上海市实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解.
【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解，
则，解得，
所以a的取值范围值是.
故答案为：.
2. 方程表示一个圆，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的一般方程条件计算即可得到答案.
【详解】方程表示一个圆，
则，得.
故答案为：
3. 当点到直线距离最大时，值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】依据直线过定点,当两点的连线与题干中直线垂直时满足题意，计算即可.
【详解】由题可知：直线过定点
当点与点所成直线与题干已知直线垂直时，
点到直线距离最大
所以
故答案为：1
4. 已知集合，，若，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合，再由，得，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，即．
由，得，得，故实数的取值范围是．
故答案为：.
5. 不等式的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】利用中，去掉绝对值，再进行换元转化为一元二次不等式,解出不等式即可.
【详解】结合题意：
要使有意义，需满足，所以，
可化简为整理：
令则
所以解得：
又，所以两边同时平方得：
故解集为.
故答案为：.
6. 若实数满足则的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论.
【详解】因为所以，
当且仅当，即且时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
7. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】；
【解析】
【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等式恒成立，就可解得结果.
【详解】由可得：，
由在上为减函数，可得在上恒有，
即，整理得：，
因为，所以，则.
故答案：.
8. 函数在区间上的最大值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助导数可得函数在上的单调性，即可得其最大值.
【详解】，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故.
故答案为：.
9. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式.
【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，当x∈时，，
因为，所以或，
即或或，解得或，
所以原不等式的解集为．
故答案为：.
10. 函数，关于x的方程有且只有2个解，则k的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】画出及的图象，根据方程解的个数动态确定动直线的位置为：与函数的图象相切或与的的图象相切的特殊位置，从而可得实数k的范围．
【详解】因为关于的方程有且只有2个不同的解，
所以的图象与直线有两个不同的交点，
又及的图象如图所示：
当， 的图象与直线相切时，
设切点为，从而，解得，．
所以，当时， 的图象与直线有两个不同的交点，只需满足.
当，的图象与直线相切时，
设切点为，从而，解得，．
所以，当时， 的图象与直线有两个不同的交点，只需满足.
综上，．
故答案为：．
方法点睛：已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据零点的个数及各段函数图像的特点确定动曲线与定曲线之间的关系，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．
二、选择题（本大题满分16分，共有4题，选对得4分，否则一律得零分.）
11. 已知实数a，b，则下列选项中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判断C.
【详解】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误；
对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误；
对于C选项，，所以，故C正确；
对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误，
故选：C.
12. 已知椭圆的焦点为，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义得，然后利用相应的条件进行充分性必要性的求解.
【详解】因为，所以，
又，所以的周长为．
若，则．
若，则．
所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．故C正确.
故选：C.
13. 通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ）
A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关
B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变
C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大
D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小
【答案】D
【解析】
【分析】根据相关系数的概念逐一判断.
【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误；
对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高，
但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误.
故选：D
14. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于判断正确的是（ ）
A. 在区间上是严格减函数B. 在区间上是严格增函数
C. 是极小值点D. 是极小值点
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象分析在不同区间上取值的正负，然后判断相应的单调性，即可判断每个选项.
【详解】对于A，由图象知在上取正值，所以在上递增，A错误；
对于B，由图象知在上取正值，所以在上递增，B正确；
对于C，由图象知在某个上取负值，这里，所以在上递减，从而不可能是的极值点，C错误；
对于D，由图象知在上取正值，在某个上取负值，这里，所以在上递增，在上递减，从而是的极大值点，D错误.
故选：B.
关键点点睛：本题的关键点在于使用图象判断导数的正负，再由此确定函数的单调性.
三、解答题(本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤)
15. 随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径．某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
（1）补全列联表，并根据显著性水平的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
（2）记2020~2024年的年份代码依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模（单位：亿元）与的统计数据：
根据上表数据求得关于的经验回归方程为，求表中m的值，并求相关系数，判断该经验回归方程是否有价值．
参考公式：，其中，．
回归方程，其中，相关系数．若，则认为经验回归方程有价值．
【答案】（1）列联表见解析，有关联；
（2），，有价值；
【解析】
【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断；
（2）根据回归直线过样本点中心可求得，再根据相关系数公式求得，从而可判断.
