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第二十一章 一元二次方程 单元复习（易错28题11个考点）（含答案）2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型 高分突破》（人教版）
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1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
【答案】C
【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）
A．2，﹣3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3xD．﹣2，﹣3x
【答案】C
【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，
去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，
移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，
其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
三．一元二次方程的解（共3小题）
4．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a﹣b+c＝0时，那么x的值一定是（ ）
A．﹣1B．C．1D．均不对
【答案】D
【解答】解：A、把x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0得：a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x＝﹣1，但不一定x的值一定是﹣1．故本选项错误；
B、把x＝﹣代入ax2+bx+c＝0得：﹣+c＝0，
∵a≠0，
∴c2﹣bc+ac＝c（a﹣b+c）＝0，则c＝0或a﹣b+c＝0，故本选项错误；
C、把x＝1代入ax2+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故本选项错误；
D、故本选项正确；
故选：D．
5．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
6．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
7．一元二次方程2x2+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：2x2+1＝0，
2x2＝﹣1，
∴此方程没有实数根，
故选：D．
五．解一元二次方程-配方法（共1小题）
8．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
10．解方程：
（1）x2+6x+4＝0（配方法或公式法）；
（2）2x2﹣x﹣3＝0（用因式分解法）．
【答案】（1）x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）x1＝﹣1，x2＝．
【解答】解：（1）x2+6x+4＝0，
x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，
（x+3）2＝5，
x+3＝±，
x+3＝或x+3＝﹣，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（x+1）（2x﹣3）＝0，
x+1＝0或2x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝．
11．解方程：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2．
【答案】x1＝﹣，x2＝．
【解答】解：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2，
4（x+2）2﹣9（2x﹣1）2＝0，
[2（x+2）+3（2x﹣1）][2（x+2）﹣3（2x﹣1）]＝0，
（8x+1）（7﹣4x）＝0，
8x+1＝0或7﹣4x＝0，
x1＝﹣，x2＝．
七．根的判别式（共2小题）
12．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且k≠1C．D．且k≠1
【答案】B
【解答】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；
②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：B．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜且k≠0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案为：k＜且k≠0．
八．根与系数的关系（共3小题）
14．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．﹣4C．4D．3
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
15．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝ ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，
4（m+1）2﹣4m2+4＞0，
8m＞﹣8，
m＞﹣1，
则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，
x1+x2+x1x2＝5，
﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，
m2﹣2m﹣8＝0，
（m﹣4）（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣2，
∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴△≥0，
∴m≥﹣1，
∴m＝4．
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
17．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
18．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2D．x（x+1）＝90
【答案】A
【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，
每名学生送了（x﹣1）张，
共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”，
可得出方程为x（x﹣1）＝90．
故选：A．
19．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝240B．x（x﹣1）＝240
C．2x（x+1）＝240D．x（x+1）＝240
【答案】B
【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信．
∴x（x﹣1）＝240．
故选：B．
一十．一元二次方程的应用（共5小题）
20．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是28cm2，
依题意，得：
×（10﹣2x）＝28，
化简，得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
当x＝3时，10﹣2x＝4＞0，符合题意；
当x＝12时，10﹣2x＜0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是28cm2，纸盒的高为3cm．
故选：B．
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
22．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
81+81×8
＝81+648
＝729（人）．
故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感．
23．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 260 千克、销售利润为 312 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 （100+200x） 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）销售量：100+20×＝100+160＝260，
利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312，
则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；
