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青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(四)等腰三角形中的五大辅助线课件
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这是一份青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(四)等腰三角形中的五大辅助线课件，共16页。
等腰三角形中的五大辅助线专项素养巩固训练卷(四) 类型一 作中线法1. (★★☆)如图所示,△ABC中,AB=BC,D为BC边上的一点,过点D作DE⊥AB于点 E,DF⊥BC,交AC于点F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数.(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD= ∠B. 解析 (1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-155°=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,∴∠C=90°-25°=65°,∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°,∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°.(2)证明:如图,连接BF, ∵AB=BC,点F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= ∠ABC,∴∠CFD+∠BFD=90°,∵∠CBF+∠BFD=90°,∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD= ∠ABC.类型二 作垂线法2. [一题多解](★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点,且DE⊥BC 交AB于点F.(1)求证:△ADF是等腰三角形.(2)若F为AB的中点.求证:DF=2FE. 证明 (1)方法1:因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为ED⊥BC,所以∠D+∠C=90°,∠B+∠BFE=90°,所以∠D=∠BFE.因为∠DFA=∠BFE,所以∠D=∠AFD,所以AD=AF,所以△ADF是等腰三角形.方法2:如图,过点A作AM⊥BC于M.因为AB=AC,所以∠1=∠2.因为DE⊥BC,所以AM∥DF,所以∠1=∠AFD,∠2=∠D,所以∠AFD=∠D,所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形. (2)如图,过A作AG⊥DE于G.由(1)得AD=AF,所以DF=2GF.因为AG⊥DE,BE⊥DE,所以∠AGF=∠BEF=90°.因为F为AB中点,所以AF=BF.在△AGF与△BEF中, 所以△AGF≌△BEF(AAS),所以EF=FG,所以DF=2FE.类型三 作平行线法3. (★★☆)如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F, DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形. 证明 如图,过点D作DG∥AE,交BC于点G,所以∠GDF=∠CEF.在△GDF和△CEF中, 所以△GDF≌△CEF(ASA),所以DG=CE,又因为BD=CE,所以BD=DG,所以∠DBG=∠DGB,因为DG∥AC,所以∠DGB=∠ACB,所以∠ABC=∠ACB,所以△ABC是等腰三角形. 类型四 倍长中线法4. (2024河南开封杞县期末,19,★★☆)如图,AD为△ABC的中线,点E在AC上,BE 交AD于点F,AE=EF,求证:AC=BF. 证明 如图,延长AD到点G,使GD=AD,连接GB.因为AD为△ABC的中线,所以BD=CD.在△GBD和△ACD中, 所以△GBD≌△ACD(SAS),所以GB=AC,∠G=∠CAF.因为AE=EF,所以∠CAF=∠EFA,所以∠G=∠EFA.因为∠EFA=∠BFG,所以∠G=∠BFG,所以GB=BF,所以AC=BF.类型五 截长补短法5. [一题多解](2024北京海淀外国语实验学校期中,20,★★☆)如图,在△ABC中, ∠B=2∠C,AD是BC边上的高.求证:AB+BD=DC. 证明 方法一:(截长法)如图,在线段DC上取一点E,使DE=DB,连接AE.因为AD⊥BC,所以AD垂直平分BE,所以AB=AE,所以∠AEB=∠B.因为∠B=2∠C,所以∠AEB=2∠C,所以∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C,所以AE=CE,所以CE=AE=AB,所以DC=DE+CE=BD+AB,所以AB+BD=DC.方法二:(补短法)延长DB到点F,使BF=AB,连接AF,所以∠BAF=∠F.因为∠ABC=∠BAF+∠F=2∠F,∠ABC=2∠C,所以∠F=∠C,所以AF=AC.因为AD⊥BC,所以∠ADF=∠ADC=90°,所以△ADF≌△ADC,所以DF=DC.因为DF=BF+BD=AB+BD,所以AB+BD=DC. 6. (★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的 度数. 解析 如图,在DC上截取DH,使得DH=DB,连接AH.因为BD=DH,AD⊥BH,所以AD垂直平分BH,所以AB=AH,所以∠B=∠AHD.因为AB+BD=DC,DC=DH+HC,所以AB=CH=AH,所以∠C=∠HAC.设∠C=x,所以∠AHB=∠C+∠HAC=2x,所以∠B=∠AHB=2x.因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以2x+x+120°=180°,解得x=20°,所以∠C=20°.
