2025年高考数学一轮复习-教考衔接8-破解解析几何问题常见的技巧【课件】

这是一份2025年高考数学一轮复习-教考衔接8-破解解析几何问题常见的技巧【课件】，共29页。PPT课件主要包含了真题展示，解法分析，反思感悟等内容，欢迎下载使用。

解析几何是用代数方法研究几何问题中中学数学的重要分支，解题的 第一步通常是把几何条件转化为代数语言，即转化为方程或函数问 题；第二步再对代数式进行转化、化简与求值.因其条件复杂，运算量 大，一直是学生的“痛点”.如何在求解解析几何问题时简化运算步 骤，减少运算量，提升解题效率，下面就从常见的五种技巧入手，予 以例析.
破解解析几何问题常见的技巧
技巧1　回归定义，化繁为简　　回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是 一种朴素而又重要的策略和思想方法.圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲 线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点.对于相关的圆锥曲线 中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到 化难为易、化繁为简、事半功倍的效果.
　　本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立｜ AF 1｜，｜ AF 2｜的等 量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a 的值，进而求出双曲线的离 心率，大大降低了运算量.
技巧2　设而不求，整体代换　　对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，在涉及求中 点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方程等问题时，常用“点 差法”求解.
反思感悟　　本题设出 A ， B 两点的坐标，却不求出 A ， B 两点的坐标，巧妙 地表达出直线 AB 的斜率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何 量之间的关系，从而快速解决问题.
技巧3　巧用“根与系数的关系”化繁为简　　某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离 公式计算长度的方法来解；也可以利用一元二次方程，使相关的点的 同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线 段长度间的关系.后者往往计算量小，解题过程简捷.
（1）当直线 AM 的斜率为1时，求点 M 的坐标；
（2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 x 轴上的一定 点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点， 请说明理由.
技巧4　巧妙“换元”减少运算量
　　变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是 变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标 准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化.变量换元法常用于求 解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题.
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）求△ F 1 MN 的内切圆半径 r 最大时，直线 l 的方程.
技巧5　妙借向量，更换思路　　平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数 形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身 份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介.妙借向量，可以 有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果.
反思感悟　　本题通过相关向量坐标的确定，结合∠ BFC ＝90°，巧妙借助平 面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相 应数的形式，简化运算.