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    上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(Word版附解析)
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    上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(Word版附解析)

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    这是一份上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容,欢迎下载使用。

    考生注意:
    1.本试卷共21题,满分150分,考试时间120分钟;
    2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面;
    3.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题;
    4.可使用符合规定的计算器答题.
    一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分),要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.
    1. 已知直线的方程为,则直线的倾斜角为__________.
    2. 在等差数列中,,则的值是__________.
    3. 若双曲线的一条渐近线方程为,则实数___________.
    4. 若无论实数取何值,直线都经过一个定点,则该定点坐标为__________.
    5. 经过点,且与直线平行的直线的方程为___________.
    6. 已知向量,,则在方向上的投影向量为__________.
    7. 如图,在四面体中,是的中点,,设,,,则__________.(用表示)

    8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.其意思是:有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了__________里.
    9. 在数列中,,且,则__________.
    10. 抛物线的焦点为,准线为,点是准线上的动点,若点在抛物线上,且,则(为坐标原点)的最小值为__________.
    11. 已知点在椭圆上,为椭圆右焦点,直线与圆相切,且(为原点),则椭圆的离心率为______.
    12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观,形少数时难入微:数形结合百般好,隔离分家万事休”,包含意思是:几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述,通过“数”与“形”的相互转化,常常可以巧妙地解决问题,所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如:这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得,方程的解为__________.
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分),每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得相应满分,否则一律得多分.
    13. “”是“曲线表示椭圆”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    14. 已知直线的方向向量是,平面的一个法向量是,则与的位置关系是( )
    A. ⊥B.
    C 与相交但不垂直D. 或
    15. 已知曲线,过点作该曲线的5条弦,这些弦的长度构成一个递增的等差数列,则该数列公差的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    16. 已知实数满足,则取值范围是( )
    A. B. C. D.
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
    17. 已知直线和直线.
    (1)若,求实数的值;
    (2)若,求实数的值.
    18. 已知等差数列首项为1,前项和为,且是3与的等比中项.
    (1)求数列的通项公式:
    (2)若是数列的前项和,求的最小值.
    19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴,可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直;那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴,其中分别是轴、轴、轴正方向的单位向量.
    (1)计算的值,
    (2)若向量,则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知
    ①求的值;
    ②求的面积:
    20. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,且.
    (1)求证:;
    (2)当为钝角时,求实数的取值范围;
    (3)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
    21. 已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,左、右焦点分别为,过右焦点的直线交椭圆于点,且的周长为16.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)记直线的斜率分别为,证明:为定值:
    (3)记的面积分别为,求的取值范围.2023学年第二学期期末
    高二年级数学学科教学质量监测试卷
    考生注意:
    1.本试卷共21题,满分150分,考试时间120分钟;
    2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面;
    3.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题;
    4.可使用符合规定的计算器答题.
    一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分),要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分.
    1. 已知直线的方程为,则直线的倾斜角为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据直线方程可得斜率,从而利用可求倾斜角.
    【详解】因为直线的方程为,
    所以直线的斜率1,
    令直线倾斜角为,则,
    因为,
    所以.
    故答案为:.
    2. 在等差数列中,,则的值是__________.
    【答案】12
    【解析】
    【分析】应用等差数列的性质即可求解.
    【详解】等差数列中, ,则,
    所以.
    故答案为:12
    3. 若双曲线的一条渐近线方程为,则实数___________.
    【答案】9
    【解析】
    【分析】根据双曲线的焦点在 轴上的渐近线为 即可解决.
    【详解】由题知双曲线的焦点在 轴上,
    所以 即
    解得
    故答案为:9.
    4. 若无论实数取何值,直线都经过一个定点,则该定点坐标为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】变形得到方程组,求出定点坐标.
    【详解】令,解得,故经过定点坐标为.
    故答案为:
    5. 经过点,且与直线平行的直线的方程为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据直线平行得到,得到,整理得到答案.
    【详解】直线与直线平行,则,直线方程为,
    即.
    故答案为:
    6. 已知向量,,则在方向上的投影向量为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可.
    【详解】,又,
    在方向上的投影向量为.
    故答案为:.
    7. 如图,在四面体中,是的中点,,设,,,则__________.(用表示)

