2025年高考数学一轮复习-教考衔接7-空间直角坐标系的构建策略【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-教考衔接7-空间直角坐标系的构建策略【课件】，共34页。PPT课件主要包含了建系方法，反思感悟等内容，欢迎下载使用。

　　坐标法是利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的重要方 法，运用坐标法解题就需要建立空间直角坐标系，而如何建立恰当的 空间直角坐标系是本章的难点，这就要求学生抓住空间几何图形的结 构特征，充分利用图形中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系）建 系，下面就几种常见的建系方法予以说明.
类型1　利用共顶点的互相垂直的三条棱构建空间直角坐标系
【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷18题）如图，在正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， AB ＝2， AA 1＝4.点 A 2， B 2， C 2， D 2分别在棱 AA 1， BB 1， CC 1， DD 1上， AA 2＝1， BB 2＝ DD 2＝2， CC 2＝3.
（1）证明： B 2 C 2∥ A 2 D 2；
（2）点 P 在棱 BB 1上，当二面角 P - A 2 C 2- D 2 为150°时，求 B 2 P .
　　由题意知，在正四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中，三条棱 CD ， CB ， CC 1两两互相垂直且交于一点 C ，可考虑以点 C 为原点，三条棱 所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，此为根据题目中现有的条 件，直接建立空间直角坐标系.
类型2　利用线面垂直关系构建空间直角坐标系【例2】　（2021·全国乙卷18题）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是矩 形， PD ⊥底面 ABCD ， PD ＝ DC ＝1， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM .
（1）求 BC ；（2）求二面角 A - PM - B 的正弦值.
建系方法　因为 PD ⊥平面 ABCD ，所以 PD ⊥ AD ， PD ⊥ DC . 在矩 形 ABCD 中， AD ⊥ DC ，故可以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系.
反思感悟　　由条件中的垂直关系 PD ⊥底面 ABCD ，且四边形 ABCD 为矩 形，进而得 PD ， AD ， DC 两两垂直且共点于 D ，可建立空间直角坐 标系，此为通过先证明题目中建系的条件，再建立空间直角坐标系.
类型3　利用面面垂直关系构建空间直角坐标系【例3】　（2021·新高考 Ⅰ 卷20题）如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ， AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA ⊥ CD ；（2）若△ OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE ＝2 EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45°，求三棱锥 A - BCD 的体积.
建系方法　由题意知 AO ⊥平面 BCD ，显然 AO ⊥ OB . 以 O 为坐标原 点， OB ， OA 所在直线分别为 x ， z 轴，在平面 BCD 内，以过点 O 且 与 BD 垂直的直线为 y 轴建立空间直角坐标系.
反思感悟　　由已知条件平面 ABD ⊥平面 BCD ，结合其他已知证得 AO ⊥平面 BCD ，选取 OB ， OA 所在的直线分别为 x ， z 轴后， y 轴就可由以下 三个限制条件确定：①必须在平面 BCD 内且过点 O ；②必须垂直于 OB ；③方向必须符合右手直角坐标系.
类型4　利用正棱锥的底面中心与高所在的直线构建空间直角坐标系【例4】　已知正四棱锥 V - ABCD 中， E 为 VC 的中点，正四棱锥的底 面边长为2 a ，高为 h ，若 BE ⊥ VC ，则∠ DEB 的余弦值为 　　　　.
建系方法　如图所示，以 V 在底面 ABCD 内的投影 O 为坐标原点建立 空间直角坐标系，其中 Ox ∥ BC ， Oy ∥ AB .
反思感悟　　解决有关正棱锥的题目时，一般要利用正棱锥的底面中心与正棱 锥的高所在的直线构建空间直角坐标系.
类型5　利用底面正三角形构建空间直角坐标系
【例5】　如图，在正三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中， AB ＝ AA 1＝2，点 P ， Q 分别为 A 1 B 1， BC 的中点.
（1）求异面直线 BP 与 AC 1所成角的余弦值；
（2）求直线 CC 1与平面 AQC 1所成角的正弦值.
反思感悟　　底面为正三角形的几何体建系时，一般将正三角形底边中线和与 底边中线垂直的直线作为建立的空间直角坐标系的 x 轴， y 轴，再结 合其他条件确定 z 轴.
类型6　不规则图形的建系【例6】　（2024·新高考 Ⅱ 卷20题）如图，三棱锥 A - BCD 中， DA ＝ DB ＝ DC ， BD ⊥ CD ，∠ ADB ＝∠ ADC ＝60°， E 为 BC 的中点.
（1）证明： BC ⊥ DA ；
又 AE ⊥ BC ， BC ⊂平面 BCD ， DE ⊂平面 BCD ， BC ∩ DE ＝ E ， 所以 AE ⊥平面 BCD ，所以可分别以 ED ， EB ， EA 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标.
反思感悟　　若题目中给出的几何体不是简单的空间几何体，而是不规则 的几何图形，应先根据已知条件证明出共点的三线两两垂直，再 建立空间直角坐标系.一般原点选取在某线段的中点或互相垂直的 两线段的交点处.
　综上六类常见几何图形的建系特征，即从直接利用具有公共顶点的 三条棱构建空间直角坐标系，到利用线面垂直、面面垂直构建空间直 角坐标系，再到利用立体图形的对称性等构建空间直角坐标系，有些 题目可直接建立空间直角坐标系，而有些题目需先证明存在垂直关系 后，再建立空间直角坐标系.无论利用哪种关系建系，都应遵循与求解 问题相关的元素尽可能在坐标轴上或坐标平面上，这样便于计算点的 坐标（空间向量的坐标），减少运算量.
高考还可这样考
（2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为45°，求二 面角 M - AB - D 的余弦值.
2. 如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， AB ∥ DC ， DC ∥ EF ， AB ＝5， DC ＝3， EF ＝1，∠ BAD ＝∠ CDE ＝60°，二面角 F - DC - B 的平面角为60°.设 M ， N 分别为 AE ， BC 的中点.（1）证明： FN ⊥ AD ；
因为 BC ⊥ FN ， BC ∩ DC ＝ C ，故 FN ⊥平面 ABCD ，又 AD ⊂平面 ABCD ，故 FN ⊥ AD .
（2）求直线 BM 与平面 ADE 所成角的正弦值.