故答案为：260，312；
（2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（千克）；
故答案为：（100+200x）；
（3）设这种水果每千克降价x元，
根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300，
2x2﹣3x+1＝0，
解得：x＝0.5或x＝1，
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240；
当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240．
∵每天至少售出240千克，
∴x＝1．
6﹣1＝5，
答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元．
24．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：
40×100（1+x）2＝5760
∴（1+x）2＝1.44
∴1+x＝±1.2
∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．
（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：
（40﹣y）（100+10y）＝5760
∴y2﹣30y+176＝0
∴（y﹣8）（y﹣22）＝0
∴y1＝8，y2＝22
当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去
∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40﹣8＝32元
∴3月份该玩具的销售价格为32元．
一十一．配方法的应用（共4小题）
25．设M＝2a2﹣5a+1，N＝3a2﹣7，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M≤ND．不能确定
【答案】D
【解答】解：M﹣N＝2a2﹣5a+1﹣（3a2﹣7）＝﹣a2﹣5a+8＝﹣（a+）2+．
∵a的取值范围不确定，
∴无法判定M﹣N的符号，即无法判定M与N的大小．
故选：D．
26．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【答案】（1）（m+1）（m﹣7）；
（2）当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；
（3）△ABC周长的最大值为13．
【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7
＝m2﹣6m+9﹣9﹣7
＝（m﹣3）2﹣16
＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）
＝（m+1）（m﹣7）；
（2）2x2+y2﹣8x+6y+20
＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11
＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11
＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3，
∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；
（3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∵4﹣3＜c＜4+3，
∴1＜c＜7，
∵c为正整数，
∴c最大取6，
∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，
∴△ABC周长的最大值为13．
27．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．
所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+ 49 ；
（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；
（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；
【答案】（1）49；（2）2；（3）17．
【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴a2+14a+49是完全平方式．
故答案为：49．
（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．
∵（x﹣5）2≥0，
∴（x﹣5）2+2≥2．
∴x2﹣10x+27的最小值是2．
（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，
又（a﹣4）2≥0，
∴﹣（a﹣4）2≤0．
∴﹣（a﹣4）2+17≤17．
∴﹣a2+8a+1的最大值是17．
28．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ 2 ＝（x﹣ 4 ）2+2；
（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4；（2）﹣69；（3）S1＞S2；理由略．
【解答】解：（1）由题意得，x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+2＝（x﹣4）2+2．
故答案为：2；4．
（2）由题意得，x2+16x﹣5＝x2+16x+64﹣69＝（x+8）2﹣69．
∵（x+8）2≥0，
∴（x+8）2﹣69≥﹣69．
∴x2+16x﹣5≥﹣69．
∴x2+16x﹣5的最小值为﹣69．
（3）由题意得，S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+4a+15a+10＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1﹣S2＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1≥1＞0．
∴S1﹣S2＞0．
∴S1＞S2．
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1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．xy+2＝1B．
C．x2＝0D．ax2+bx+c＝0
【答案】C
【解答】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、当abc是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
二．一元二次方程的一般形式（共2小题）
2．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（ ）
A．2，﹣3B．﹣2，﹣3C．2，﹣3xD．﹣2，﹣3x
【答案】C
【解答】解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，
去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，
移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，
其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．
故选：C．
3．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（ ）
A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，
∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
三．一元二次方程的解（共3小题）
4．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a﹣b+c＝0时，那么x的值一定是（ ）
A．﹣1B．C．1D．均不对
【答案】D
【解答】解：A、把x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0得：a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是x＝﹣1，但不一定x的值一定是﹣1．故本选项错误；
B、把x＝﹣代入ax2+bx+c＝0得：﹣+c＝0，
∵a≠0，
∴c2﹣bc+ac＝c（a﹣b+c）＝0，则c＝0或a﹣b+c＝0，故本选项错误；
C、把x＝1代入ax2+bx+c＝0得：a+b+c＝0，故本选项错误；
D、故本选项正确；
故选：D．
5．已知a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为 0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：把x＝a代入方程可得，
