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2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市于洪区高一（下）第二次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−3A. A∩(∁RB)B. ∁R(A∩B)C. (∁RA)∪BD. (∁RA)∩B
2.若xlg36=1，则6x+6−x等于( )
A. 376B. 6C. 103D. 3
3.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为( )
A. 28 73m3B. 28 7m3C. 28m3D. 20 73m3
4.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为( )
A. 1B. 23C. 43D. 2
5.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为( )
A. 12B. 23C. 32D. 34
6.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
7.已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n，则“m//n”是“α//β”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
8.设向量a=(12,m)，b=(2m,6)，若a//b，则m=( )
A. −6B. 0C. 6D. ±6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知e1,e2是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( )
A. e1+e2和−e2B. 3e1−e2和−6e1+4e2
C. e1+e2和e2+e1D. e2和e2+e1
10.如图，在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若DP//平面CEF，则点P的轨迹长度为2 2
B. 若AP= 17，则点P的轨迹长度为2π
C. 若AP= 17，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是2 1717
D. 若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P−CEF的外接球的表面积是41π
11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1D. 若z2+1=0，则z=i
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx2−2x,x<0是奇函数，则a+b= ______．
13.如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 2cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______cm．
14.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，若a：b：c=2：3：4，则csC=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，AA1= 2，∠CAB=120°．
(1)求直三棱柱ABC−A1B1C1的体积；
(2)求直三棱柱ABC−A1B1C1的表面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．
(1)求证：PB⊥PD；
(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知幂函数f(x)=(3m2−2m)xm(m∈R)在定义域上不单调．
(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若f(a+1)+f(2a−3)<0，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，EF= 52．
(1)证明：AB⊥PC．
(2)求二面角F−AE−C的正切值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.−3
13.8 2
14.−14
15.解：(1)AB=AC=1，AA1= 2，∠CAB=120°，
则直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为AA1⋅S△ABC=AA1×12×AB×AC×sin∠CAB= 2×12×1×1× 32= 64；
(2)AB=AC=1，∠CAB=120°．
则BC2=AC2+AB2−2AB⋅AC⋅cs∠CAB=3，解得BC= 3，
故直三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为2×12×1×1× 32+ 2×(1+1+ 3)=2 2+ 6+ 32．
16.解：(1)由图象知A=1，
由图象得函数的最小正周期为2×(2π3−π6)=π，
则由2πω=π得ω=2，
(2)∵−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
∴−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ．
∴−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z．
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，
(3)∵−π6≤x≤π4，∵−π3≤2x≤π2，
∴−π6≤2x+π6≤2π3，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值1，
当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)取得最小值−12．
17.解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，
由于二面角A−CD−P为直二面角，则BC⊥平面PCD，
由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．
(2)取CD中点F，连PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，
则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF=12CD=1，
BF= CF2+BC2= 5，于是PB= PF2+BF2= 6，同理PA= 6，于是S△PAB=12AB⋅ PA2−(AB2)2= 5，又S△ABC=12AB⋅BC=2，设C到平面PAB距离为d，则由VP−ABC=VC−PAB得：13S△ABC⋅PF=13S△PAB⋅d，于是解得：d=2 5，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：dPC=2 5 22CD=2 5×1 2= 105．
18.解：(1)由题意3m2−2m=1，解得m=−13或m=1，
当m=1时，f(x)=x，
函数f(x)=x在R上单调递增，不合题意；
当m=−13时，f(x)=x−13，
函数f(x)=x−13的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
函数f(x)=x−13在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，
但f(−1)=−1，f(1)=1，
所以函数f(x)=x−13在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，符合题意，
所以f(x)=x−13，
因为函数f(x)=x−13的定义域关于原点对称，
且f(−x)=(−x)−13=−x−13=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)由f(a+1)+f(2a−3)<0及f(x)为奇函数，
可得f(a+1)<−f(2a−3)=f(3−2a)，
即(a+1)−13<(3−2a)−13，
而f(x)在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+∞)上递减且恒正，
所以a+1>03−2a>0a+1>3−2a或a+1<03−2a<0a+1>3−2a或a+1<03−2a>0，
解得实数a的取值范围为(−∞,−1)∪(23,32).
