2025年高考数学一轮复习-拓展拔高1-一元二次方程根的分布【课件】

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思维升华当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先判断二次项系数能否为0.
【加练备选】　　　若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为　　　　　　　. 【解析】由题意,关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,设f(x)=x2-kx+2,根据二次函数的性质,可得f(-1)=k+3<0,解得k<-3,所以实数k的取值范围为(-∞,-3).
(2)已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.①若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　; 【解析】①设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,
②若方程两根均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为　　　　　　　　. 【解析】②由题意知函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内,画出示意图如图,
思维升华求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,从以下角度考虑:①开口方向;②对称轴;③判别式;④在区间端点的函数值.提醒:注意以下两点:一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x,y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用;二是对于一些特殊情况,还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法.
视角三　可转化为一元二次方程根的分布的问题[例3](1)(2023·黄山模拟)若函数f(x)=4x-m·2x+m+3有两个不同的零点x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(2,+∞),则实数m的取值范围为(　　)A.(-∞,-2)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(7,+∞)D.(-∞,-3)
思维升华(1)一元二次方程根的分布问题很多都涉及函数零点个数问题或方程根的个数问题,经过换元后都能转化为根的分布问题求解.(2)本题中,令sin x=t,将原问题转化为3t2+at+a+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.