【小问1详解】
补全列联表如下：
假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
【小问2详解】
由x的取值依次为1，2，3，4，5，可得，
因经验回归方程为，可得，
则，求得，
所以，
所以，，
所以，
因为，所以该经验回归方程有价值．
16 已知函数．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式，结合分类讨论思想，求不等式的解集；
（2）采用分离变量的方法，转化成求函数的最值.
【小问1详解】
由.
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：；
若即，上式可化为：，
因为，所以：或.
综上可知：当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：.
【小问2详解】
不等式即，
因为恒成立，所以：.
问题转化为：存在，使得成立，所以，
设，
当时，；
当时，，因为（当且仅当时取等号），所以.
所以
综上可知：的取值范围是
求参数的取值范围问题，分离参数是常用的一种方法.通常把参数表示出来，而后转化为恒成立或存在性问题，通过求函数的值域或范围来求解.
17. 设函数，其中，曲线在点处的切线为.椭圆与直线交于两点，且.
（1）求的值以及直线的方程.
（2）当时，求函数的极值.
【答案】（1）或，直线的方程或；
（2）极小值，没有极大值
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，再由弦长公式得到方程，求出或，求出直线方程；
（2）在（1）的基础上得到，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况.
【小问1详解】
因为，则，
故在处的切线方程，
将直线的方程代入椭圆方程中，得，
设，则，且Δ=4a4-4(a2-4)(a2+2)=8(a2+4)>0，
因为，
所以，
解得或，
所以直线的方程为 或.
【小问2详解】
函数的定义域为，由得，
可得，令得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数取得极小值，没有极大值．
18. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解；
（2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解；
（3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解.
【小问1详解】
， ，
当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
若，即时，方程的根为，
当时，或，在和上单调递增；
当时，，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
【小问2详解】
令，则．
令，则．
所以当时，，在上单调递减．
当时，，在上单调递增．
又当时，，且；当时，，
所以当时，先减后增，且在处有最小值，
此时直线与有两个交点，
所以实数的取值范围为．
【小问3详解】
因为，即，
即，对恒成立．
当时，上式显然成立；
当时，上式转化为，
令，，
，所以函数在上单调递增，
，，
综上所述，实数的取值范围为.
关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围.
四、附加题
19. 已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）若有两个零点，求的值；
（3）当时，的最大值，最小值为，若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）将代入，然后取消绝对值解不等式即可；
（2）先根据题意取消绝对值，然后判断的单调性，由，有两个零点可得，进而求的值，从而利用求即可.
（3）先取消绝对值写出单调性，易得，，然后对进行分类，分别求最大值和最小值为的值，从而由解不等式可得实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，
或，所以或
于是不等式的解集为.
【小问2详解】
，
当时，的对称轴为，
所以单调递减，在上单调递增；
当时，的对称轴为，
所以在单调递增；
综上所述，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，有两个零点，
所以，即又，得.
于是，
由，解得，，
所以.
【小问3详解】
，
当时，在递增，在递减，在递增，
，
当时，在上递增，
所以，，
由，得，不满足，
当，即时，，则，
所以，
则，，
由，得，则，
得，
所以，
当，即时，由，则，
所以，
所以，，
由，得，得，所以，
综上，的取值范围为
关键点点睛：本题第（3）问解题的关键是先求出的单调性，再由，分分，和三种情况求出的最值，再由可求出的取值范围.
20. 已知，，函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，设的导函数为，若恒成立，求证：存在，使得；
（3）设，，若存在，，使得，证明：．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助导数计算即可得；
（2）借助导数，分与进行讨论可得，取计算即可得证；
（3）由题意计算可得，构造函数，借助导数计算函数单调性可得，综合运算即可得解.
【小问1详解】
当，时，，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
【小问2详解】
当，时，，
，
当时，，
所以不等式不恒成立，
当时，，
取，则，
，
所以当恒成立时，存在，使得；
【小问3详解】
设时，则由，
得，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
设，
则，
所以当时，. ，则，
所以，
所以，
由可得，
化简得，
所以．
关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数，从而得到，结合放缩技巧计算得解.
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
45
不是微短剧消费者
合计
100
200
年份代码x
1
2
3
4
5
市场规模y
9.4
36.8
101.7
373.9
m
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
是微短剧消费者
30
15
45
不是微短剧消费者
70
85
155
合计
100
100
200