2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第2章　§2.1　函数的概念及其表示（2份打包，原卷版+含解析）

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1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．( )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.( )
2．(多选)下列图象中，是函数图象的是( )
3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )
A．y＝eq \f(\r(x＋3),\r(3－x))与y＝eq \r(\f(x＋3,3－x))
B．y＝x2与y＝(x－1)2
C．y＝eq \r(x2)与y＝x
D．y＝1与y＝x0
4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________．
题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )
A．f(x)＝eq \f(|x|,x)与g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x<0))表示同一个函数
B．函数f(x)＝eq \r(x＋1)－eq \f(1,x)的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数
D．若f(x)＝|x－1|－x，则f(f(eq \f(1,2))) ＝0
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________．
跟踪训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝(eq \r(x))2 B．f(x)＝eq \f(1,x)－1，g(x)＝eq \f(1,x－1)
C．f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≥0，,－x，x<0，))g(t)＝|t| D．f(x)＝x＋1，g(x)＝eq \f(x2－1,x－1)
(2)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为( )
A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞) C．[1,3] D．[3,4]
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f (x2＋eq \f(1,x2))＝x4＋eq \f(1,x4)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
跟踪训练2 (1)若f (eq \f(1,x))＝eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________.
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________.
题型三 分段函数
例3 (1)(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1，))则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－eq \r(2)
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________．
跟踪训练3
(1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg22－x，x≤0，,fx－3，x>0，))则f(2 023)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x<1，,－x2＋3，x≥1，))则( )
A．f(f(eq \r(3)))＝3
B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3
课时精练
一、单项选择题
1．函数f(x)＝eq \f(x＋1,\r(－x2＋x＋6))＋ln(1－x)的定义域是( )
A．(－2,1) B．(－3,1) C．(1,2) D．(1,3)
2．函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)的值域是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－2，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
3．已知函数f(2x＋1)＝2x－x2－3，则f(3)等于( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
5．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≥0，,x2＋2x，x<0，))实数a满足f(a)A．(－∞，－2)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2ax＋3a，x<1，,ln x，x≥1))的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2))) D．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
二、多项选择题
7．下列说法正确的是( )
A．函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3)
B．f(x)＝eq \f(x2,x)和g(x)＝x表示同一个函数
C．函数y＝eq \f(1,x2＋3)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))
D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝eq \f(x,3)＋1
三、填空题
8．函数f(x)＝eq \f(\r(2－x),ln x)的定义域为________．
10．若f(eq \r(x)＋1)＝x－1，则f(x)＝________.
11．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x<1，,x2，x≥1，))则f (f(eq \f(1,2)))＝________；若f(a)>a，则a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝________.
四、解答题
13．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋5，x≤0，,x＋5，0＜x≤1，,－2x＋8，x＞1.))
(1)求f(eq \f(3,2)) ，f (eq \f(1,π))，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
14．已知函数f(x)＝eq \f(x2,x2＋1).
(1)求f (eq \f(1,3))＋f(3)，f (eq \f(1,2))＋f(2)的值；
(2)探索f(x)＋f (eq \f(1,x))；
(3)利用(2)的结论求表达式：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 023)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2 022)))＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)的值．
15．已知函数f(x)＝eq \r(mx2－m－2x＋m－1)的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．