19.解：(1)证明：在三棱锥P−ABC中，E，F分别为BC，PC的中点，
则有EF//PB且EF=12PB，
而EF= 52，则有PB=2EF= 5，
又由AB=1，PA=2，则PB2=PA2+AB2，则有AB⊥PA，
又由AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，
而PA∩AC=A，PA⊂面PAC，AC⊂面PAC，
则AB⊥面PAC，则有AB⊥PC；
(2)根据题意，取AC的中点M，过点M作MN⊥AE，交AE于点N，连接FM、FN、ME，
F为PC的中点，M为AC的中点，则FM//PA且FM=12PA=1，
又由PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB⊂面ABC，AC⊂面ABC，
则PA⊥面ABC，
而FM//PA，则FM⊥面ABC，则有AE⊥FM，
又由AE⊥MN，AE⊥FM，FM∩MN=M，FM⊂面MNF，MN⊂面MNF，
则有AE⊥面MNF，
故AE⊥PN，
故∠FNM是二面角F−AE−C的平面角，
Rt△AME中，AM=1，ME=12，则AE= 1+14= 52，
则MN=1×12 52= 55，
故tan∠FNM=FMMN=1 55= 5，
即二面角F−AE−C的正切值为 5．
1.已知集合A={x|−3
2.若xlg36=1，则6x+6−x等于( )
A. 376B. 6C. 103D. 3
3.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为2m，4m，侧棱长为3m的正四棱台，则该台基的体积约为( )
A. 28 73m3B. 28 7m3C. 28m3D. 20 73m3
4.在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A′，则A′到平面EFD的距离为( )
A. 1B. 23C. 43D. 2
5.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为( )
A. 12B. 23C. 32D. 34
6.三个不互相重合的平面将空间分成n个部分，则n的最小值与最大值之和为( )
A. 11B. 12C. 13D. 14
7.已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ=m，β∩γ=n，则“m//n”是“α//β”的( )条件．
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
8.设向量a=(12,m)，b=(2m,6)，若a//b，则m=( )
A. −6B. 0C. 6D. ±6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知e1,e2是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是( )
A. e1+e2和−e2B. 3e1−e2和−6e1+4e2
C. e1+e2和e2+e1D. e2和e2+e1
10.如图，在边长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，P是正方形A1B1C1D1内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若DP//平面CEF，则点P的轨迹长度为2 2
B. 若AP= 17，则点P的轨迹长度为2π
C. 若AP= 17，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是2 1717
D. 若P是棱A1B1的中点，则三棱锥P−CEF的外接球的表面积是41π
11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1D. 若z2+1=0，则z=i
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=x2+ax,x≥0bx2−2x,x<0是奇函数，则a+b= ______．
13.如图所示，水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 2cm的正方形O′A′B′C′，则原图形的周长是______cm．
14.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边分别是a、b、c，若a：b：c=2：3：4，则csC=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，AA1= 2，∠CAB=120°．
(1)求直三棱柱ABC−A1B1C1的体积；
(2)求直三棱柱ABC−A1B1C1的表面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值和最小值．
17.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD，二面角A−CD−P为直二面角．
(1)求证：PB⊥PD；
(2)当PC=PD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知幂函数f(x)=(3m2−2m)xm(m∈R)在定义域上不单调．
(1)试问：函数f(x)是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若f(a+1)+f(2a−3)<0，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AC⊥平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且PA=AC=2，AB=1，EF= 52．