a2﹣a﹣1＝0，即a2＝a+1，
∴a4﹣3a﹣2＝（a2）2﹣3a﹣2
＝（a+1）2﹣3a﹣2
＝a2﹣a﹣1＝0．
6．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m值是 ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意，得
x＝0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4＝0，
∴m2﹣4＝0，
解得，m＝±2；
又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，
∴m＝﹣2；
故答案为：﹣2．
四．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
7．一元二次方程2x2+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】D
【解答】解：2x2+1＝0，
2x2＝﹣1，
∴此方程没有实数根，
故选：D．
五．解一元二次方程-配方法（共1小题）
8．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，
∴3x2+6x＝1，
x2+2x＝，
则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，
∴a＝1，b＝，
∴a+b＝．
故选：B．
六．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）
9．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB＝AC＝2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2＝0的两根，求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×k×2＝16﹣8k≥0，
解得：k≤2，
又因为k是二次项系数，所以k≠0，
所以k的取值范围是k≤2且k≠0．
（2）由于AB＝2是方程kx2﹣4x+2＝0，
所以把x＝2代入方程，可得k＝，
所以原方程是：3x2﹣8x+4＝0，
解得：x1＝2，x2＝，
所以BC的值是．
10．解方程：
（1）x2+6x+4＝0（配方法或公式法）；
（2）2x2﹣x﹣3＝0（用因式分解法）．
【答案】（1）x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）x1＝﹣1，x2＝．
【解答】解：（1）x2+6x+4＝0，
x2+6x＝﹣4，
x2+6x+9＝﹣4+9，
（x+3）2＝5，
x+3＝±，
x+3＝或x+3＝﹣，
x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；
（2）2x2﹣x﹣3＝0，
（x+1）（2x﹣3）＝0，
x+1＝0或2x﹣3＝0，
x1＝﹣1，x2＝．
11．解方程：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2．
【答案】x1＝﹣，x2＝．
【解答】解：4（x+2）2＝9（2x﹣1）2，
4（x+2）2﹣9（2x﹣1）2＝0，
[2（x+2）+3（2x﹣1）][2（x+2）﹣3（2x﹣1）]＝0，
（8x+1）（7﹣4x）＝0，
8x+1＝0或7﹣4x＝0，
x1＝﹣，x2＝．
七．根的判别式（共2小题）
12．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且k≠1C．D．且k≠1
【答案】B
【解答】解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；
②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：B．
13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜且k≠0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案为：k＜且k≠0．
八．根与系数的关系（共3小题）
14．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．﹣4C．4D．3
【答案】D
【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
15．方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝ ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
16．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2+x1x2＝5，求实数m的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）Δ＝[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1）＞0，
4（m+1）2﹣4m2+4＞0，
8m＞﹣8，
m＞﹣1，
则当m＞﹣1时，方程有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝﹣2（m+1）＝﹣2m﹣2，x1x2＝m2﹣1，
x1+x2+x1x2＝5，
﹣2m﹣2+m2﹣1＝5，
m2﹣2m﹣8＝0，
（m﹣4）（m+2）＝0，
m1＝4，m2＝﹣2，
∵方程两实数根分别为x1，x2，
∴△≥0，
∴m≥﹣1，
∴m＝4．
九．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）
17．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
【答案】B
【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，
∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：B．
18．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2D．x（x+1）＝90
【答案】A
【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人，
每名学生送了（x﹣1）张，
共有x人，
根据“共互送了90张贺年卡”，
可得出方程为x（x﹣1）＝90．
故选：A．
19．教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信．据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有x名教师，依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝240B．x（x﹣1）＝240
C．2x（x+1）＝240D．x（x+1）＝240
【答案】B
【解答】解：∵全组共有x名教师，每个老师都要发（x﹣1）条短信，共发了240条短信．
∴x（x﹣1）＝240．
故选：B．
一十．一元二次方程的应用（共5小题）
20．如图1，有一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，若纸盒的底面积是28cm2，则该有盖纸盒的高为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是28cm2，
依题意，得：
×（10﹣2x）＝28，
化简，得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
当x＝3时，10﹣2x＝4＞0，符合题意；
当x＝12时，10﹣2x＜0，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是28cm2，纸盒的高为3cm．
故选：B．
21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128（1+x）+128（1+x）2＝608
化简得：4x2+12x﹣7＝0
∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，
∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，
∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
22．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得
x（x+1）+x+1＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
81+81×8
＝81+648
＝729（人）．
故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感．
