2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年湖南省衡阳市衡南县八年级下学期期中数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，为分式的是( )
A. B. C. D.
2. 实验测得，某种新型冠状病毒的直径是米，米用科学记数法可表示为( )
A. 米B. 米C. 米D. 米
3. 函数的自变量的取值范围是( )
A. B. C. 且D. 或
4. 下列各式中的变形，错误的是( )
A. B. C. D.
5. 若点在第二象限，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
6. 若点在第四象限，则点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7. 对于一次函数，下列结论错误的是( )
A. 函数值随自变量的增大而减小
B. 函数的图象不经过第三象限
C. 函数的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象向下平移个单位长度得到的图象
8. 点，，在反比例函数图象上，则，，大小关系是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
10. 如图，函数与在同一坐标系中，图象只能是下图中的( )
A. B.
C. D.
11. 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为万元，今年月份，每辆车的销售价格比去年降低万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少，今年月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年月份每辆车的销售价格为万元．根据题意，列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 函数，的图象如图所示，其中错误的结论是( )
A. 两函数图象的交点的坐标为
B. 当时，
C. 直线与函数、的图象分别交于点、，则
D. 当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 已知，，则______ ．
14. 已知点和关于轴对称，则的值为______ ．
15. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程______．
16. 若关于的分式方程有增根，则实数的值是______．
17. 如图，若反比例函数的图象经过点，轴于，且的面积为，则______．
18. 如图，在正方形的边上有一点，连接，点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，当时，的值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
21. 本小题分
对于分式方程，牛牛的解法如下：
解：方程两边同乘，得
去括号，得
解得
原方程的解为
上述解答过程中错误的是______填序号．
请写出正确的解答过程．
22. 本小题分
为了更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，；
在建立的平面直角坐标系中，
表示古树的位置的坐标为______ ；
标出古树，，的位置．
23. 本小题分
如图，中，，，将向右平移个单位，得到．
当时，如图若反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过、两点．求反比例函数及一次函数的表达式；
若反比例函数的图象经过点及的中点，求的值．
24. 本小题分
岳阳市是我省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采斤茶叶少用天．
求熟练采茶工工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；
某茶厂计划一天采摘鲜叶斤，该茶厂有名熟练采茶工人和名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为元，付给新手采茶工人每人每天的工资为元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？
25. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、点两点．
求点、点两点的坐标和反比例函数的表达式；
连接、，求的面积；
在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点．
求直线的解析式；
点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标；
直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求点坐标．
在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标直接写结果．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C.分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D.分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义逐个判断即可．分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．
本题考查了分式的定义，注意：分式的实质是分母中含有字母．
2.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据科学记数法的表示形式解答即可，科学记数法写成的形式．
本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示形式并确定指数是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，
则
所以，
即函数的自变量的取值范围是：．
故选：．
首先根据当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零，可得；然后根据自变量取值要使分母不为零，可得，据此求出函数的自变量的取值范围即可．
此题主要考查了自变量的取值范围，解答此题的关键是要明确：当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
4.【答案】
【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为，
又点在第二象限，
点的坐标为．
故选：．
根据到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值进行求解即可．
本题考查了平面直角坐标系各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离，掌握各象限坐标符号的特征和点到坐标轴的距离是关键．
6.【答案】
【解析】解：点在第四象限，
，，
，，
点在第三象限．
故选：．
因为点在第四象限，可确定、的取值范围，从而可得，的符号，即可得出所在的象限．
此题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
7.【答案】
【解析】解：、一次项系数小于，则函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，不符合题意．
B、函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，不符合题意；
C、当时，，则函数图象与轴交点坐标是，故C结论错误，符合题意．
D、函数的图象向下平移个单位长度得，故D结论正确，不符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质，平移的规律以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断．
本题考查了一次函数的性质，在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
8.【答案】
【解析】解：反比例系数，
函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，
，
．
．
故选：．
先由得到函数在第二象限和第四象限内的函数值随的增大而增大，然后得到，，的大小关系．
本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟知反比例函数的增减性和反比例系数的关系，本题也可以将点的坐标代入函数解析式求得，，的具体取值，然后比较大小．