(1)证明：AB⊥PC．
(2)求二面角F−AE−C的正切值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.B
5.B
6.B
7.B
8.D
9.ABD
10.ACD
11.AC
12.−3
13.8 2
14.−14
15.解：(1)AB=AC=1，AA1= 2，∠CAB=120°，
则直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为AA1⋅S△ABC=AA1×12×AB×AC×sin∠CAB= 2×12×1×1× 32= 64；
(2)AB=AC=1，∠CAB=120°．
则BC2=AC2+AB2−2AB⋅AC⋅cs∠CAB=3，解得BC= 3，
故直三棱柱ABC−A1B1C1的表面积为2×12×1×1× 32+ 2×(1+1+ 3)=2 2+ 6+ 32．
16.解：(1)由图象知A=1，
由图象得函数的最小正周期为2×(2π3−π6)=π，
则由2πω=π得ω=2，
(2)∵−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
∴−2π3+2kπ≤2x≤π3+2kπ．
∴−π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z．
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ],k∈Z，
(3)∵−π6≤x≤π4，∵−π3≤2x≤π2，
∴−π6≤2x+π6≤2π3，
∴−12≤sin(2x+π6)≤1，
当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)取得最大值1，
当2x+π6=−π6，即x=−π6时，f(x)取得最小值−12．
17.解：(1)证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则BC⊥CD，
由于二面角A−CD−P为直二面角，则BC⊥平面PCD，
由于PD⊂平面PCD，则PD⊥BC，又PC⊥PD，PC∩BC=C，PC、BC⊂平面PBC，
则PD⊥平面PBC，由于PB⊂平面PBC，则PB⊥PD．
(2)取CD中点F，连PF、BF，由PC=PD知PF⊥CD，由于二面角A−CD−P为直二面角，
则PF⊥平面ABC，于是PF⊥BF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，则PF=12CD=1，
BF= CF2+BC2= 5，于是PB= PF2+BF2= 6，同理PA= 6，于是S△PAB=12AB⋅ PA2−(AB2)2= 5，又S△ABC=12AB⋅BC=2，设C到平面PAB距离为d，则由VP−ABC=VC−PAB得：13S△ABC⋅PF=13S△PAB⋅d，于是解得：d=2 5，故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为：dPC=2 5 22CD=2 5×1 2= 105．
18.解：(1)由题意3m2−2m=1，解得m=−13或m=1，
当m=1时，f(x)=x，
函数f(x)=x在R上单调递增，不合题意；
当m=−13时，f(x)=x−13，
函数f(x)=x−13的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
函数f(x)=x−13在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减，
但f(−1)=−1，f(1)=1，
所以函数f(x)=x−13在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，符合题意，
所以f(x)=x−13，
因为函数f(x)=x−13的定义域关于原点对称，
且f(−x)=(−x)−13=−x−13=−f(x)，
所以f(x)为奇函数；
(2)由f(a+1)+f(2a−3)<0及f(x)为奇函数，
可得f(a+1)<−f(2a−3)=f(3−2a)，
即(a+1)−13<(3−2a)−13，
而f(x)在(−∞,0)上递减且恒负，在(0,+∞)上递减且恒正，
所以a+1>03−2a>0a+1>3−2a或a+1<03−2a<0a+1>3−2a或a+1<03−2a>0，
解得实数a的取值范围为(−∞,−1)∪(23,32).
19.解：(1)证明：在三棱锥P−ABC中，E，F分别为BC，PC的中点，
则有EF//PB且EF=12PB，
而EF= 52，则有PB=2EF= 5，
又由AB=1，PA=2，则PB2=PA2+AB2，则有AB⊥PA，
又由AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，
而PA∩AC=A，PA⊂面PAC，AC⊂面PAC，
则AB⊥面PAC，则有AB⊥PC；
(2)根据题意，取AC的中点M，过点M作MN⊥AE，交AE于点N，连接FM、FN、ME，
F为PC的中点，M为AC的中点，则FM//PA且FM=12PA=1，
又由PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB⊂面ABC，AC⊂面ABC，
则PA⊥面ABC，
而FM//PA，则FM⊥面ABC，则有AE⊥FM，
又由AE⊥MN，AE⊥FM，FM∩MN=M，FM⊂面MNF，MN⊂面MNF，
则有AE⊥面MNF，
故AE⊥PN，
故∠FNM是二面角F−AE−C的平面角，
Rt△AME中，AM=1，ME=12，则AE= 1+14= 52，
则MN=1×12 52= 55，
故tan∠FNM=FMMN=1 55= 5，
即二面角F−AE−C的正切值为 5．
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