23．水果店张阿姨以每千克4元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克6元的价格出售，每天售出100千克．通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低0.1元，每天可多售出20千克，为了保证每天至少售出240千克，张阿姨决定降价销售．
（1）若售价降低0.8元，则每天的销售量为 260 千克、销售利润为 312 元；
（2）若将这种水果每千克降价x元，则每天的销售量是 （100+200x） 千克（用含x的代数式表示）；
（3）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨应将每千克的销售价降至多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）销售量：100+20×＝100+160＝260，
利润：（100+160）（6﹣4﹣0.8）＝312，
则每天的销售量为260千克、销售利润为312元；
故答案为：260，312；
（2）将这种水果每千克降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（千克）；
故答案为：（100+200x）；
（3）设这种水果每千克降价x元，
根据题意得：（6﹣4﹣x）（100+200x）＝300，
2x2﹣3x+1＝0，
解得：x＝0.5或x＝1，
当x＝0.5时，销售量是100+200×0.5＝200＜240；
当x＝1时，销售量是100+200＝300＞240．
∵每天至少售出240千克，
∴x＝1．
6﹣1＝5，
答：张阿姨应将每千克的销售价降至5元．
24．某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．
（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．
（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：
40×100（1+x）2＝5760
∴（1+x）2＝1.44
∴1+x＝±1.2
∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）
∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．
（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：
（40﹣y）（100+10y）＝5760
∴y2﹣30y+176＝0
∴（y﹣8）（y﹣22）＝0
∴y1＝8，y2＝22
当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去
∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：40﹣8＝32元
∴3月份该玩具的销售价格为32元．
一十一．配方法的应用（共4小题）
25．设M＝2a2﹣5a+1，N＝3a2﹣7，其中a为实数，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞NB．M≥NC．M≤ND．不能确定
【答案】D
【解答】解：M﹣N＝2a2﹣5a+1﹣（3a2﹣7）＝﹣a2﹣5a+8＝﹣（a+）2+．
∵a的取值范围不确定，
∴无法判定M﹣N的符号，即无法判定M与N的大小．
故选：D．
26．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：
例1．分解因式：
x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：
2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6
＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8
又∵2（x﹣1）2≥0
∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；
（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
【答案】（1）（m+1）（m﹣7）；
（2）当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；
（3）△ABC周长的最大值为13．
【解答】解：（1）m2﹣6m﹣7
＝m2﹣6m+9﹣9﹣7
＝（m﹣3）2﹣16
＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4）
＝（m+1）（m﹣7）；
（2）2x2+y2﹣8x+6y+20
＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11
＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11
＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11
＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3，
∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3；
（3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∵4﹣3＜c＜4+3，
∴1＜c＜7，
∵c为正整数，
∴c最大取6，
∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13，
∴△ABC周长的最大值为13．
27．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．
所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+14a+ 49 ；
（2）将x2﹣10x+27变形为（x﹣m）2+n的形式，并求出x2﹣10x+27的最小值；
（3）若代数式N＝﹣a2+8a+1，试求N的最大值；
【答案】（1）49；（2）2；（3）17．
【解答】解：（1）依据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
∴a2+14a+49是完全平方式．
故答案为：49．
（2）x2﹣10x+27＝x2﹣10x+25+2＝（x﹣5）2+2．
∵（x﹣5）2≥0，
∴（x﹣5）2+2≥2．
∴x2﹣10x+27的最小值是2．
（3）∵N＝﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a）+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17，
又（a﹣4）2≥0，
∴﹣（a﹣4）2≤0．
∴﹣（a﹣4）2+17≤17．
∴﹣a2+8a+1的最大值是17．
28．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2﹣12x+37的最小值；
解：x2﹣12x+37＝x2﹣2x•6+62﹣62+37＝（x﹣6）2+1；
因为不论x取何值，（x﹣6）总是非负数，即（x﹣6）2≥0；
所以（x﹣6）2+1≥1；
所以当x＝6时，x2﹣12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：
x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+ 2 ＝（x﹣ 4 ）2+2；
（2）将x2+16x﹣5变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2+16x﹣5最小值；
（3）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2，试比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】（1）2；4；（2）﹣69；（3）S1＞S2；理由略．
【解答】解：（1）由题意得，x2﹣8x+18＝x2﹣8x+16+2＝（x﹣4）2+2．
故答案为：2；4．
（2）由题意得，x2+16x﹣5＝x2+16x+64﹣69＝（x+8）2﹣69．
∵（x+8）2≥0，
∴（x+8）2﹣69≥﹣69．
∴x2+16x﹣5≥﹣69．
∴x2+16x﹣5的最小值为﹣69．
（3）由题意得，S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+4a+15a+10＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S1﹣S2＝6a2+19a+10﹣5a2﹣25a＝a2﹣6a+10＝a2﹣6a+9+1＝（a﹣3）2+1．
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1≥1＞0．
∴S1﹣S2＞0．
∴S1＞S2．
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