9.【答案】
【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点的横坐标为，
点的横坐标为．
观察函数图象，发现：
当或时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，
当时，的取值范围是或．
故选D．
由正、反比例的对称性结合点的横坐标即可得出点的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是找出点的横坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数的对称性找出两函数交点的横坐标，再根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标解决不等式是关键．
10.【答案】
【解析】解：时，函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，选项A符合；
时，函数的图象经过第二、三、四象限，而反比例函数的图象位于第二、四象限，无选项符合．
故选A．
根据反比例函数与一次函数图象的特点解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
11.【答案】
【解析】
【分析】
设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元辆，根据“销售数量与去年一整年的相同”可列方程．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
【解答】
解：设今年月份每辆车的销售价格为万元，则去年的销售价格为万元辆，
根据题意，得：，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由题意，函数，组成方程组，
或．
，
．
即两函数图象的交点坐标为．
选项正确，不符合题意．
由图象直接可得当时，，
选项错误，符合题意．
把分别代入函数，可得，，
的长为．
选项正确，不符合题意．
函数中，，随增大而增大；
函数中，，在每一象限内随增大而减小，
选项正确，不符合题意．
故选：．
根据正比例函数和反比例函数图象的性质，逐个选项分析即可得解．
本题主要考查了反比例函数的性质与正比例函数的性质的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
13.【答案】
【解析】解：，，
故答案为：．
先将通分为，然后代入求值即可．
本题考查了分式的加减法，解答本题的关键在于将通分为．
14.【答案】
【解析】解：点和关于轴对称，
，，
，，
，
故答案为：．
关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出，，代入计算即可．
此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，正确掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解析，
，
设，则，
原方程可化为，
．
故答案为：．
先换元，再去分母．
本题考查用换元法解分式方程，找到原方程中各部分与的关系是求解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程可得：，
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17.【答案】
【解析】解：，
，
，
反比例函数的图象在二象限，
，
，
故答案为．
根据反比例函数比例系数的几何意义即可解决问题．
本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：设正方形的边长为，
当点在点时，设正方形的边长为，，解得；
当点在点时，，解得，即，；
当时，如下图所示：
此时，，，
当时，．
故答案为：．
当点在点时，设正方形的边长为，，解得；当点在点时，，解得，即，；当时，，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
19.【答案】解：
．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式
．
把代入，得原式．
【解析】本题考查了分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．先计算括号内的分式减法，然后把除法转化为乘法进行化简，最后代入求值．
21.【答案】
【解析】解：上述解答过程中第一步错误的是；
故答案为：；
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
观察解方程的步骤，找出出错的即可；
写出正确的解答过程即可．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22.【答案】
【解析】解：建立的平面直角坐标系如图；
；
古树，，的位置如图．
根据，建立坐标系即可；
根据坐标系中的位置即可求得；
直接根据点的坐标描出各点．
本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：由图值：点的坐标为：，点的坐标为：，
，
，
把，代入得：
，
解得：，
经过、两点的一次函数表达式为：；
当向右平移个单位时，
点的坐标为：，点的坐标为：
则的中点的坐标为：，
反比例函数的图象经过点及，
，
解得：，
当时，反比例函数的图象经过点及的中点．
【解析】根据题意得出：点的坐标为：，点的坐标为：，进而利用待定系数法求一次函数解析式即可；
首先得出的中点的坐标为：则，求出的值即可．
此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及坐标的平移等知识，得出，点坐标是解题关键．
24.【答案】解：设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，
根据题意得：，
，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，
依题意得：，
，
随的增大而减小，
，且为整数，
当时，有最小值，
则．
答：茶厂一天应安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少．
【解析】设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶斤，由题意：每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天．列出分式方程，解方程即可；
设一天安排名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为元，依题意得：，再由一次函数的性质求解即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
25.【答案】解：一次函数的图象经过点、点两点，
，，
，．
，．
反比例函数的图象经过点，
，
．
反比例函数的表达式为；
过点作于点，过点作于点，如图，
则，，
令，则，
，
．
．
作出点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，如图，
由将军饮马问题模型可知：此时的值最小．
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
．
．
使的值最小，满足条件的点的坐标为．
【解析】利用待定系数法解答即可；
利用点的坐标表示出相应线段的长度，再利用三角形的面积公式解答即可；
利用将军饮马模型作出点关于轴的对称点，则，连接，交轴于点，则此时的值最小，利用待定系数法求得直线的解析式，令，求得值，则结论可得．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
26.【答案】解：由得：，，
点．
设直线的解析式为：
，
解得：，
直线的解析式为；
，，．
，
，
设，，
当：：时，即，
，
，
；
当：：时，即，
，
，
．
综上，点的坐标为或；
设，则，
，
，
，
或，
或．
若是等腰三角形可分三种情况：
若，
，
，
点．
若，
，，
，
，
点为或．
若，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
点为，
综上所述：点的坐标为或或或．
【解析】根据题意，求得点的坐标，结合的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
求出，设，分两种情况：：：时，：：时，分别求得的值，进而求得点的坐标；
设，则，由题意列出关于的方程，则可得出答案；
分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．