ex−1+1x−2≥x+1x−2≥2−2=0，
当且仅当x=1x，即x=1时取等号，
所以f′x≥0，
所以函数f(x)为增函数；
(2)当a=1时，f(x)=ex−1−lnx−2x，x∈0,+∞，
f′x=ex−1−1x−2，
因为函数y=ex−1,y=−1x−2在0,+∞上都是增函数，
所以函数f′x=ex−1−1x−2在0,+∞上是增函数，
又f′1=−2<0,f′2=e−52>0，
所以存在x0∈1,2，使得f′x0=0，此时ex0−1=1x0+2，
当0x0时，f′x>0，
所以函数fx在0,x0上单调递减，在x0,+∞上单调递增，
所以fxmin=fx0=ex0−1−lnx0−2x0=1x0+2−lnx0−2x0，
令gx=1x+2−lnx−2x,x∈1,2，
则g′x=−1x2−1x−2=−2x2+x+1x2<0，
所以函数gx在1,2上单调递减，
所以gx>g2=−ln2−32>−1−32=−52，
即fxmin>−52，
所以f(x)>−52．

19.解：(1)当n=4时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为X，则X为：3，5，6，9，10，12，
且PX=i=16(i=1,2,⋯,6)
记事件A：a1(2)因为是有放回抽取，所以E(a1)=E(a2)=E(a3)，所以E(a1)+E(a2)+E(a3)=3E(a1)．
用X表示每次摸到的2个球号码之和，则X可以为：1+2，1+22，…，1+2n−1，2+22，2+23，…，2+2n−1，，…，2n−2+2n−1．
共1+2+3+⋯+n−1=nn−12个不同的结果，且每个结果出现的可能性相同，对应概率均为2nn−1．
所以E(a1)=2nn−11+2+1+22+⋯+1+2n−1+2+22+⋯+2+2n−1+⋯+2n−2+2n−1=2nn−1×n−121+2+22+⋯+2n−1=2n−1n
所以E(a1)+E(a2)+E(a3)=32n−1n