    【答案】
    【解析】
    【分析】根据向量线性运算直接求解即可.
    【详解】为中点,;
    ,;
    .
    故答案为:.
    8. 中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.其意思是:有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因为脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了__________里.
    【答案】96
    【解析】
    【分析】由等比数列前项和公式即可求解.
    【详解】由题意,此人每天走的路程可以构成等比数列,
    公比,,
    因为,解得,
    所以(里).
    故答案为:96.
    9. 在数列中,,且,则__________.
    【答案】5
    【解析】
    【分析】用累加法求解.
    【详解】




    各式累加得.
    故答案为:5.
    10. 抛物线的焦点为,准线为,点是准线上的动点,若点在抛物线上,且,则(为坐标原点)的最小值为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题意结合抛物线的定义求出,设点关于直线对称点为,则,从而可求出的最小值.
    【详解】由,得,所以,准线为,
    不妨设点在第一象限,过作于,则,得,
    则,得,所以,
    设点关于直线对称点为,则,
    所以,
    当且仅当三点共线时取等号,
    所以的最小值为,
    故答案为:
    11. 已知点在椭圆上,为椭圆的右焦点,直线与圆相切,且(为原点),则椭圆的离心率为______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】如图,左焦点为,由几何性质得,即可由相似求得,即可由勾股定理,及椭圆定义建立齐次式,从而求得离心率.
    【详解】如图所示,左焦点为,设圆的圆心为,切圆C于A,则半径.
    ∵,∴,
    则,∴,
    ∴,化简得.
    ∴ 椭圆的离心率为.
    故答案为:.
    12. 我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观,形少数时难入微:数形结合百般好,隔离分家万事休”,包含的意思是:几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述,通过“数”与“形”的相互转化,常常可以巧妙地解决问题,所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如:这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得,方程的解为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】将原方程配方,方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。
    【详解】原方程可化为,
    其几何意义为点到,距离之差的绝对值等于,
    则该点的轨迹满足双曲线的定义,根据双曲线的定义得:,,,所以,
    又因为双曲线焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为:,
    令得,所以原方程的解为。
    故答案为:
    二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13~14题每题4分,第15~16题每题5分),每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得相应满分,否则一律得多分.
    13. “”是“曲线表示椭圆”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据曲线表示椭圆,可求得t的范围,根据充分、必要条件的定义,即可得答案.
    【详解】因为曲线为椭圆,
    所以,解得且,
    所以“”是“且”的必要而不充分条件.
    故选:B
    14. 已知直线的方向向量是,平面的一个法向量是,则与的位置关系是( )
    A. ⊥B.
    C. 与相交但不垂直D. 或
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据,所以,进而可以得到与的关系.
    【详解】因为,
    所以,所以或.
    故选:D.
    15. 已知曲线,过点作该曲线的5条弦,这些弦的长度构成一个递增的等差数列,则该数列公差的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长,然后利用等差数列基本量运算求解即可.
    【详解】曲线,即
    由已知圆的圆心为,半径为,因为,
    所以点在圆内,且,
    所以过点的最短弦长为,最长弦长为直径长,
    从而公差.
    故选:B
    16. 已知实数满足,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式,数形结合利用距离求解范围.
    【详解】当,表示椭圆第一象限部分;
    当,表示双曲线第四象限部分;
    当,表示双曲线第二象限部分;
    当,不表示任何图形;
    以及两点,
    作出大致图象如图:
    曲线上的点到的距离为,
    根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是,
    直线与距离为,
    曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1,
    联立,消得,
    ,且,
    所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点,
    考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为,
    所以,
    所以的取值范围是.
    故选:A
    【点睛】关键点点睛:解决本题问题的关键是确定方程表示的图形,以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围,间接求解的取值范围.
    三、解答题(本大题共有5题,满分78分),解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.
    17. 已知直线和直线.
    (1)若,求实数值;
    (2)若,求实数的值.
    【答案】(1)0或2 (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据两直线垂直的公式,即可求解;
    (2)根据两直线平行,,求解,再代回直线验证.
    【小问1详解】
    若,则
    ,解得或2;
    【小问2详解】
    若,则
    ,解得或1.
    时,,满足,
    时,,此时与重合,
    所以.
    18. 已知等差数列的首项为1,前项和为,且是3与的等比中项.
    (1)求数列的通项公式:
    (2)若是数列的前项和,求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设等差数列的公差为,由等比中项的性质即可得,再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出,即可求出数列的通项公式;
    (2)由裂项相消法求和即可得,根据数列单调性可求得答案.
    【小问1详解】
    设等差数列的公差为,由题意,
    即,解得,
    所以,
    即数列的通项公式为.
    【小问2详解】
    由,
    .
    因为,即,
    所以为严格增数列,
    所以时,有最小值.
    19. 从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴,可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直;那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴,其中分别是轴、轴、轴正方向的单位向量.
    (1)计算的值,
    (2)若向量,则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知
    ①求的值;
    ②求的面积:
    【答案】(1)
    (2)①,②
    【解析】
    【分析】(1)直接根据数量积定义求解;
    (2)①根据数量积定义求的值;②求出各边长,再求其面积.
    【小问1详解】
    同理,
    所以.
    【小问2详解】
    ①,