等腰三角形中的五大辅助线专项素养巩固训练卷(四) 类型一 作中线法1. (★★☆)如图所示,△ABC中,AB=BC,D为BC边上的一点,过点D作DE⊥AB于点 E,DF⊥BC,交AC于点F.(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度数.(2)若点F是AC的中点,求证:∠CFD= ∠B. 解析 (1)∵∠AFD=155°,∴∠DFC=180°-155°=25°,∵DF⊥BC,DE⊥AB,∴∠FDC=∠AED=90°,∴∠C=90°-25°=65°,∵AB=BC,∴∠A=∠C=65°,∴∠EDF=360°-65°-155°-90°=50°.(2)证明:如图,连接BF, ∵AB=BC,点F是AC的中点,∴BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= ∠ABC,∴∠CFD+∠BFD=90°,∵∠CBF+∠BFD=90°,∴∠CFD=∠CBF,∴∠CFD= ∠ABC.类型二 作垂线法2. [一题多解](★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,D为CA延长线上一点,且DE⊥BC 交AB于点F.(1)求证:△ADF是等腰三角形.(2)若F为AB的中点.求证:DF=2FE. 证明 (1)方法1:因为AB=AC,所以∠B=∠C.因为ED⊥BC,所以∠D+∠C=90°,∠B+∠BFE=90°,所以∠D=∠BFE.因为∠DFA=∠BFE,所以∠D=∠AFD,所以AD=AF,所以△ADF是等腰三角形.方法2:如图,过点A作AM⊥BC于M.因为AB=AC,所以∠1=∠2.因为DE⊥BC,所以AM∥DF,所以∠1=∠AFD,∠2=∠D,所以∠AFD=∠D,所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形. (2)如图,过A作AG⊥DE于G.由(1)得AD=AF,所以DF=2GF.因为AG⊥DE,BE⊥DE,所以∠AGF=∠BEF=90°.因为F为AB中点,所以AF=BF.在△AGF与△BEF中, 所以△AGF≌△BEF(AAS),所以EF=FG,所以DF=2FE.类型三 作平行线法3. (★★☆)如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F, DF=EF,BD=CE,求证:△ABC是等腰三角形. 证明 如图,过点D作DG∥AE,交BC于点G,所以∠GDF=∠CEF.在△GDF和△CEF中, 所以△GDF≌△CEF(ASA),所以DG=CE,又因为BD=CE,所以BD=DG,所以∠DBG=∠DGB,因为DG∥AC,所以∠DGB=∠ACB,所以∠ABC=∠ACB,所以△ABC是等腰三角形. 类型四 倍长中线法4. (2024河南开封杞县期末,19,★★☆)如图,AD为△ABC的中线,点E在AC上,BE 交AD于点F,AE=EF,求证:AC=BF. 证明 如图,延长AD到点G,使GD=AD,连接GB.因为AD为△ABC的中线,所以BD=CD.在△GBD和△ACD中, 所以△GBD≌△ACD(SAS),所以GB=AC,∠G=∠CAF.因为AE=EF,所以∠CAF=∠EFA,所以∠G=∠EFA.因为∠EFA=∠BFG,所以∠G=∠BFG,所以GB=BF,所以AC=BF.类型五 截长补短法5. [一题多解](2024北京海淀外国语实验学校期中,20,★★☆)如图,在△ABC中, ∠B=2∠C,AD是BC边上的高.求证:AB+BD=DC. 证明 方法一:(截长法)如图,在线段DC上取一点E,使DE=DB,连接AE.因为AD⊥BC,所以AD垂直平分BE,所以AB=AE,所以∠AEB=∠B.因为∠B=2∠C,所以∠AEB=2∠C,所以∠EAC=∠AEB-∠C=2∠C-∠C=∠C,所以AE=CE,所以CE=AE=AB,所以DC=DE+CE=BD+AB,所以AB+BD=DC.方法二:(补短法)延长DB到点F,使BF=AB,连接AF,所以∠BAF=∠F.因为∠ABC=∠BAF+∠F=2∠F,∠ABC=2∠C,所以∠F=∠C,所以AF=AC.因为AD⊥BC,所以∠ADF=∠ADC=90°,所以△ADF≌△ADC,所以DF=DC.因为DF=BF+BD=AB+BD,所以AB+BD=DC. 6. (★★☆)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C的 度数. 解析 如图,在DC上截取DH,使得DH=DB,连接AH.因为BD=DH,AD⊥BH,所以AD垂直平分BH,所以AB=AH,所以∠B=∠AHD.因为AB+BD=DC,DC=DH+HC,所以AB=CH=AH,所以∠C=∠HAC.设∠C=x,所以∠AHB=∠C+∠HAC=2x,所以∠B=∠AHB=2x.因为∠B+∠C+∠BAC=180°,所以2x+x+120°=180°,解得x=20°,所以∠C=20°.
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