    所以
    ②,
    同理,


    等腰三角形中,可计算得边上的高为,
    所以的面积为.
    20. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,且.
    (1)求证:;
    (2)当为钝角时,求实数的取值范围;
    (3)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    (3)
    【解析】
    【分析】(1)建立空间直角坐标系,由,即可证明;
    (2)首先求出点坐标,即可表示出,,依题意可得,即可求出的取值范围;
    (3)利用空间向量法求出二面角二余弦值,即可求出,从而得到平面的法向量,再由向量法求出点到平面的距离.
    【小问1详解】
    因为底面为正方形,底面,
    如图以点为坐标原点,、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
    则,
    所以,
    因为,
    所以;
    【小问2详解】
    因为,
    所以,
    所以,,
    当为钝角时,,
    化简得,解得,
    显然不平行,所以;
    【小问3详解】
    因为,,显然,
    设是平面的一个法向量,
    则,
    令,则,则,
    又平面的一个法向量为,
    则有,解得,
    又由已知,所以.
    所以,,
    由,
    所以点到平面的距离为.
    21. 已知椭圆的离心率为,左、右顶点分别为,左、右焦点分别为,过右焦点的直线交椭圆于点,且的周长为16.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)记直线的斜率分别为,证明:为定值:
    (3)记的面积分别为,求的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析 (3)
    【解析】
    【分析】(1)根据条件,确定的值,确定椭圆的标准方程.
    (2)设直线的方程为:,与椭圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程,由韦达定理得到,,再把用,表示出来,努力化简即可.
    (3)把用,表示出来,写成的函数,利用换元的思想,转化成利用对勾函数的单调性求值域的问题解决.
    【小问1详解】
    由的周长为16可知:,即
    又离心率为所以
    .
    所以椭圆的方程为:.
    【小问2详解】
    如图:

    设直线的方程为:.
    联立得:
    所以.
    所以,即:
    又,则
    所以为定值.
    【小问3详解】
    由题意可知:
    由(2)知.
    所以
    .
    令,则

    因为在上严格增,
    所以当,即时,取得最大值为.
    所以的取值范围是.
    【点睛】方法点睛:利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:
    (1)设直线方程,设交点坐标为,;
    (2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于(或)的一元二次方程,必要时计算;
    (3)列出韦达定理;
    (4)将所求问题或题中的关系转化为、(或、)的形式;
    (5)代入韦达定理求解.
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